SKKN Hướng dẫn cho học sinh một số cách chứng minh định lí “tính chất đường phân giác của tam giác”

MỤC LỤC
ĐỀ MỤC	TRANG
I. MỞ ĐẦU:	1
1. Lí do chọn đề tài 	1
2. Mục đích nghiên cứu	1
3. Đối tượng nghiên cứu 	1
4. Phương pháp nghiên cứu 	2
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:	2
1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 	2
2. Thực trạng của vấn đề 	2
2.1. Thực trạng của việc dạy môn hình học 8 	2
2.2. Thực trạng của việc học môn hình học 8 	2
3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề	3
4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường. 	12
III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 	12
1. Kết luận 	12
2. Kiến nghị 	14
TÀI LIỆU THAM KHẢO
HƯỚNG DẪN CHO HỌC SINH MỘT SỐ CÁCH CHỨNG MINH ĐỊNH LÍ “TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC”
(SGK TOÁN 8, TẬP 2), TỪ ĐÓ TẠO HỨNG THÚ CHO CÁC EM KHI GIẢI TOÁN HÌNH HỌC, Ở TRƯỜNG THCS NGA THANH, HUYỆN NGA SƠN
I. MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Các định lí hình học ở trường THCS là vô cùng quan trọng, vì vậy việc dạy học định lí, chứng minh định lí, vận dụng định lí vào giải toán là rất cần thiết.
Khi dạy một định lí hình học, giáo viên thường yêu cầu học sinh đọc nội dung định lí, vẽ hình, ghi giả thiết kết luận và đi chứng minh định lí theo hướng dẫn có sẵn của sách giáo khoa. Có rất ít giáo viên hướng dẫn cho học sinh tìm ra cách chứng minh hay hoặc khai thác bài toán theo nhiều hướng khác nhau nhằm mục đích phát triển tư duy cho học sinh. Vì vậy mà các em học sinh thường rất lúng túng khi phải chứng minh định lí, vận dụng định lí vào giải toán.
Vậy làm thế nào để học sinh nắm chắc được các định lí một cách dễ dàng, nhớ lâu và biết vận dụng nó để giải bài toán và ứng dụng nó trong thực tế?
Trong khi giảng dạy môn hình học 8, kết hợp với việc trao đổi kinh nghiệm, tham khảo ý kiến của bạn bè đồng nghiệp, từ đó Tôi đã đúc rút thành SKKN:
“Hướng dẫn cho học sinh một số cách chứng minh định lí “Tính chất đường phân giác trong tam giác ”(SGK Toán 8, tập 2), từ đó tạo hứng thú cho các em khi giải toán hình học, ở trường THCS Nga Thanh, huyện Nga Sơn”
2. Mục đích nghiên cứu
Ôn tập và củng cố hệ thống kiến thức lý thuyết trong sách giáo khoa cho học sinh; hình thành cho học sinh các kĩ năng vận dụng lý thuyết để chứng minh các định lí, giải các bài tập tương ứng trong sách giáo khoa và các tài liệu tham khảo khác.
Tìm ra nhiều cách khác nhau để chứng minh một định lí, giải quyết một bài tập, tiếp tục hình thành cho các em tính tích cực, tự giác, chủ động, khơi dậy tính cẩn thận, chịu khó, sáng tạo khi giải toán.
Giúp học sinh hứng thú hơn trong học tập môn hình học và các môn học khác.
3. Đối tượng nghiên cứu
Trong chương trình hình học 8, các em học sinh đã được tiếp cận rất nhiều nội dung kiến thức, phương pháp chứng minh, nhưng các em vẫn chưa nắm vững hết kiến thức cơ bản, cũng như các phương pháp chứng minh, vì vậy trong đối tượng nghiên cứu, tôi chỉ đề cập đến nội dung kiến thức trong chương trình hình học 8.
	Đối với học sinh lớp 8 mặc dù đây là năm học thứ ba các em được học môn hình học, nhưng các em vẫn đang còn lúng túng chưa tìm ra cách học, phương pháp học, nhiều em tiếp thu chậm, vì vậy trong các tiết học ngoài việc truyền thụ kiến thức mới, ôn tập bổ sung kiến thức cơ bản đã học cho các em, giáo viên vẫn phải cần chú ý hình thành cho các em kỹ năng giải các bài tập từ đơn giản đến phức tạp.
4. Phương pháp nghiên cứu
Khảo sát thực tế lớp giảng dạy.
Nghiên cứu tài liệu.
Tham khảo ý kiến đồng nghiệp.
Thống kê đánh giá.
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
Định lí là một khẳng định được suy ra từ những khẳng định được coi là đúng.
Định lý hình học đóng vai trò như một bài toán tổng quát, thông qua việc học định lý học sinh sẽ được cung cấp rất nhiều những kiến thức cơ bản của bộ môn.
Dạy học định lí hình học là một trong các hoạt động cơ bản, quan trọng trong dạy học môn Toán. Việc dạy học định lý hình học nhằm cung cấp cho học sinh một hệ thống kiến thức cũng như kỹ năng cơ bản của bộ môn, đây là cơ hội rất thuận lợi để phát triển ở học sinh khả năng tư duy, suy luận, góp phần phát triển năng lực trí tuệ cho các em.
2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến
2.1. Thực trạng của việc dạy định lí hình học 8.
Đối với giáo viên, có nhiều khi chỉ giới thiệu định lí, hướng dẫn và yêu cầu học sinh chứng minh định lí đó theo như sách giáo khoa, chính việc làm đó đã không tạo điều kiện cho học sinh phát huy được vai trò và khả năng của bản thân. Khi chứng minh định lí chưa gợi được động cơ chứng minh cho học sinh, việc củng cố định lí cho học sinh đang còn sơ sài, chưa phát huy được năng lực của các em.
2.2. Thực trạng của việc học định lí hình học 8.
Đối với học sinh: Hiểu nội dung định lý và vận dụng định lí vào giải toán là vấn đề khó khăn, nhiều em chưa phân biệt được giả thiết và kết luận của định lí.
Không nắm được nội dung các định lý đã học, học trước quên sau, không nhớ được các định lý đã học. Kỹ năng vận dụng định lý vào giải các bài toán còn yếu.
Các em học sinh thường đánh giá môn hình học là khó hơn đại số, mà các định lý thường tập trung ở hình học, do đó vấn đề đang khó lại khó thêm.
Khi giải quyết một bài toán cụ thể học sinh lúng túng, không biết cách tìm ra hướng giải quyết, thiếu sự sáng tạo vì các em thiếu kỹ năng giải quyết vấn đề.
Trong bài thi khảo sát chất lượng đầu năm cho thấy, chất lượng môn toán nói chung còn rất thấp đặc biệt là phần hình học có rất nhiều em không làm được.
Kết quả cụ thể thu được như sau:
 Loại
 Lớp SL
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
Kém
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
8A
39
1
2.56
6
15.38
12
30.77
12
30.77
8
20.51
8B
40
2
5.00
9
22.5
14
35
10
25
5
12.5
Tổng
79
3
3.80
15
18.99
26
32.91
22
27.85
13
16.46
3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
3.1. Định lí:
Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy.
GT
KL
ABC
AD là tia phân giác của (D BC)
3.2. Các cách chứng minh
Cách 1: (Hình 1) (SGK Toán 8- Tập 2, trang 66)
Chứng minh:
Qua đỉnh B vẽ đường thẳng song song với AC, cắt đường thẳng AD tại điểm E.
Ta có: (gt)
Vì BE // AC, nên (so le trong)
ABE cân tại B BE = AB. (1)
Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét đối với DAC,
ta có: 
. (2)
Từ (1) và (2) . (đpcm)
Cách 2: (Hình 2)
Chứng minh:
Qua đỉnh B vẽ đường thẳng song song với AD, cắt đường thẳng CA tại điểm I.
Ta có: (so le trong)
(đồng vị)
(gt)
 ABI cân tại A AB = AI (1)
Vì AD//BI, Áp dụng định lí Ta –lét đối với BCI, 
Ta có: 
	 (2)
Từ (1) và (2) .(đpcm)
Cách 3: (Hình 3)
Chứng minh:
Qua đỉnh D vẽ các đường thẳng song song với AB và AC, các đường thẳng này lần lượt cắt AB, AC theo thứ tự tại E và F.
* Tứ giác AEDF có AE//DF và AF//ED Tứ giác AEDF là hình bình hành,
Lại có: (gt)
Hình bình hành AEDF là hình thoi AE = DE = DF = AF (1)
* Xét BDE và DCF
Có : 	 (đồng vị)
	 (đồng vị)
BDE DCF (g.g)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: (2)
Từ (1) và (2)
 hay
.(đpcm)
Cách 4: (Hình 4)
Chứng minh:
Qua A và D vẽ các đường thẳng song song với BC và AB, hai đường thẳng này cắt nhau tại E. DE cắt AC tại F.
* Vì AE//DC, áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét vào DFC, ta có: (1)
* Tứ giác ABDE có AE//BD, AB//DE 
Tứ giác ABDE là hình bình hành AE = BD. (2)
Từ (1) và (2) . (3)
* Vì DF//AB, áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét vào ABC, ta có: . (4)
Lại có: (gt) và (so le trong)ADF cân tại FAF = FD. (5)
Từ (4) và (5) . (6)
Từ (3) và (6) .(đpcm)
Cách 5: (Hình 5)
Chứng minh:
Qua B và C kẻ các đường thẳng song song với AD cắt đường thẳng qua D song song với AC lần lượt tại F và E. Đường thẳng qua F song song với AB cắt AD tại M.
* Vì BF//CE, áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét vào BFD, ta có:
.(1)
* Lại có: AC//DE, AD//CE 
tứ giác ADEC là hình bình hành DE = AC. (2)
*	(gt) 
(so le trong)
 (đồng vị)
FMD cân tại F DF = FM (*)
* BF//AM và AB//AM tứ giác ABFM là hình bình hành AB = FM (**)
Từ (*) và (**) AB = DF. (3)
Từ (1), (2) và (3) .(đpcm)
Cách 6:(Hình 6)
Chứng minh:
Kẻ các đường cao AH, DM, DN (H,M,N lần lượt thuộc BC,AB,AC)
Ta có D AD (AD là tia phân giác của góc A)
 DM = DN (theo tính chất điểm thuộc tia phân giác của góc)
* Ta có: .(1)
* Mặt khác: .(2)
Từ (1) và (2) .(đpcm)
Cách 7:(Hình 7)
Chứng minh:
Kẻ các đường cao BE, CF (E,F AD)
* Xét vuôngBED và vuôngCFD
có: (đối đỉnh)
vuôngBED vuôngCFD (g.g)
(1)
* Xét vuôngABE và vuôngACF
có: (gt)
vuôngABE vuôngACF (g.g)
(2)
Từ (1) và (2) .(đpcm)
Cách 8:(Hình 8)
Chứng minh:
Kẻ các đường cao BF và CE, chúng cắt AD lần lượt tại K, H và chúng cắt nhau tại M. Đường thẳng qua C song song với AD cắt BF tại I.
* Ta có: (gt) hay 
 (cùng phụ với ) hay 
ABKACH (g.g)
(1)
* Vì CI//AD, áp dụng hệ quả của định lí Ta-let vào BCI, ta có:(2)
* Mặt khác, ta có: (cùng phụ với hai góc bằng nhauvà)
	 (đối đỉnh)
MKH cân tại M MK = MH (*)
Lại có: (đồng vị)
	 (đồng vị)
MIC cân tại M MI = MC (**)
Từ (*) và (**) MI – MK = MC – MH hay KI = CH (3)
Từ (1), (2) và (3) .(đpcm)
Cách 9:(Hình 9)
Chứng minh:
Qua B và C, kẻ các đường thẳng vuông góc với AB, AC, hai đường thẳng này cắt nhau tại K. Đường thẳng AD cắt BK, CK lần lượt tại E và F. Qua B kẻ đường thẳng song song với AD cắt CK tại G.
* Ta có (gt) 
vuôngABE vuôngACF(g.g)
 (1) và .
* Theo cách vẽ, DF//BG, áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét vàoBCG ta có:
 (2)
* (CM trên)
 (đối đỉnh)
KEF cân tại KKE = KF.(*)
* (đồng vị)
 (đồng vị)
 KBG cân tại KKB = KG.(**)
Từ (*)và (**) KB – KE = KG – KF 
hay BE = FG (3)
Từ (1), (2) và (3) .(đpcm)
Cách 10:(Hình 10)
Chứng minh:
Giả sử .
Vẽ góc (EAD)
* Xét ABE và ACD
có: (gt) 
 (theo cách dựng)
 ABE ACD (g.g)
(1)
* Mặt khác ta có: (góc ngoài củaABE )
	 (góc ngoài củaADC )
BDE cân tại B EB = DB (2)
Từ (1) và (2) .(đpcm)
Thông qua một số cách chứng minh đã nêu, giáo viên cần chỉ cho học sinh thấy được: 
- Khi gặp một bài toán hình học, nếu ta chịu khó suy nghĩ tìm tòi, thì các em sẽ tìm ra cách giải và trong nhiều bài thì cách giải rất đa dạng.
- Để giải quyết được bài toán đang được đặt ra, trước hết các em phải nhớ các kiến thức cơ bản và phải biết vận dụng được kiến thức đó.
- Phải có những kĩ năng nhất định như: vẽ hình, ghi giả thiết kết luận, trình bày lời giải,
- Khi đã nắm vững được kiến thức cơ bản, biết vận dụng lý thuyết vào giải bài tập tương ứng, có được những kĩ năng cơ bản khi vẽ hình, khi trình bày lời giải thì các em có thể nghĩ đến các kĩ năng cao hơn, một trong những kĩ năng đó là phải biết vẽ thêm đường phụ. Đây là một trong nhữn kỹ năng vô cùng quan trọng phải có khi giải bài tập hình học.
- Trước hết giáo viên cần chỉ ra cho học sinh thấy được một số loại đường phụ đã vẽ để chứng minh (trong 10 cách giải) như sau :
	+ Kéo dài một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trước hay đặt một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trước.
	+ Vẽ thêm một đường thẳng song song với đoạn thẳng cho trước từ một điểm cho trước.(từ cách 1 đến cách 5)
	+ Từ một điểm cho trước vẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳng cho trước (từ cách 6 đến cách 9)
	+ Nối 2 điểm cho trước hoặc xác định trung điểm của một đoạn thẳng cho trước.
	+ Dựng một góc bằng một góc cho trước hay bằng nửa góc cho trước (cách 10)
- Tiếp đến giáo viên cũng cần khẳng định cho học sinh thấy được ý đồ của sách giáo khoa, đó là: bài tập ra trong phạm vi chương nào thì hầu hết là sẽ vận dụng kiến thức lý thuyết của chương đó để giải quyết, điều này đối với các em học sinh là hết sức quan trọng vì như thế sẽ giúp các em tập trung suy nghĩ, tránh tình trạng suy nghĩ lan man. Trong 10 cách giải trên, có rất nhiều kiến thức cần phải vận dụng, nhưng trong đó chúng ta thấy kiến thức về định lí Ta-lét và hệ quả của định lí Ta-lét được vận dụng rất nhiều. Tiếp đến là vận dụng các trường hợp đồng dạng, các trường hợp bằng nhau của hai tam giác để chứng minh hai tam giác đồng dạng, hai tam giác bằng nhau
- Giáo viên cũng phải chỉ cho học sinh thấy được, việc trình bày lời giải của các bài toán hình học là rất đa dạng, tuỳ từng bài, tuỳ vào tư duy của người học,  thì sẽ có cách trình bày khác nhau, mặc dù cách trình bày đa dạng như vậy nhưng giáo viên cũng cần lưu ý cho các em khi học sinh chứng minh một vấn đề nào đó thì trước hết phải nêu được vấn đề đó ra, sau đó chỉ ra các căn cứ, rồi từ các căn cứ đó rút ra kết luận cần chứng minh. Ví dụ: Khi học sinh chứng minh hai tam giác đồng dạng hoặc hai tam giác bằng nhau thì phải chú ý trình bày như sau:
	Xét tam giác thứ nhất và tam giác thứ hai,
Có: 	- căn cứ 1
- căn cứ 2
- căn cứ 3
=> tam giác thứ nhất đồng dạng (hoặc bằng) tam giác thứ hai (theo trường hợp nào)
=> các tỉ số giữa các cạnh tương ứng bằng nhau (hoặc các cạnh tương ứng bằng nhau, )
4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
	Sau một thời gian nghiên cứu tìm hiểu và hướng dẫn các em học sinh khi Ví dụ: Trong một đề kiểm tra 45 phút, môn hình học tại thời điểm cuối học kỳ 2, kiểm tra ở 2 lớp 8.
Kết quả cụ thể đạt được như sau: 
 Loại
 Lớp S L
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
Kém
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
8A
39
5
12,82
11
28,21
20
51,28
2
5,13
1
2,56
8B
40
7
17,50
17
42,50
15
37,50
1
2,50
0
0,00
Tổng
79
12
15,19
28
35,44
35
44,30
3
3,80
1
1,27
III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
1. Kết luận
Trên đây tôi đã chỉ ra 10 cách chứng minh định lí “Tính chất đường phân giác trong tam giác ”(SGK Toán 8, tập 2)
Đó chính là giải pháp mà tôi đã áp dụng có hiệu quả trong quá trình dạy cho học sinh khi chứng minh định lí hình học, giải bài tập hình học cho học sinh lớp 8. Qua đó đã tạo ra cho các em hứng thú, say mê hơn khi học tập môn hình học 8.
2. Kiến nghị
Đối với những giáo viên dạy hình học 8: 
Trước mỗi một bài giảng phải nghiên cứu thật kỹ, tham khảo thêm sách giáo viên, chuẩn kiến thức kỹ năng để xác định đúng mục tiêu bài học, chọn ra phương pháp phù hợp cho từng bài và cố gắng tìm được càng nhiều cách giải quyết một bài tập càng tốt.
Trong khi dạy các tiết có các định lí, giáo viên cần phải cho học sinh xác định chính xác giả thiết, kết luận của định lý, vẽ hình minh hoạ và đặc biệt giáo viên phải để các em tự nêu ra các hướng chứng minh, các hướng giải quyết vấn đề.
Trong qúa trình ôn tập cũng cần phải chỉ rõ những sai lầm mà học sinh thường mắc phải, phân tích kỹ những lập luận sai lầm để học sinh lưu ý và rút kinh nghiệm trong khi làm bài tập. Sau đó giáo viên cần tổng hợp từng dạng bài tập và phương pháp giải cho từng dạng bài, để học sinh xác định được hướng và giải dễ dàng hơn.
Giáo viên cần thường xuyên trao đổi với đồng nghiệp đặc biệt là những đồng nghiệp đang cùng dạy toán 8, để học hỏi và rút ra kinh nghiệm cho bản thân, vận dụng phương pháp dạy học phù hợp với nhận thức của học sinh mình đang trực tiếp giảng dạy, không ngừng đổi mới phương pháp giảng dạy để nâng cao chất lượng dạy và học.
Trên đây là một số những phát hiện của tôi trong quá trình giảng dạy môn hình học, cho các em học sinh ở khối 8, mặc dù đã rất cố gắng khi nghiên cứu về vấn đề này, song vẫn không thể tránh hết được những thiếu sót. Vì vậy, tôi mong được sự quan tâm góp ý của đồng nghiệp để cho nội dung này được hoàn thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn!
 XÁC NHẬN CỦA 
THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Nga Sơn, ngày 17 tháng 4 năm 2017
 CAM KẾT KHÔNG COPY
Mai Thanh Hải
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Sách giáo khoa toán 8, tập 1& 2.(Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam )
Sách giáo viên toán 8, tập 1&2.(Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam )
Sách bài tập toán 8, tập 1&2.(Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam) 
Hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức kĩ năng môn toán trung học cơ sở (Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam)