SKKN Dùng kiến thức tổ hợp thuần túy hướng dẫn học sinh giải bài toán tính tổng các số tổ hợp

PHẦN 1: MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
 Các bài toán tổ hợp (hay còn gọi là các bài toán về giải tích tổ hợp) chiếm một vị trí quan trọng trong việc phát triển tư duy, tính sáng tạo của học sinh. Do sự lý thú của các bài toán này nên chúng luôn xuất hiện trong các kì thi học sinh giỏi, thi tuyển sinh vào các trường Đại học và Cao đẳng. Trong nội dung này, có bài toán tính các tổng liên quan đến số tổ hợp. Khi gặp bài toán thuộc loại này, học sinh thường rất ngại tìm cách giải, có tâm lí sợ và rất dễ có tư tưởng bỏ qua bài toán. Bằng kinh nghiệm giảng dạy, tôi rút ra được một số nguyên nhân sau đây dẫn đến các em học sinh có tâm lí sợ các bài toán về tính các tổng liên quan đến số tổ hợp:
- Vì thời lượng dành cho nội dung này quá ít, nên học sinh chỉ mới được làm quen với một số bài toán ở mức độ đơn giản.
- Các tài liệu viết về tổ hợp trình bày nhiều cách giải bài toán này, trong đó có cách kết hợp kiến thức tổ hợp với đạo hàm hoặc tích phân. Điều đó tạo ra sự khó khăn nhất định cho học sinh vì lí do kiến thức về tổ hợp được học ở học kì I, còn đạo hàm được trình bày ở cuối học kì II của lớp 11, tích phân được học ở cuối chương trình lớp 12.
- Hệ thống bài tập minh hoạ cho mỗi phương pháp tính các tổng liên quan đến số tổ hợp chưa phong phú, chưa đưa các em tới nhiều tình huống. 
- Các bài tập mà các em được tiếp cận chưa phản ánh được bản chất và dấu hiệu của mỗi phương pháp tính các tổng liên quan đến số tổ hợp. 
- Khi dạy học sinh tìm lời giải bài toán tính các tổng liên quan đến số tổ hợp, các thầy cô giáo chưa hướng dẫn học sinh hoạt động một cách tích cực, chưa phát huy được tính tự giác, năng lực sáng tạo của học sinh.
 Trong giai đoạn hiện nay, việc đổi mới phương pháp dạy học toán ở trường trung học phổ thông chủ yếu theo hướng phát huy cao độ nỗ lực cá nhân học sinh, cá nhân hoá việc dạy học, tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh. Một trong những hoạt động quan trọng của học sinh trong quá trình giải toán đó là hoạt động nhận dạng và thể hiện, hoạt động phân loại các bài toán, hoạt động tìm tòi, suy nghĩ lời giải các bài toán nhằm nắm vững các khái niệm, các tính chất, các phương pháp, các thuật toán, các công thức. 
 Vấn đề đặt ra ở đây là nếu chỉ dùng kiến thức tổ hợp thuần túy thì có giải được các bài toán tính các tổng liên quan đến số tổ hợp không. Sau nhiều trăn trở, tìm tòi, tôi đã có câu trả lời: Có một công thức đơn giản liên quan đến số tổ hợp có thể giúp ta giải được loại toán này khi kết hợp nó với nhị thức Niu-tơn, có thể ví von công thức này giống như một “bảo bối” của người giải toán tổ hợp. Nó sẽ được đề cập trong phần 2, mục I.3. Để giúp học sinh vận dụng công thức này một cách linh hoạt, giáo viên cần giúp các em nhận dạng được những bài toán nào dùng được công thức đó. Cần giúp các em nhìn nhận, biến đổi công thức đó dưới nhiều hình thức khác nhau để giải được nhiều bài toán khó hơn, lạ hơn. Cần có một hệ thống bài tập phong phú, phân loại để học sinh được rèn luyện kỹ năng. Từ đó góp phần phát triển cho học sinh năng lực tìm tòi, suy nghĩ lời giải các bài toán tính các tổng liên quan đến số tổ hợp, bởi vì mục đích của việc giải toán không chỉ nắm vững từng kiểu bài toán, thậm chí từng bài tập mà rèn luyện khả năng giải bài tập nói chung để có thể ứng phó với những tình huống mới mẻ, không phụ thuộc vào khuôn mẫu có sẵn. 
 Vì những lí do trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm
như sau: Dùng kiến thức tổ hợp thuần túy hướng dẫn học sinh giải bài toán tính tổng các số tổ hợp.
2. Mục đích nghiên cứu
 Tìm hiểu nhu cầu và những khó khăn của học sinh khi các bài toán tính tổng các số tổ hợp. Từ đó nghiên cứu, đề xuất phương pháp khắc phục những khó khăn đó, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học môn toán trong trường trung học phổ thông.
3. Đối tượng nghiên cứu
 Các bài toán tính tổng các số tổ hợp dùng kiến thức tổ hợp thuần túy để giải quyết.
4. Phương pháp nghiên cứu
a) Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết: Nghiên cứu sách giáo khoa, những tài liệu về phương pháp dạy học toán, các tài liệu về tâm lý học, giáo dục học, các công trình nghiên cứu có liên quan đến đề tài của một số tác giả, các sách tham khảo
b) Phương pháp điều tra khảo sát thực tế: Tiến hành tìm hiểu về các số liệu thông qua giáo viên toán ở các trường phổ thông, qua bài kiểm tra học sinh trường THPT Vĩnh Lộc.
c) Phương pháp thống kê, xử lý số liệu: Tiến hành dạy thực nghiệm một số buổi ở trường THPT Vĩnh Lộc.
PHẦN 2: NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
1. Công thức nhị thức Niu-tơn
2. Một số khai triển và công thức suy ra từ công thức nhị thức Niu-tơn
 .
3. Công thức quan trọng dùng trong đề tài
 (I)
 (II)
 (III)
Chú ý. 
- Các công thức này tương đương nhau, chỉ khác nhau về hình thức viết. Để dễ nhớ, chúng ta chỉ cần nhớ công thức (I). Tùy việc áp dụng vào bài toán cụ thể, có thể từ công thức (I) biến đổi thành các công thức (II), (III) để sử dụng cho phù hợp.
- Công thức (I) được chứng minh hết sức đơn giản như sau
Với và ta có 
 (đpcm)
Trong công thức (I), thay bởi và thay bởi ta thu được công thức (II).
Công thức (III) có được từ công thức (II) bằng cách chia cả hai vế cho .
4. Dấu hiệu nhận biết dùng các công thức (I), (II), (III) để đưa một tổng liên quan đến số tổ hợp về một tổng quen thuộc
 Sử dụng các công thức (I), (II), (III) cho chúng ta một phương pháp hay và rất có hiệu quả để giải bài toán tính tổng liên quan đến số tổ hợp. Các bài toán tính tổng liên quan đến số tổ hợp có thể áp dụng được phương pháp này, nếu như số hạng tổng quát của các tổng đó có thể biến đổi thành biểu thức ở vế trái của một trong các công thức (I), (II), (III). Các bước thực hiện tính tổng liên quan đến các số tổ hợp bằng cách dùng các công thức (I), (II), (III):
- Xác định số hạng tổng quát của tổng cần tính.
- Biến đổi số hạng tổng quát đó để làm xuất hiện biểu thức ở vế trái của một trong các công thức (I), (II), (III).
- Dùng các công thức (I), (II), (III) đưa tổng đã cho về các tổng quen thuộc.
Chú ý. Chúng ta cần chú ý đến đặc điểm nổi bật của các công thức (I), (II), (III) để có những định hướng quan trọng trong giải toán.
Trong các công thức (I), (II), (III), thay đổi còn cố định. Như vậy, khi áp dụng các công thức này, ta có mục đích biến đổi đại lượng thay đổi về đại lượng cố định . Tư tưởng chung này giúp ta biến đổi tổng cần tính thành một tổng quen thuộc. 
II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ
 Toán học là môn học mà khi dạy bao giờ cũng gắn liền giữa lí thuyết với bài tập áp dụng. Trong chương trình sách giáo khoa, kiến thức và bài tập áp dụng các công thức (I), (II), (III) hầu như không có. Vì thế các em học sinh rất lúng túng và có tâm lí lo sợ khi gặp dạng toán tính tổng có liên quan đến số tổ hợp, dẫn đến việc bỏ qua bài toán này thường xuất hiện trong các kỳ thi vào Đại học và Cao đẳng, thi học sinh giỏi.
 Sử dụng các công thức (I), (II), (III) là một phương pháp hay và rất có hiệu quả để giải bài toán tính tổng có liên quan đến số tổ hợp, tạo nên sự độc đáo, ngắn gọn và sáng tạo trong lời giải của bài toán. Qua thực tế dạy học, tôi thấy rằng học sinh đang còn thiếu kinh nghiệm trong việc áp dụng các công thức (I), (II), (III) để giải toán nói chung và giải các bài toán tính tổng có liên quan đến số tổ hợp nói riêng.
 Khi sử dụng các công thức (I), (II), (III) giải các bài toán tính tổng có liên quan đến số tổ hợp học sinh còn gặp nhiều khó khăn như sau:
- Đứng trước những tổng có liên quan đến số tổ hợp nào có thể lựa chọn sử dụng các công thức (I), (II), (III) để giải và nếu dùng được các công thức đó thì bắt đầu từ đâu để biến đổi được tổng đó. Khó khăn đó nảy sinh do hệ thống các bài tập trong sách giáo khoa chưa đa dạng, phong phú để khắc sâu phương pháp sử dụng các công thức (I), (II), (III) trong việc giải các bài toán tính tổng có liên quan đến số tổ hợp.
- Việc định hướng đúng, xác định đúng đường lối để giải cũng như chọn lựa đúng phương pháp và công cụ để giải là một yêu cầu phát triển trí tuệ cho học sinh.
 Việc rèn luyện giải các bài toán tính tổng có liên quan đến số tổ hợp bằng phương pháp sử dụng các công thức (I), (II), (III) sẽ góp phần phát triển cho học sinh năng lực tìm tòi, suy nghĩ lời giải các bài toán, bởi vì mục đích của việc giải toán không chỉ nắm vững từng kiểu bài toán, thậm chí từng bài tập mà rèn luyện khả năng giải bài tập nói chung để có thể ứng phó với những tình huống mới mẻ, không phụ thuộc vào khuôn mẫu có sẵn.
 Các tài liệu viết về phương pháp sử dụng các công thức (I), (II), (III) chưa nhiều, chưa đi sâu nghiên cứu các bài toán tính tổng có liên quan đến số tổ hợp giải được bằng phương pháp sử dụng các công thức (I), (II), (III) nên chưa thực sự thuận lợi cho thầy và trò trong việc dạy và học về loại toán này, chưa xây dựng được hệ thống các bài tập đa dạng, phong phú để khắc sâu phương pháp sử dụng các công thức (I), (II), (III), để học sinh có cơ hội rèn luyện kĩ năng giải toán, tạo nên sự nhạy bén trong nhiều tình huống học tập. 
III. GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN
 Việc nghiên cứu các bài toán trong toán học sơ cấp bằng cách ghép thành những nhóm bài toán giải được bằng cùng một phương pháp là một việc làm hết sức cần thiết và có ý nghĩa. Trên cơ sở lý thuyết và bài tập sách giáo khoa môn toán phổ thông và một số sách toán khác, người giáo viên bằng kiến thức và kinh nghiệm của mình có thể sử dụng các phương pháp phân loại các bài toán, vạch ra sự khác biệt giữa các bài toán theo từng kiểu để giúp ích cho học sinh khi giải toán.
 Để góp phần nâng cao chất lượng dạy và học, tôi đã áp dụng đề tài tại các lớp 12A2, 12A3 trong hai năm học 2014-2015, 2015-2016. Khi được tiếp cận với chuyên đề này, học sinh học tập rất hứng thú và có hiệu quả. Bằng cách kiểm tra, đối chứng tôi nhận thấy chuyên đề này đã góp phần nâng cao kĩ năng giải toán cho các em học sinh, giúp các em nhạy bén trong việc sử dụng các công thức (I), (II), (III).
 Để thấy được vai trò quan trọng của các công thức trên, sau đây tôi xin trình bày một số ví dụ vận dụng. Các ví dụ này được trích từ các đề thi Đại học (ví dụ 7, 9, 17), thi thử đại học, thi học sinh giỏi và đều được giải chi tiết, kèm theo những phân tích và nhận xét để học sinh thấy được ứng dụng rộng rãi, cái hay, cái đẹp của các công thức (I), (II), (III).
Ví dụ 1. Tính tổng 
.
Lời giải. Tổng cần tính hết sức quen thuộc. Sau đây tôi xin đưa ra 3 cách giải bài toán này, trong đó có cách giải sử dụng công thức . Từ đó có thể bình luận về ưu nhược điểm của từng cách.
Cách 1. Số hạng tổng quát của tổng là , với .
Số hạng tổng quát này làm ta nhớ đến công thức 
 .
Áp dụng công thức này, ta biến đổi được tổng như sau
 .
Cách 2. Sử dụng công thức với , ta viết lại tổng đã cho như sau:
 .
Như vậy, ta có
Cộng theo vế hai đẳng thức trên ta được
Vậy .
Cách 3. Dùng đạo hàm 
Ta có (1)
Lấy đạo hàm hai vế của (1) ta được 
 (2)
Trong (2), cho ta được
 .
Nhận xét. 
- Việc dùng cách 1 là hết sức tự nhiên, tạo nên sự đơn giản trong lời giải bài toán. Cách giải này chỉ dùng các kiến thức tổ hợp thuần túy, không mang tính kĩ thuật trong biến đổi, tạo nên sự nhẹ nhàng, dễ hiểu đối với đa số học sinh.
- Hai cách giải còn lại phải biết kết hợp nhiều kiến thức, có nhiều biến đổi mang tính kĩ thuật cao, thậm chí còn phải kết hợp với đạo hàm. Vì vậy, hai cách giải này không hề đơn giản đối với học sinh.
Ví dụ 2. Chứng minh rằng .
Lời giải. Gọi là vế trái của đẳng thức cần chứng minh.
Số hạng tổng quát của là .
Vận dụng công thức ta có 
Do đó .
Ví dụ 3. Chứng minh rằng .
Lời giải. Gọi là vế trái của đẳng thức cần chứng minh.
Ta biến đổi số hạng tổng quát của như sau:
 , với .
Do đó .
Ví dụ 4. Tính tổng với và .
Lời giải. Số hạng tổng quát của là .
Với và và áp dụng công thức hai lần ta có
.
Áp dụng kết quả vừa có, ta được
.
Nhận xét. Ta hãy xem xét cách giải bài toán trên bằng cách kết hợp kiến thức tổ hợp với đạo hàm cấp hai sau đây. 
Ta có (1)
Lấy đạo hàm hai vế của (1) ta được 
 (2)
Lấy đạo hàm hai vế của (2) ta được 
 (3)
Trong (3), cho ta được
 .
Rõ ràng lời giải trên mang tính kĩ thuật cao và khó đối với nhiều học sinh.
Ví dụ 5. Tính tổng .
Lời giải. Áp dụng công thức nhiều lần để biến đổi số hạng tổng quát của như sau:
 .
Suy ra 
 .
Ví dụ 6. Tính tổng 
 với và .
Lời giải. Xét số hạng tổng quát của tổng là , với .
Trong số hạng tổng quát này có biểu thức .
Từ đó áp dụng công thức , ta có
Hoặc: 
Áp dụng kết quả này và chú ý , ta có
.
Nhận xét. Sau đây là hai cách tính tổng trên bằng cách kết hợp kiến thức tổ hợp với đạo hàm.
1) Ta có nên
Cách giải này sử dụng các tổng ở Ví dụ 1 và Ví dụ 4. Đây là kĩ thuật tách tổng cần tính thành hai tổng quen thuộc. Nhưng bản chất của cách giải vẫn là kết hợp kiến thức tổ hợp với đạo hàm nên không hề đơn giản đối với học sinh.
2) Ta có (1)
Lấy đạo hàm hai vế của (1) ta được 
 (2)
Nhân hai vế của (2) với ta được 
 (3)
Lấy đạo hàm hai vế của (3) ta được 
 (4)
Trong (4), cho ta được
 .
Cách giải này rất khó đối với học sinh.
Ví dụ 7 (ĐH khối A năm 2005). Tìm số nguyên dương sao cho 
 (1)
Lời giải. Gọi là vế trái của PT (1). 
Số hạng tổng quát của là .
Đặc điểm của số hạng tổng quát này làm ta nhớ đến công thức
Áp dụng công thức này, ta biến đổi số hạng tổng quát của như sau
 .
Từ đó 
.
Theo giả thiết ta có (thỏa mãn).
Vậy giá trị cần tìm của là .
Nhận xét. +) Sau đây là lời giải dựa vào đạo hàm
Ta có (1)
Đạo hàm hai vế của (1) ta có
 (2)
Trong (2), cho ta được
Theo giả thiết ta có (thỏa mãn).
+) Việc bình luận về hai cách giải trên xin dành cho các bạn.
Ví dụ 8. Tính tổng 
.
Lời giải. Xét số hạng tổng quát của tổng là .
Áp dụng công thức , ta có
.
Nhận xét. 
+) Lời giải trên có ưu điểm là ngắn gọn, dễ trình bày và có hướng giải “tự nhiên”. Quan trọng hơn cả là giáo viên có thể hướng dẫn học sinh giải bài toán ngay cả khi chưa học đạo hàm và tích phân.
+) Sau đây là cách giải bài toán bằng cách dùng tích phân để các bạn xem xét.
Ta có 
Suy ra: 
Ta có: 
Mặt khác:
Vậy: .
Ví dụ 9 (ĐH khối A năm 2007). Chứng minh rằng
.
Lời giải. Gọi là vế trái của đẳng thức đã cho. 
Số hạng tổng quát của là .
Áp dụng công thức , ta có 
Từ đó
 .
Ta có đpcm.
Nhận xét. 
+) Các bạn hãy xem xét lời giải bài toán trên dựa vào tích phân như sau
Ta có 
 (1)
 (2)
Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.
+) Ta thấy cách giải dựa vào tích phân khá phức tạp. Lời giải chỉ dựa vào các công thức về tổ hợp thuần túy ngắn gọn hơn và tiếp cận tự nhiên hơn.
Ví dụ 10. Tính tổng .
Lời giải. Số hạng tổng quát của tổng là .
Áp dụng công thức , ta biến đổi số hạng tổng quát của như sau: .
Suy ra .
Ví dụ 11. Tính tổng .
Lời giải. Số hạng tổng quát của tổng là .
Áp dụng công thức , ta có
.
Suy ra 
.
Ví dụ 12. Tính tổng .
Lời giải. Số hạng tổng quát của tổng là .
Áp dụng công thức , ta có
Suy ra .
Ví dụ 13. Tìm số nguyên dương n thỏa mãn
.
Lời giải. Gọi là vế trái của PT đã cho. 
Số hạng tổng quát của là .
Áp dụng công thức nhiều lần ta có
Từ đó 
Từ đó ta có (vì 
Nhận xét. Mời các bạn xem xét lời giải bài toán trên bằng cách kết hợp kiến thức tổ hợp với tích phân
Với mọi và mọi số nguyên dương n, theo nhị thức Niu-tơn ta có
Suy ra 
Hay , với mọi 
Từ đó ta có (vì 
Ví dụ 14. Tính tổng . 
Lời giải. Số hạng tổng quát của tổng là 
Áp dụng công thức , ta có
Từ đó 
.
Nhận xét. 
+) Đây là bài toán rất khó. Cách giải chỉ dùng kiến thức tổ hợp thuần túy phần nào giảm bớt độ khó đó, tạo ra sự tự nhiên trong định hướng về phương pháp giải quyết bài toán.
+) Mời các bạn xem xét lời giải bài toán có sử dụng kiến thức tổ hợp kết hợp với đạo hàm và tích phân
Ta có (1)
Lấy đạo hàm hai vế của (1) được
 (2)
Ta xác định hằng số C bằng cách trong (2) cho , ta được 
Lấy tích phân trên đoạn [0; 1] hai vế của (2) ta được
Hay: 
. 
Cách giải này rất khó đối với học sinh.
Ví dụ 15. Tính tổng .
Lời giải. Áp dụng công thức hai lần ta biến đổi số hạng tổng quát của là
 .
Vậy .
Ví dụ 16. Tính tổng .
Lời giải. Số hạng tổng quát của là .
Áp dụng công thức ba lần ta có . 
Suy ra 
.
Ví dụ 17 (ĐH khối B năm 2003). Cho là số nguyên dương. Tính tổng:
.
Lời giải. Số hạng tổng quát của là .
Áp dụng công thức , ta có 
.
Từ đó
.
Nhận xét
+) Mời các bạn xem việc tính tổng trên bằng cách kết hợp kiến thức tổ hợp với tích phân và cho bình luận
Ta có 
Suy ra 
+) Cách giải chỉ dùng kiến thức tổ hợp thuần túy có một số ưu điểm sau:
- Đây là cách tính trực tiếp chỉ dùng kiến thức cơ bản của giải tích tổ hợp, không phải dùng đến các kiến thức về tích phân.
- Đề thi hiện nay có mục tiêu là phân loại học sinh, phát huy tính sáng tạo, không dập khuôn, không theo lối mòn trong khi giải toán. Cách giải trên phần nào đáp ứng được mục tiêu đó. Hơn nữa từ cách giải trên cũng có thể đề ra các bài toán khác, chẳng hạn
1. Tính tổng:
2. Tính:
 .
Ví dụ 18. Cho đa thức viết dưới dạng khai triển là 
.
Tính tổng .
Lời giải. Ta có 
Hệ số của số hạng chứa là .
Số hạng tổng quát của tổng là .
Ta có 
Từ đó
Nhận xét. Mời các bạn xem lời giải tính tổng trên bằng đạo hàm và so sánh với cách giải trên.
Ta có 
Céng (1) vµ (2) theo vÕ ta ®­îc: 
.
Hoặc: (3)
Nhân hai vế của (3) với , ta được 
 (4)
Lấy đạo hàm hai vế của (4) ta có
 (5)
Trong (5), cho ta được 
.
Ví dụ 19. Hãy tìm số tự nhiên thỏa mãn 
.
Lời giải. Gọi là vế trái của PT đã cho. 
Số hạng tổng quát của là .
Ta biến đổi
Từ đó
 .
Theo giả thiết ta có .
Nhận xét. Sau đây là cách giải sử dụng đạo hàm để các bạn so sánh.
Ta có (1)
Suy ra với (2)
Lấy đạo hàm hai vế của (2) ta được
 (3)
Trong (3) cho ta được 
Theo giả thiết ta có .
Lời giải này có tính kĩ thuật cao nên rất khó đối với học sinh.
Ví dụ 20. Tìm số nguyên dương thỏa mãn 
Lời giải. Gọi là vế trái của PT đã cho. 
Số hạng tổng quát của là .
Ta có 
Từ đó
Do đó, theo giả thiết ta có (vì )
Nhận xét. Mời các bạn xem cách sử dụng đạo hàm để giải bài toán và cho bình luận.
Ta có (1)
Lấy đạo hàm hai vế của (1) ta được
 (2)
Lấy đạo hàm hai vế của (1) ta được
 (3)
Trong (3) cho ta được
.
Theo giả thi