SKKN Hướng dẫn học sinh giải các bài toán về hình vuông trong mặt phẳng toạ độ Oxy

MỤC LỤC:
 Phần1 : MỞ ĐẦU Trang 1
1.1. Lý do chọn đề tài Trang 1
1.2. Mục đích nghiên cứu Trang 1
1.3. Đối tương nhiên cứu Trang 1
1.4. Phương pháp nghiên cứu Trang 1
 Phần 2 : NỘI DUNG
. Cơ sở lý luận Trang 2
. Thực trạng Trang 2
. Giải quyết vấn đề Trang 2
2.4. Hiệu quả Sáng kiến Trang 19
Phần 3: KẾT LUẬN Trang 20
PHẦN I: MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài.
 Trong chương trình hình học lớp 10- THPT có một chương rất quan trọng của bộ môn hình học và luôn nằm trong cấu trúc của các đề thi THPT Quốc gia cũng như trong các kỳ thi học sinh giỏi đó là chương: “phương pháp toạ độ trong mặt phẳng”, đây là phần tiếp nối của hình học phẳng ở cấp THCS nhưng được nhìn nhận dưới quan điểm toạ độ và véc tơ. Như vậy mỗi bài toán hình học trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy đều liên quan đến một bài toán hình học phẳng nào đó. 
 Hiện nay trong các đề THPT Quốc gia, đề thi học sinh giỏi, phần “phương pháp toạ độ trong mặt phẳng” các câu hỏi thường ở mức độ vân dụng cao, kiến thức áp dụng rất rộng được xuyên xuốt từ THCS đến THPT, nên khi giải các bài toán hình học toạ độ ở các đề thi trên học sinh thường lúng túng trong việc tìm lời giải bài toán cũng như tính toán dẫn đến hiệu quả giải toán không cao. Qua nhiều năm giảng dạy tôi thấy có một nguyên nhân quan trọng là do học sinh thường không khai thác hết bản chất hình học của bài toán ấy, vì vậy khi dạy phần này giáo viên cần phải trang bị cho học sinh một hệ thống các dạng toán và phương pháp suy luận lôgic để giải các bài toán này. Với ý định đó và trong khuôn khổ của sáng kiến kinh nghiệm tôi trình bày đề tài: “ Hướng dẫn học sinh giải các bài toán về hình vuông trong mặt phẳng toạ độ Oxy”. 
 2. Mục đích nghiên cứu 
 Giúp học sinh hình thành phương pháp, rèn luyện kỹ năng giải toán; bồi dưỡng năng lực tư duy sáng tạo. Từ đó nâng cao khả năng giải các bài toán hình học trong mặt phẳng toạ độ Oxy nói chung, đặc biệt là: “Các bài toán về hình vuông trong mặt phẳng toạ độ Oxy”.
 3. Đối tượng nghiên cứu
 - Học sinh lớp 10A1 năm học 2014-2015. Học sinh lớp 10A1 năm học 2015-2016 trường THCS& THPT Thống Nhất- Yên Định- Thanh Hoá.
 - Tuyển tập các đề thi Đại học các khối A,B,D từ các năm 2009 đến 2014 và đề thi THPT Quốc gia năm 2015. Các đề thi học sinh giỏi môn Toán tỉnh Thanh Hoá 
từ năm 2009 đến năm 2016.
 4. Phương pháp nghiên cứu
 - Nghiên cứu tài liệu Toán lớp 10.
 - Phân tích, tổng hợp kết quả học tập của học sinh lớp 10A1 năm học 2014-2015. Học sinh lớp 10A1 năm học 2015-2016 sau khi học chuyên đề được trình bày trong sáng kiến kinh nghiệm. Đánh giá kết quả học tập, kết quả các kì thi THPT Quốc gia và kỳ thi học sinh giỏi của học sinh lớp 12A1 năm học 2014-2015 trường THCS& THPT Thống Nhất.
 - Phân tích, đánh giá, tổng hợp các bài toán hình học trong mặt phẳng toạ độ Oxy. Đặc biệt là các bài toán liên quan đến hình vuông trong mặt phẳng toạ độ Oxy trong các kì thi tuyển sinh Đại học, cao đẳng, kỳ thi THPT Quốc gia, các kì thi học sinh giỏi tỉnh Thanh Hoá trong những năm gần đây. 
PHẦN II: NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lý luận:
 Ở chương tình toán THCS học sinh đã được làm quen với hệ trục tọa độ Oxy trong mặt phẳng, đến lớp 10 cấp THPT học sinh được tiếp thu kiến thức một cách hoàn chỉnh. Để đảm bảo tính kế thừa các kiến thức đã học ở cấp THCS cũng như để phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo của học sinh phù hợp với đặc trưng bộ môn; bồi dưỡng năng lực tự học, tự rèn luyện; kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn. Các bài toán về phương pháp toạ độ trong mặt phẳng trong các đề thi tuyển sinh vào Đại học, cao đẳng, Kỳ thi THPT Quốc gia và kỳ thi học sinh giỏi những năm gần đây thường ở mức độ vận dụng cao vì vậy đòi hỏi học sinh phải có năng lực tư duy và kỹ năng giải toán tương ứng từ đó yêu cầu giáo viên cũng phải có cách truyền thụ thích hợp.
2.2. Thực trạng 
 Qua thực tiễn giảng dạy và quá trình học tập của học sinh ở phần này, tôi nhận thấy khi giải các bài toán hình học trong mặt phẳng toạ độ Oxy học sinh thường không tự tin, đôi khi lúng túng và đặt ra câu hỏi: “ Phải định hướng tìm lời giải bài toán như thế nào”. Một số học sinh có thói quen không tốt là khi đọc đề chưa kỹ đã vội làm ngay, dẫn đến hiệu quả giải toán như thế là không cao. Đồng thời nhiều học sinh không chú ý đến bản chất hình học phẳng của bài toán; nên mặc dù làm nhiều bài toán hình học trong mặt phẳng toạ độ Oxy nhưng vẫn không nhớ, không phân loại được dạng toán cơ bản cũng như bản chất của các bài toán. 
 Với thực trạng ấy để giúp học sinh định hướng tốt hơn trong quá trình giải các bài toán hình học trong trong mặt phẳng toạ độ Oxy, theo tôi giáo viên cần tạo cho học sinh kỹ năng xem xét bài toán dưới nhiều góc độ, khai thác các yếu tố đặc trưng hình học của bài toán để tìm lời giải và quan trọng là chia dạng toán để học sinh có định hướng áp dụng khi tìm lời giải. Trong đó việc hình thành cho học sinh khả năng tư duy theo các các dạng toán là một điều cần thiết. Việc rèn luyện qua quá trình giải toán sẽ giúp học sinh hoàn thiện kỹ năng định hướng tìm lời giải bài toán. Trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi sẽ nêu ra một số dạng toán của: “ Các bài toán về hình vuông trong mặt phẳng toạ độ Oxy”.
 2.3 Giải quyết vấn đề
Để giải các bài toán về hình vuông trong mặt phẳng toạ độ Oxy thông thường ta làm theo hai bước:
 Bước 1: Vẽ hình và khai thác các tính chất hình học phẳng có trong giả thiết của bài toán, trong hình vẽ trực quan, chú ý đến các tính chất đặc biệt của hình vuông .
 Bước 2: Sử dụng các công cụ toạ độ gồm: Toạ độ của điểm, toạ độ của véc tơ, các công thức tính góc, tính khoảng cách, phương trình đường thẳng, phương trình đường tròn,  để giải bài toán . 
Để thuận lợi cho quá trình học tập cũng như hệ thống hoá kiến thức của học sinh tôi chia các bài toán liên quan đến hình vuông trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy thành 5 dạng toán cơ bản như sau: 
Dạng1. Sử dụng tính chất đối xứng qua tâm của hình vuông.
Bài 1: 
Trong mặt phẳng toạ độ cho hình vuông ABCD có tâm , hai điểm A,B lần lượt nằm trên hai đường thẳng có phương trình x+y-3=0(d) và x+y-4=0(d’).
Xác định toạ độ đỉnh D của hình vuông biết D có hoành độ lớn hơn 2.
Lời giải
I
A
B
C
D
 Bước 1: 
Do ABCD là hình vuông ta có, I là tâm đối xứng và IAIB nên 
Bước 2: 
Do điểm A thuộc đt (d) ta có A(a;3-a) và điểm B thuộc đt (d’) ta có B(b;4-b),
 suy ra 
 Khi đó 
 Với a=2; b=1 ta có B(1;3) suy ra D(4;2) thoả mãn
 Với a=1; b=3 ta có B(3;1) suy ra D(2;4) không thoả mãn. 
 Vậy điểm D cần tìm là D(4;2).
Bài 2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độOxy, cho hình vuông có đỉnh , tâm I thuộc đường thẳng d: y=-x+5 và diện tích của hình vuông ABCD bằng 25. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD, biết rằng tâm I có hoành độ dương.
 Lời giải
Bước 1: Do ABCD là hình vuông, ta có I là tâm đối xứng và IAIB . 
 Theo giả thiết diện tích hình vuông là nên . 
I
A
B
C
D
Bước 2: Do điểm I thuộc đường thẳng d ta có I(a;5-a) với , .
Do . 
Với ta có tọa độ tâm , vi I trung điểm AC nên tọa độ đỉnh .
Đường thẳng vuông góc có nên phương trình là. Vì điểm B thuộc nên . Ta có 
Với do I trung điểm BD nên ;
Với và .
Vậy tọa độ các đỉnh B, C, D là: , hoặc ,
Dạng 2. Sử dụng công thức tính độ dài, tính khoảng cách.
Bài 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD có điểm M là trung điểm của đoạn AB và N là điểm thuộc đoạn AC sao cho AN=3NC. Viết phương trình đường thẳng CD biết M(1;2) và N(2;-1).
Lời giải
A
D
N
B
I
C
M
Bước 1: 
 Ta có . Gọi a là độ dài cạnh của hình vuông ABCD, 
 Ta có AM= và AN=theo định lý cosin ta có Do đó 
Bước 2: Gọi I(x;y) là trung điểm của CD. Ta có IM=AD=4 và 
Ta có hệ phương trình
Với x=1;y=-2 ta có I(1;-2) và . Đường thẳng CD đi qua I và nhận làm véc tơ pháp tuyến nên có phương trình y+2=0.
Với x=; y= ta có I(;) và . Đường thẳng CD đi qua I và nhận làm véc tơ pháp tuyến nên có phương trình 3x-4y-15=0.
Vậy phương trình đường thẳng CD là: 3x-4y-15=0.
E
B
K
F
A
C
D
H
I
P
Bài 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Điểm là trung điểm của cạnh AD. Đường thẳng EK có phương trình với E là trung điểm của cạnh AB, điểm K thuộc cạnh DC và KD = 3KC. Tìm tọa độ điểm C của hình vuông ABCD biết điểm E có hoành độ nhỏ hơn 3.
Lời giải
Bước 1:
Gọi AB=a ( với a>0) . Ta có: 
Ta có suy ra 
Vậy ABCD là hình vuông cạnh bằng 5 suy ra 
Bước 2 Do nên E thuộc đường tròn 
 Suy ra tọa độ E là nghiệm: 
AC qua trung điểm I của EF và ACEF AC: 
Do P là giao điểm AC và EK toạ độ P là nghiệm của hệ phương trình : 
Ta xác định được: .Vậy toạ độ điểm C cần tìm là C(3 ;8)
Bài 3. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Điểm thoả mãn và điểm thuộc đường thẳng chứa cạnh AD. Gọi H là hình chiếu vuông góc của đỉnh A xuống đường thẳng DN. Xác định toạ độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết khoảng cách từ điểm H đến cạnh CD bằng và đỉnh A có hoành độ là một số nguyên lớn hơn -2.
E
N
D
H
M
A
B
C
.
Lời giải
Bước 1:
Gọi E là hình chiếu vuông góc của H trên CD
Giả sử cạnh hình vuông bằng a (a>0)
Ta có 
nên N nằm giữa B và C sao cho .
Có 
Bước 2: Giả sử véc tơ pháp tuyến của đường thẳng AD là 
 Ta có phương trình đường thẳng AD: 
 Trường hợp 1: Suy ra phương trình đường thẳng 
Do NPAD ta có phương trình đường thẳng NP là x+y+1=0 . Do P là giao điểm AD và NP ta có toạ độ P là nghiệm của hệ pt: vậy P(-2;1)
 Do A thuộc đường thẳng AD ta có A(m;m+3). Ta có Vậy A(-1;2)
 Ta có Từ đó ta tìm được 
 TH 2: Suy ra phương trình đường thẳng 
 Do NPAD ta có phương trình đường thẳng NP là 7x-23y-53=0 . Do P là giao điểm AD và NP ta có toạ độ P là nghiệm của hệ pt: vậy . Do A thuộc đường thẳng AD ta có A(m;m+3). 
Ta có 
 Vậy toạ độ các đỉnh hình vuông là: ,,
Bài 4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AD và DC; K là giao điểm của BN với CM. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác BMK, biết BN có phương trình và điểm B có hoành độ lớn hơn 2.
E
B
H
D
M
A
C
K
N
I
Lời giải
Bước 1:
Gọi E = BN Ç AD Þ D là trung điểm của AE
Dựng AH ^ BN tại H Þ 
Trong tam giác vuông ABE: 
Þ 
Bước 2: Do B thuộc đường thẳng BN ta có B(b; 8 - 2b) (b > 2)
 Với AB = 4 suy ra B(3; 2) Ta có phương trình đường thẳng AE: x + 1 = 0
Gọi E = AE Ç BN Þ E(-1; 10) Þ D(-1; 6) Þ M(-1; 4). Gọi I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác BMK ta có I là trung điểm của BM, Suy ra I(1; 3) và . 
Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác BMK là: (x - 1)2 + (y - 3)2 = 5.
Bài 5. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD, điểm M(5;7) nằm trên cạnh BC. Đường tròn đường kính AM cắt BBC tại B và cắt BD tại N(6;2). Đỉnh C thuộc đường thẳng d: 2x-y-7=0. Tìm toạ độ các đỉnh của hình vuông ABCD, biết hoành độ đỉnh C nguyên và hoành độ đỉnh A bé hơn 2.
Lời giải
Bước 1: Gọi I là tâm đường tròn đường kính AM thì I là trung điểm AM.
Ta có = sđ cung MN = . Do đó tam giác MIN vuông cân tại I
I
A
D
E
B
M
H
N
C
Bước 2: Do C thuộc đường thẳng d 2x-y-7=0 nên C(c;2c-7) 
Gọi H là trung điểm của MN ta có 
Phương trình đường thẳng là đường trung trực của MN là x-5y+17=0 .
Do I thuộc ta có I( 5a-17; a).
 Ta có 
Vì MIN vuông cân tại I và 
Với a=5 ta có I(8;5) suy ra A(11;9) ( loại). 
Với a=4 ta có I(3;4) suy ra A(1;1)
Gọi E là tâm hình vuông ta có E là trung điểm AC 
Nên . Do 
 Với c=7 Suy ra C(7;7) E(4;4).Ta có phương trình đường thẳng BD: x+y-8=0; 
phương trình đường thẳng BC: x-7=0 suy ra B(7;1) D(1;7)
 Vậy toạ độ các đỉnh của hình vuông là: A(1;1), C(7;7), B(7;1), D(1;7)
Dạng 3. Sử dụng phương pháp tính góc.
Bài 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC, N là điểm trên cạnh CD sao cho CN = 2ND. Giả sử và đường thẳng AN có phương trình 2x – y – 3 = 0. Tìm tọa độ điểm A.
Lời giải
B
A
C
D
N
M
Bước 1: Ta có : ; ; ;
	 = Þ 
Bước 2: Phương trình đường thẳng AM : = 0
 Đặt Ta có 3t2 – 8t – 3 = 0 
Với t = 3 ta có phương trình đường thẳng AM là 3x+y-17=0
Suy ra tọa độ A là nghiệm của hệ : Þ A (4; 5)
 Với ta có phương trình đường thẳng AM là x-3y-17=0 
tọa độ A là nghiệm của hệ : Þ A (1; -1) 
 Vậy toạ độ điểm A là: A(4;5) và A(1;-1)
Bài 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Điểm là trung điểm của AB; Điểm N nằm trên đoạn AC sao cho. Tìm tọa độ điểm A biết phương trình đường thẳng DN là .
Lời giải
N
B
H
I
M
A
C
D
Bước 1: 
Gọi cạnh hình vuông là a.
Tính được 
nên tam giác DMN vuông cân tại N.
Và 
Bước 2: 
Gọi ta có 
Suy ra, , . 
Do .
Gọi vtpt của đường thẳng AN là 
Ta có 
Với ta có phương trình của đường thẳng AN là 
Gọi tọa độ vì 
Với ta có ta có phương trình của đường thẳng AN là : Gọi tọa độ 
do 
Thử lại, ta có hai điểm thỏa mãn là 
Bài 3. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD. Gọi E là trung điểm của AD và là hình chiếu của B lên CE, là trung điểm của BH. Xác định toạ độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết A có hoành độ âm.
Lời giải
Bước 1: 
B
A
E
M
C
H
F
N
D
Gọi F là điểm đối xứng của E qua A. Ta có 
Suy ra tứ giác BFEC là hình bình hành. Do AM là đường trung bình của tứ giác BFEH nên AMBH. Ta có 
Bước 2: Vì M là trung điểm BH ta suy ra toạ độ B(-1;-2)
Phương trình đường thẳng BH: x-2y-3=0. 
Phương trình đường thẳng CE: 2x+y-4=0.
Phương trình đường thẳng AM: 2x+y=0.
Gọi A(a;-2a) (a<0) 
ta có 
Đường thẳng AD đi qua A và vuông góc với AB nên có phương trình: y-2=0
E là giao điểm CE và AD nên toạ độ điểm E là nghiệm của hệ phương trình : 
Vì E là trung điểm của AD nên D(3;2) Ta có .
Vậy toạ độ 4 điểm cần tìm là A(-1;2), B(-1;-2), C(3;-2), D(3;2).
Bài 4. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD có N(1;2) là trung điểm cạnh BC, biết đường trung tuyến của tam giác AND có phương trình là 
5x-y+1=0. Tìm toạ độ các đỉnh của hình vuông ABCD.
Lời giải
A
D
B
M
N
C
P
Bước 1: 
Gọi M là trung điểm của DN và AM kéo dài 
cắt BC tại P. Theo định lý talets ta có 
suy ra M là trung điểm của AP do đó ANPD 
là hình bình hành.Suy ra NP=AD=AB 
Bước 2: Đường thẳng BC đi qua N có dạng a(x-1) + b(y-2)=0 ta có
 Trường hợp 1: với a=-b ta có phương trình BC là x-y+1=0 
 ta có toạ độ điểm P là nghiệm của hệ phương trình
Đường thẳng AB đi qua B và nhận véc tơ chỉ phương của BC làm véc tơ pháp tuyến nên ta có phương trình AB là x+y-4=0. Toạ độ điểm A là nhiệm của hệ 
Trường hợp 2: 7a=17b khi đó phương trình đường thẳng BC là: 7x-17y+14=0
Tương tự ta tìm được toạ độ các điểm là
Do D và N nằm khác phía AM nên không thoả mãn.
Vậy toạ độ các đỉnh của hình vuông là :
Dạng 4 . Sử dụng phương pháp chứng minh vuông góc
Bài 1: Trong mặt phẳng toạ độ cho hình vuông ABCD có C(3;-3). Gọi E là một điểm trên cạnh BC, đường thẳng AE cắt CD tại F, đường thẳng DE cắt BF tại G. Biết và đỉnh A nằm trên đường thẳng d: 2x-5y+12=0. Tìm toạ độ đỉnh B.
Lời giải
Bước 1: 
A
D
G
I
B
F
E
C
K
Gọi I,K lần lượt là giao điểm của CG với AB ; DG với AB.
Do IK//DF nên theo định lý Talets ta có: 
Tương tự do AK//DF ta có 
Từ (1) và (2) kết hợp với AB=CD 
Xét tam giác AIC ta có IEAC ( BDAC) và CEAI nên E là trực tâm của tam giác AIC. Suy ra AECG.
 Bước 2: 
Ta có là véc tơ pháp tuyến của đường thẳng AE nên AE có phương trình: . Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình:
Phương trình đường thẳng BC đi qua E và C có nên có phương trình x+y=0.
 điểm B là hình chiếu vuông góc của lên BC suy ra toạ độ điểm B là nghiệm của hệ 
. Vậy toạ độ điểm B cần tìm là 
A
M
D
C
B
N
H
Bài 2. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD với M, N lần lượt là trung điểm đoạn AB và BC. Gọi H là chân đường cao kẻ từ B xuống CM. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết: và điểm D nằm trên đường thẳng (d): y=x-4. 
Lời giải:
Bước 1: 
Trong tam vuông BCH ta có : HN=HC (1)
 Mặt khác: BH và DN song song với
(Vì cùng vuông góc với MC)
Từ đó: H và C đối xứng qua DN
 DH vuông góc với HN
Bước 2: 
Gọi D(m ;m-4) Sử dụng điều kiện 
 Nhận xét H và C đối xứng qua DN tìm được 
 Từ đó tìm được : 
Vậy toạ độ các đỉnh của hình vuông là :  
Bài 3. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ , cho hình vuông có là trung điểm của cạnh,thuộc cạnh sao cho.Biết có phương trình và . Tìm toạ độ điểm biết có tung độ dương.
Lời giải
Bước 1: Kẻ NH vuông với BC tại H, NK vuông với DC
 tại K. Ta có . 
K
A
D
N
B
H
P
M
C
Ta có AD song song với NK, suy ra 
tương tự ta cũng có 
 suy ra DK=BH mà M là trung điểm BC 
nên H là trung điểm của BM, 
suy a 
mà 
Suy ra vuông cân tại N
 Bước 2: Gọi M(m;3m-4)
 ( do M có tung độ dương).
Gọi P là giao điểm MN và AP ta có 
Ta có 
 Vậy toạ độ đỉnh B là B(1;5).
Bài 4. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC, N là điểm trên cạnh CD sao cho CN=2ND. Cho điểm M(-1;3) và đường thẳng có phương trình x-2y-3=0. Tính diện tích hình vuông và tìm toạ độ điểm A biết điểm A có tung độ dương. 
Lời giải
Bước 1: A
B
M
D
C
N
K
Đặt AB=a >0
Gọi K là giao điểm BD và AN. Do
Tương tự 
Lại có: 
 Suy ra tam giác KAM vuông tại K hay 
Ta có MK=d(M;AN) 
Suy ra 
Bước 2: Do A thuộc đường thẳng AN ta có A(2m+3;m) với m>0
Mặt khác 
Với m=1 ta có A(5;1). Vậy toạ độ điểm A là A(5;1).
Bài 5. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD có đỉnh C thuộc đường thẳng (d): x+2y-6=0, điểm M(1;1) thuộc cạnh BD biết rằng hình chiếu vuông góc của điểm M trên cạnh AB và AD đều nằm trên đường thẳng (): x+y-1=0. Tìm toạ độ đỉnh C.
Lời giải
N
B
H
K
M
A
C
D
I
Bước 1: 
Gọi H,K lần lượt là hình chiếu vuông góc 
của M trên AB,AD.
Gọi N là giao điểm của KM và BC. 
Gọi I là giao điểm của CM và HK 
Ta có DKM vuông tại K và 
 Suy ra (1)
Mặt khác MH=MN ( do MHBN là hình vuông) 
suy ra hai tam giác vuông KMH,CNM bằng nhau
 suy ra =
Do = nên +=+
Suy ra CIHK 
Bước 2: 
Đường thẳng CI đi qua M(1;1) và vuông góc với đường thẳng 
nên đường thẳng CI có phương trình x-y=0. Khi đó toạ độ C là nghiệm của hệ phương trình . Vậy toạ độ đỉnh C là C(2;2)
Dạng 5. Sử dụng tính chất nội tiếp đường tròn. 
E
F
A
B
C
D
K
M
Bài 1. Cho hình vuông ABCD và điểm E thuộc cạnh BC . Một đường thẳng qua A vuông góc với AE cắt CD tại F, đường thẳng chứa trung tuyến AM của tam giác AEF cắt CD tại K. Tìm toạ độ điểm D biết A(-6; 6), M(-4; 2), K(-3; 0).
Lời giải
Bước 1. 
 nên tam giác AEF cân tại A
, mà AM là đường trung tuyến . 
Do đó tam giác AEF thuộc đường tròn tâm M
 bán kính MA
Bước 2 
Đường thẳng EF qua M và vuông góc MA nên có phương trình .
 Phương trình đường tròn tâm M, bán kính MA là 
Toạ độ E, F thoả mãn hệ phương trình 
Giải hệ phương trình ta có hoặc 
Trường hợp 1: E(-8; 0), F(0; 4)
Viết phương trình CD đi qua F, K: 
Viết phương trình AD: đi qua A và vuông góc với CD, suy ra 
Trường hợp 2: E(0; 4), F(-8; 0) suy ra D(-6;0)
Vậy có 2 điểm D cần tìm là : và D(-6;0)
Bài 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho hình vuông có tâm I. Trung điểm cạnh AB là , trung điểm đoạn CI là . Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông, biết đỉnh D thuộc đường thẳng .
Lời giải
Bước 1:
Gọi N là trung điểm CD và H là tâm hình 
chữ nhật AMND. Gọi (C) là đường tròn 
ngoại tiếp hình chữ nhật AMND. 
Từ giả thiết, suy ra NJ//DI, do đó NJ vuông góc với AC, hay J thuộc (C) (vì AN là đường kính của (C)). Mà MD cũng là đường kính của (C) nên JM vuông góc với JD. (1) 
D thuộc nên D(t;t+1) 
Theo (1) ta có .
Gọi a là cạnh hình vuông ABCD. Dễ thấy .
Bước 2: Gọi Vì 
 Với (thỏa mãn)
 Với (loại).
 Vậy tọa độ các đỉnh hình vuông là .
Bài 3. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD có hai điểm M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC, biết CM cắt DN tại . Gọi H là trung điểm DI, biết đường thẳng AH cắt CD tại . Biết , tìm toạ độ các đỉnh của hình vuông ABCD.
Lời giải
C
E
M
A
B
I
N
H
P
D
 Bước 1. 
Ta có 
Tứ giác AMID nội tiếp đường tròn tâm E
( với E là trung điểm của AH) 
suy ra ED = EI, mà H là trung điểm của DI 
, 
mà suy ra CM // AH,
 mặt khác AM // CP nên tứ giác AMCP là 
hình bình hành, do đó P là trung điểm DC
 tứ giác AMPD là hình chữ nhật 
 vuông tại I 
Ta có cân tại A( do tam giác DIC vuông tại I) 
Bước 2. Ta có đường thẳng AI qua I và vuô