SKKN Dạy học sử dụng điểm rơi bất đẳng thức cho học sinh lớp 8

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ.
1. Lý do chọn đề tài.
Trong các yêu cầu của việc giải bài tập toán nói chung và chứng minh các bất đẳng thức toán học nói riêng thì việc tìm hiểu sự liên hệ của bài này đối với bài khác của bất đẳng thức này đến bất đẳng thức khác là một trong những yêu cầu cần đặt ra đối với học sinh. Trong quá trình giảng dạy môn Đại số ở trường THCS tôi nhận thấy các bài tập về phần bất đẳng thức đều mang đậm một nội dung phong phú và đa dạng. Ở những bài tập khó có tiềm ẩn đòi hỏi sự khai thác sáng tạo, phát hiện để mang lại những kết quả đầy lý thú, kiến thức mở rộng và sâu sắc. Tuy nhiên để làm được điều đó thì đòi hỏi ở thày và trò một quá trình làm việc nghiêm túc mang tính sáng tạo. Việc phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh có thể diễn ra theo nhiều hướng, nhiều mức độ khác nhau, nâng cao dần sự tiếp thu của học sinh. Có thể từ những gợi ý ban dầu ta giải quyết bài toán một cách rể ràng điển hình là những bài bất đẳng thức di đôi với bài bất đẳng thức là kỷ thuật điểm rơi nếu không dạy cho học sinh thì quả là một thiếu sót của giáo viên. Với kỷ thuật điểm rơi có những điểm rơi ở ngay tại biên có những điểm rơi roi vào vị trí trung tâm . Trên cơ sở trên tôi đã chọn tôi viết sáng kiến kinh nghiệm :"Dạy học sử dụng điểm rơi bất đẳng thức cho học sinh lớp 8" áp dụng cho học sinh lớp 8.
2. Mục đích nghiên cứu
Hệ thống cho học sinh một số vấn đề về lý thuyết. 
Phát huy khả năng suy luận, tư duy lôgíc, óc phán đoán, sự linh hoạt, sáng tạo của học sinh khi giải các bài tập về bất đẳng thức trong chương trình Đại số lớp 8.
Góp phần nâng cao chất lượng dạy và học trong trường phổ thông, đặc biệt trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi và ôn thi vào lớp 10.
3. Đối tượng nghiên cứu
 Nghiên cứu dạy học sử dụng điểm rơi bất đẳng thức cho học sinh lớp 8 là một phần quan trọng của đại số 8 trong chương Toán THCS. Phần nhiều những bài toán khó của đại số là bài bất đẳng thức xuất phát từ yêu cầu của những đề thi. Một phần nào những kiến thức khó của đại số lớp 8 đó là bất đẳng thức.
4. Phương pháp nghiên cứu 
 4.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận 
“Phát triển tư duy khoa học” và “tăng cường ở các em ý thức, năng lực vận dụng một cách thông minh những điều đã học”.
 4.2 Phương pháp quan sát 
Nhìn nhận lại quá trình học tập môn toán của học sinh của trường trong năm học vừa qua..
Đưa ra một số biện pháp để nâng cao kết quả học tập cho học sinh của trường trong giai đoạn hiện nay.
PHẦN 2: NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Xuất phát từ thực tiễn giảng dạy và trước bức xúc cuả việc phụ đạo học sinh yếu và bồi dưỡng học sinh khá giỏi trong các kỳ thi. Tôi đã tập trung nghiên cứu thông qua một số tài liệu và qua thực tế giảng dạy để viết đề tài này, hy vọng giúp cho các em học sinh có một công cụ để giải các bài toán về bất đẳng thức và qua đó phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh. Bên cạnh đó tôi hy vọng đem lại sự định hướng cho bồi dưỡng học sinh khá giỏi cho các bạn đồng nghiệp. 
Thông qua kinh nghiệm sáng kiến này và cùng với sự tự nghiên cứu, học hỏi các bạn đồng nghiệp tôi đã rút ra được bài học kinh nghiệm:
- Trước một bài bất đẳng thức của các đề thi: từ đề thi học kì , đề thi học sinh giỏi đến đề thi vào lớp 10 các em chưa định hình được lời giải tôi cung cấp cho các em thêm một phương pháp đó là kỷ thuật điểm rơi 
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Khigiảng dạy trên lớp gặp một số bài tập về bất đẳng thức tôi thấy học sinh còn rất nhiều lúng túng trong việc làm bài tập ,hay định hướng cách làm ,đặc biệt là học sinh học ở mức độ trung bình 
Thực hiện việc kiểm tra một vài bài tập về nội dung đề tài thấy 
Số lượng học sinh
Điểm giỏi
Điểm khá
Điểm trung bình
Điểm yếu
Điểm kém
38
1
21
15
1
0
 Trước vấn đề trên tôi thấy việc cần thiết phải hướng dẫn học sinh Dạy học sử dụng điểm rơi bất đẳng thức cho học sinh lớp 8 là một việc cần thiết cho học sinh , để giúp học sinh có thêm kiến thức về bất đẳng thức , tao điều kiện cho học sinh khi làm bài tập về bất đẳng thức 
2.3 Những giải pháp đã sử dụng
 A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT.
I- NHỮNG KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
	Trước hết để chứng minh được các bất đẳng thức toán học thì học sinh phải nắm được định nghĩa và các tính chất sau đây:
1. Định nghĩa: Ta gọi hệ thức dạng a > b (hay dạng a < b; a £ b; a ³ b) là bất đẳng thức
 Nếu a > b Û a - b > 0; Nếu a ³ b Û a - b ³ 0;
2. Tính chất:
- Nếu a a;
- Nếu a < b, "c Þ a + c < b + c;
- Nếu a bc;
- Nếu a 0 Þ ac < bc;
- Nếu a 0 Þ 
1
> 
1
a
b
 A(x) 2 ³ 0 " A(x) dấu "=" Û A(x) = 0; 
- A(x) 2 £ 0 " A(x) dấu "=" Û A(x) = 0;
Trên cơ sở định nghĩa và tính chất của bất đẳng thức xây dựng đường lối tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức.
a) m là giá trị lớn nhất của f(x) trên miền (D) nếu như hai điều kiện sau đồng thời xảy ra:
1.	 f(x) £ m " x Î(D)
2. 	tồn tại x0 Î (D) : f(xo) = m.
Khi đó kí hiệu m = max f(x) 
b) m gọi là giá trị nhỏ nhất trên miền (D) của f(x) nếu như hai điều kiện sau đồng thời thoả mãn:
1.	 f(x) ³ m " x Î(D).
2. 	tồn tại x0 Î (D) sao cho f(xo) = m.
Khi đó kí hiệu m = min f(x)
Bất đẳng thức +, a2+b2 2ab
 +,Với a,b >0 ta có Bất dẳng thức Đúng
 +, Với a,b >0 ta có Bất dẳng thức Đúng
Tất cả 3 dạng bất đẳng thức trên gọi là Bất đẳng thức (*)
MỘT SỐ KỸ THUẬT 
CHỌN ĐIỂM RƠI CỦA BẤT ĐẲNG THỨC 
A. MỘT SỐ QUY TẮC CHUNG KHI SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ- SI
1. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị đạt được tại biên và gần 
 biên.
Bài tâp 1 (Đề học kì II lớp 9 năm học 2016-2017). 
Cho là các số thực dương thỏa mãn . 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : .
Phân tích : Điểm rơi vào phần tử cực biên khi x=3y
Bài giải: Ta có: (BĐT Cô – Si và và BĐT (*)) 
Dấu “=” xảy ra ó x = 3y 
Kết luận: GTNN của A là 15 khi x = 3y
Bài tâp 2( Đề thi vào lớp 10 Tỉnh Thanh Hóa 2012-2013) Cho hai số thực a; b thay đổi , thoả mãn điều kiện a + b 1 và a > 0
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu- thức A = 
Phân tích: Dự đoán điểm rơi là vì a=b= mà a+b=1 nên 
 nên ta ghép 
Bài giải:Tìm GTNN của A = với a+ b và a > 0
Cách 1:Từ a+ b b - a ta có: 
 Dấu bằng xảy ra khi a = 
Vậy GTNN của A = khi a = b = 
Cách 2: Từ a+ b b - a ta có: 
Khi vì với a > 0 thì Dấu bằng xảy ra khi a = 
Nên từ (1) suy ra: A 0 + hay A . 
Vậy GTNN của A = khi a = b = 
Bài tâp 3: (Đề thi vào lớp 10 Tỉnh Thanh Hóa 2016-2017)Cho các số thực dương a, b, c sao cho abc = 1. 
	 Chứng minh: 
Phân tích : điểm rơi a=b=c=1 
Đưa Vế trái 
Bài giải:Vì a, b, c là các số dương nên
 Tương tự ta có: ; 
Khi đó: 
Dấu “ =” xảy ra khi a = b = c = 1
Bài tâp 4(Đề thi vào lớp 10 tỉnh Thanh Hóa 2013-2014) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: ab + bc + ca 3.
Chứng minh rằng: 
Phân tích:Dự đoán điểm rơi là a=b=c=1 nên ta có giá trị khi a=b=c=1
Nên ta có b+3c=4 nên mẫu số của b+3c=16 ta có cặp
Bài giải: Áp dụng cosi: 
VT + (++) 
VT - Dấu bằng xảy ra khi: 
 (do a;b;c dương)
Bài tâp 5(Đề thi vào lớp 10 tỉnh Thanh Hóa 2014-2015)
 Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn xyz = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
Phân tích: điểm rơi là a=b=c=1 nên ta thấy ngay giá trị nhỏ nhất của Q là 1
Bài giải:
Với x, y, z là các số dương thỏa mãn xyz = 1 ta đặt x = a3, y = b3, z = c3 abc = 1
Khi đó ta có: 
Tương tự:
 Vậy GTLN của Q = 1 khi a = b = c, hay x = y = z =1
2. Kỷ thuật chọn điểm rơi ở tại tâm
Bài tâp 1: (Đê thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn năm học 2016-2017). 
 Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn: . 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Phân tích: Chẩn hóa bất đẳng thức đưa về dạng 
Áp dụng bất dẳng thức 
Điểm rơi xẩy ra khi 
Bài giải:
Ta có:
 (1) 
Áp dụng BĐT:
 (Dấu bằng Û )
 (2)
Lại áp dụng BĐT trên:
 (Dấu bằng Û x = y = z)
 (3)
 (Dấu bằng Û 
Kết hợp (1) (2) (3) ta được: 
 Dấu bằng Û 
Bài tâp 2: (HSG Huyện Hoằng Hóa năm học 2014-2015). 
Cho a, b, c > 0; a + b + c = 3. Chứng minh rằng: 
 .
Phân tích :Đây là kỹ thuật BĐT cô si ngược chiều 
Nên ta phài dùng ngược lại bằng cách thếm dấu “-“
Sau đó áp dụng BĐT 1+b2 2b
CM BĐT a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca 
=> ab + bc + ca +2( ab + bc + ca) 2(ab + bc + ca )+ a2 + b2 + c2 =(a+b+c)2 
 =9
Chứng minh:
Do a, b > 0 và 1 + b2 ≥ 2b với mọi b nên . 
Tương tự ta có : ; 
mà a + b + c = 3 nên (1)
Cũng từ a + b + c = 3 Þ (a + b + c)2 = 9
 Û a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 9 
mà a2 + b2 ≥ 2ab; b2 + c2 ≥ 2bc; c2 + a2 ≥ 2ac nên a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca suy ra 3(ab + bc + ca) £ 9 Û ab + bc + ca £ 3 (2). 
Từ (1) và (2) suy ra đpcm. 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
Bài tâp 3: (HSG Huyện Hoằng Hóa năm học 2012-2013). 
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: x + y + z = 1. 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .
Phân tích : điểm rơi xảy ra khi x=y=z= 
Bài giải
Vì x + y +z = 1 nên:
Ta có: 
Tương tự: ; ( Với mọi x, y, z > 0)
Từ đó . Dấu “=” xảy ra khi 
Vậy GTNN của M là khi 
Bài tâp 4: (HSG Huyện Hoằng Hóa năm học 2011-2012). 
Cho hai số a, b thoả mãn a + b ≠ 0. Chứng minh rằng: a2 + b2 + ≥ 2.
Chứng minh:
Ta có a2 + b2 + ≥ 2 Û (a2 + b2)(a + b)2 + (ab + 1)2 ≥ 2(a + b)2
Û (a + b)2 [(a + b)2 – 2ab] – 2(a + b)2 + (ab + 1)2 ≥ 0 
Û (a + b)4 – 2ab(a + b)2 – 2(a + b)2 + (ab + 1)2 ≥ 0 
Û (a + b)4 – 2(a + b)2(ab + 1) + (ab + 1)2 ≥ 0 
Û [(a + b)2 – ab - 1]2 ≥ 0 suy ra đpcm.
Bài tâp 5: (HSG Huyện Hoằng Hóa năm học 2015-2016). 
Cho a, b, c > 0 thỏa mãn : a2 + b2 + c2 = 1.
 Chứng minh rằng: .
Phân tích: + Điểm rơi tại tâm a=b=c(= )
 + Một bất đẳng thức quen thuộc là (a+b)2 4ab( dấu “=” xẩy ra khi a=b
 + Do vậy ta cần biến đổi 1-ab về -4ab như vậy ở mẫu là bặc 2 nên ta biến đổi tử thành bậc 2 
+ 2(a2+b2) (a+b)2
+Kỹ thuật dạng cộng mẫu số engl của bất đẳng thức cô si
Do vậy 
 (sử dụng (a+b)2 4ab)
 ( nguyên lý đồng bậc)
 ((a2+b2) (a+b)2 )
 ( sử dụng BDT mẫu số dạng engl của BĐT cô si)
Chứng minh:
Nhận xét: Ta có thể chứng minh
+ (a+b)2 4ab
+ 2(a2+b2) (a+b)2
+
Bài tâp 6 (Đề thi vào lớp 10 tỉnh Thanh Hóa 2011-2012) Cho u, v là các số dương thoả mãn u + v = 4.
 Tìm giá trị nhỏ nhất của: P = u2 + v2 + 
Phân tích : Điểm rơi của BĐT là u=v=2
Bài giải: Ta có: u + v = 4 u2 + v2 = 16 – 2uv
Mặt khác: u, v là các số dương nên áp dụng bất đẳng thức cô si ta có:
4uv (u + v)2 4uv 16 uv 4 
P = u2 + v2 + = 16 – 2uv + 16 – 2.4 + = 
P = khi u = v và u + v =4 u = v = 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là khi u = v = 2 
Bài tâp 7: (Đề thi vào lớp 10 tỉnh Thanh Hóa 2009-2010) Cho các số thực t, u, v thoả mãn: u2 + uv + v2 = 1- 
 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: D = t + u + v
Phân tích: Dự đoán u=v=t nên giá trị nhỏ nhất D= 
giá trị lớn nhất D=
Bài giải:Ta có: D2 = (t + u + v)2 = u2 + v2 + t2 + 2uv + 2ut + 2vt (1)
Mặt khác: Theo giả thiết u2 + uv + v2 = 1- 2uv = 2 - 2u2 - 2v2 -3t2 (2)
Thay (2) vào (1) ta được: D2 = 2 - u2 - v2 -2t2 + 2ut + 2vt = 2 – (u - t)2 – (v - t)2 2
D2 = 2 khi hoặc 
 - D 
Vậy: giá trị nhỏ nhất của D là - khi 
Giá trị lớn nhất của D là khi 
3. Kỷ thuật chọn điểm rơi ở gần tâm
Bài tâp 1: (Đề thi vào lớp 10 tỉnh Thanh Hóa 2007-2008) 
 Cho hai số tự nhiên a, b thoả mãn điều kiện: a + b = 2005. Tìm giá trị lớn nhất của tích ab.
Phân tích: điểm roi lân cận phần tử trung bình giá trị lớn nhất khi a=1003 và b=1004 hoặc a=1004 và b=1003
Bài giải: Từ a + b = 2005 a = 2005 - b Khi đó: ab = (2005 - b). b
 = 
 Dấu “=” xẩy ra khi a=1003 và b=1004 hoặc a=1004 và b=1003
Vậy giá trị lớn nhất của ab bằng 505012 khi a=1003 và b=1004 hoặc a=1004 và b=1003
Bài tâp 2: (Đề thi vào lớp 10 tỉnh Thanh Hóa 2006-2007) Chứng minh rằng với a > 0 ta có:
Phân tích : điểm rơi xẩy ra khi a=1
Bài giải:
Với a > 0 Ta có: 
Dấu “=” xẩy ra khi: Vậy: Với a > 0
- Kiểm tra lớp 8 E - Tổng số học sinh: 38 h/s thoài gian kiểm tra 20 phút; 
Bài tập kiểm tra : (Đề thi HKII toán 8 năm học 2016-2017 )
 Cho các số thực dương a, b, c 
	Chứng minh rằng 
Phân tích :Đây là bài BĐT thi vào lớp 10 năm học 2016-2017 và năm 2014-2015 của tỉnh Thanh Hóa mấu chốt là BĐT và điểm rơi là x=y
Bài gải: Ta có 
Do đó: 
Tương tự:
 Vậy GTLN của A = 1 khi a = b = c
4. Hiệu quả của biện pháp:
Trong quá trình dạy học ở bậc THCS Tôi nhận thấy rằng các em học sinh rất có nhu cầu về tính nhẩm, do đó trong các tiết học tự chọn việc đưa các cách tính nhẩm cho học sinh gây nên hứng thú học tập cho các em rất cao, nên sau khi đưa các cách tính nhẩm cho các em học sinh tôi thấy phương pháp trên cũng phần nào mang lại hiệu quả nhất định cho các em. 
Kết quả thực hiện của phương pháp trên:
Năm học
2016-2017
Lớp 6 (Sĩ số 44HS)
Số HS chưa biết
tính nhẩm
Số HS biết 
 tính nhẩm
Đầu năm
38 HS
(100%)
0 HS
(0%)
Cuối năm
22 HS
(69.6%)
15 HS
(39.4%)
PHẦN 3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
- KẾT LUẬN:
 Khai thác lời dạy của một bài toán nói chung và một bài tập chứng minh bất đẳng thức đại số nói riêng có tác dụng rất lớn đối với các đối tượng học sinh. Đối với những học sinh trung bình thì đi từ những bài tập đơn giản, từ những số liệu cụ thể dần dần khai thác tổng quát thành những bài toán khó mang tính khái quát hơn. Việc khai thác này giúp các em phát triển tư duy một cách linh hoạt, sáng tạo và khả năng tự nghiên cứu.
Mặc dù quá trình giảng dạy mới được ít năm song đây là toàn bộ kinh nghiệm được rút ra trong quá trình phụ đạo học sinh yếu, bồi dưỡng học sinh khá giỏi.
Để có được những kinh nghiệm đó phần lớn là do sự học hỏi, đúc rút kinh nghiệm của các đồng nghiệp và cũng là yêu cầu cấp thiết của học sinh. Các ví dụ mà tôi đưa ra trên đây có thê chưa khai thác hết các tình huống hoặc chưa thật đã là các ví dụ điển hình. Vì vậy tôi rất mong có được sự đóng góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp. 
- KIẾN NGHỊ
1. Với Phòng GD&ĐT
- Quan tâm hơn nữa đến việc bồi dưỡng chuyên môn, nghiệp vụ cho giáo viên dạy toán. Nên tổ chức các hội thảo chuyên đề chuyên sâu cho giáo viên trong tỉnh.
2. Với BGH nhà trường
- Nên mua thêm một số sách tham khảo, chuyên môn nghiệp vụ cho giáo viên tự bồi dưỡng, học tập
3. Với PHHS
- Quan tâm việc tự học, tự làm bài tập ở nhà của con cái. Thường xuyên kiểm tra sách, vở và việc soạn bài trước khi đến trường của các con
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 10 tháng 05 năm 2017
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.
(Ký và ghi rõ họ tên)
Phạm Văn Vượng
.