SKKN Giải bài toán như thế nào trong đó ông có đề cập đến nội dung trên như một điều kiện thiết yếu

A. MỞ ĐẦU
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
 1. Với mục tiêu “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài, hình thành đội ngũ lao động có tri thức và tay nghề, có năng lực thực hành, năng động, sáng tạo, có đạo đức cách mạng, tinh thần yêu nước, yêu chủ nghĩa xã hội" (Trích văn kiện Đại hội Đảng toàn quốc lần thứ VII). Tại Hội nghị Ban Chấp hành Trung ương Đảng (khóa XI), ngày 29/10/2012 cũng đã ban hành Kết luận số 51 KL/TW về Đề án “Đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo, đáp ứng yêu cầu công nghiệp hóa, hiện đại hóa trong điều kiện kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế”. Trong những năm qua giáo dục nước ta đã và đang có những đổi mới mạnh mẽ cả về nội dung, phương pháp và đã thu được những kết quả khả quan.
 2. Việc đổi mới phương pháp dạy học là vấn đề cấp bách, thiết thực nhằm đào tạo những con người có năng lực hoạt động trí tuệ tốt. Đổi mới phương pháp dạy học không chỉ trong các bài giảng lí thuyết, mà ngay cả trong quá trình luyện tập. Luyện tập ngoài việc rèn luyện kỹ năng tính toán, kỹ năng suy luận mà thông qua qua đó còn giúp học sinh biết tổng hợp, khái quát các kiến thức đã học, sắp xếp các kiến thức một cách hệ thống, giúp học sinh vận dụng các kiến thức đã học vào giải bài tập một cách năng động sáng tạo.
 3. Về mặt phương pháp, từ các phương pháp dạy truyền thống như phương pháp dùng lời (thuyết trình, đàm thoại ...), các phương pháp trực quan, các phương pháp thực hành, luyện tập.... đến các xu hướng dạy học hiện đại như: dạy học giải quyết vấn đề, lý thuyết tình huống, dạy học phân hóa, dạy học có sự hỗ trợ của công nghệ thông tin, có sử dụng máy tính đã tạo ra một không khí học tập hoàn toàn mới. 
 4. Một trong những vấn đề cơ bản của đổi mới chương trình giáo dục phổ thông là đổi mới phương pháp dạy học, trong đó có đổi mới phương pháp dạy học Toán ở trường phổ thông. Việc đổi mới phương pháp dạy học Toán hiện nay nhằm phát huy tính tích cực của học sinh, qua đó khai thác tính chủ động tiếp thu và khám phá tri thức của các em, tạo hứng thú trong học tập.
 5. Với tinh thần đó, tôi cũng đã có những đổi mới về mặt phương pháp để phù hợp với giáo dục trong giai đoạn hiện nay. Trong quá trình giảng dạy ở trường phổ thông, bản thân tôi cũng đã dự nhiều tiết dạy của đồng nghiệp, đã trực tiếp bồi dưỡng học sinh ôn thi vào Đại hoc, Cao đẳng trước đây và bây giờ là thi THPT Quốc Gia hay bồi dưỡng đội tuyển học sinh Giỏi, chúng tôi nhận thấy rằng việc phát huy trí lực của học sinh còn nhiều hạn chế. Nhiều bài toán trong các kỳ thi vào Đại học, Cao đẳng, thi THPT Quốc Gia, thi HSG mặc dù có thể áp dụng các kiến thức cơ bản và thêm một chút sáng tạo là có thể giải được, thế nhưng đa số các em gặp khó khăn. Chúng tôi thấy rằng, việc dạy học theo hướng khuyến khích tư duy sáng tạo và tìm mối liên hệ linh hoạt giữa các phần kiến thúc cần được quan tâm hơn, đặc biệt là trong việc bồi dưỡng HSG, bồi dưỡng học sinh ôn thi vào Đại học, thi THPT Quốc Gia trong các trường phổ thông là việc làm rất cần thiết hiện nay.
II. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
 Rèn luyện cho học sinh biết cách vận dụng các phương pháp giải phương trình, bất phương trình vô tỉ trong trường phổ thông. Phân loại các dạng toán thường gặp trong chương trình theo chuẩn kiến thức kĩ năng cũng như trong các kì thi THPTQG, thi HSG các cấp.
III. NHIỆM VỤ CỦA NGHIÊN CỨU
 Trình bày đề tài thông qua hệ thống bài tập. Hướng dẫn học sinh giải quyết các bài toán trong một số tình huống cụ thể. Bồi dưỡng cho học sinh kỹ năng giải toán và khả năng sáng tạo tư duy.
IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
1. Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu Sách giáo khoa, Sách bài tập, Sách tham khảo, đề thi THPT, đề thi HSG và các tài liệu liên quan.
2. Phương pháp điều tra thực tiễn: Dự giờ của đồng nghiệp, quan sát việc dạy và học phần bài tập này.
3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tiến hành trên các tập thể lớp.
4. Phương pháp thống kê.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. CỞ SỞ LÝ LUẬN: Muốn giải một bài toán ta thường thực hiện 2 bước:
Bước 1: Huy động kiến thức: Là một thao tác tư duy nhằm tái hiện các kiến thức có liên quan với bài toán, từ lý thuyết, phương pháp giải, các bài toán đã gặp, do đó người làm toán phải biết và cần biết ý tưởng kiểu như: ta đã gặp bài toán nào gần gũi với bài toán này hay chưa? Nhà bác học Polia đã viết ra một quyển sách kinh điển với nội dung: "Giải bài toán như thế nào trong đó ông có đề cập đến nội dung trên như một điều kiện thiết yếu”.
Bước 2: Tổ chức kiến thức: Là một tổ hợp các hành động, thao tác để sắp xếp các kiến thức đã biết và các yêu cầu của bài toán lên hệ với nhau như thế nào để từ đó trình bày bài toán theo một thể thống nhất. Có nhiều cách lựa chọn cho việc tổ chức kiến thức mà trong đó phương pháp tương tự hay tổng quát hóa là những thao tác tư duy cần thiết cho người làm toán. 
II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
	1. Trong chương trình Toán cấp THPT hiện hành, phần mặt cầu, khối cầu được trình bày trong chương trình lớp 12, đây là một nội dung không mới, có nhiều ứng dụng trong thực tiễn cuộc sống, tuy nhiên lại là một mảng kiến thức khá trừu tượng đối với phần đại đa số học sinh. Làm thế nào để các em học sinh tự tin tìm hiểu, học tập và nghiên cứu nội dung này một cách thích thú? Để trả lời được câu hỏi đó bản thân học sinh cần có kiến thức và nắm vững kỹ năng giải toán. Song hiểu theo cách nói là một lẽ, nhưng để giải quyết tốt loại toán này lại là một vấn đề không dễ. Khi làm các bài tập dạng này đa số học sinh còn gặp nhiều khó khăn, lời giải thường thiếu chặt chẽ dẫn đến không có kết quả tốt, hoặc nếu có thì kết quả cũng không cao.
2. Với những đặc điểm như vừa nêu, tôi cũng đã nghiên cứu, tìm tòi qua nhiều tài liệu, suy nghĩ nhiều giải pháp với mong muốn giúp các em học sinh có thể tiếp cận các bài toán về mặt cầu một cách đơn giản, nhẹ nhàng nhưng vẫn đảm bảo các yêu cầu cần thiết đối với nội dung này, giúp học sinh có cái nhìn cụ thể, rõ ràng hơn đối với một trong những vấn đề khó ở trường phổ thông, bởi vậy tôi chọn đề tài “Hướng dẫn học sinh12 giải một số bài toán về mặt cầu, hình cầu bằng phương pháp hình học tổng hợp ”.
III. NỘI DUNG VÀ BIỆN PHÁP TIẾN HÀNH
1. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1.1 Mặt cầu và hình cầu (khối cầu):
Cho mặt cầu S(O;R) được xác định khi biết tâm và bán kính R hoặc biết một đường kính AB của nó.
Diện tích mặt cầu: 
Thể tích khối cầu (hình cầu): .
1.2 Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng:
Cho mặt cầu S(O;R) và mp(P). Gọi OH=d là khoảng cách từ O đến (P) thì: 
+) Nếu d < R: mp(P) cắt mặt cầu theo đường tròn giao tuyến có tâm H, bán kính . Đặc biệt khi thì mặt phẳng (P) đi qua tâm O của mặt cầu, mặt phẳng đó gọi là mặt phẳng kính; giao tuyến của mặt phẳng kính với mặt cầu là đường tròn có bán kính , gọi là đường tròn lớn của mặt cầu.
+) Nếu d = R, mp(P) và mặt cầu S(O;R) có điểm chung duy nhất là H. Khi đó mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu tại điểm H hoặc mp(P) là tiếp diện của mặt cầu tại tiếp điểm H.
+) Nếu d > R: mp(P) không có điểm chung với mặt cầu.
1.3 Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng:
 Cho mặt cầu S(O;R) và đường thẳng . Gọi H là hình chiếu của O trên và là khoảng cách từ O tới .
+) Nếu d < R: đường thẳng cắt mặt cầu tại hai điểm.
+) Nếu d = R, đường thẳng và mặt cầu S(O;R) có điểm chung duy nhất là H.
Khi đó, đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm H hoặc là tiếp tuyến của mặt cầu tại điểm H.
+) Nếu d > R: Đường thẳng không có điểm chung vơi mặt cầu.
1.4 Định lý: Nếu điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O;R) thì qua A có vô số tiếp tuyến với mặt cầu. Khi đó: 
a) Độ dài các đoạn thẳng nối A với các tiếp điểm đều bằng nhau.
b) Tập hợp các tiếp điểm là một đường tròn nằm trên mặt cầu.
1.5 Phương tích: Cho mặt cầu S(O;R) và điểm M. Qua điểm M, vẽ hai cát tuyến cắt mặt cầu tại A, B và C, D thì 
1.6 Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện: 
Mặt cầu đi qua mọi đỉnh của hình đa diện gọi là mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện gọi là mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện và hình đa diện gọi là nội tiếp mặt cầu đó. 
Điều kiện cần và đủ để có một hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp là đáy của hình chóp có đường tròn ngoại tiếp.
Điều kiện cần và đủ để có một hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ đứng và đáy của hình lăng trụ đó có đường tròn ngoại tiếp.
Xác định tâm O của mặt cầu ngoại tiếp
Hình chóp có đáy là đa giác nội tiếp đường tròn (C), gọi là trục của đường tròn đó và gọi O là giao điểm của với mặt phẳng trung trực của một cạnh bên, chẳng hạn thì OS=O nên O là tâm mặt cầu ngoại tiếp.
Hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác nội tiếp đường tròn. Gọi I, I’ là hai tâm của đường tròn ngoại tiếp 2 đáy thì II’ là trục của hai dường tròn. Gọi O là trung điểm của II’ thì O cách đều các đỉnh nên O là tâm mặt cầu ngoại tiếp.
1.7 Mặt cầu nội tiếp hình đa diện: Mặt cầu tiếp xúc với mọi mặt của hình đa diện gọi là mặt cầu nội tiếp hình đa diện và hình đa diện gọi là ngoại tiếp mặt cầu đó.
Xác dịnh tâm I của mặt cầu nội tiếp:
Tìm điểm I cách đều tất cả các mặt của khối đa diện. Với 2 mặt song song thì I thuộc mặt phẳng song song cách đều, với 2 mặt phẵng cắt nhau thì I thuộc mặt phân giác (chứa giao tuyến và qua một đường phân giác của góc tạo bởi 2 đường thẳng lần lượt thuộc 2 mặt phẳng, vuông góc với giao tuyến).
2. MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN
Bài toán 1: Tìm tập hợp tâm các mặt cầu trong mỗi trường hợp sau: 
a) Đi qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C cho trước.
b) Tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác ABC cho trước.
Phân tích và hướng dẫn giải
 a) I là tâm của mặt cầu đi qua ba điểm phân biệt A, B, C cho trước khi và chỉ khi IA = IB = IC. Vậy tập hợp các điểm I là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 
b) Mặt cầu tâm O tiếp xúc với ba cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC lần lượt tại các điểm I, J, K khi và chỉ khi OI AB, OJ BC, OK CA, OI = OJ = OK. Gọi O' là hình chiếu vuông góc của điểm O trên mp(ABC) thì các điều kiện là: O'l AB, O'J BC, O'K CA, OT = O'J = O'K, hay O' là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Vậy tập hợp các tâm O là trục của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Bài toán 2: Tìm tập hợp các điểm M sao cho tổng bình phương các khoảng cách từ M tới 8 đỉnh của một hình hộp cho trước bằng cho trước.
Phân tích và hướng dẫn giải
Giả sử ba kích thước của hình hộp là AB = a, BC = b, CC' = c thì: 
Gọi O là tâm của hình hộp, ta có:
Suy ra 
Do đó mà 
Vậy: Nếu k’ > 0 thì tập hợp các điểm M là mặt cầu tâm o bán kính
Nếu k’ = 0 thì điểm M trùng với O. Nếu k’ <0 thì tập hợp là rỗng.
Bài toán 3: Cho tứ diện ABCD. Từ một điểm M vẽ 4 cát tuyến MAA', MBB', MCC, MDD' với mặt cầu nội tiếp. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
Phân tích và hướng dẫn giải
Gọi G là trọng tâm tứ diện ABCD.
Gọi mặt cầu ngoại tiếp S(O; R). Ta có:
Do đó: 
Gọi I là trung điểm OG, H là hình chiếu M lên OG thì:
Vậy H cố định nên tập hợp các điểm M là mặt phẳng vuông góc với OG tại H. 
Bài toán 4: Cho P là một điểm cố định nằm bên trong một mặt cầu cho trước. Ba dây PA, PB, PC vuông góc nhau từng đôi một. Gọi Q là đầu mút thứ hai của đường chéo PQ của hình hộp chữ nhật mà các cạnh là PA, PB, PC. Tìm quỹ tích các điểm Q khi ba điểm A, B, C chạy trên mặt cầu.
Phân tích và hướng dẫn giải
Theo giả thiết ta có:
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC thì: 
Do đó nên quỹ tích của Q là ảnh của quỹ tích của G qua phép vị tự tâm p tỉ số bằng 3. Ta có: 
nên . Mặt khác:
Tương tự: 
Do đó: 
Từ đó . Chọn điểm I cố định: thì Khi đó: 
 Vậy 
Do đó điểm G chạy trên mặt cầu tâm I bán kính 
Suy ra quỹ tích của Q.
Bài toán 5: Cho 2 đường tròn ,cắt nhau tại A, B và lần lượt nằm trên hai mặt phẳng phân biệt (P), (P'). 
a) Chứng minh mặt cầu (S) đi qua 2 đường tròn đó
b) Cho r = 5, r' = 7ĨÕ , , AB = 6. Tính bán kính của (S).
Phân tích và hướng dẫn giải
a) Gọi M là trung điểm của AB thì OM AB, O'M AB.Từ đó mp(OMO') là mp trung trực của AB.
Gọi và lần lượt là trục của đường tròn C(O; r) và thì và cùng vuông góc với AB nên, cùng nằm trong mp và cắt nhau tại I. Mặt cầu (S) có tâm I và bán kính R = IB là mặt cầu phải tìm.
b) Ta có: OM = 4, O'M = 1. Xét tam giác :
Nên: và 
Ta có: Nên Vậy 
Bài toán 9: Cạnh đáy và đường cao của hình lăng trụ lục giác đều ABCDEF. A'B'C'D'E'F' lần lượt bằng a và h. Chứng minh rằng sáu mặt phẳng cùng tiếp xúc với một mặt cầu, xác định tâm và bán kính.
Phân tích và hướng dẫn giải
Gọi O là tâm hình lăng trụ. Mặt phẳng (AB'F') tiếp xúc với mặt cầu tâm O và mặt cầu (S) này được xác định duy nhất. Sáu mặt phẳng đều cách đều O suy ra rằng cả sáu mặt phẳng đều tiếp xúc với mặt cầu (S) tâm O.
Gọi P là trung điểm cạnh AE, P' là trung điểm cạnh A'E'; Q là trung điểm cạnh PF', và gọi R là hình chiếu của O lên đường thẳng PF', thì các điểm P, P', Q, R, O, F' cùng nằm trên một mặt phẳng.
Ta có: vàVì nên . 
Ngoài ra nên suy ra hai tam giác ORQ và đồng dạng nhau. Do đó, bán kính của (S) là: 
Bài toán 7: Tứ diện ABCD có AB = 6, CD = 8, các cạnh còn lại đều bằng . Định tâm và tính diện tích hình cầu ngoại tiếp tứ diện.
Phân tích và hướng dẫn giải
Gọi M, F thứ tự là trung điểm của AB, CD và K là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC. Khi đó K thuộc CM. Hạ KO FM thì O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, R = OD. Ta có CM=DM= Và MF=
Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC
Ta có . Các tam giác đồng dạng OKM và CFM suy ra 
Do đó Suy ra . Vậy diện tích mặt cầu 
Bài toán 8: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a, = 60°, = 90° và = 120°. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp.
 Phân tích và hướng dẫn giải
Ta có AB = a, BC = và AC = nên tam giác ABC vuông ở B. Gọi SH là đường cao của hình chóp, do SA = SB = SC nên HA = HB = HC suy ra H là trung điểm của cạnh AC.
Tâm mặt cầu thuộc trục SH. Vì góc nên gọi O là điểm đối xứng với S qua điểm H thì: OS = OA = OC = OB = a.
Suy ra mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC có tâm O và có bán kính R = a.
Bài toán 9: Cho hình chóp tam giác đều SABC có đường cao SO = 1 và cạnh đáy bằng . Điểm M, N là trung điểm của cạnh AC, AB tương ứng. Tính thể tích hình chóp SAMN và bán kính hình cầu nội tiếp hình chóp đó.
 Phân tích và hướng dẫn giải
Do ABC là tam giác đều nên:
Vì SABC là hình chóp đều nên O trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Do đó OM AC, ON AB và do SO (ABC) nên ta suy ra SM AC, SN AB và SM = SN. Xét tam giác vuông AOM; SOM:
, nên: 
Gọi K là trung điểm của MN thì .
 nên: 
Do đó bán kính hình cầu nội tiếp: 
Bài toán 10: Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và tiếp xúc với mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Các mặt phẳng (ABC), (ACD), (ABD) cắt mặt phẵng (P) lần lượt theo các giao tuyến d, b, c. Biết d, b, c tạo với nhau thành 6 góc bằng nhau. Chứng minh rằng: AB . CD = AC . BD = AD . BC.
Phân tích và hướng dẫn giải
Trên AB, AC, AD ta lấy lần lượt các điểm B', C' ,D' thoả mãn: AB' = AC.AD, AC' = AB.AD
. Ta có 
nên 2 tam giác ABC và AC'B' đồng dạng.Vì d là tiếp tuyến của đường tròn (ABC).
Suy ra (chắn cungAC). Do đód // B' C'. Tương tự b // C'D', c//B'D'.
Vì b,.c, d tạo thành các góc bằng nhau, suy ra tam giác B'C'D' đều.
Ta lại có suy ra 
Tương tự: suy ra đpcm.
Bài toán 11: Cho tứ diện gần đều ABCD với , , . 
a) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện R. 
b) Tính bán kính mặt cầu nội tiếp r.
Phân tích và hướng dẫn giải
Xem tứ diện ABCD là một phần của hình hộp chữ nhật với 3 kích thước m,n,p thì ta có hệ:
Vì . Vậy 
Ta có 
Vậy 
Bài toán 12: Cho tứ diện ABCD có tính chất: Mặt cầu nội tiếp của tứ diện tiếp xúc với mặt (ABC) tại tâm đường tròn nội tiếp I tam giác ABC, tiếp xúc với mặt (BCD) tại trực tâm H của tam giác BCD và tiếp xúc với mặt (ACD) tại trọng tâm G của tam giác ACD. Chứng minh ABCD là tứ diện đều. 
Phân tích và hướng dẫn giải
Vì I là tâm của đường tròn nội tiếp ABC nên 
Theo tính chất tiếp tuyến ta có:
Suy ra 
Trong tam giác ABC ta có: , suy ra trong ta có 
Mặt khác =, Mặt khác HCD = AGCD suy ra .
Gọi P là trung điểm của AC ta có suy ra Do đó DP là đường cao vừa là đường trung tuyến nên DAC cân đỉnh D suy ra
GAC cân đỉnh G. Từ đó nghĩa là nên CH là phân giác của góc DCB. Từ đó DCB cân ở C, vậy CB = CD. 
Mặt khác ABC cân ở B nên BA = BC. Vậy DA = DC = BC = BA. Mặt khác do nên , vậy CAD cân ở C, ngoài ra CAD còn cân ở D nên là tam giác đều suy ra .Chứng minh tương tự nên ABC và BCD đều suy ra 6 cạnh của tứ diện bằng nhau. Vậy ABCD là tứ diện đều.
 III. GIỚI THIỆU MỘT SỐ CÂU TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN 
 VỀ MẶT CẦU 
Câu 1: Cho tứ diện ABCD có O là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh đối diện. Tập hợp các điểm M trong không gian thỏa mãn hệ thức (với không đổi) là:
	A. Mặt cầu tâm O bán kính 	B. Mặt cầu tâm O bán kính 
	C. Mặt cầu tâm O bán kính 	D. Mặt cầu tâm O bán kính 
Hướng dẫn giải:
Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD
 là trung điểm của EF
Ta có: 
Vậy tập hợp các điểm M cần tìm trong không gian là mặt cầu tâm O bán kính 
Chọn đáp án A.
Câu 2: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng . Tập hợp các điểm M sao cho
 là 
 A. Mặt cầu có tâm là trọng tâm tam giác ABC và bán kính bằng 
 B. Mặt cầu có tâm là trọng tâm tứ diện và bán kính bằng 
 C. Mặt cầu có tâm là trọng tâm tứ diện và bán kính bằng 
 D. Mặt cầu có tâm là trọng tâm tam giác ABC và bán kính bằng 
Hướng dẫn giải:
Gọi G là trọng tâm tứ diện ABCD ta có
Vậy quỹ tích điểm M là mặt cầu tâm G bán kính bằng .
Chọn đáp án B.
Câu 3: Mặt cầu tâm O bán kính . Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu sao cho giao tuyến đi qua ba điểm A, B, C mà . Tính khoảng cách từ O đến (P).
	A. 7 dm	B. 8 dm	C. 14 dm	D. 16 dm
Hướng dẫn giải:
Ta có giao tuyến của mặt phẳng (P) với mặt cầu là một đường tròn. Khi đó A, B, C nằm trên đường tròn này, nếu để ý kĩ ta thấy , do vậy tam giác ABC vuông tại B, tức là AC chính là đường kính của đường tròn này, hay . Ta có hình vẽ minh họa sau:
Nhìn vào hình vẽ ta thấy 
Chọn đáp án B.
Câu 4: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Thể tích của khối cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của tứ diện ABCD bằng:
 	A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải:
Gọi lần lượt là trung trung điểm Theo tính chất hình bình hành ta chứng minh được cắt nhau tại trng điểm của mỗi đường, gọi giao điểm là O.
Vì ABCD là tứ diện đều
 O là tâm mặt cầu tiếp xúc với các cạnh tứ diện 
Xét hình vuông IJKH cạnh .
Chọn đáp án B.
Câu 5: Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy và cạnh bên cùng bằng a là:
	A. 	B. 	C. 	D. 	
Hướng dẫn giải:
	R = 
Chọn đáp án B.
Câu 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, AB=a. Cạnh bên SA vuông góc mp(ABC) và SC hợp với đáy một góc bằng 600. Gọi (S) là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Thể tích của khối cầu tạo nên bởi mặt cầu (S) bằng: 
A. 	B. .	C. 	D.
Hướng dẫn giải:
Tâm mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm của SC nên bán kính 
Chọn đáp án B.
Câu 7: Cho khối chóp tam giác S.ABC có SA = 3, SB = 4, SC = 5 và SA, SB, SC đôi một vuông góc. Khối cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC có thể tích là:
A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải:
Gọi M,N lần lượt là trung điểm SC, AB
Vì vuông góc tại S nên N là tâm đường tròn ngoại tiếp . Trong mặt phẳng (MSN) dựng hình chữ nhật MSNO thì ON là trục đường tròn ngoại tiếp và OM là đường trung trực của đoạn SC trong mặt phẳng (OSC)
Suy ra O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện 
Bán kính và thể tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là
Chọn đáp án B.
Câu 8: Cho hình chóp S.ABC có , tam giác ABC cân tại A, , . Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải:
Ta có :
Theo định lý hàm sin trong tam giác ABC ta có 
Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ta có IA = R. Dựng trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Mặt phẳng trung trực SA cắt trục đường tròn tại J khi đó J chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp SABC.
Gọi r là bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.ABC khi đó 
Diện tích mặt cầu cần tính là 
Chọn đáp án C.
Câu 9: Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh bằng , mặt bên là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.
	A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải:
Gọi là trung điểm của 	
Vì đều nên 
Mà là đường cao của hình chóp 
Qua kẻ đường thẳng song song với 
Gọi là trọng tâm củalà tâm đường tròn ngoại tiếp