SKKN Giúp học sinh lớp 10 giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ

MỤC LỤC
	PHẦN 1. MỞ ĐẦU................................................................................1
1. Lí do chọn đề tài..........................................................................................1
2. Mục đích nghiên cứu...................................................................................1
3. Đối tượng nghiên cứu..................................................................................1
4. Phương pháp nghiên cứu............................................................................1
	PHẦN 2. NỘI DUNG............................................................................3
I. Cơ sở lí luận..................................................................................................3
II. Thực trạng...................................................................................................3
III. Giải pháp thực hiện...................................................................................4
1. Các dạng phương trình vô tỉ thường gặp giải bằng 
phương pháp đặt ẩn phụ.................................................................................4
2. Dùng ẩn phụ để giải phương trình vô tỉ.....................................................9
IV. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.....................................................16
PHẦN 3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ.......................................................17
1. Kết luận.......................................................................................................17     
2. Kiến nghị.....................................................................................................17
PHẦN 1. MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài.	
	Trong chương trình môn Đại số 10, học sinh đã được tiếp cận với phương trình chứa ẩn dưới dấu căn (phương trình vô tỉ). Trong thực tế các bài toán giải phương trình vô tỉ rất phong phú và đa dạng. Đặc biệt, trong các đề thi Đại học - Cao đẳng - Học sinh giỏi các em sẽ gặp một lớp các bài toán về phương trình vô tỉ mà chỉ có một số ít các em biết phương pháp giải nhưng trình bày còn lủng củng, chưa được gọn gàng sáng sủa, thậm chí còn mắc một số sai lầm không đáng có trong khi trình bày hoặc các em không biết áp dụng phương pháp nào để giải.
	Trong SGK Đại số lớp 10, phần phương trình vô tỉ chỉ là một mục nhỏ trong bài: "Một số phương trình và bất phương trình quy về bậc hai" của chương IV. Thời lượng dành cho phần này rất ít, các ví dụ và bài tập trong phần này cũng hạn chế và chỉ ở dạng cơ bản. Nhưng trong thực tế, học sinh gặp nhiều phương trình vô tỉ, đặc biệt là trong các đề thi Đại học - Cao đẳng - Học sinh giỏi luôn có bài tập về giải phương trình vô tỉ nhưng để biến đổi và giải chính xác phương trình vô tỉ đòi hỏi học sinh phải nắm vững nhiều kiến thức, phải có kĩ năng biến đổi toán học nhanh nhẹn và thuần thục. 
	Trong SGK Đại số lớp 10 chỉ đưa ra dạng cơ bản: , phần bài tập cũng chỉ nêu những bài tập nằm trong dạng này. Tuy nhiên, trong thực tế phương trình vô tỉ rất đa dạng và phong phú. Trong quá trình học Toán ở lớp 11 và 12, khi gặp phải những bài toán đưa về phương trình và bất phương trình vô tỉ, đa số học sinh đều lúng túng, thường giải sai và thậm chí không biết cách giải. Đặc biệt, các đề thi Đại học - Cao đẳng - Học sinh giỏi các em sẽ gặp phương trình vô tỉ ở nhiều dạng khác nhau chứ không chỉ nằm trong khuôn khổ dạng trên. Vì vậy, việc giúp cho các em có kĩ năng tốt, cũng như cung cấp thêm các phương pháp giải phương trình vô tỉ là rất cần thiết nhằm đáp ứng nhu cầu thực tế hiện nay. Một điều rất quan trọng là trong quá trình giải phương trình vô tỉ thì phương pháp đặt ẩn phụ là một trong những phương pháp hữu hiệu nhất - Từ thực tiễn giảng dạy khối lớp 10 ở trường THPT 4 Thọ Xuân cùng với kinh nghiệm trong thời gian giảng dạy. Tôi xin đưa ra đề tài: "Giúp học sinh lớp 10 giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ".
 - Qua nội dung của đề tài này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh các dạng phương trình vô tỉ thường gặp giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ và đặc biệt là định hướng cho học sinh khi nào dùng ẩn phụ để giải phương trình vô tỉ.
2. Mục đích nghiên cứu
Thiết kế, xây dựng cách giải các phương trình vô tỉ bằng cách đặt ẩn phụ. 
3. Đối tượng nghiên cứu.
	 - Phương trình vô tỉ (Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn). 
4. Phương pháp nghiên cứu
4.1. Phương pháp nghiên cứu lý thuyết
- Nghiên cứu tài liệu và các công trình nghiên cứu về phương trình vô tỉ.
- Nghiên cứu cơ sở lý luận về các phương pháp giải phương trình vô tỉ bằng cách đặt ẩn phụ.
4.2. Phương pháp chuyên gia
Gặp gỡ, trao đổi, tiếp thu ý kiến của các đồng nghiệp để tham khảo ý kiến làm cơ sở cho việc nghiên cứu đề tài.
4.3. Phương pháp thực tập sư phạm
Thực nghiệm sư phạm ở trường THPT 4 Thọ Xuân, tiến hành theo quy trình của đề tài nghiên cứu khoa học giáo dục để đánh giá hiệu quả của đề tài nghiên cứu.
4.4. Phương pháp thống kê toán học
Sử dụng phương pháp này để thống kê, xử lý, đánh giá kết quả thu được.
 PHẦN 2. NỘI DUNG 
I. Cơ sở lí luận.
	 Nhiệm vụ trung tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của thầy và hoạt động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài”. Giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ thông đặc biệt là bộ môn toán học rất cần thiết không thể thiếu trong đời sống của con người. Môn Toán là một môn học tự nhiên quan trọng và khó với kiến thức rộng, đa phần các em ngại học môn này. 
	Muốn học tốt môn toán các em phải nắm vững những tri thức khoa học ở môn toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng dạng bài tập. Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic và cách biến đổi. Giáo viên cần định hướng cho học sinh học và nghiên cứu môn toán học một cách có hệ thống trong chương trình học phổ thông, vận dụng lý thuyết vào làm bài tập, phân dạng các bài tập rồi tổng hợp các cách giải.
	Do vậy, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đính giúp cho học sinh THPT vận dụng và tìm ra phương pháp giải khi gặp các bài toán giải phương trình vô tỉ.
 Trong sách giáo khoa Đại số 10 chỉ nêu phương trình dạng 
= g(x) và trình bày phương pháp giải bằng cách biến đổi hệ quả, trước khi giải chỉ đặt điều kiện f(x) 0 . Nhưng chúng ta nên để ý rằng đây chỉ là điều kiện đủ để thực hiện được phép biến đổi cho nên trong quá trình giải học sinh dễ mắc sai lầm khi lấy nghiệm và loại bỏ nghiệm ngoại lai vì nhầm tưởng điều kiện f(x) 0 là điều kiện cần và đủ của phương trình.
	Tuy nhiên khi gặp bài toán giải phương trình vô tỉ, có nhiều bài toán đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng kết hợp nhiều kiến thức kĩ năng phân tích biến đổi để đưa phương trình từ dạng phức tạp về dạng đơn giản.
II. Thực trạng.
	Học sinh trường THPT 4 Thọ Xuân chủ yếu là con em của các gia đình thuần nông, điều kiện kinh tế còn nhiều khó khăn nên việc học tập của các em còn nhiều hạn chế. Kiến thức THCS còn non yếu, tiếp thu bài còn chậm, chưa tự hệ thống được kiến thức. Khi gặp các bài toán về phương trình vô tỉ chưa phân loại và định hình được cách giải, lúng túng khi đặt điều kiện và biến đổi, trong khi đó phương trình loại này có rất nhiều dạng. Nhưng bên cạnh đó chương trình đại số 10 không nêu cách giải tổng quát cho từng dạng, thời lượng dành cho phần này là rất ít.
 Qua việc khảo sát kiểm tra định kỳ và việc học tập, làm bài tập hàng ngày nhận thấy học sinh thường bỏ qua hoặc không giải được hoặc trình bày cách giải đặt điều kiện và lấy nghiệm sai ở phần này.
III. Giải pháp thực hiện.
	1. Các dạng phương trình vô tỉ thường gặp giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ.
Dạng 1: Phương trình chứa và . 
Cách giải:
- Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghĩa.
- Bước 2: Đặt , 
- Bước 3: Chuyển phương trình đã cho về phương trình theo ẩn t, giải tìm t.
- Bước 4: Với t tìm được thỏa mãn , thay trở lại cách đặt tìm nghiệm của phương trình ban đầu và kết luận.
Ví dụ 1. Giải phương trình: .
Giải:
	+ Điều kiện: luôn đúng với mọi .
	+ Đặt .
	+ Phương trình (1) trở thành: 
	Do nên loại.
	+ Với 
	Vậy phương trình có hai nghiệm là: x = 4 và x = -9.
Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau:
1,
2,
Dạng 2: Phương trình . 
Cách giải:
- Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghĩa.
- Bước 2: Đặt , 
- Bước 3: Chuyển phương trình đã cho về phương trình theo ẩn t, giải tìm t.
- Bước 4: Với t tìm được thỏa mãn , thay trở lại cách đặt tìm nghiệm của phương trình ban đầu và kết luận.
Ví dụ 2. Giải phương trình: (2).
Giải:
	+ Điều kiện: .
	+ Đặt .
	 .
	+ Phương trình (2) trở thành: 
	Do nên loại.
	+ Với 
	Vậy phương trình có hai nghiệm là: x = 6 và x = -3.
Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau:
1,
2,
Dạng 3: Phương trình dạng . 
Cách giải:
- Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghĩa.
- Bước 2: Đặt . 
- Bước 3: Chuyển phương trình đã cho về phương trình theo ẩn t, giải tìm t.
- Bước 4: Với t tìm được thay trở lại cách đặt tìm nghiệm của phương trình ban đầu và kết luận.
Ví dụ 3. Giải phương trình: (3).
Giải:
	+ Điều kiện: .
	+ Đặt 
	 .
	+ Phương trình (2) trở thành: 
	+ Với 
	+ Với 
	Vậy phương trình có hai nghiệm là: x = 3 và x = .
Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau:
1,
2,.
Dạng 4: Phương trình dạng . 
Cách giải:
- Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghĩa.
- Bước 2: Đặt (tìm điều kiện của t nếu có).
- Bước 3: Chuyển phương trình đã cho về phương trình theo ẩn t, giải tìm t.
- Bước 4: Với t tìm được thay trở lại cách đặt tìm nghiệm của phương trình ban đầu và kết luận.
Ví dụ 4. Giải phương trình: (4).
Giải:
	+ Điều kiện: .
	+ Đặt 
	+ Phương trình (2) trở thành: 
	Do nên loại.
	+ Với 
	Vậy phương trình có hai nghiệm là: x = 3 .
Ví dụ 5. Giải phương trình: (5).
(Đề thi đại học khối B năm 2011)
Giải:
	+ Điều kiện: .
	+ Đặt 
	+ Phương trình (2) trở thành: 
	+ Với 
	+ Với 
	Phương trình này vô nghiệm vì .
	Vậy phương trình có hai nghiệm là: x = .
Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau:
1,
2,
Dạng 5: Phương trình . 
Cách giải:
- Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghĩa.
- Bước 2: Đặt .
- Bước 3: Chuyển phương trình đã cho về phương trình đẳng cấp theo ẩn a và b.
- Bước 4: Với a và b tìm được thay trở lại cách đặt tìm nghiệm của phương trình ban đầu và kết luận.
Ví dụ 6. Giải phương trình: (6).
Giải:
	+ Điều kiện: .
	+ Đặt 
	+ Phương trình (2) trở thành: 
	+ Với ta có: 
	Vậy phương trình có hai nghiệm là: x = .
Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau:
1,
2,
2. Dùng ẩn phụ để giải phương trình vô tỉ.
	Phương pháp giải phương trình vô tỉ bằng cách đặt ẩn phụ là một phương pháp vô cùng quan trọng, tuy nhiên ngoài những dạng cụ thể để đặt ẩn phụ thì một câu hỏi đặt ra là khi nào dùng ẩn phụ để giải phương trình vô tỉ và đặt ẩn phụ như thế nào là thuận tiện nhất. Để giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ thành công thì điều quyết định đó là tìm ra các mối quan hệ giữa các đại lượng trong bài toán được gắn kết với nhau như thế nào. Mặt khác khi đặt ẩn phụ phải thu được phương trình có thể giải được như: Phương trình bậc hai, bậc ba, phương trình đẳng cấp, phương trình tích...
	Để hiểu rõ hơn phần này ta xét các ví dụ sau:
Ví dụ 1. Giải phương trình: (1).
* Phân tích hướng giải: Với phương trình này, ta sẽ tìm các mối liên hệ giữa các đại lượng với nhau để từ đó tìm ra cách đặt ẩn phụ. Ta để ý thấy trong hai căn thì hệ số của và hệ số tự do băng nhau (bằng -2) do đó ta liên tưởng đến phép chia hai vế của phương trình cho , ta thu được phương trình: 
Rõ ràng đến đây ta đã thấy sự liên hệ giữa các đại lượng trong phương trình nên ta hoàn toàn có thể đặt ẩn phụ để giải phương trình này.
	Cách giải:
- Điều kiện: (*)
- Ta có: (1) .
 	 (1')
-Đặt , khi đó (1') trở thành:
- Với . 
	 hoặc (loại vì không thỏa mãn điều kiện (*)).
	Vậy phương trình có một nghiệm là: .
* Nhận xét: Việc đi tìm mối liên hệ giữa các đại lượng ở phương trình này là một hướng đi rất quen thuộc trong những hướng đi tìm ẩn phụ ở các bài toán phương trình vô tỉ trong các kỳ thi. Việc phát hiện ra chia hai vế của phương trình cho biến x để tìm ẩn phụ xuất phát từ ý tưởng các hệ số đối xứng, như trong ví dụ 1 là số -2.
Ví dụ 2. Giải phương trình: (2).
	(Đề thi đại học khối A năm 2009)
* Phân tích hướng giải: Ở phương trình này ta thấy có chứa hai căn bậc khác nhau do đó chúng ta không thể sử dụng phép nâng lên lũy thừa để giải, nên ta nghĩ đến việc đặt hai ẩn phụ để giải phương trình. Để ý thấy trong căn là các nhị thức bậc nhất nên ta dễ dàng tìm được mối liên hệ giữa các ẩn phụ. Vì vậy ta có thể sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình này.
Cách giải:
- Điều kiện: (*)
- Đặt: 
- Khi đó ta được hệ: 
- Với (thỏa mãn điều kiện)
	Vậy phương trình có một nghiệm là: .
* Nhận xét: Với những phương trình vô tỉ chứa nhiều căn thì ta có thể đặt nhiều ẩn phụ để chuyển về hệ phương trình.
Ví dụ 3. Giải phương trình: (3).
* Phân tích hướng giải: Quan sát bài toán này, ta thấy hình thức phương trình quen thuộc nhưng nếu ta dùng phương pháp lũy thừa để giải quyết thì khó đạt được kết quả vì sẽ tạo ra phương trình bậc 4 có nghiệm vô tỉ. Do đó để giải bài toán này, ta thử xem có thể đặt ẩn phụ được không ?
Trước hết ta cần tìm mối liên hệ giữa các đại lượng trong phương trình.
Ta có: 
Vì vậy, đại lượng trong căn được biểu diễn thành tích của 
và .
Do đó ta thử tìm xem đại lượng ngoài căn có liên quan đến hai biểu thức trên không ? Theo cách xác định hệ số bất định.
Ta có: 
 (*)
Đồng nhất hệ số hai vế của (*) ta được: .
Điều đó có nghĩa là: .
Đến đây ta đã tìm ra được mối liên hệ giữa các đại lượng có trong phương trình.
Cách giải:
- Điều kiện: 
- Ta có: (3) .
- Đặt . Khi đó phương trình trên trở thành:
+ Với .
+ Với .
	Vậy phương trình có 4 nghiệm là: và .
* Nhận xét: Với những phương trình vô tỉ chứa căn mà biểu thức trong căn chứa bậc cao mà ta có thể phân tích được thanh tích thì ta có thể đặt ẩn phụ để giải.
Ví dụ 4. Giải phương trình:.(4)
* Phân tích hướng giải: Quan sát bài toán này, ta thấy phương trình chứa ba căn thức, trong đó có hai căn thức chứa nhị thức bậc nhất và một căn thức chứa tam thức bậc hai. Với phương trình này thì dùng phép nâng lên lũy thừa sẽ rất khó thành công. Vì vậy ta sẽ chuyển hướng tìm mối liên hệ giữa các đại lượng trong phương trình để tìm cách đặt ẩn phụ.
Trước hết ta quan tâm đến hai nhị thức bậc nhất và một tam thức bậc hai ở trong căn có liên quan gì với nhau không ?
Ta có: .
Mặt khác, hệ số đứng trước các căn thức chứa nhị thức bậc nhất không có sự tương đồng nên ta không nên đặt ẩn phụ mà đặt hai ẩn phụ và sử dụng phương pháp hệ số bất định để tìm mối liên hệ giữa các đại lượng.
Cách giải:
- Điều kiện: 
- Đặt: 
- Khi đó ta có: 7(x-2) = 2u2-3v2 , 11-8x = -3u2 + 2v2, 2x-6 = 2u2 - 2v2.
Lúc đó phương trình đã cho trở thành:
2u3 -3u2v - 3uv2 + 2v3 = -(2u2 -5uv +v2) (*).
Nhận xét rằng vế trái và vế phải của (*) đều là phương trình đẳng cấp. Do đó ta xét các khả năng:
Với v =0 u= 0, không thỏa phương trình đã cho.
Với u,v > 0, đặt u = kv (k>0). Khi đó (*) trở thành:
vì (k+1)v+1>0.
Với 
Với .
Đối chiếu điều kiện ta thu được nghiệm: 
* Nhận xét: Bài toán này là bài toán có cách đặt ẩn phụ thường gặp trong phương trình vô tỉ. Có thể phát triển bài toán này theo nhiều góc độ khác nhau và ứng với mỗi góc độ ta sẽ có cách đặt ẩn phụ phù hợp.
Ví dụ 5. Giải phương trình: (5).
* Phân tích hướng giải: Quan sát bài toán này, ta thấy hai đại lượng và
 có mối liên hệ với nhau là nên ta có thể đặt ẩn phụ để giải phương trình này.
Cách giải
- Điều kiện: 
- Đặt (). ta có: 
- Khi đó phương trình (5) trở thành: 
	 .
Do nên loại.
Với 
Vậy phương trình có 4 nghiệm là: .
Ví dụ 6. Giải phương trình: (6).
* Phân tích hướng giải: Bài toán thoạt nhìn ta thấy hết sức rối mắt vì đã chứa hai căn bậc lệch lại còn các đại lượng dưới căn thức lại chứa căn. Tuy nhiên quan sát một chút và đủ tinh ý trong đại số, ta thấy rằng hai đại lượng chứa trong hai căn thức có gắn kết với nhau.
Thật vậy, ta có: .
Từ đó nếu ta đặt: .
Vậy là xem như mối liên hệ giữa đại lượng có trong phương trình và ẩn phụ hóa đã hoàn tất.
Cách giải:
 Đặt: .
Lúc đó phương trình đã cho trở thành phương trình:
 (*).
Lại đặt Ta có (*) trở thành:
 .
Đối chiếu điều kiện ta có: 
Từ đó ta có: 
 .
Nhận xét: Việc phương trình có chứa cặp số mà tích của chúng bằng k số thực thì việc giải quyết nó bằng ẩn phụ là hoàn toàn có thể giải quyết được, một lối đi cũng thường gặp.
Ví dụ 6: Giải phương trình: (6)
Phân tích hướng giải: Quan sát bài ta thấy bài toán có chứa ba căn thức bậc ba, trong đó có hai căn thức có chức tam thức bậc hai nên nếu dùng phép lũy thừa cho bai toán nàycó thể chúng ta dính phải những tính toán rắc rối. Do đó ta chuyển hướng đặt ẩn phụ cho bài toán này. Trược tiên ta tìm mối liên hệ giữa các đại lượng tham gia phương trình xem chúng ta có được điều gì?
Nhận xét ta có: .
Do đó nếu đặt 
Từ đây kết hợp với phương trình ban đầu ta có hệ: .
Quan sát hệ này, ta thấy ngay chìa khóa để giải quyết bài toán chính là dùng hằng đẳng thức.
Cách giải: 
Đặt: 
Kết hợp với phương trình ban đầu ta có hệ: .
Lại có: 
Suy ra: 	 
Thử lại ta có tập nghiệm của phương trình là T . 
Kết luận: Theo các ví dụ đã phân tích ở trên ta thấy để giải một phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ thì ta cần phải phát hiện các đại lượng liên quan đến ẩn phụ bằng mối quan hệ nào ? Tìm được mối quan hệ đó ta sẽ đi đến được lời giải của bài toán.
IV. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.
Trên cơ sở thực tiễn việc đổi mới phương pháp và nội dung giảng dạy môn Toán cho học sinh lớp 10 là hợp lý và thu được kết quả tốt, tôi đã thực hiện thành công mục tiêu đề ra, đó là tận dụng, phát huy được trí tuệ của học sinh.
Kết quả về điểm số là khả quan trên cơ sở đặt tỷ lệ đó vào mối tương quan với chất lượng các lớp thực nghiệm và các lớp vẫn dạy theo phương pháp truyền thống. Học sinh đó bắt đầu nắm vững kiến thức, có kỹ năng biến đổi chuyển hoá một số bài toán thành thạo, có hứng thú, say sưa học toán.
Bên cạnh một số bài tập cơ bản phù hợp với đa số đối tượng học sinh, cũng có những bài tập đòi hỏi học sinh phải có khả năng tư duy cao, phải tích luỹ được nhiều kinh nghiệm. Từ đó, khuyến khích lòng hăng say tìm tòi giải bài tập của một nhóm học sinh có nhận thức khá. 
Tôi đã chọn lớp 10A1 là lớp thực nghiệm (TN) để dạy cho học sinh, còn lớp 10A4 là lớp đối chứng (ĐC) chỉ dạy theo sách giáo khoa. Kết quả thực nghiệm thu được khi cho hai lớp cùng làm một đề kiểm tra 45 phút về phương trình vô tỉ như sau:
Lớp
n
Số HS đạt điểm xi 
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Lớp thực nghiệm
45
0
0
0
0
2
4
9
15
11
5
Lớp đối chứng
45
0
0
1
3
11
12
8
7
4
0
	Qua bảng chúng ta có thể thấy, ở mỗi lần kiểm tra trong quá trình thực nghiệm thì tỷ lệ khá giỏi của lớp thực nghiệm đều cao hơn hẳn lớp đối chứng. Ngược lại tỷ lệ điểm trung bình và dưới trung bình của các lớp đối chứng lại cao hơn nhiều so với các lớp thực nghiệm. 
PHẦN 3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
1. Kết luận.
 Việc nghiên cứu, áp dụng sáng kiến kinh nghiệm ở mức độ ban đầu nên kết quả còn nhiều hạn chế. Đòi hỏi phải tiếp tục đầu tư thời gian và trí tuệ trong một thời gian dài để hoàn thành tốt việc giảng dạy phần kiến thức này cho học sinh. Đề tài trên chỉ là những kinh nghiệm nhỏ, kết quả của sự nghiên cứu cá nhân, thông qua một số tài liệu tham khảo nên không tránh khỏi những hạn chế, khiếm khuyết. 	
Do giới hạn về thời gian cũng như các điều kiện khác nên tôi chưa thực hiện thực nghiệm được trên quy mô lớn hơn. Chính vì thế mà kết quả thực nghiệm chắc chắn chưa phải là tốt nhất. Mặc dù vậy, qua thời gian thực nghiệm tôi nhận thấy rằng, việc tạo hứng thú học tập môn Toán cho học sinh thông qua khai thác một bất đẳng thức nói chung là điều rất cần thiết góp phần