SKKN Giúp học sinh phát triển năng lực sáng tạo qua việc mở rộng một bài toán ban đầu theo nhiều hướng khác nhau

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
PHÒNG GD&ĐT HOẰNG HÓA
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
 GIÚP HỌC SINH PHÁT TRIỂN
 NĂNG LỰC SÁNG TẠO QUA VIỆC MỞ RỘNG MỘT BÀI TOÁN BAN ĐẦU THEO NHIỀU HƯỚNG KHÁC NHAU
Người thực hiện: Nguyễn Thị Hạnh Nhân
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THCS Hoằng Giang
SKKN thuộc môn: Toán
THANH HOÁ, NĂM 2018
MỤC LỤC
MỤC LỤC
Nội dung
Trang
I. MỞ ĐẦU
Trang 2
Lí do chọn đề tài
Trang 2
Mục đích nghiên cứu
Trang 2
MỤC LỤC
Nội dung
Trang
I. MỞ ĐẦU
Trang 2
Lí do chọn đề tài
Trang 2
Mục đích nghiên cứu
Trang 2
Đối tượng nghiên cứu
Trang 2
Phương pháp nghiên cứu
Trang 2
Những điểm mới của SKKN
Trang 2
II. NỘI DUNG
Trang 3
1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh ngiệm
Trang 3
2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Trang 3
Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
Trang 4
4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
Trang 4
Xây dựng hệ thống bài toán 
Trang 6
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Trang 19
1. Kết luận
Trang 19
2. Kiến nghị
Trang 20
I. MỞ ĐẦU
	1. Lí do chọn đề tài:
	Trong quá trình giảng dạy nói chung và bồi dưỡng học sinh khá giỏi nói riêng thì việc định hướng, liên kết, mở rộng bài toán là một vấn đề rất quan trọng, nó không chỉ giúp cho học sinh nắm bắt kĩ kiến thức của một dạng toán cơ bản mà còn nâng cao tính khái quát hoá, đặc biệt hoá một bài toán để từ đó phát triển tư duy, nâng cao tính sáng tạo cho các em học sinh. Hơn nữa, việc liên kết, mở rộng các bài toán khác nhau, tìm mối liên hệ chung giữa chúng sẽ giúp cho học sinh hứng thú và phát triển năng lực tự học một cách khoa học khi học toán.	
	Qua nhiều năm giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi tôi được tiếp xúc với rất nhiều đối tượng học sinh và thấy rằng đa số học sinh không nhớ những bài đã làm thậm chí có những bài chỉ khác nhau bởi lời văn nhưng nội dung lại hoàn giống với bài toán cũ. Đặc biệt là các bài toán đảo và bài toán tổng quát học sinh thường không có kỷ năng nhận ra. Chính vì vậy, để giúp học sinh dễ dàng nhận ra các bài toán cũ, bài toán đảo, bài toán tổng quátđồng thời góp phần vào việc đổi mới phương pháp dạy học theo hướng tích cực và bồi dưỡng năng lực học toán cho học sinh, rèn luyện khả năng sáng tạo trong học toán cho học sinh cũng như muốn góp phần vào công tác bồi dưỡng đội ngũ học sinh giỏi Toán trường THCS Hoằng Giang nói riêng và học sinh toàn huyện Hoằng Hóa nói chung. Tôi xin được trình bày đề tài: “Giúp học sinh phát triển năng lực sáng tạo qua việc mở rộng một bài toán ban đầu theo nhiều hướng khác nhau” trong chương trình toán lớp 8.
	2. Mục đích nghiên cứu
	- Cung cấp kiến thức và phương pháp tự học cho học sinh khi học bộ môn Toán. 
	- Hình thành tính tích cực, tự giác, chủ động của học sinh. Khơi dậy tính sáng tạo và giải toán của học sinh.
	- Phát triển năng lực tự học, biết liên kết và mở rộng các bài toán từ đó giúp các em hình thành phương pháp giải.
	- Giúp học sinh hứng thú hơn trong học tập đặc biệt là bồi dưỡng học sinh giỏi.
	3. Đối tượng nghiên cứu
	Phương pháp hình thành tính tích cực, tự giác, biết liên kết và mở rộng các bài toán, bồi dưỡng năng lực tự học của học sinh.
	4. Phương pháp nghiên cứu
	- Nghiên cứu qua tài liệu: SGK, SGV, SBT toán 8. Nâng cao và phát triển toán 8 –Vũ Hữu Bình.
	- Nghiên cứu qua thực hành giải bài tập của học sinh.
	- Nghiên cứu từ thực tế giảng dạy.
	5. Những điểm mới của SKKN
	- Tập trung vào chương trình hình học lớp 8.
	- Bổ sung thêm một số bài toán đảo và mở rộng thêm một số bài toán khác.
II. NỘI DUNG
	1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
	Dạy toán là một hoạt động nghiên cứu về toán học của học sinh và giáo viên bao gồm day khái niệm, dạy định lý, giải toán..., trong đó giải toán là công việc quan trọng. Bởi giải toán là quá trình suy luận nhằm khám phá ra quan hệ lôgic giữa cái đã cho và cái chưa biết (giữa giả thiết và kết luận). Mặt khác chúng ta không thể dạy hết cho học sinh tất cả các bài tập cũng như các em không thể làm hết các bài tập đó. Vì vậy để tạo mối liên hệ giữa các bài tập, khi hướng dẫn cho học sinh giải một bài toán, giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh biết khai thác, mở rộng kết quả những bài toán đơn giản để xây dựng các bài toán mới liên quan. Điều này giúp học sinh rèn luyện tư duy lôgic, óc sáng tạo, tự tìm tòi, suy nghĩ ra những bài toán mới và có những cách giải hay. Như nhà toán học Đề Các đã nói: “Mỗi vấn đề mà tôi giải quyết đều sẽ trở thành ví dụ mẫu mực dùng để giải quyết vấn đề khác”. Từ đó giúp các em có cơ sở khoa học khi phân tích, định hướng tìm lời giải cho các bài toán khác và đặc biệt là củng cố cho các em lòng tin vào khả năng giải toán của mình.
	Để rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh, ngoài việc trang bị tốt hệ thống kiến thức cơ bản và rèn luyện kỹ năng giải bài tập, nhiệm vụ của người thầy ngoài việc cung cấp kiến thức, rèn luyện kỹ năng cho học sinh còn có một nhiêm vụ quan trọng đó là rèn luyện năng lực tư duy cho học sinh trong quá trình giảng dạy của mình. Nếu sau mỗi bài toán, người thầy hướng dẫn học sinh khai thác sâu các kết quả. Từ đó tìm ra được chuỗi bài toán từ dễ đến khó thì không những rèn luyện được năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh mà còn gây hứng thú làm cho giờ học trở nên hấp dẫn hơn, giúp cho kiến thức của học sinh có tính hệ thống, được mở rộng và sâu hơn. Trong quá trình giảng dạy ở trường cũng như bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi nhận thấy biện pháp trên rất hữu hiệu để bồi dưỡng năng lực tư duy theo định hướng đổi mới phương pháp dạy học của Bộ Giáo Dục và Đào tạo: "Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm chung của từng lớp học, môn học ...”(Trích “Một số vấn đề đổi mới phương pháp dạy học ở trường THCS"- Bộ Giáo dục và Đào tạo).
	2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm	 
 	Qua các năm giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi và tham khảo học hỏi các đồng nghiệp tôi nhận ra rằng: 	 	- Học sinh yếu toán (đặc biệt là môn hình học) là do kiến thức còn hổng, lại lười học, lười suy nghĩ, lười tư duy trong quá trình học tập.
	- Học sinh làm bài tập rập khuôn, máy móc và không nhớ những bài đã làm thậm chí có những bài chỉ khác nhau bởi lời văn nhưng nội dung lại hoàn toàn giống với bài toán cũ. Từ đó làm mất đi tính tích cực, độc lập, sáng tạo của bản thân.	 
	- Không ít học sinh thực sự chăm học nhưng chưa có phương pháp học tập phù hợp, chưa tích cực chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên hiệu quả học tập chưa cao.
	- Nhiều học sinh hài lòng với lời giải của mình, mà không tìm lời giải khác, không khai thác phát triển bài toán, sáng tạo bài toán nên không phát huy hết tính tích cực, độc lập, sáng tạo của bản thân.	
	3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
	- Qua những bài toán đơn giản trong chương trình, học sinh đã giải được, tôi gợi ý định hướng cho học sinh tư duy theo phương pháp như: tương tự, so sánh, đặc biệt hóa, khái quát hóa, ... để học sinh phát hiện, phát biểu lên những vấn đề mới, những bài toán mới. Tăng cường các hoạt động tìm tòi, quan sát ..., tăng cường sử dụng phương pháp quy nạp trong quá trình đi đến các giả thiết có tính khái quát.
	- Hình thành các tình huống có vấn đề hoặc vấn đề từ nội dung đang học và từ đó xây dựng kế hoạch hướng dẫn cho học sinh tự giải quyết vấn đề.
	- Trong các tiết luyện tập tôi thường khuyến khích học sinh dựa vào dữ kiện của bài toán mà khai thác phát triển thêm bài toán (với các bài toán có thể phát triển được). Do đó, học sinh được hình thành kỹ năng khai thác, phát triển bài toán. Từ đó, phát triển tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo cho học sinh.
	- Giúp học sinh sử dụng SGK và các tài liệu khác một cách có ý thức và chủ động theo các hướng nghiên cứu để giải quyết vấn đề.
	- Thay đổi các hình thức tổ chức học tập trong điều kiện cho phép, tạo điều kiện và không khí thích hợp để học sinh có thể tranh luận với nhau, với giáo viên, cũng như tự đánh giá và đánh giá lẫn nhau về kết quả tìm tòi, phát hiện.
	4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
	- Qua quá trình giảng dạy theo phương pháp tích cực hóa hoạt động của học sinh thông việc khai thác, phát triển một số bài toán trong chương trình một cách sáng tạo, tôi nhận thấy có một số kết quả đáng phấn khởi như sau : 
	- Học sinh được suy nghĩ nhiều hơn, thực hành nhiều hơn, làm cho học sinh hứng thú trong học tập môn Toán. Tạo cho các em có niềm tin vào năng lực của chính mình .
	- Học sinh được nêu vấn đề và tự mình giải quyết vấn đề . Từ đó học sinh tích cực, chủ động, sáng tạo trong học tập .
	- Bước đầu đã xây dựng cho học sinh phong cách nghiên cứu, tìm tòi, phát hiện kiến thức mới, điều hay qua từng bài tập. Các em thực sự được hưởng niềm vui khi tìm ra điều hay qua từng bài toán . 
	- Các em nắm chắc kiến thức cơ bản và vận dụng tốt vào bài tập. Đôi khi chính từ những bài toán mới phát triển có nhiều em đưa ra được nhiều cách giải hơn đối với bài toán ban đầu .
	- Rèn cho các em tính kiên trì không chịu lùi bước trước khó khăn, không 
chán nản trước bài tập khó. 
	- Góp phần nâng cao kiến thức và đổi mới phương pháp dạy học cho chính bản thân tôi .
	- Ở đây qua một số bài tập cụ thể trong SGK lớp 8 tôi xin nêu những gợi ý, để định hướng cho học sinh phát hiện vấn đề mới và giải quyết vấn đề như sau:
	Trước hết chúng ta bắt đầu với bài toán 46 trang 84 SGK Toán 8 tập 2.
Bài toán 1: (Bài toán gốc – Bài 46 Trang 84 SGK Toán 8 tập 2)
Trên hình vẽ hãy chỉ ra các tam giác đồng dạng. Viết các tam giác này theo thứ tự các đỉnh tương ứng và giải thích vì sao chúng đồng dạng?
Giải: 
Ta có:
+) AFH CDH(g-g) (1)
Vì: 
(đối đỉnh)
+) AFH ADB(g-g) (2)
Vì: 
 chung
+) CDH CFB(g-g) (3)
Vì: 
 chung
+) CDH ADB (bắc cầu từ (1) và (2)) (4)
+) AFH CFB(bắc cầu từ (1) và (3)) (5)
+) ADB CFB(bắc cầu từ (2) và (5)) (6)
* Hướng khai thác: 
Từ kết quả (1) của bài toán 1: AFH CDH 
Cho ta các bài toán sau:
Bài toán 1.1: Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao AD và CF cắt nhau tại H. 
CMR: HA.HD = HC.HF
Giải:
Ta có: AFH CDH(g-g) ( theo (1))
 (đpcm)
Yêu cầu học sinh viết các hệ thức tương tự:
(HA.HD = HB.HE; HB.HE = HC.HF)
Bài toán 1.2: Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H. CMR: HA.HD = HB.HE = HC.HF
(Giải tương tự như bài 1.1 – Học sinh tự làm)
*Khai thác bài toán: Bài toán trên đúng cho cả trường hợp tam giác ABC là tam giác vuông, tam giác tù.	
Bài toán 1.3: Cho tam giác nhọn ABC các đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng:AHC FHD
Giải: 
Từ kết quả (1) của bài toán 1: AFH CDH 
Xét AHC vàFHD có:
(đối đỉnh)
 (c/m trên)
AHC FHD (c.g.c)
Yêu cầu học sinh viết các cặp tam giác đồng dạng tương tự:
	(AHB EHD;	 BHC FHE)
* Hướng khai thác: Đối với học sinh khá giỏi có thể yêu cầu học sinh tiếp tục khai thác các kết quả trên để có các kết quả khác của bài toán, qua các câu hỏi gợi ý như: DH có là phân giác của góc EDF không? Vì sao? Kết quả tương tự là gì? Từ đó, có nhận xét gì về vị trí đặc biệt của điểm H đối với tam giác DEF?
Bài 1.4: Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng điểm H cách đều ba cạnh của tam giác DEF.
*Gợi ý: 
Từ AHB EHD (theo kết quả bài 1.3)	
(hai góc tương ứng)	
Từ AHC FHD (theo kết quả bài 1.3)
(hai góc tương ứng) 
Mà (Vì cùng phụ)
DA là phân giác của 
Chứng minh tương tự ta có: EB là phân giác của 
H là giao điểm 3 đường phân giác của DEF
 H cách đều ba cạnh của tam giác DEF.	(đpcm) 
* Hướng khai thác: Ta thấy H là giao điểm 3 đường phân giác của DEF
 FH hay FC là phân giác góc DFE mà AF FC 
AF là phân giác góc ngoài tại F của tam giác EDF. Ta lại có DA là phân giác góc FDEA là tâm đường tròn bàng tiếp trong góc D của tam giác EKD. Tương tự B; C lần lượt là tâm các đường tròn bàng tiếp trong góc E; góc F của tam giác DEF. Đối với học sinh giỏi lớp 8 ta có thể có bài toán sau:
Bài 1.5: Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng điểm A cách đều ba cạnh của tam giác DEF.
* Hướng khai thác: Gọi O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC. Kẻ OM vuông góc với AC; ON vuông góc với BC
 (M thuộc AC; N thuộc BC ) 
 M; N lần lượt là trung điểm của AC; BC 
MN là đường trung bình của tam 
giác ABC MN // AB và 
Mặt khác: 
OM // BH (cùng vuông góc với AC)
ON // AH (cùng vuông góc với BC) 
 các tam giác OMN và HBA đồng dạng AH = 2. ON
Bài 1.6: Cho tam giác nhọn ABC, gọi H là trực tâm, O là giao điểm ba điểm trung trực của tam giác. Chứng minh rằng khoảng cách từ điểm A đến trực tâm H của tam giác ABC gấp đôi khoảng cách từ O đến cạnh BC. 
* Hướng khai thác: 
Nếu gọi I là điểm đối xứng với điểm O qua N
mà AH = 2.ON (cmt) OI = AH.
Mặt khác OI // AH (cùng vuông góc với BC)
 tứ giác AHIO là hình bình hành
Ta có bài toán sau: 
Bài 1.7: Cho tam giác nhọn ABC, H là trực tâm, O là giao điểm ba điểm trung trực của tam giác. Gọi I là điểm đối xứng với O qua BC. Chứng minh rằng tứ giác AHIO là hình bình hành.
*Hướng khai thác: Từ kết quả chứng minh của bài toán 1.7:
 AH = 2.ON nếu gọi K là giao điểm 
của AO và HN thì ta cũng chứng minh được
 AK = 2.AO và HK = 2.HN
 N là trung điểm của HK. 
Mà N là trung điểm của BC do đó ta cũng có tứ giác BHCK là hình bình hành và BK vuông góc với AB tại B; CK vuông góc với AC tại C. 
Mặt khác nếu gọi G là giao điểm của AN và OH. Ta chứng minh được các tam giác AHG và NOG đồng dạng (g.g) 
 mà AH = 2.ON (cmt) 
 HG = 2.OG và AG = 2.NG.
 Từ AG = 2.NG G là trọng tâm của tam giác ABC. 
Như vậy, ta có thể phát biểu thành bài toán sau:
Bài 1.8: Cho tam giác nhọn ABC, H là trực tâm, O là giao điểm ba điểm trung trực của tam giác. Gọi N là trung điểm của BC, K là giao điểm của AO và HN. Chứng minh rằng:
a) N là trung điểm của HK.
b) Tứ giác BHCK là hình bình hành.
c) KB AB; KCAC.
d) Gọi G là giao điểm của AN và OH. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC.
* Hướng khai thác: Từ bài toán 1.8 ta có các bài toán đảo như sau:
Bài 1.9 (bài toán đảo 1): Cho tam giác nhọn ABC, H là trực tâm của tam giác, O là giao điểm ba đường trung trực và G là trọng tâm của tam giác. Chứng minh ba điểm H, O, G thẳng hàng. (Đường thẳng đi qua ba điểm H, O, G được gọi là đường thẳng Ơle của tam giác)
Bài 1.10 (bài toán đảo 2): Cho tam giác nhọn ABC, hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Gọi N là trung điểm của BC. Đường thẳng vuông góc với AB tại B và đường thẳng vuông góc với AC tại C cắt nhau tại K. Chứng minh rằng: H, N, K thẳng hàng.
* Hướng khai thác: Tiếp tục ta lại thấy tam giác BEC là tam giác vuông có EN là trung tuyến ứng với cạnh huyền BG nên EN = BC. 
Tương tự ta có FN = BC.
Từ đó suy ra EN = FN NEF cân tại N. Từ đây ta có bài toán:
Bài 1.11: Cho tam giác nhọn ABC, hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Gọi N là trung điểm của BC, M là trung điểm của EF. Chứng minh rằng NM EF.
* Hướng khai thác: Có thể yêu cầu học sinh tiếp tục khai thác kết quả H là giao điểm ba đường phân giác của tam giác DEF và các tam giác đồng dạng trên để suy ra những tam giác nào đồng dạng với nhau?
Bài 1.12: Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng: AFD EHD
*Gợi ý: 
Từ AHB EHD (cmt)
(hai góc tương ứng) 
(cmt)
AFD EHD (g.g)
Yêu cầu học sinh tìm các cặp tam giác đồng dạng tương tự: 
(AED FHD; BFE DHE; BED FEH
CEF DHF; CDF EHF)
*Hướng khai thác: Từ kết quả bài toán 1.12 ta cũng chứng minh được . Do đó để có dạng toán về chứng minh ba điểm thẳng hàng. Ta gọi N là điểm đối xứng với D qua AC thì ta chứng minh được các góc N, E, F thẳng hàng. Ta có bài toán sau:
Bài 1.13: Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H. Gọi M, N theo thứ tự là điểm đối xứng với D qua AB, AC. Chứng minh M, N, E, F thẳng hàng.
*Gợi ý: 
(cmt)	
EDN cân tại E (do N đối xứng với D qua AC)
 N, E, F thẳng hàng.	(*)
Chứng minh tương tự M, F, E thẳng hàng	(**)
Từ (*) và (**)M, N, E, F thẳng hàng.
*Hướng khai thác: Từ kết quả bài toán 1.13 MN = MF + FE + EN 
mà MF = DF, EN = DE (tính chất đối xứng trục) MN =DF + FE + DE
 Tức là độ dài đoạn MN bằng chu vi tam giác DEF. 
	- Nếu D, E, F là các điểm bất kỳ trên các cạnh BC, AC, AB thì M, F, E, N khôngthẳng hàng. Khi đó độ dài đường gấp khúc MFEN = MF + EF + EN hay độ dài đường gấp khúc MEDN = DF + EF + DE chu vi tam giác DEF nhỏ nhất khi M, F, E, N thẳng hàng. Khi đó D, E, F là chân các đường cao của tam giác ABC. Ta có bài toán cực trị hình học :
Bài 1.14: Cho tam giác nhọn ABC; K, D, E là các điểm bất kỳ trên các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng chu vi tam giác DEK nhỏ nhất khi K, D, E là chân các đường cao của tam giác ABC.
*Hướng khai thác: Nếu gọi I, K là hình chiếu của B, C trên đường thẳng EF thì ba tam giác vuông, , có đồng dạng với nhau không? Từ đó có thể lập được hệ thức nào liên hệ giữa diện tích của ba tam giác đó?
Bài 1.15: Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Gọi I, K theo thứ tự là hình chiếu của B, C trên DE. Gọi diện tích các tam giác HBC, HFE, BIF, CKE theo thứ tự là . Chứng minh rằng: 
Gợi ý:
Đặt . 
Ta có: (cùng phụ với )
( Vì theo kết quả bài 1.2)
 (g.g)
	(đpcm)
* Hướng khai thác: Từ kết quả (2) của bài toán 1: AFH ADB(g-g) 
Cho ta các bài toán sau:
Bài 2.1: Cho tam giác nhọn ABC các đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng:
Gợi ý:
Từ kết quả (2) của bài toán 1: AFH ADB(g-g)
Yêu cầu học sinh tìm các hệ thức tương tự: 
	(; )
* Hướng khai thác: Từ kết quả của bài toán 2.1 trên nếu cộng từng vế 2 đẳng thức với nhau ta được kết quả của bài toán sau:
Bài 2.2: Cho tam giác nhọn ABC các đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng: 
Gợi ý: 
Từ kết quả của bài 2.1 ta có:
Yêu cầu học sinh viết các hệ thức tương tự:
 (;	)
* Hướng khai thác: Từ kết quả của bài toán 2.1 trên nếu cộng vế với vế cả ba đẳng thức trên ta được kết quả của bài toán sau:
Bài 2.3: Cho tam giác nhọn ABC các đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng: 
Gợi ý: 
Theo kết quả bài 2.1 ta có:
Cộng vế với vế ba đẳng thức trên ta có:
	(đpcm)
Bài 2.4: Cho hình bình hành ABCO. Kẻ tại E, Kẻ tại F, Kẻ tại H, Kẻ tại K.
Tứ giác OHBK là hình gì?
Chứng minh: CE.CO=CB.CF
Chứng minh rằng: AB.AE+AO.AF=AC2
Gợi ý:
a) Dễ dàng chứng minh được tứ giác OHBK là hình bình hành.
b) Ta có: 
 (g.g)
Từ kết quả (2) của bài toán 1: 
AOH ACF(g-g) 	(*)
Tương tự ta có: 
ABK ACE(g-g) 	(**)
Từ (*) và (**) cộng vế với vế ta được:
	(***)
Xét AOH vàCBK có:
AO=BC(vì ABCO là hình bình hành)
(so le trong)
AOH =CBK(cạnh huyền-góc nhọn)
(cạnh tương ứng) Thay vào (***) ta có:
	(đpcm)
* Hướng khai thác: 
Từ kết quả (4): CDH ADB . Mà CB và DB có tổng không đổi nên ta có thể đưa về bài toán cực trị hình học như sau:
Bài 3.1: Cho 2 điểm B, C cố định. Điểm A di động sao cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Hai đường cao AD, CF cắt nhau tại H. Tìm GTLN của tích DH.DA.
Gợi ý:
CDH ADB (theo (4) bài toán 1)
Vậy DH.DA lớn nhất khi CB.DB lớn nhất.
Mà CB+DB = BC (không đổi) tích CB.DB lớn nhất khi 
GTLN của CB.DB bằng 
Vậy GTLN của DH.DA bằng khi và chỉ khi D là trung điểm của BC.
* Hướng khai thác: Từ kết quả (6):ADB CFB cho ta các bài toán sau:
Bài 4.1: Cho tam giác nhọn ABC các đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H. 
Chứng minh rằng: 
* Gợi ý: 
Ta có: ADB CFB ( theo (6) của bài toán 1)
Yêu cầu học sinh viết các hệ thức tương tự:
(; )
Bài 4.2: Cho tam giác nhọn ABC các đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H. 
Chứng minh rằng: 
Gợi ý:
Từ kết quả bài 3.1: 	(*)
Từ kết quả bài 2.1: 	(**)
Từ (*) và (**)
Yêu cầu học sinh viết các hệ thức tương tự:
(; )
* Hướng khai thác: Từ kết quả của bài toán 4.1 trên nếu cộng từng vế 2 đẳng thức với nhau ta được kết quả của bài toán sau:
Bài 4.3: Cho tam giác nhọn ABC các đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H. 
Chứng minh rằng: 
Gợi ý:
Từ kết quả bài 2.1.1: 	(*)
Từ kết quả bài 3.2:	(**)
	(***)
Thay (**) (***) vào (*) ta có: (đpcm)
Yêu cầu học sinh viết các hệ thức tương tự:
(; )
* Hướng khai thác: Từ kết quả (6) của bài toán 1: ADB CFB . Vậy có nhận xét gì về hai tam giác BDF và BA