SKKN Dạy một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức ở lớp 8

MỤC LỤC
1.MỞ ĐẦU
1.1 . Lý do chọn đề tài : 1
1.2. Mục đích nghiên cứu: 1
1.3. Đối tượng nghiên cứu: 1
1.4. Phương pháp nghiên cứu: 2
1.5. Những điểm mới của sáng kiến 2
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN 2
2.1. Cơ sở lý luận : 2 
2.2. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu 2
2.3. Giải pháp và tổ chức thực hiện 3
2.4.Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm 16
3. KẾT LUẬN 17
3.1. Kết luận: 	 17
3.2. Kiến nghị và đề suất biện pháp: 17
4.Tài liệu tham khảo, Một số kí hiệu viết tắt. 0
5. Danh mục sáng kiến kinh nghiệm đã được đánh giá xếp loại
1 . MỞ ĐẦU
1.1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Trong chương trình THCS, Toán học chiếm một vai trò rất quan trọng. Toán học không chỉ giúp học sinh phát triển tư duy, óc sáng tạo, khả năng tìm tòi và khám phá tri thức, vận dụng những hiểu biết của mình vào trong thực tế, cuộc sống mà Toán học còn là công cụ giúp các em học tốt các môn khoa học khác và góp phần giúp các em phát triển một cách toàn diện.
 Từ vai trò quan trọng đó mà việc giúp các em học sinh yêu thích, say mê Toán học, giúp các em học sinh khá giỏi có điều kiện mở rộng, nâng cao kiến thức cũng như kèm cặp, phụ đạo cho học sinh yếu kém môn Toán là một yêu cầu tất yếu đối với giáo viên dạy Toán nói chung. Nhất là đất nước ta đang trong thời kỳ công nghiệp hoá, hiện đại hoá, rất cần những con người năng động, sáng tạo có hiểu biết sâu và rộng...
 Trong chương trình toán THCS các bài toán về Bất đẳng thức chiếm một vị trí cực kỳ quan trọng . Ở lớp 8 bậc THCS các em bắt đầu được học về Bất đẳng thức, việc giải loại toán này đòi hỏi phải vận dụng một cách hợp lí, khá độc đáo và nhiều cách giải . Vì vậy các bài toán về Bất đẳng thức thường xuyên xuất hiện trong SGK, sách nâng cao của các khối lớp. Nó là các bài toán hay giúp học sinh phát triển trí thông minh, sáng tạo, khả năng tư duy Toán học cao.
Mặt khác, trong những năm gần đây, các kỳ thi học sinh giỏi bậc THCS và các kỳ thi tuyển sinh vào trường THPT đặc biệt là thi vào các trường THPT chuyên thường gặp những bài toán về Bất đẳng thức rất phong phú và đa dạng mang tính ứng dụng thực tiễn cao qua đó góp phần hình thành cho học sinh thói quen đi tìm giải pháp tối ưu cho một công việc nào đó trong cuộc sống sau này.
 Tuy nhiên, Qua thực tiễn là giáo viên dạy toán trong các trường THCS tôi nhận thấy phần đông các em học môn Toán rất sợ giải các bài toán về bất đẳng thức là vì các lí do sau đây:
- Không thuộc kiến thức và không nắm vững kiến thức về bất đẳng thức.
- Lí do quan trọng hơn là các em chưa biết cách làm toán bất đẳng thức, chính xác hơn là các em chưa nắm được phương pháp giải các bài toán bất đẳng thức, chưa biết cách trình bày lời giải sao cho đúng, chưa biết cách vận dụng các bất đẳng thức vào giải toán .
 Bởi thế cho nên tôi đã chọn đề tài: “Dạy một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức ở lớp 8.” Nhằm mong muốn nâng cao chất lượng dạy học đại trà và chất lượng học sinh giỏi.
1.2. Mục đích nghiên cứu :
 Với mong muốn tìm ra giải pháp cho học sinh nắm vững phương pháp giải toán bất đẳng thức, từ đó yêu và chủ động tích cực học toán qua đó nâng cao chất lượng học Toán đại trà và chất lượng mũi nhọn. Thông qua đó hình thành kỹ năng tư duy logic, tối ưu khi giải quyết vấn đề gặp phải trong cuộc sống.
1.3.Đối tượng nghiên cứu:
Học sinh lớp 8 trường THCS Hàm Rồng năm học 2017 -2018.
1.4.Phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp đọc tài liệu SGK, sách tham khảo, tài liệu mạng.
- Phương pháp đàm thoại trực tiếp.
- Nghiên cứu và tổng kết kinh nghiệm giáo dục thông qua thực tế dạy học.
Trên cơ sở lý thuyết nghiên cứu các phương pháp, các giải pháp dạy học giải các bài toàn bất đẳng thức điển hình để từ đó học sinh vận dụng vào giải một số bài toán bất đẳng thức.
1.5. Những điểm mới của sáng kiến
 Các phương pháp giải bất đẳng thức được sắp xếp theo thứ tự thường gặp hơn, Các bài toán bất đẳng thức trong giảng dạy có tính khái quát hóa, mở rộng từ dễ đến khó dần, có tính kế thừa vận dụng để rèn kỹ năng, làm cho việc tiếp thu của học sinh trở nên dễ hơn.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN
2.1. CƠ SỞ LÍ LUẬN
 Đề tài: “Dạy một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức ở lớp 8.”mang nội dung vô cùng sâu sắc trong việc giáo dục kỹ năng, phẩm chất trí tuệ thông qua môn Toán. Để dần dần hình thành cho học sinh kỹ năng đi tìm giải pháp tối ưu cho nhiều dạng toán mà các em gặp sau này.
 Các bài toán chứng minh bất đẳng thức rất phong phú , đa dạng có mặt trong nhiều kỳ thi quan trọng như thi học kỳ 2, thi học sinh giỏi, thi tuyển sinh vào lớp 10, thi vào các trường chuyên lớp chọn ...Việc nắm được phương pháp và kỹ năng giải các bài toán bất đẳng thức là yếu tố hết sức quan trọng giúp các em có thành tích cao, có kết quả học tập cao trong học tập, trong các kỳ thi. 	Trong bài viết này, tôi hy vọng đóng góp thêm một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh “Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức ở lớp 8.”
2.2. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
 Thực tiễn dạy và học bộ môn Toán ở Trường THCS Hàm Rồng phương pháp giải toán của học sinh khối 8 còn yếu rất nhiều đặc biệt là chứng minh bất đẳng thức. Trong những năm học vừa qua, tôi được nhà trường phân công giảng dạy toán 8. Qua thời gian giảng dạy tôi thấy ý thức học tập tự giác, sáng tạo của học sinh chưa cao, các em vẫn quen với kiểu học và làm bài thụ động, với các lí do sau đây:
- Không thuộc kiến thức và không nắm vững kiến thức, khi trình bày bài làm thì lúng túng không biết trình bày như thế nào cho đúng.
- Các em chưa biết cách làm Toán mà ta gọi đó là phương pháp, nhất là các phương pháp đặc trưng cho từng dạng Toán.
Hơn nữa về môi trường gia đình và xã hội còn ảnh hưởng nhiều đến học tập của các em như:
- Một số học sinh có phụ huynh đi làm ăn xa, làm công nhân, nên thời gian giám sát, theo dõi, đôn đốc học tập đối với các em chưa tốt.
- Một số gia đình có hoàn cảnh khó khăn nên chưa đầu tư nhiều vào việc học của con em, như các loại sách tham khảo hầu như không có.
- Phong trào hiếu học của địa phương chưa thực sự lớn mạnh nên các em theo trào lưu đó mà không có quyết tâm học.
- Một số em còn bị lôi cuốn bởi các trò chơi điện tử, còn bị các trào lưu mà các mạng xã hội tác động làm các em bị lôi cuốn vào các hình tượng, thần tượng ảo dẫn đến lười học, xao nhãng trong học tập.
2.3. GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN
2.3.1. GIẢI PHÁP:
 Để thực hiện, tôi đã áp dụng một số giải pháp sau:
- Soạn bài một cách đầy đủ, chi tiết, phân dạng dạy theo đối tượng. Mỗi dạng toán bất đẳng thức sẽ trình bày theo hình thức từ dễ đến khó dần, các bài toán bất đẳng thức được phát triển theo hướng từ đơn giản đến phức tạp. Các bài toán bất đẳng thức sau khó hơn nhưng được phát triển, khái quát hóa từ bài toán trước, bài toán quen thuộc mà học sinh đã nắm được trước đó qua đó giúp học sinh hứng thú và cảm thấy các bài toán bất đẳng thức đỡ khó hơn, từ đó yêu, hứng thú học, giải toán bất đẳng thức hơn.
- Hướng dẫn học sinh học tập. Cho học sinh nắm vững kiến thức cơ bản sách giáo khoa, có đủ các dạng toán, bên cạnh đó còn mở rộng bằng những tài liệu khác để củng cố, nâng cao. Nghiên cứu, phân loại các dạng bài tập sao cho phù hợp với từng đối tượng học sinh và từng phần kiến thức cụ thể.
- Tổ chức cho các em học tập chuyên đề này bằng các lồng ghép vào các tiết luyện tập trong phần bất đẳng thức trong giờ luyện tập chính khóa, trong các buổi dạy phụ đạo cho các đối tượng học sinh tùy theo đối tượng và khả năng tiếp thu của học sinh để đưa ra bài tập ở các mức độ khác nhau, Đồng thời hướng dẫn định hướng cho học sinh khá giỏi tự học, tự nghiên cứu các dạng toán tại nhà.
- Thực hiện giảng dạy theo phương pháp mới là hướng người học làm trung tâm.
- Bồi dưỡng học sinh thì luôn phải thường xuyên kiểm tra, đánh giá, sửa lỗi, an ủi, động viên học sinh trong quá trình giảng dạy trên lớp để các em thêm tự tin, hứng thú học tập.
2.3.2. CÁC BIỆN PHÁP ĐỂ TỔ CHỨC THỰC HIỆN
2.3.2.1. Các kiến thức cơ bản cần vận dụng
a. Định nghĩa bất đẳng thức. [1]
a nhỏ hơn b, kí hiệu là a < b, nếu a – b < 0.
a lớn hơn b, kí hiệu là a > b, nếu a – b > 0.
a nhỏ hơn hoặc bằng b, kí hiệu là a b, nếu a - b 0.
a lớn hơn hoặc bằng b, kí hiệu là a b, nếu a - b 0.
b. Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức. [5]
Tính chất 1: a > b b < a
Tính chất 2: a > b, b > c a > c
Tính chất 3: a > b a + c > b + c
a > b a – c > b - c
a + c > b a > b - c
Tính chất 4: a > c, b > d a + b > c + d
a > b, c < d a - c < b - d
Tính chất 5: a > b, c > 0 c > b.c
a > b, c < 0 a.c < b.c
Tính chất 6: a > b 0, c > d 0 a.c > b.c
Tính chất 7: a > b > 0 a > b
a > b a > b với n lẻ.
 > a > b với n chẵn.
2.3.2.2. Một số phương pháp chứng minh Bất đẳng thức.
a. Phương pháp dùng định nghĩa:
Để chứng minh bất đẳng thức A > B, ta xét hiệu A - B, rồi suy ra A - B > 0.[3]
Ví dụ 1: Cho a, b, c, d, e là các số thực.
 Chứng minh rằng: [9]
Giải
Ta có 
Xét hiệu 
Do với mọi a, b; với mọi a, c; với mọi c, b.
Suy ra 
Dấu “ = ” xảy ra 
Ví dụ 2: Cho a, b là 2 số thực dương.
Chứng minh rằng: (a + b) (a+ b) 2 (a+ b) [4]
Giải:
Xét hiệu: (a + b) (a+ b) - 2 (a+ b)
= a(a+b) + b (a+b) - 2 a- 2 b
= a + ab + ba+ b - 2 a- 2 b
= - a- b+ ab + ba
= a(b- a) + b (a- b)
= a(b- a) - b (b- a)
= - (a - b) (a- b) (a+ ab + b)
= - (a - b) (a+ ab + b)
Vì a, b, là 2 số thực dương nên: (a –b )2 0, a+ ab + b > 0
Suy ra: 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b
Cho học sinh các bài tập rèn luyện có cùng dạng cách làm phát triển nâng cao dần từ bài tập đã làm để học sinh luyện giải tại lớp và ở nhà
Bài 1: Cho a, b, c, d, e Î R. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) [9]
b) 
c) [5]
d) 
e) [8]
f) [7]
k) a+ b+ c+ d+ e a (b + c + d + e) 
Hướng Dẫn
a) Nhân hai vế với 2, rồi xét hiệu VT - VP
Û => Đpcm
b ) Xét hiệu VT – VP = => Đpcm
c) Û => Đpcm
d) Xét hiệu 
Û => Đpcm
f) Xét hiệu => Đpcm
k ) Xét hiệu => Đpcm
Bài 2 : Cho a, b, c Î R. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) [7]
b) ; với a, b ³ 0
c) 
d) 
e) , với a, b, c > 0.
f) ; với a, b ¹ 0.
g) ; với ab ³ 1.
h) với ab > 0.
Hướng Dẫn: Thực hiện xét hiệu các vế của bất đẳng thức
a) ; => Đpcm.
b) Xét hiệu VT- VP = = với a, b ³ 0 => Đpcm.
c) Xét hiệu VT- VP = = => Đpcm .
d) Xét hiệu VT- VP = = 
vì => Đpcm
e) Chú ý: .
Xét hiệu VT- VP = = => Đpcm.
f) Xét hiệu VP- VT = = => Đpcm	.
g) Xét hiệu VT- VP = = 
h) Xét hiệu VT- VP = = => Đpcm.
b. Phương pháp biến đổi tương đương.
Để chứng minh bất đẳng thức A > B, ta biến đổi tương đương (dựa vào các tính chất của bất đẳng thức) A > B C > D và cuối cùng đạt được bất đẳng thức đúng C >D . Khi đó ta kết luận rằng A > B. 
Ví dụ 3 : Cho a, b là các số thực. Chứng minh rằng 
Giải :
Ta có 
Bất đẳng thức là bất đẳng thức đúng . Mặt khác các phép biến đổi trên là tương đương . Vậy bất đẳng thức phải là bất đẳng thức đúng.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b
Hướng dẫn, yêu cầu học sinh giải các bài toán sau :
Bài tập 3 Cho a, b, c, d Î R.). Áp dụng bất đẳng thức (*) chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) 
b) 
c) 
Hướng Dẫn
a) Sử dụng ; => Đpcm
b) Sử dụng => Đpcm
c) Sử dụng => Đpcm
Ta đưa ra ví dụ mở rộng và bài tập ứng dụng sau
Ví dụ 4: Chứng minh rằng: 
Giải
Ta có 
 Vì ; ; 
Suy ra . Dấu “ = ” xảy ra a = b = c
Hướng dẫn, yêu cầu học sinh giải các bài toán sau :
Bài tập 4: Cho a, b, c Î R. Áp dụng bất đẳng thức: (1). Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) 	b) 
c) 	d) 
Hướng dẫn
a) Khai triển, rút gọn, đưa về (1)
b) 
c) Khai triển, rút gọn, đưa về (1)
d) Sử dụng (1) hai lần
c. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức thông dụng.
+ Bất đẳng thức Côsi (Cauchy) [5]
Với x 0, y 0 
Dấu “=” xảy ra khi x = y
Chứng minh:
- Ta có với x 0, y 0 
Xét hiệu 
 . Dấu “=” xảy ra khi x = y
+ Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-x-ki (Bunhiacopxki) [5]
Với mọi số a, b, x, y ta có: (a + b)(x + y) (ax + by)
Dấu “=” xảy ra khi ay = bx
Chứng minh:
Xét hiệu: (a + b)(x + y) - (ax + by)
= ax + ay + bx + by - ax - by - 2axby
= ay - 2axby + bx
= (ay - bx) 0
Dấu “=” xảy ra khi ay = bx
+ Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối. [4]
Với mọi số a, b R ta có: + 
Dấu “=” xảy ra khi a.b 0.
Chứng minh: Ta có:
 + (1) với mọi a, b.
a + 2 + b a + 2ab + b (vì 2 vế không âm)
 2 2ab
 ab (2)
Vì bất đẳng thức (2) đúng nên bất đẳng thức (1) đúng.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a.b 0.
Ví dụ 5 Cho a, b, c > 0. Chứng minh (1). [9]
Giải :
Ta có 
Vì theo BĐT cauchy ta có 
Dấu “ = ” xảy ra khi a = b = c > 0
Hướng dẫn cho học sinh vận dụng ví dụ để giải bài toán sau:
Bài tập 5:
Cho a, b, c >0. Chứng minh các BĐT sau
.
Cho x, y, z > 0 thoả . Tìm GTLN của biểu thức:
.
c) Cho a, b, c > 0 thoả . Tìm GTNN của biểu thức:
P = .
d) Cho a, b, c > 0 thoả . Chứng minh: .
Hướng dẫn :
a) Áp dụng (1) ta được: .
Þ VT ³ 
Chú ý: .
b) Để áp dụng (1), ta biến đổi P như sau:
P = = 
Ta có: . Suy ra: P £ .
*Chú ý: Bài toán trên có thể tổng quát như sau: Cho x, y, z > 0 thoả và k là hằng số dương cho trước. Tìm GTLN của biểu thức:
P = .
c) Ta có: P ³ .
d) VT ³ 
= 
³ 
Chú ý: .
Ví dụ 6: Cho a, b > 0. Chứng minh (1). [4]
Giải :
Ta có 
vì do a, b >0
Dấu “ = ” xảy ra khi a = b
Bài tập 6: Áp dụng bất đẳng thức chứng minh các bất đẳng thức sau
a) ; với a, b, c > 0.
b) ; với a, b, c > 0.
c) Cho a, b, c > 0 thoả mãn .
Chứng minh: 
d) ; với a, b, c > 0.
e) Cho x, y, z > 0 thoả mãn . Chứng minh: .
f) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là nửa chu vi.
Chứng minh rằng:	.
Hướng dẫn :
a) Áp dụng (1) ba lần ta được: .
Cộng các BĐT vế theo vế ta được đpcm.
b) Tương tự câu a).
c) Áp dụng a) và b) ta được: .
d) Theo (1): Û .
Cùng với các BĐT tương tự, cộng vế theo vế ta được đpcm.
e) Áp dụng câu d) với a = x, b = 2y, c = 4z thì Þ đpcm.
f) Nhận xét: (p –a) + (p – b) = 2p – (a + b) = c.
Áp dụng (1) ta được: .
Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta được đpcm.
Ví dụ 7: Cho A = 2x(16 – 2x) và 0 < x < 8. Chứng minh rằng: A 64
Giải:
Với 0 0 ; 16 – 2x > 0
Theo bất đẳng thức CôSi ta có:
64 2x(16 – 2x)
Hay 2x(16 – 2x) 64
Hay A 64
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2x = 16 – 2x x = 4
Ví dụ 8: Chứng minh rằng : với a + b =1 và m + n = 1 [7]
Giải:
Theo bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-x-ki ta có:
(am + bn) ( a + b)( m + n)
(am + bn) 1
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi : an = bm
Ví dụ 9: Cho 3 số x, y, z thỏa mãn điều kiện: xy + yz + xz = 4
Chứng minh rằng: x + y+ z 
Giải:
Theo bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-x-ki ta có:
(xy + yz + xz) (x+y+z)(x+y+z)
 16 (x+y+z) (1)
Ta lại có: (x+y+z) 1(1 + 1 + 1) (x+y+z) = 3(x+y+z) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: 16 3(x+y+z)
3(x+y+z) 16
 x+y+z 
Ví dụ 10 : Cho: A = . Chứng minh rằng: A 1 với mọi x. [2]
Giải:
Ta có: A = 
= 
Theo bất đẳng thức giá trị tuyệt đối :
A = = 1
Hay : A 1 với mọi x.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi : 2004 x 2005
d. Phương pháp dùng các tính chất của bất đẳng thức. 
Ví dụ 11 : Cho a, b, c, > 0. Chứng minh rằng nếu thì (1).[2]
Giải
Ta có với a > 0 , b > 0
 ( Chia 2 vế cho )
Vậy suy ra nếu thì (1).
Yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức ví dụ 5 để làm bài toán sau :
Bài tập vd 11 : Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) [9]
b) 
c) 
Hướng dẫn :
a) Sử dụng (1), ta được: 	 ;
;
.
Cộng các BĐT vế theo vế, ta được đpcm ( Điều phải chứng minh )
b) Sử dụng tính chất phân số, ta có:	
Tương tự: 	;	;
Cộng các BĐT vế theo vế ta được đpcm.
c) Chứng minh tương tự câu b). Ta có:	
Cùng với 3 BĐT tương tự, ta suy ra đpcm.
Ví dụ 12: Chứng minh rằng. Với mọi a, b ta có: a + b + 4 ab + 2(a + b)
Giải:
a + b + 4 ab + 2(a + b)
2a + 2b + 8 2ab + 4(a + b) (Nhân cả 2 vế với 2)
2a + 2b + 8 - 2ab - 4a - 4b 0
(a - 2ab + b) + (a - 4a + 4) + (b - 4b + 4) 0
 (a - b) + (a – 2) + (b - 2) 0 Với mọi a, b .
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = 2.
Ví dụ 13: Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện: x + y + z 6
Chứng minh rằng: [8]
Giải:
Nhân 2 vế của bất đẳng thức: x + y + z 6 với > 0
Ta được bất đẳng thức: (x + y + z) ( ) 6()
1 + ( ) + 1 + ( ) + 1 + ( ) 6() 
Vì x > 0, y > 0, z > 0 nên ta có: 2, 2, 2
Vì thế bất đẳng thức (1) tương đương với:
6() 3 + 2 + 2 + 2
6() 9 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 2.
Ví dụ 14: Cho a, b là 2 số dương . Chứng minh rằng: a+ b ab(a + b) [9]
Giải:
Ta có a+ b ab(a + b)
(a + b) (a- ab + b) ab(a + b) (Chia cả 2 vế cho a + b > 0)
(a- ab + b) ab
(a- 2ab + b) 0
(a - b) 0
Đúng với mọi a, b.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b
Ví dụ 15: Cho x, y là 2 số dương, thỏa mãn điều kiện: x+ y x - y > 0
Chứng minh rằng: x + y < 1 
Giải:
Ta có x + y < 1
(x - y)(x + y) 0 )
 (x - y)(x + y) < x+ y
x (x + y) - y(x + y) < x+ y
 x+ x y - xy - y < x+ y
 -2y+ xy - xy < 0
- y (x + 2y - xy) < 0
 y (x + 2y - xy) > 0 (Nhân cả 2 vế với – 1 )
 y[( x - ) - + 2 y] > 0
 y[( x - ) - + y] > 0
 y[( x - ) - ] > 0 Với mọi x, y.
Vậy : x + y < 1
Ví dụ 16: Cho x, y, z là 3 số dương, thỏa mãn điều kiện: x + y + z= 
Chứng minh rằng: 
Giải:
Ta có (x + y - z) 0
x + y + z 2(yz - x y + xz)
 2(yz - x y + xz) (Vì : x + y + z= )
 yz - x y + xz (Chia cả 2 vế cho 2 )
 yz - x y + xz 
 yz - x y + xz < 1
 (Chia cả 2 vế cho xyz > 0 )
Ví dụ 17: Cho 2 số a, b thỏa mãn điều kiện: a + b = 1 .
Chứng minh rằng: a+ b [5]
Giải:
Ta có: a + b = 1
(a + b) = 1
a+ 2ab + b = 1 
Ta lại có : (a - b) 0
 a- 2ab + b 0 
Cộng (1) và (2) theo vế ta được: 2(a + b) 1
a + b Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = 
Ví dụ 18: Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: x + y + z = 4
Chứng minh rằng: x + y xyz
Giải:
Ta có : (x - y) 0
x + y 2xy
 x + y + 2 xy 4xy (Cộng cả 2 vế với 2xy > 0 )
 (x + y) 4xy 
Suy ra: [(x + y) + z ] 4(x + y)z
 16 4(x + y)z (vì : x + y + z = 4)
16 (x + y) 4 (x + y). z (Nhân cả 2 vế với x + y > 0 )
Theo (1) (x + y) 4xy
Nên: 16 (x + y) 4 (x + y). z 4.4xyz
16 (x + y) 16xyz
x + y xyz
e. Phương pháp chứng minh phản chứng.
Ví dụ 19: Chứng minh rằng không có 3 số dương a, b, c nào thỏa mãn cả 3 bất đẳng thức sau:
a + ; b + ; c + . [9]
Giải:
Giả sử tồn tại 3 số dương a, b, c thỏa mãn cả 3 bất đẳng thức :
a + ; b + ; c + .
Cộng từng vế 3 bất đẳng thức trên ta được:
a + + b + + c + < 6
(a + ) + ( b + ) + (c + ) < 6 (1)
Vì: a > 0, b > 0, c > 0 nên: a + 2; b + 2; c + 2
Như vậy : (a + ) + ( b + ) + (c + ) 6 Điều này mâu thuẫn với (1)
Vậy không tồn tại 3 số dương a, b, c thỏa mãn cả 3 bất đẳng thức đã cho.
Ví dụ 20: Chứng minh rằng không có 3 số dương a, b, c nào thỏa mãn cả 3 bất đẳng thức sau:
4a(1 - b) > 1; 4b(1 - c) > 1; 4c(1 - a) > 1.
Giải:
Giả sử tồn tại 3 số dương a, b, c thỏa mãn cả 3 bất đẳng thức :
4a(1 - b) > 1; 4b(1 - c) > 1; 4c(1 - a) > 1.
Nhân theo từng vế các bất đẳng thức trên ta được:
64abc(1 - a)(1 - b)(1 - c) > 1 (*)
Ta lại có: 4a(1 - a) – 1 = 4a - 4a – 1 = - (2a – 1) 0
Suy ra: 4a(1 - a) 1 (1)
Tương tự ta có: 4b(1 - b) 1 (2)
 4c(1 - c) 1 (3)
Từ giả thiết phản chứng và từ a, b, c dương , suy ra:
1 – a > 0; 1 – b > 0; 1 – c > 0.
Do đó nhân theo từng vế các bất đẳng thức (1); (2); (3) ta được:
64abc(1 - a)(1 - b)(1 - c) 1 (**)
Điều này mâu thuẫn với (*) . Vậy không tồn tại 3 số dương a, b, c thỏa mãn cả 3 bất đẳng thức đã cho.
f. Phương pháp quy nạp toán học. 
Ví dụ 21: Chứng