SKKN Giúp học sinh lớp 11 vận dụng cấp số nhân giải một số bài toán thực tế

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT ĐẶNG THAI MAI
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
GIÚP HỌC SINH LỚP 11 VẬN DỤNG CẤP SỐ NHÂN GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN THỰC TẾ
Người thực hiện: Lê Thị Hạnh
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực: Toán học
THANH HOÁ NĂM 2017
MỤC LỤC
I. MỞ ĐẦU
1.1.	Lý do chọn đề tài 	2 
1.2.	Mục đích nghiên cứu 	3
1.3.	Đối tượng nghiên cứu 	3 
1.4.	Phương pháp nghiên cứu	4
II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU	5
2.1.	Cơ sở lí luận	5
2.2. Thực trạng	5
2.2.1. Giới thiệu khái quát về trường	5
2.2.2. Thực trạng trước khi nghiên cứu	6
2.3. Các biện pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề	6
2.3.1. Cơ sở lý thuyết	7
2.3.2. Biện pháp đã sử dụng	7
2.3.2.1. Bài tập 	7
 Dạng 1: Sử dụng công thức tổng quát	7
 Dạng 2: Sử dụng công thức tổng n số hạng đầu của cấp số nhân	12
2.3.2.2. Bài toán vận dụng	14
2.4. Hiệu quả sáng kiến kinh nghiệm	14
III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ	17
3.1. Kết luận	17
3.1. Kiến nghị	17
TÀI LIỆU THAM KHẢO
I. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Nghị quyết hội nghị Trung ương VIII khóa XI chỉ đạo: “Giáo dục và đạo tạo là Quốc sách hàng đầu, là sự nghiệp của Đảng và Nhà nước và của toàn dân. Đầu tư cho giáo dục là đầu tư phát triển, được ưu tiên đi trước cho các chương trình, kế hoạch phát triển KT-XH; phát triển giáo dục và đạo tạo là nâng cao dân trí, đạo tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài. Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất người học. Học đi đôi với hành, lý luận gắn với thực tiễn, giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình và giáo dục xã hội”.
Nghị quyết hội nghị Trung ương VIII khóa XI đề ra mục tiêu: “Đối với giáo dục phổ thông tập trung phát triển trí tuệ, thể chất, hình thành phẩm chất, năng lực công dân, phát hiện và bồi dưỡng năng khiếu, định hướng nghề nghiệp cho học sinh. Nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, chú trọng giáo dục lý tưởng truyền thống đạo đức, lối sống, ngoại ngữ, tin học, năng lực và kỹ năng thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn, phát triển khả năng sáng tạo và tự học, khuyến khích học tập suốt đời, hoàn thành đào tạo giáo dục phổ thông giai đoạn sau 2015”. 
Đào tạo những con người phát triển toàn diện, có tư duy sáng tạo, có năng lực thực hành giỏi, có khả năng đáp ứng đòi hỏi ngày càng cao trước yêu cầu đẩy mạnh công nghiệp hóa – hiện đại hóa đất nước gắn liền với phát triển nền kinh tế tri thức và xu hướng toàn cầu hóa là nhiệm vụ cấp bách đối với ngành giáo dục nước ta hiện nay. Để thực hiện được nhiệm vụ đó thì sự nghiệp giáo dục cần được đổi mới. Cùng với những thay đổi về nội dung, cần có những đổi mới căn bản về tư duy giáo dục và phương pháp dạy học. 
Toán học có liên hệ mật thiết với thực tiễn và có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ cũng như trong sản xuất và đời sống với vai trò đặc biệt. Toán học trở nên thiết yếu đối với mọi ngành khoa học, góp phần làm cho đời sống xã hội ngày càng hiện đại và văn minh hơn. Môn Toán với vai trò cung cấp kiến thức kỹ năng, phương pháp góp phần xây dựng nền tảng văn hóa phổ thông của con người lao động trong thời kỳ đổi mới với việc thực hiện nguyên lý giáo dục: “Học đi đôi với hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình và xã hội”, cần phải quán triệt trong mọi trường hợp để hình thành mối quan hệ mật thiết giữa Toán học và cuộc sống. Tuy nhiên, những ứng dụng của Toán học vào thực tiễn trong chương trình SGK, cũng như trong các đề thi THPT Quốc Gia của những năm trước đây của môn Toán chưa đề cập nhiều. Đồng thời những bài toán có nội dung liên hệ trực tiếp với đời sống lao động và sản xuất còn được trình bày rất ít trong chương trình Toán phổ thông. 
Mặt khác, bắt đầu từ năm học 2016-1017 kì thi THPT Quốc gia sử dụng hình thức thi trắc nghiệm cho hầu hết các môn học trong đó có môn Toán thực chất là một cuộc cách mạng trong đánh giá để thực hiện Nghị quyết 29-NQ/TW năm 2013 về đổi mới căn bản và toàn diện giáo dục, phù hợp với xu thế của thời đại ngày nay khi kiểm tra, đánh giá trên máy tính và online dần phổ biến trong kỷ nguyên số. Tuy nhiên nó cũng là cái khó khăn trước mắt cho giáo viên dạy Toán( vì trước đây các thầy cô đang dạy học sinh theo hướng làm bài tự luận). Để giúp giáo viên giải quyết khó khăn này Bộ Giáo dục và Đào tạo đã giới thiệu các đề thi minh họa, trong cấu trúc của đề thi đó có nhiều câu về bài toán thực tế. Vào năm học 2017-2018 chương trình thi THPT Quốc Gia gồm cả hai khối lớp 11 và 12 tiến tới nội dung thi toàn cấp. Vì vậy, việc tăng cường các bài toán có nội dung thực tiễn vào quá trình dạy học môn Toán ngay từ lớp 11 năm học 2016-2017 là rất cần thiết và có vai trò rất quan trọng trong nhiệm vụ giáo dục của nước ta hiện nay. 
Nếu xây dựng được hệ thống các bài toán có nội dung thực tiễn ứng dụng
kiến thức Đại số và Giải tích lớp 11 THPT và có phương pháp tổ chức dạy
học sinh giải các bài toán này một cách thích hợp thì góp phần gây hứng thú trong học tập củng cố kiến thức Đại số và Giải tích lớp 11 THPT, thấy được ứng dụng thực tế của Toán học, qua đó giúp học sinh hiểu rõ được mối quan hệ chặt chẽ giữa Toán học và thực tiễn. 
Trong chương trình Toán học 11 chương dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân được phân phối thời gian ít đặc biệt với bài cấp số nhân chỉ có hai tiết nhưng lại có rất nhiều bài toán thực tế sử dụng phần này để giải. Do đó, tôi đã lựa chọn đề tài:“Giúp học sinh lớp 11 vận dụng cấp số nhân giải một số bài toán thực tế’’.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Ứng dụng kiến thức cấp số nhân trong chương trình Đại số và Giải tích lớp 11 để xây dựng hệ thống bài tập có nội dung thực tế giúp học sinh củng cố kiến thức phần cấp số nhân, giải quyết được các bài tập có liên quan, đồng thời góp phần tạo hứng thú học tập cho học sinh, giúp học sinh thấy được mối quan hệ giữa Toán học với thực tiễn.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Trong đề tài này, đối tượng nghiên cứu của tôi là khai thác một số bài toán có nội dung thực tiễn liên quan đến cấp số nhân trong chương trình Đại số và Giải tích 11.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Để trình bày sáng kiến kinh nghiệm này, tôi đã sử dụng phối kết hợp nhiều phương pháp như: nghiên cứu tài liệu, thuyết trình, quan sát, điều tra cơ bản, thực nghiệm so sánh, phân tích kết quả thực nghiệm,  phù hợp với môn học thuộc lĩnh vực Toán học.
II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
2.1. Cơ sở lý luận
Toán học có nguồn gốc thực tiễn. Toán học là khoa học nghiên cứu về các quan hệ số lượng, hình dạng và lôgíc trong thế giới khách quan. Toán học là khoa học nghiên cứu về cấu trúc số lượng mà người ta có thể trang bị cho một tập hợp bằng một hệ tiên đề. Những quan hệ về số lượng được hiểu theo một nghĩa rất tổng quát và trừu tượng. Toán học không chỉ bắt nguồn từ thực tiễn mà đồng thời nó cũng có khả năng phản ánh thực tiễn một cách rất đa dạng, toàn diện. Toán học nghiên cứu những mối quan hệ số lượng và hình dạng không gian của thế giới khách quan. Toán học có vai trò rất quan trọng và đựợc ứng dụng trong rất nhiều lĩnh vực của khoa học tự nhiên, khoa học xã hội, công nghệ, kinh tế, y học, vật lý, khí tượng thủy văn, công nghệ thông tin, khai thác dầu khí, quân sự, kỹ thuật mật mã, thiên văn học, tài chính ngân hàng
Theo Từ điển Tiếng Việt, với nghĩa danh từ, “thực tiễn” (cũng đồng nghĩa
với "thực tế") là "tổng thể nói chung những gì đang tồn tại, đang diễn ra trong tự nhiên và trong xã hội, về mặt có quan hệ đến đời sống con người", với nghĩa động từ “thực tiễn” được hiểu là "những hoạt động của con người, trước hết là lao động sản xuất, nhằm tạo ra những điều kiện cần thiết cho sự tồn tại của xã hội (nói tổng quát)" Như vậy, thực tế là tồn tại khách quan, có thể chưa có sự tác động của con người nhưng thực tiễn là có hoạt động của con người cải tạo, biến đổi thực tế nhằm một mục đích nào đó.
Vận dụng toán học vào thực tiễn thực chất là vận dụng toán học vào giải
quyết một tình huống thực tế; tức là dùng những công cụ toán học thích hợp để tác động, nghiên cứu khách thể nhằm mục đích tìm một phần tử chưa biết nào đó, dựa vào một số phần tử cho trước trong khách thể hay để biến đổi, sắp xếp những yếu tố trong khách thể, nhằm đạt một mục đích đã đề ra. 
2.2. Thực trạng
2.2.1. Giới thiệu khái quát về trường
Trường THPT Đặng Thai Mai được thành lập ngày: 20/08/2001, theo quyết định số: 2109/QĐ-UB của Chủ tịch UBND Tỉnh Thanh Hoá. Trường nằm ven quốc lộ 1A, thuộc địa bàn xã Quảng Bình, huyện Quảng Xương, tỉnh Thanh Hóa, nơi đa số phụ huynh học sinh làm nông nghiệp, điều kiện kinh tế còn gặp nhiều khó khăn. Ban đầu trường hoạt động theo mô hình trường bán công, chất lượng đầu vào của học sinh thấp, chủ yếu là học sinh trung bình, yếu. Mặc dù ngày 31 tháng 5 năm 2010 chủ tịch tỉnh Thanh hóa có quyết định chuyển đổi trường THPT Đặng Thai Mai sang hình thức công lập nhưng chất lượng đầu vào của học sinh vẫn còn thấp so với các trường trong huyện.
Trong những năm gần đây nhà trường cũng đã có nhiều thành tích nổi bật như: Năm học 2013 – 2014 được UBND Tỉnh Thanh Hóa tặng bằng khen - QĐ số 3645/QĐ- UBND, ngày 30/10/2014. Năm học 2014 - 2015 đón cờ thi đua của UBND Tỉnh về đơn vị dẫn đầu, QĐ số 3335/QĐ UBND tỉnh Thanh Hoá ngày 1/9/2015, năm học 2015-2016 nhiều cá nhân được công nhận chiến sĩ thi đua cơ sở và Giám đốc Sở tặng giấy khen.
2.2.2 Thực trạng trước khi nghiên cứu
 Ứng dụng toán học vào thực tế được coi là vấn đề quan trọng và cần thiết trong dạy học ở trường phổ thông. Tuy nhiên việc rèn luyện vận dụng toán học vào thực tế cho học sinh hiện nay chưa được đặt đúng mức, chưa đáp ứng được yêu cầu cần thiết.
 Trong thực tế dạy học hiện nay, giáo viên thường chỉ quan tâm chú trọng việc hoàn thành những kiến thức lý thuyết theo quy định trong chương trình sách giáo khoa mà chưa quan tâm đúng mức đến việc liên hệ với thực tiễn nên nhiều học sinh còn lúng túng bỡ trước những bài toán có nội dung thực tế. 
Giảng dạy Toán “còn thiên về sách vở, hướng việc dạy Toán về việc giải nhiều loại bài tập hầu hết không có nội dung thực tế”. Việc dạy học Toán ở trường phổ thông nói chung hiện nay đang rơi vào tình trạng bị coi nhẹ thực hành và ứng dụng toán học vào đời sống. Việc khai thác mối liên hệ giữa Toán học và thực tế còn yếu.
Ở trường tôi với chất lượng đầu vào rất thấp, tư duy tự nhiên đang ở mức trung bình là chủ yếu nên việc học Toán còn gặp nhiều khó khăn đặc biệt là đối với bài toán thực tế.
Theo tôi nguyên nhân là:
Thứ nhất, sách giáo khoa hiện nay: số lượng bài tập mang nội dung thuần túy Toán học cũng như kiến thức dành cho mỗi tiết học khá nặng khiến cho giáo viên vất vả trong việc hoàn thành kiến thức bài giảng. Số lượng bài toán, chất lượng và quy mô bài toán ứng dụng vào thực tiễn còn rất ít ở các chủ đề môn Toán trong giảng dạy. 
Thứ hai, khả năng liên hệ kiến thức Toán học vào thực tiễn của giáo viên còn gặp nhiều khó khăn. 
Từ thực trạng trên tôi nhận thấy cần thiết xây dựng một hệ thống bài toán có nội dung thực tế và vận dụng vào dạy học Đại số và Giải tích 11nhằm đáp ứng nguyên lý giáo dục “ học đi đôi với hành”, “lý luận gắn liền với thực tiễn”. 
2.3. Các biện pháp sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1. Cơ sở lý thuyết
2.3.1.1. Định nghĩa cấp số nhân
Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn ), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó nhân với một số không đổi . Số được gọi là công bội của cấp số nhân.
Nếu là cấp số nhân với công bội , ta có công thức truy hồi 
 (1)
Đặc biệt : Khi thì cấp số nhân có dạng 
 Khi thì cấp số nhân có dạng 
 Khi thì cấp số nhân có dạng 
2.3.1.2. Số hạng tổng quát
Nếu cấp số nhân có số hạng đầu và công bội thì số hạng tổng quát được xác định bởi công thức : 
2.3.1.3. Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân 
Cho cấp số nhân với công bội . Đặt .
Khi đó 
2.3.2. Biện pháp sử dụng 
Để giúp học sinh có thể giải được các bài tập thực tế ứng dụng cấp số nhân phần Đại số Giải tích 11 một cách dễ dàng tôi đã tiến hành các bước sau:
Bước 1: Khái quát lại những kiến thức lí thuyết cơ bản có liên quan
Bước 2: Đưa ra các bài tập cho các tình huống thực tế điển hình cho từng dạng và yêu cầu học sinh giải dưới dạng tự luận (có hướng dẫn học sinh dùng máy tính bỏ túi)
Bước 3: Đưa ra hệ thống câu hỏi dạng bài tập trắc nghiệm để học sinh vận dụng củng cố kiến thức.
Bước 4: Kiểm nghiệm kết quả bằng hình thức kiểm tra 15 phút với đề trắc nghiệm.
2.3.2.1. Bài tập 
Dạng 1: Sử dụng công thức tổng quát 
Ở dạng này tôi đưa ra một số bài tập minh họa sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân.
Bài 1: Tục truyền rằng nhà Vua Ấn Độ cho phép người phát minh ra bàn cờ Vua được lựa chọn một phần thưởng tùy theo sở thích. Người đó chỉ xin nhà thưởng cho số thóc bằng số thóc được đặt lên ô của bàn cờ như sau: Đặt lên ô thứ nhất của bàn cờ một hạt thóc, tiếp đến ô thứ hai hai hạt thóc cứ như vậy, số thóc ở ô sau gấp đôi số thóc ở ô liền trước cho đến ô cuối cùng. Tính số hạt thóc ở ô thứ .
Hướng dẫn: 
 Nếu gọi là số hạt thóc lần lượt trên ô bàn cờ thì ta có nên ta có cấp số nhân có số hạng đầu bằng 1 và công bội bằng . Từ đó ta sẽ tính được số hạt thóc ở ô thứ 
Giải 
Ta có cấp số nhân có số hạng đầu 
Số hạt thóc ở ô thứ là: 
Bài 2: Một tế bào của một quần thể trong điều kiện nuôi cấy thích hợp cứ 20 phút lại phân đôi một lần. Hỏi một tế bào sau mười lần phân chia sẽ thành bao nhiêu tế bào ?
Hướng dẫn:
	Ban đầu ta có một tế bào
Sau một lần phân chia (một chu kỳ 20 phút ), thì tế bào gốc phân chia thành hai tế bào
Sau hai lần phân chia thì ta có 4 tế bào 
Giải:
Ta có cấp số nhân có 
Số tế bào nhận được sau mười lần phân chia là .
Bài 3: Chu kì bán rã của nguyên tố phóng xạ Poloni là ngày (nghĩa là sau ngày khối lượng của nguyên tố đó chỉ còn lại một nửa). Tính khối lượng còn lại của gam Poloni sau ngày (khoảng sau năm). 
Giải:
 Gọi (gam) là khối lượng còn lại của gam Poloni sau n chu kì bán rã.
Ta có gồm chu kì bán rã.
Theo đề bài ta có cấp số nhân với 
nên (gam).
Điều đáng quan tâm ở phần này là ta có thể sử dụng cấp số nhân để giải bài toán lãi ngân hàng 
 Giả sử bạn có một khoản tiền A đồng gửi vào một ngân hàng nào đó với lãi suất cố định là r trong một năm. Sau một năm bạn sẽ có cả gốc lẫn lãi là . Cứ sau mỗi năm số tiền của bạn sẽ được nhân thêm bội số . Như vậy số tiền sau mỗi năm mà bạn có lập thành một cấp số nhân với . 
 Gọi là số tiền bạn có sau n năm thì : .(1)
Bài 4 
Một ngân hàng quy định như sau đối với việc gửi tiền tiết kiệm theo thể thức có thời hạn: “Khi kết thúc kì hạn gửi tiền mà người gửi không đến rút tiền thì toàn bộ số tiền (bao gồm cả vốn lẫn lãi) sẽ được chuyển gửi tiếp với kì hạn như kì hạn mà người gửi đã gửi”.
Giả sử có một người gửi 10 triệu đồng với kì hạn một tháng vào ngân hàng nói trên và giả sử lãi suất của loại kì hạn này là .
a) Hỏi nếu 6 tháng sau, kể từ ngày gửi, người đó mới đến ngân hàng để rút tiền thì số tiền rút được (gồm cả vốn và lãi) là bao nhiêu?
b) Hỏi sau một năm, kể từ ngày gửi, người đó đến ngân hàng để rút tiền thì số tiền được bao nhiêu?
Hướng dẫn
Gọi là số tiền người đó rút được sau tháng, kể từ ngày gửi ( ).
Khi đó theo giả thuyết ta có: 
Ta thấy là cấp số nhân có:
Vậy số tiền mà người gửi nhận được sau tháng được là :
Giải:
a) Sau 6 tháng số tiền người đó rút được là :
 đồng.
b) Sau 1 năm (12 tháng) số tiền người đó nhận được là:
 đồng.
Cấp số nhân còn được sử dụng để tính toán các bài toán của chăn nuôi như sau:
Trong chăn nuôi, thông thường người ta cần giải quyết hai bài toán sau:
+ Tính số lượng gia súc sau mỗi kỳ chăn nuôi từ tỉ lệ tăng đàn từng kỳ và số gia súc ban đầu .
+ Tính số gia súc đầu kỳ các năm về trước nếu biết số lượng đàn gia súc và tỉ lệ tăng đàn hàng năm.
Bài 5: Qua điều tra chăn nuôi bò ở huyện A cho thấy ở đây trong nhiều năm qua, tỉ lệ tăng đàn bò hàng năm là . Tính xem, sau một kế hoạch 3 năm, với số lương đàn bò thống kê được ở huyện này vào ngày 1/1/2015 là 18.000 con thì với tỉ lệ trên đây đàn bò sẽ đạt đến bao nhiêu con?
Thông thường bài toán sẽ được giải quyết như sau:
Sau một năm đàn bò ở huyện này tăng được là: (con)
Nên tổng số bò sau một năm là (con)
Sau 2 năm đàn bò lại tăng thêm (con)
Nên tổng số bò sau năm thứ hai là (con)
Sau 3 năm đàn bò lại tăng thêm (con)
Nên tổng số bò sau năm thứ ba là (con)
Bài toán được giải quyết xong. Tuy nhiên ta nhận thấy nếu yêu cầu bài toán là tính số con của đàn bò sau nhiều năm thì cách tính đi từng bước sẽ rất vất vả, chậm và dễ bị nhầm lẫn. Bằng kiến thức về cấp số nhân ta tìm cách tính tổng quát hơn.
Gọi là tổng số gia súc thống kê ban đầu; là tỉ lệ tăng hàng năm và là tổng số đàn gia súc sau năm phát triển 
Ta có : 
Số gia súc sau một năm phát triển là : 
Số gia súc sau hai năm phát triển là : 
Số gia súc sau ba năm phát triển là : 
Như vậy, tổng số đàn gia súc sau mỗi năm phát triển lập thành cấp số nhân với công bội và 
Số gia súc sau năm phát triển là : 
Vậy (2)
Áp dụng công thức này vào bài toán trên ta có thể tính được số bò ở huyện A sau 3 năm phát triển là :
 ( con)
Bài 6: Kết quả kiểm kê vào cuối năm , cho biết số đàn bò ở huyện A là con và mấy năm qua tỉ lệ tăng đạt mỗi năm. Hãy tính xem vào đầu năm (cách đó ba năm về trước) đàn bò ở đây là bao nhiêu con? 
Thông thường bài toán được giảỉ bằng cách tính “lùi” số bò đầu năm 2016, đầu năm 2015,đầu năm 2014. Tuy nhiên ta thấy, gọi là tổng số đàn gia súc thống kê ban đầu năm 2014; là tỉ lệ tăng hàng năm và là tổng số đàn gia súc sau n năm phát triển. Tổng số đàn gia súc sau mỗi năm phát triển lập thành cấp số nhân.
Ta có công thức 
Mà 
nên (con)
Với bài toán dân số ta vận dụng cấp số nhân thực hiện rất đơn giản và dễ hiểu
Bài 7:Theo cục thống kê năm 2003 Việt Nam có 80.902.400 người và tỉ lệ tăng dân số hàng năm là 1,47%. Nếu tỉ lệ tăng dân số hàng năm không đổi thì năm 2016 Việt Nam sẽ có số dân là bao nhiêu?
Hướng dẫn:
Gọi là dân số năm thống kê 
 là tỉ lệ tăng hàng năm 
 là tổng số dân sau n năm 
Ta có : 
Tổng số dân sau một năm là :
Tổng số dân sau hai năm là : 
Tổng số dân sau ba năm là: 
Như vậy, tổng số dân sau mỗi năm lập thành cấp số nhân với công bội và 
Tổng số dân sau năm là : 
Vậy (3)
Giải:
Dân số Việt Nam năm 2016 là: 
(người)
Bài 8 :Tỉ lệ giảm dân số hàng năm của nước Nga là 0,5%. Năm 1998 dân số nước này là 146.861.000 người. Hỏi đến năm 2008 dân số nước này là bao nhiêu?
Hướng dẫn :
Cấp số nhân ta sử dụng sẽ có công bội 
Dân số của Nga giảm sau năm
Giải:
Dân số của Nga năm 2008 là:
(người)
Dạng 2: Sử dụng công thức tổng số hạng đầu của cấp số nhân 
Bài 9: Câu chuyện 1: “Một phần thưởng thú vị”
Một người nông dân được nhà Vua thưởng cho một số tiền trả trong 30 ngày và cho phép anh ta chọn một trong hai phương án : 
Theo phương án 1, nhà Vua cho anh ta nhận 1 xu trong ngày thứ nhất, 2xu trong ngày thứ hai, 4 xu trong ngày thứ ba,.. số tiền được nhận sau mỗi ngày tăng gấp đôi. Còn theo phương án 2: nhà Vua cho anh ta nhận ngày thứ nhất 1 đồng, ngày thứ hai 2mđồng, ngày thứ ba 3 đồng,Mỗi ngày số tiền tăng thêm một đồng. Biết 1 đồng bằng 12 xu. Hỏi phương án nào có lợi cho người nông dân?
Theo cách tính đơn giản ta tìm số tiền mà người nông dân nhận được sau 30 ngày .
Theo phương án một, số tiền thưởng là tổng của cấp số nhân có nên xu 
Theo phương án hai, số tiền thưởng là tổng của cấp số cộng có nên đồng hay xu.
Vậy người nông dân nên chọn phương án nào có lợi hơn?
Câu chuyện 2: 
 “Một hào đổi lấy năm xu” 
 Tương truyền, vào một ngày nọ, có một nhà toán học đến gặp một nhà tỉ phú và đề nghị được “bán tiền” cho ông theo công thức sau:
Liên tục trong 30 ngày, mỗi ngày nhà toán học “bán” cho nhà tỉ phú 10 triệu đồng với giá một đồng ở ngày đầu tiên và kể từ ngày thứ hai, mỗi ngày nhà tỉ phú phải “mua” với giá gấp đôi của ngày hôm trước. Không một chút đắn đo, nhà tỉ phú đồng ý ngay tức thì, lòng thầm cảm ơn nhà toán học đã mang đến cho ông ta một