SKKN Hướng dẫn học sinh giải bài toán tính khoảng cách bằng phương pháp so sánh

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài 
	Bài toán tính khoảng cách là bài toán quan trọng của chương trình Hình học không gian, do đó tính khoảng cách thường xuyên xuất hiện trong đề thi Đại học trước đây và nay là thi THPT Quốc gia môn Toán.
	Việc xác định được khoảng cách cần tìm sau đó tính khoảng cách luôn là bài toán khó đối với học sinh bởi muốn giải quyết được bài toán học sinh phải có kiến thức tổng hợp về hình học. Khó khăn vướng mắc của học sinh chính là bước xác định khoảng cách, học sinh không thể chỉ ra khoảng cách cần tìm là đoạn thẳng nào và do đó không thể giải quyết được bài toán.
Làm thế nào để những em có nguyện vọng thi Đại học có thể giải quyết được trọn vẹn bài toán tính khoảng cách? Đó là câu hỏi tôi luôn trăn trở, nghiên cứu để tìm ra hướng giải và tôi đã thành công khi hướng dẫn các em so sánh khoảng cách từ điểm cần tìm với khoảng cách của một điểm khác dễ nhận biết, dễ xác định và dễ tính toán hơn.
Thực hiện nhiệm vụ công tác chuyên môn năm học 2015 - 2016 tôi đã nghiên cứu, tổng hợp những sáng kiến từ thực tiễn giảng dạy của mình thành sáng kiến kinh nghiệm với đề tài “Hướng dẫn học sinh giải bài toán tính khoảng cách bằng phương pháp so sánh” với mong muốn kinh nghiệm của mình được phổ biến tới đồng nghiệp để nâng cao chất lượng bài giảng, phổ biến tới học sinh giúp các em giải quyết được bài toán quan trọng trong đề thi THPT Quốc gia môn Toán.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Chương trình Hình học không gian trong đề thi thường được kiểm tra, đánh giá bằng bài toán kết hợp giữa tính thể tích khối đa diện và bài toán tính khoảng cách từ một điểm tới mặt phẳng, khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Để giải quyết bài toán trên nhất thiết phải thực hiện qua 2 bước cụ thể như sau:
+ Xác định khoảng cách: chỉ ra khoảng cách cần tìm là đoạn thẳng nào
+ Tính khoảng cách: vận dụng các kiến thức hình học phẳng để tính khoảng cách vừa xác định được.
Vấn đề khó nhất đối với học sinh là thực hiện được bước 1, học sinh không biết bắt đầu từ đâu,vẽ hình như thế nào, xác định hình chiếu ra sao để có thể chỉ ra được khoảng cách cần tìm.
Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm là hướng dẫn học sinh có thể giải quyết được tất cả các bài toán tính khoảng cách bằng cách quy về khoảng cách từ một điểm tới mặt phẳng sau đó tìm cách so sánh khoảng cách cần tìm với khoảng cách từ một điểm khác mà việc xác định hình chiếu, xác định khoảng cách được thực hiện một cách dễ dàng với những kiến thức cơ bản trong sách giáo khoa.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
- Đề tài nghiên cứu, tổng kết về các dạng toán tính khoảng cách thường gặp trong quá trình học Chương trình Hình học không gian bậc THPT.
- Mức độ của các bài toán tương ứng là mức độ vận dụng thấp và vận dụng cao trong nội dung chương trình thi THPT Quốc gia do Bộ Giáo dục và Đào tạo ban hành.
- Đề tài được áp dụng thực nghiệm và đối chứng tại 2 lớp 12 Ban KHTN Trường THPT Triệu Sơn 1 năm học 2014 – 2015 và năm học 2015 – 2016.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
	- Xây dựng hệ thống các khái niệm về khoảng cách của Hình học không gian.
	- Xây dựng cơ sở lí thuyết để xác định khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng, khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
	- Tổng hợp tất cả các bài toán tính khoảng cách để quy về bài toán cơ bản nhất đó là: khoảng cách từ một điểm và tới mặt phẳng và cuối cùng là khoảng cách từ một điểm tới đường thẳng.
- Trên cơ sở xây dựng hệ thống lí thuyết giáo viên hướng dẫn học sinh phương pháp so sánh khoảng cách cần tìm với khoảng cách từ một điểm khác mà việc xác định hình chiếu, xác định khoảng cách được thực hiện một cách dễ dàng.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
O
H
.
a
P
- Khoảng cách từ điểm tới đường thẳng. 
Cho điểm O và đường thẳng a. Trong mặt phẳng (O,a) gọi H là hình chiếu của O trên a. Khi đó khoảng cách giữa hai điểm O và H được gọi là khoảng cách từ điểm O tới đường thẳng a, kí hiệu là d(O,a).
O
H
M
P
- Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Cho điểm O và mặt phẳng (P). Gọi H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (P). Khi đó khoảng cách giữa hai điểm O và H được gọi là khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (P) và được kí hiệu là d(O,(P)).
- Cách xác định khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (P)
+ Chọn mặt phẳng (Q) đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P) sao cho (Q) cắt (P) theo giao tuyến a.
+ Gọi H là hình chiếu của A trên giao tuyến a, khi đó H cũng là hình chiếu của A trên (P). 
+ Kết luận: khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (P) là độ dài đoạn thẳng AH.
+ Lưu ý: Ta thường chọn (Q) đi qua đường thẳng b nào đó mà theo giả thiết ta đã biết b vuông góc với (P).
- Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song
O
P
a
H
	Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) là khoảng cách từ một điểm bất kì của a đến mặt phẳng (P). Kí hiệu là d(a,(P)).
+ Nhận xét: khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song được quy về khoảng cách từ một điểm tới mặt phẳng.
- Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
M’
P’
M
P
	Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. 
Ta kí hiệu khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P), (Q) song song là d((P),(Q)). 
Khi đó ta có 
d((P),(Q))=d(M, (Q)) với M và
d((P),(Q)) = d(M’, (P)) với 
+ Nhận xét: khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song được quy về khoảng cách từ một điểm tới mặt phẳng.
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
O
a
H
P
b
	+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường phẳng đó và mặt phẳng song song với nó chứa đường thẳng còn lại
+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.
A
P
a
b
B
P’
+ Trong trường hợp hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau ta tìm khoảng cách theo định nghĩa bằng cách dựng đoạn thẳng vuông góc chung giữa hai đường thẳng đó.
Như vậy cơ sở lí thuyết cho chúng ta thấy tất cả các bài toán tính khoảng cách đều quy về bài toán cơ bản đó là: tính khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng và cuối cùng là khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng.
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm
	Bài toán tính khoảng cách thường được kết hợp với bài toán tính thể tích khối đa diện trong các đề thi. Thông thường học sinh khá rất dễ dàng tính được thể tích khối đa diện bởi ý này đề ra chỉ ở mức độ thông hiểu nhưng ý thứ hai là tính khoảng cách học sinh gặp những khó khăn sau:
	- Không xác định khoảng cách cần tìm do không thể xác định được hình chiếu của một điểm trên mặt phẳng.
	- Không biết cách quy bài toán về dạng cơ bản đó là tìm khoảng cách từ một điểm tới mặt phẳng.
	- Không biết cách so sánh khoảng cách từ điểm cần tìm với khoảng cách của một điểm khác mà việc xác định khoảng cách dễ dàng hơn.
Với những khó khăn trên học sinh không thể thực hiện trọn vẹn bài toán hình học không gian có trong đề thi hoặc học sinh phải lựa chọn gải bài toán bằng phương pháp tọa độ, lời giải dài, tiềm ẩn rất nhiều sai sót trong quá trình tính toán, xác định tọa độ các điểm và trình bày lời giải.
Cụ thể, năm học 2014-2015, khi chưa áp dung sáng kiến vào giảng dạy. Tôi đã kiểm tra học sinh lớp 12B1 (lớp Ban KHTN)Trường THPT Triệu Sơn 1 thực hiện bài toán hình học không gian kết hợp giữa bài toán tính thể tích khối đa diện và tính khoảng cách ở mức độ thi Đại học kết quả thống kê như sau
Số HS
Điểm 9- 10
Điểm 7 -8 
Điểm 5- 6
Điểm dưới 5
SL
TL(%)
SL
TL(%)
SL
TL(%)
SL
TL(%)
50
3
6
12
24
30
52
5
10
	Chủ yếu học sinh đạt mức độ 5 – 6 điểm vì học sinh chỉ thực hiện được một nửa bài toán đó là tính thể tích khối đa diện.
Xuất phát từ thực tế đó, tôi đã tiến hành đổi mới phương pháp hướng dẫn học sinh giải bài toán hình học không gian tại lớp 12C2 (lớp Ban KHTN) Trường THPT Triệu Sơn 1 năm học 2015 – 2016 với nội dung định hướng phương pháp giải như sau:
2.3. Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải bài toán tính khoảng cách bằng phương pháp so sánh.
2.3.1. Bài toán cơ sở so sánh khoảng cách.
B
A
K
I
P)
Giả sử đường thẳng a cắt mặt phẳng (P) tại điểm I.
Gọi A, B là hai điểm cho trước trên đường thẳng a, 
H, K lần lượt là hình chiếu của A, B trên mặt phẳng (P).
 Khi đó ta có 
Áp dụng nội dung trên giáo viên hướng dẫn học sinh so sánh khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (P) với khoảng cách từ B tới mặt phẳng (P) trong đó B là điểm cho trước, khoảng cách từ B đến mặt phẳng (P) có thể thực hiện dễ dàng.
2.3.2. Những lưu ý khi chọn điểm để so sánh khoảng cách
	- Điểm B được chọn là điểm cho trước của bài toán
	- Dễ dàng dựng được mặt phẳng (Q) đi qua điểm B và vuông góc với mặt phẳng (P).
	- Hình chiếu của B trên mặt phẳng (P) được xác định bằng hình chiếu của B trên giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q).
	- Tỉ số là dễ dàng tính được.
2.3.3. Những lưu ý đối với giáo viên khi thực hiện đề tài
	- Giáo viên phải củng cố cho học sinh các phương pháp xác định khoảng cách ; cách dựng hình chiếu của một điểm trên mặt phẳng.
	- Hệ thống bài toán đưa ra phải phù hợp với đối tượng học sinh, thực hiện từ dễ đến khó.
	- Giáo viên hướng dẫn học sinh bằng hệ thống câu hỏi, không áp đặt cho học sinh.
	- Sau mỗi bài làm giáo viên cần cho học sinh thảo luận, trao đổi để học sinh tự rút ra kinh nghiệm cho bản thân.
	- Ngoài phương pháp so sánh giáo viên nên hướng dẫn học sinh thực hiện các phương pháp khác để tính khoảng cách như: phương pháp thể tích, phương pháp tọa độ ...
2.3.4. Hướng dẫn học sinh giải bài toán tính khoảng cách bằng phương pháp so sánh.
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác vuông tại S, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc cạnh AD sao cho HA=3HD. Gọi M là trung điểm AB. Biết rằng và đường thẳng SC tạo với đáy một góc 30o. Tính theo a khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBC).
Giáo viên hướng dẫn học sinh tìm lời giải bằng cách yêu cầu học sinh trả lời các câu hỏi sau:
CH1: Dựng mặt phẳng đi qua điểm H và vuông góc với mặt phẳng (SBC)?
CH2: Tìm hình chiếu của điểm H trên mặt phẳng (SBC)?
CH3: Xác định khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SBC)? Tính khoảng cách vừa xác định được?
CH4: Ta có thể so sánh khoảng cách từ điểm M tới mặt phẳng (SBC) với khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SBC) được không?
S
A
B
M
K
C
H’
D
H
a
Giải:
Vì M là trung điểm AB và AH // (SBC) nên 
Kẻ tại K, tại H’. 
Vì nên 
Do đó 
Vì nên 
Trong tam giác vuông SAD có: 
Trong tam giác vuông SHK có:
Từ đó suy ra 
Đặt vấn đề mở , cho học sinh thảo luận sau khi thực hiện lời giải: Các em suy nghĩ và rút ra kết luận xem căn cứ vào những giả thiết nào để chúng ta có ý tưởng so sánh khoảng cách từ điểm điểm M tới mặt phẳng (SBC) với khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SBC)?
Sau khi học sinh nêu ý kiến (thông thường học sinh thảo luận và đưa ra nhiều ý kiến), giáo viên kết luận về tính đúng, sai của các ý tưởng học sinh trình bày.
Kết luận của giáo viên: Trước hết các em phải nhận thấy việc xác định khoảng cách và tính khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SBC) là dễ dàng thực hiện, sau đó mới nghĩ đến ý tưởng so sánh khoảng cách từ M với khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SBC)?
Các bài toán sau đây giáo viên thực hiện hướng dẫn học sinh tìm lời giải tương tự bài toán 1.
Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại C, cạnh huyền bằng 3a. G là trọng tâm của tam giác ABC, Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) theo a.
S
A
.
B
H
I
G
C
M
Giải:
Vì ∆ABC vuông cân tại C và AB = 3a 
Gọi M là trung điểm AC	 
Kẻ và 
Kẻ 
Trong tam giác vuông SGI, có 
. 
Vậy 
Bài 3: Cho tứ diện ABCD có mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng (BCD), tam giác BCD vuông tại D. Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) bằng Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACD) theo a.
A
B
H
C
K
D
H’
Giải:
Vì nên , do đó kẻ tại H thì H thuộc đoạn BC.
Theo giả thiết nên .
Kẻ tại K đường xiên do đó từ giả thiết và .
Sử dụng định lí côsin cho 
 vuông cân tại H và 
Kẻ tại H’, do nên 
Trong tam giác vuông AHK, ta có: . 
Do nên = 3HH’ 
Vậy 
Bài 4. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AB = 2a. Hình chiếu vuong góc của B xuống mặt đáy (A’B’C’) là trung điểm H của cạnh A’B’. Tính theo a khoảng cách từ C’ đến mặt phẳng (A’BC) biết góc giữa đường thẳng BC’ và mặt phẳng (A’B’C’) bằng 45o.
Giải:
A
C
B
K
A’
H
B’
C’
Do nên góc giữa BC’ và mp(A’B’C’) là góc do đó tam giác BC’H vuông cân tại H.
Ta có .
Vì BC // B’C’ B’C’ // (A’BC) d(C’;(A’BC) = d(B’;(A’BC))
Mà H là trung điểm A’B’ nên d(C’ ;(A’BC)) = d(B’ ;(A’BC)) = 2d(H ;(A’BC))
Kẻ HK vuông góc với A’B tại K. Ta dễ thấy BC vuông góc với mặt phẳng (ABA’B’) nên BC vuông góc HK, do đó HK vuông góc với mặt phẳng (A’BC)
Xét tam giác vuông A’HB có 
Vậy d(C’ ;(A’BC)) = 2HK = 
Bài 5. Cho hình chóp đều A.BCD có . Gọi M là trung điểm của CD. Tính theo a và khoảng cách giữa hai đường thẳng BM, AD.
A
B
C
D
N
M
O
I
J
K
Giải:
Gọi O là tâm tam giác đều BCD cạnh a. Do A.BCD là chóp đều nên AO là đường cao của hình chóp và 
Gọi N, I, J lần lượt là trung điểm AC, CO, OM. 
Ta có 
Lại có: theo giao tuyến NJ
Trong mp(IJN) kẻ 
Ta có: IJ và 
Trong tam giác vuông IJN có: 
Vậy 
Bài 6. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, tam giác SAB vuông cân tại đỉnh S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC theo a.
Giải:
S
A
C
D
H
K
I
B
Gọi H là trung điểm của AB. Kẻ tại K, tại I.
Dựng hình bình hành ABDC.
Ta có: AC // (SBD)
Do 
Mà nên 
Xét tam giác vuông BHK có 
Xét tam giác vuông SHK có 
Vậy 
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, AD là đáy lớn, AD = 2a, AB = BC = CD = a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn thẳng AC sao cho HC = 2HA. Góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng 60o. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD theo a.
Giải:
 S
K
A
x
B
C
D
H
Theo bài ra thì ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AD nên . Do nên từ đó ta có .
Do đó góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) là .
Ta có: 
Kẻ tia Ax // CD, gọi (P) là mặt phẳng chứa SA và Ax. 
Khi đó AC // (P) và CA=3HA nên 
Ta có: nên mà . 
Từ H kẻ , khi đó 
Lại có 
Trong tam giác vuông AHS, có: 
Vậy .
Bài 8. Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác đều cạnh 3a, hình chiếu của S lên (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho AB = 3AH. Góc tạo bởi SA và mặt phẳng (ABC) bằng 60o. Tính theo a khoảng cách SA và BC.
Giải
S
C
B
D
H
K
I
A
Kẻ AD // BC, do AB = 3AH nên 
 .
Kẻ do nên .
 .
Ta có: 
Vì nên góc tạo bởi SA và (ABC) là: 
Trong tam giác vuông SHI, ta có: 
Vậy .
Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, Cạnh bên . Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn BD sao cho Gọi M là trung điểm cạnh SD. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CM và SB.
Giải:
S
B
H
C
O
D
M
A
Từ giả thiết có tam giác ABC đều, cạnh a. 
Gọi
Có: 
Ta lại có:
Ta có: 
Do 
Vì nên:
Mặt khác nên:
.
 Vậy 
	Bài 10. Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’, đáy ABCD là hình chữ nhật có. Biết góc giữa đường thẳng A’C và mặt phẳng (ABCD) bằng 60o. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng B’C và C’D.
Giải:
A’
B’
C’
D’
A
B
C
D
M
H
Do ABCD.A’B’C’D’ là lưng trụ đứng nên .
Suy ra giữa A’C và (ABCD) là 
Có 
Do C’D // AB’ nên C’D // (AB’C)
Suy ra 
Do BC’ giao với mp(AB’C) tại trung điểm BC’ (vì BCC’B’ là hình chữ nhật)
Kẻ theo giao tuyến B’M.
Kẻ 
Xét tam giác vuông B’BM vlà tam giác vuông ABC có
Vậy 
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Khi thực hiện theo nội dung của sáng kiến kinh nghiệm, học sinh được đặt vào tình huống có vấn đề trong dạy học qua đó phát huy được tính chủ động, sáng tạo, nâng cao năng lực tư duy của học sinh. Khi thực hiện đề tài tại lớp, các em học sinh hào hứng trao đổi, thảo luận để tìm lời giải, trao đổi học hỏi kinh nghiệm của bạn để nhận biết được cách so sánh trong mỗi bài toán.
 Kết quả kiểm tra tại lớp 12C2 Trường THPT Triệu Sơn 1 năm học 2015 – 2016 cho thấy hầu hết các em học sinh đều có thể giải được trọn vẹn bài toán hình học không gian ở mức độ thi THPT Quốc gia, điều đó thể hiện qua Bảng thống kê kết quả sau:
Số HS
Điểm 9- 10
Điểm 7 -8 
Điểm 5- 6
Điểm dưới 5
SL
TL(%)
SL
TL(%)
SL
TL(%)
SL
TL(%)
40
21
52.5
17
42.5
2
5
0
0
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
	Thực hiện đề tài và có được thành công thể hiện trên kết quả học tập của các em học sinh lớp 12C2 Trường THPT Triệu Sơn 1 bản thân tôi nhận thấy khi người thầy có phương pháp đúng đắn và khoa học, đặt học sinh vào các tình huống có vấn đề trong dạy học, tạo môi trường cho học sinh trao đổi, thảo luận thì sẽ phát huy được tính chủ động, sáng tạo, nâng cao năng lực tư duy cho học sinh đáp ứng được yêu cầu đổi mới giáo dục và đào tạo của Đảng và Nhà nước.
	Giáo viên dạy toán của các trường THPT có thể coi sáng kiến kinh nghiệm này là một tài liệu tham khảo để áp dụng giảng dạy cho học sinh nhằm nâng cao chất lượng dạy học môn toán và góp phần nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện của nhà trường.
3.2. Kiến nghị	
Giáo viên dạy toán cần thêm thời lượng rèn luyện kĩ năng giải toán, khắc phục lỗi trình bày lời giải cho học sinh, làm phong phú thêm tài liệu bằng cách sưu tầm thêm các bài tập tương tự trong hệ thống đề thi Đại học hằng năm hoặc khai thác các đề thi thử THPT Quốc gia trên toàn quốc.
XÁC NHẬN CỦA
THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
 Thanh Hóa, ngày 27 tháng 5 năm 2016
 Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.
Lê Thị Ngọc Hà