SKKN Dạy học phép biến hình trong mặt phẳng theo hướng tăng cường khả năng tư duy và phát huy tính tích cực của học sinh

MỤC LỤC
Nội dung
Trang
Phần 1 : Mở đầu
1
1.1. Lý do chọn đề tài
1
1.2. Mục đích nghiên cứu
1
1.3. Đối tượng nghiên cứu
1
1.4. Phương pháp nghiên cứu
2
Phần 2 : Nội dung
2
2.1. Cơ sở lý luận
2
2.2. Thực trạng
2
2.3. Các giải pháp
3
2.3.1. Định nghĩa và các tính chất của phép biến hình
3
2.3.2. Ứng dụng phép biến hình để giải các bài toán hình học
4
2.3.3. Bài tập ứng dụng
14
2.4. Hiệu quả của sáng kiến
14
Phần 3 : Kết luận và kiến nghị
15
3.1. Kết luận
15
3.2. Kiến nghị
15
Tài liệu tham khảo
17
PHẦN 1: MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài:
 Trong trường phổ thông môn toán giữ một vai trò, vị trí hết sức quan trọng là môn học đòi hỏi học sinh phải tư duy, lập luận một cách chặt chẽ logíc, những tri thức trong toán cùng với phương pháp làm việc trong toán là công cụ để học tốt những môn học khác. Nội dung các phép biến hình được trình bày trong sách giáo khoa hình học 11 có tác dụng phát triển tư duy hàm cho học sinh. Đó là một phương thức tư duy đòi hỏi phải biết nhận thức các đối tượng toán học trong sự chuyển động, thay đổi, phụ thuộc lẫn nhau. Hơn nữa, học sinh được học phép biến hình với những điểm, những hình, liên hệ giữa ảnh và tạo ảnh, nghiên cứu các quan hệ biến thiên trong mối liên hệ nhân quả, nghiên cứu hình học trong trạng thái động. Điều đó góp phần bồi dưỡng quan điểm duy vật biện chứng cho học sinh đồng thời kiến thức về phép biến hình cần thiết cho nhiều hoạt động thực tế cũng như cho một số ngành khoa học khác như hội họa, kiến trúc và các ngành kĩ thuật.
 Trong thực tế giảng dạy cho học sinh lớp 11 ở trường THPT Quảng Xương 2, tôi thấy nội dung phép biến hình là một nội dung mới và khó đối với đa số học sinh, nhiều học sinh khi học về các phép biến hình các em thường lúng túng trong việc áp dụng nó để giải toán thêm nữa từ trước đến nay nội dung kiến thức chương phép biến hình ít có trong đề thi tốt nghiệp THPT quốc gia nên khi học các em ít quan tâm và không tích cực. Tuy nhiên đây lại là phần kiến thức giúp các em rèn luyện tư duy toán học và đặc biệt là giúp các em giải được các bài toán thực tiễn có thể được áp dụng trong cuộc sống hằng ngày đồng thời trong những năm học tiếp theo nội dung các phép biến hình là một phần kiến thức không thể thiếu trong đề thi tốt nghiệp THPT quốc gia.
 Xuất phát từ thực tế trên tôi đã nghiên cứu đề tài: “Dạy học phép biến hình trong mặt phẳng theo hướng tăng cường khả năng tư duy và phát huy tính tích cực của học sinh ” với mong muốn một phần nào đó giúp học sinh nắm vững kiến thức đồng thời tạo sự húng thú say mê tìm tòi sáng tạo trong học tập. 
1.2. Mục đích nghiên cứu:
 - Với đặc điểm của chương này là: Kiến thức mới, học sinh tiếp cận khá khó khăn và chất lượng học sinh không đồng đều nên để áp dụng được lý thuyết vào giải toán thì thực sự là một vấn đề khó khăn đối với nhiều học sinh. Do vậy qua quá trình giảng dạy tôi đã nghiên cứu đề tài này với mục đích:
 - Nhằm nâng cao nghiệp vụ chuyên môn, rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy, phát triển tư duy linh hoạt, sáng tạo của học sinh, phát hiện và bồi dưỡng học sinh giỏi Toán đồng thời nâng cao chất lượng học tập của học sinh, tạo được hứng thú học tập môn toán.
 - Thông qua đề tài này, là tài liệu tham thảo có ích cho giáo viên và học sinh, đặc biệt là đối với học sinh tham gia các kì thi học sinh giỏi cấp Tỉnh, thi tốt nghệp THPT quốc gia.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
 - Ứng dụng phép biến hình trong mặt phẳng để giải toán hình học.
 - Học sinh lớp 11 trường THPT Quảng Xương 2. 
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
 Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo.
 Phương pháp đàm thoại phỏng vấn: Lấy ý kiến của giáo viên và học sinh.
Phương pháp quan sát: Quan sát quá trình dạy và học tại trường THPT Quảng Xương 2.
Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức một số tiết dạy. 
PHẦN 2: NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lý luận:
 Theo triết học duy vật biện chứng, mâu thuẫn là động lực thúc đẩy quá trình phát triển.Vì vậy trong quá trình dạy học giáo viên cần chú trọng gợi động cơ học tập để các em thấy được những điều mình chưa biết và khả năng nhận thức của mình, phát huy tính chủ động sáng tạo trong việc lĩnh hội tri thức. Từ đó kích thích khả năng tư duy, sáng tạo của các em.
 Phép biến hình là một nội dung kiến thức quan trọng trong chương trình hình học 11, các phép biến hình trong mặt phẳng không chỉ cung cấp cho học sinh những kiến thức công cụ mới để giải toán mà còn tập cho học sinh làm quen với các phương pháp tư duy và suy luận mới, biết nhìn nhận sự việc và các hiện tượng xung quanh trong cuộc sống với sự vận động và biến đổi của chúng để nghiên cứu, tìm tòi, khám phá, tạo cơ sở cho sự ra đời của những phát minh và sáng tạo trong tương lai. Ngoài ra, bằng phép biến hình ta còn có thể sáng tạo ra các bài toán khác nhau và đây là một việc làm mang lại nhiều hứng thú trong việc tìm tòi, nghiên cứu hình học.Vì vậy, trong quá trình dạy học để giúp các em học tốt phép biến hình giáo viên cần tạo cho học sinh hứng thú học tập, cần cho học sinh thấy được các phép biến hình được ứng dụng để giải nhiều bài toán hình học và trong thực tế. 
2.2. Thực trạng vấn đề:
 Qua thực tiễn quá trình dạy học đồng thời thông qua việc tìm hiểu, điều tra từ giáo viên và học sinh ở trường THPT Quảng Xương 2, tổng hợp các thông tin có được tôi nhận thấy trong việc dạy phép biến hình tồn tại những thực trạng sau:
 - Xuất phát từ nguyên nhân từ trước đến nay nội dung kiến thức chương phép biến hình không có trong đề thi tốt nghiệp THPT quốc gia nên nhiều giáo viên còn xem nhẹ, chưa thực sự quan tâm nhiều đến việc nghiên cứu sâu kiến thức về phép biến hình để dạy cho học sinh.
 - Phép biến hình là khái niệm mới và khó nên học sinh lười nghiên cứu, tuy ứng dụng của nó rất lớn nhưng học sinh học trong thời gian ngắn nên việc áp dụng các dạng bài tập đối với nhiều học sinh chưa được tốt. 
 Kết quả khảo sát nội dung kiến thức về phép biến hình đối với học sinh lớp 11 trường THPT Quảng Xương 2 
Năm học
Học sinh đạt yêu cầu
Học sinh chưa đạt yêu cầu
2012 – 2013
25%
75%
2013 - 2014
35%
65%
2014 - 2015
30%
70%
2.3. Các giải pháp:	
Trong các giờ học về phần: Các phép biến hình trong mặt phẳng học sinh nắm chưa chắc, chưa hiểu bản chất. Việc tư duy, suy luận lôgíc, khả năng khái quát phân tích còn hạn chế, đặc biệt là phần ứng dụng các phép biến hình. Vì vậy học sinh còn lúng túng, xa lạ, khó hiểu chưa kích thích được nhu cầu học tập của học sinh. Để các em tiếp thu bài một cách có hiệu quả tôi xin đưa ra một vài dạng toán được giải bàng cách sử dụng phép biến hình.
2.3.1. [3] Định nghĩa và các tính chất của phép biến hình:
 	a) Định nghĩa phép dời hình: 
	Quy tắc đặt tương ứng một điểm của mặt phẳng với một điểm xác định duy nhất của mặt phẳng đó được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng.
	Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
 	b) Tính chất của phép dời hình:
	- Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm: với mọi điểm ( là ảnh của ).
	- Bảo toàn tính thẳng hàng và thứ tự các điểm trên một đường thẳng. Biến đường thẳng thành đường song song hoặc trùng với nó.
	- Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng và , biến tam giác thành tam giác và .
	- Biến đường tròn thành đường tròn với là ảnh của qua phép biến hình.
	- Biến hình thành hình bằng nó.
	- Biến góc thành góc bằng nó.
 	 c) Các phép dời hình trong mặt phẳng:
+ Phép tịnh tiến :
- Trong mặt phẳng cho vectơ . Phép biến hình biến mỗi điểm thành điểm sao cho được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ .
- Biểu thức tọa độ: Trong mặt phẳng tọa độ , cho , điểm với M(x;y). Khi đó .
 + Phép đối xứng trục: 
 - Cho đường thẳng . Phép biến hình biến mỗi điểm thuộc thành chính nó, biến mỗi điểm không thuộc thành sao cho là đường trung trực của đoạn thẳng , được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng hay phép đối xứng trục . Kí hiệu Đd , gọi là trục đối xứng.
	- Biểu thức tọa độ: Chọn hệ trục tọa độ sao cho trùng với đường thẳng . Điểm với M(x,y) ta có .
+ Phép quay:
 Cho điểm và góc lượng giác . Phép biến hình biến thành chính nó, biến mỗi điểm khác thành sao cho và góc lượng giác được gọi là phép quay tâm góc . Kí hiệu .
 + Phép đối xứng tâm : 
 - Cho điểm . Phép biến hình biến điểm thành chính nó, biến mỗi điểm khác thành sao cho là trung điểm của đoạn thẳng được gọi là phép đối xứng tâm . Kí hiệu ĐI , gọi là tâm đối xứng.
	- Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua gốc tọa độ  : Trong hệ tọa độ sao cho , . Khi đó : .
 	d) Khái niệm hai hình bằng nhau:
	Hai hình gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.
 	e) Định nghĩa phép đồng dạng:
	Phép biến hình được gọi là phép đồng dạng tỉ số () nếu với hai điểm bất kì và ảnh tương ứng của chúng ta luôn có: .
 	f) Tính chất của phép đồng dạng:
	- Bảo toàn tỉ số khoảng cách giữa hai điểm. 
	- Bảo toàn tính thẳng hàng và thứ tự các điểm trên một đường thẳng. Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với .
	- Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng và .
	- Biến tam giác thành tam giác và .
	- Biến đường tròn thành với là ảnh của .
	- Biến hình thành hình và đồng dạng với .
	- Biến góc thành góc bằng nó.
 	g) Phép vị tự: 
	Cho điểm và số . Phép biến hình biến mỗi điểm thành điểm sao cho được gọi là phép vị tự tâm tỉ số . Kí hiệu là .
Tính chất của phép vị tự: Phép vị tự tâm tỷ số là phép đồng dạng tỷ số nên có các tính chất của phép đồng dạng. Ngoài ra, phép vị tự có tính chất đặc biệt sau: đường thẳng nối một điểm và ảnh của nó luôn đi qua O; ảnh của đường thẳng luôn song song hoặc trùng với .
h) Khái niệm hai hình đồng dạng: Hai hình được gọi là đồng dạng với nhau nếu có một phép đồng dạng biến hình này thành hình kia.
2.3.2. Ứng dụng phép biến hình để giải các bài toán hình học:
Dạng toán 1: Xác định ảnh của một hình qua phép biến hình
Phương pháp chung:
Sử dụng định nghĩa.
Sử dụng biểu thức tọa độ của phép biến hình.
Sử dụng các tính chất của phép biến hình.
Bài 1: [8] Trong mặt phẳng , viết phương trình đường thẳng là ảnh của đường thẳng qua mỗi phép biến hình sau:
a) Phép tịnh tiến theo vectơ 
b) Phép đối xứng tâm với 
c) Phép đối xứng trục với 
Giải
a) Cách 1: Gọi là ảnh của qua phép tịnh tiến vectơ nên phương trình có dạng . Lấy .Gọi là ảnh của qua , khi đó . Vậy nên .Vậy 
Cách 2: Gọi là ảnh của qua . Khi đó 
Thay vào phương trình của ta được 
Vậy phương trình đường thẳng 
Cách 3:Lấy hai điểm phân biệt trên đường thẳng , ta tìm tọa độ các ảnh tương ứng của chúng qua , khi đó là đường thẳng .
b) là ảnh của qua ĐI nên phương trình có dạng . Lấy . Gọi là ảnh của qua ĐI , khi đó . Vậy mà nên . Vậy phương trình 
c) Ta có cắt d tại . Lấy , gọi là hình chiếu vuông góc của lên d ta có 
Vậy phương trình . Khi đó tọa độ điểm là nghiệm của hệ: . Vậy 
Gọi là điểm đối xứng của qua d, suy ra là trung điểm 
Đường thẳng đi qua và có phương trình: 
Bài 2: [2] Trong mặt phẳng , cho đường tròn có phương trình:
.Viết phương trình đường tròn là ảnh của đường tròn (C) qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm , góc quay và phép vị tự tâm tỉ số .
Giải
Đường tròn có tâm , bán kính 
Gọi là ảnh của qua phép quay tâm , góc quay 450 thì 
Gọi là ảnh của qua phép vị tự tâm , tỉ số khi đó 
Do đó qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm góc quay và phép vị tự tâm tỉ số thì có ảnh là 
Gọi là ảnh của qua phép đồng dạng nói trên thì có tâm và bán kính . Vậy phương trình 
Bài 3: [2] Trong mặt phẳng , cho đường thẳng có phương trình . Hãy viết phương trình đường thẳng là ảnh của qua phép quay tâm , góc quay . 
Giải
Cách 1: Phép quay tâm, góc quay biến đường thẳng thành đường thẳng có phương trình. Lấy , khi đó đường thẳng đi qua ảnh của qua 
 . Vậy phương trình 
Cách 2: Đường thẳng qua , gọi lần lượt là ảnh của qua thì .
Đường thẳng là đường thẳng có phương trình .
Bài 4: [2] Trong mặt phẳng , cho đường thẳng có phương trình. Hãy viết phương trình đường thẳnglà ảnh của qua phép vị tự tâm , tỷ số .
Giải
Cách 1: Đường thẳng là ảnh của qua nên phương trình đường thẳng có dạng .
Lấy . Gọi là ảnh của qua ta có : suy ra 
Do .Vậy 
Cách 2 : Gọi là ảnh của qua ta có
Điểm thuộc nên .Vậy 
Cách 3 : Lấy hai điểm bất kỳ trên .Tìm ảnh của của chúng qua phép vị tự tâm , tỷ số . Khi đó là đường thẳng đi qua hai điểm .
Dạng toán 2: Sử dụng phép biến hình để giải các bài toán tìm quỹ tích 
 Phương pháp: 
 Giả sử cần tìm quỹ tích những điểm có tính chất . Từ các dữ kiện của bài toán ta cần xem xét điểm là ảnh của một điểm chuyển động nào đó qua một phép biến hình (). Nếu thuộc vào một hình thì là ảnh của qua phép biến hình đó. 
Sử dụng phép biến hình giải bài toán quỹ tích cần chú ý hướng dẫn học sinh lựa chọn các phép biến hình. 
Phép biến hình được sử dụng để giải toán quỹ tích khi trong giả thiết của bài toán quỹ tích điểm cần tìm thuộc vào điểm chuyển động trên một tập hợp xác định.
Bài 1: [2] Cho nửa đường tròn , đường kính cố định. Điểm di động trên nửa đường tròn. Dựng về phía ngoài đường tròn hình vuông . Tìm quỹ tích điểm .
Giải
Vì là hình vuông nên 
Xét phép quay biến thành , thành .
Mà do đó là ảnh của qua .
Vậy: Quỹ tích điểm là là ảnh 
của qua .
Bài 2: [4] Cho điểm cố định nằm trên đường tròn và điểm thay đổi trên đường tròn đó. Dựng hình vuông . Tìm quỹ tích điểm và điểm .
Giải
Trên đoạn thẳng lấy điểm M sao cho 
Khi đó, ta có .Ngoài ra, 
Suy ra phép vị tự biến điểm thành điểm 
và phép quay biến điểm thành điểm B. 
 Vậy: Nếu gọi là phép hợp thành của 
và thì biến thành . 
Vì điểm C thay đổi trên đường tròn nên
quỹ tích của là ảnh của đường tròn 
qua phép đồng dạng . Đường tròn quỹ tích 
có thể xác định như sau:
 Gọi là đường kính của đường tròn và là đường kính của đường tròn vuông góc với (ta kí hiệu các điểm sao cho ). Khi đó ta thấy phép đồng dạng F biến thành . Vậy quỹ tích điểm là đường tròn đường kính . 
 Tương tự ta có quỹ tích điểm là đường tròn đường kính .
Bài 3: [3] Cho hai điểm cố định trên đường tròn và một điểm thay đổi trên đường tròn đó. Chứng minh rằng: Trực tâm của tam giác nằm trên một đường tròn cố định.
Giải
Có thể hướng dẫn học sinh giải bằng những câu hỏi như: H thuộc ba đường cao của tam giác vậy H có quan hệ gì với các đỉnh của tam giác ABC? B,C cố định nên vị trí của H phụ thuộc vào vị trí của A. Quỹ tích của điểm A đã biết(là đường tròn tâm O). Vậy để giải bài toán cần phải tìm mối liên hệ ảnh-tạo ảnh giữa H và A. H và A có thể liên hệ với nhau qua phép biến hình nào?
Đối với bài tập này, ta có các cách giải sau:
Cách 1: Sử dụng phép đối xứng trục 
 Gọi là giao điểm của với đường tròn ngoại tiếp 
Ta có (cùng phụ với góc B)
(cùng chắn cung ) 
Từ đây suy ra là ảnh của qua phép Đ. 
Khidi chuyển trên đường tròn ngoại tiếp thì 
cũng di chuyển trên đường tròn ngoại tiếp . 
Vậy quỹ tích điểm là đường tròn là ảnh của 
đường tròn ngoại tiếp qua phép Đ. 
 Từ những yếu tố cố định đã cho có thể tìm thêm
những yếu tố cố định nào khác để tìm mối liên hệ
giữa và ? Trả lời cho câu hỏi này sẽ dẫn đến 
chỗ kẻ các đường kính và lấy trung điểm của 
đoạn thẳng .Các yếu tố mới tạo nên có cho biết gì về 
mối liên hệ giữa và không? Và từ đường kính sẽ có thêm một số góc vuông mà giả thiết ban đầu đã có ba đường cao, vì thế còn có thêm những cặp đoạn thẳng song song, rồi còn có hai trung điểm và .Trong các yếu tố mới vẽ thêm chỉ có thay đổi khi thay đổi mà quỹ tích điểm là đường tròn nên còn có thể tìm mối liên hệ ảnh-tạo ảnh giữa và . Cứ phân tích như vậy sẽ dẫn đến chỗ tìm ra phép đối xứng tâm biến thành ( là giao điểm của hai đường chéo hình bình hành ) và phép tịnh tiến theo vectơ biến thành . Như thế đã có thể giải bài toán bằng hai cách nữa:
Cách 2: Sử dụng phép đối xứng tâm 
Kẻ đường kính . Dễ thấy nên tứ giác là hình bình
hành, suy ra và đối xứng với nhau qua trung điểm của đoạn thẳng . Khi di chuyển trên đường tròn thì cũng di chuyển trên đường tròn và do đó di chuyển trên đường tròn là ảnh của đường tròn qua phép đối xứng tâm . 
Cách 3: Sử dụng phép tịnh tiến 
 Kẻ đường kính , gọi là trung điểm đoạn 
thẳng . Tứ giác là hình bình hành nên 
 là trung điểm đoạn thẳng.
 Trong thì là đường trung bình nên 
// và hay . Chứng tỏ 
 là ảnh của qua phép tịnh tiến . 
Vậy khi di chuyển trên đường tròn ngoại tiếp
 thì di chuyển trên là ảnh của 
qua phép tịnh tiến . 
 Qua bài toán trên, ta thấy tập hợp của trực tâm 
cũng là đường tròn ngoại tiếp . Như vậy đường tròn 
ngoại tiếp là ảnh của đường tròn ngoại tiếp hoặc qua phép đối xứng trục Đhoặc qua phép đối xứng tâm Đ với là trung điểm cạnh hoặc qua phép tịnh tiến . Tương tự, ta có đường tròn ngoại tiếp là ảnh của đường tròn ngoại tiếp qua phép đối xứng trục Đ, hoặc qua phép đối xứng tâm Đ là trung điểm của và đối với đường tròn ngoại tiếp cũng tương tự.	
Dạng toán 3 : Sử dụng phép biến hình để giải bài toán dựng hình
Phương pháp:
	Giả sử trong một bài toán dựng hình cần dựng một điểm nào đó. Trong bước phân tích ta xem xét là ảnh của một điểm qua một phép biến hình, do đó việc dựng điểm đưa về dựng ảnh của điểm trong phép biến hình đó. Cách thứ hai xác định điểm thuộc một đường (C ) và thỏa mãn một tính chất nào đó. Khi đó ta cần dựa vào tính chất để thấy rằng sẽ là ảnh của một điểm nào đó qua một phép biến hình hoàn toàn xác định, trong khi đó thuộc một đường () hoàn toàn xác định. Vậy điểm thuộc đường () là ảnh của () qua , do đó là giao điểm của () và (C )
Bài 1: [6] Cho hai đường tròn đồng tâm và với và một điểm cho trước trên . Hãy dựng qua một đường thẳng cắt tại , cắt tại , theo thứ tự sao cho .
 Giải
+) Phân tích: Giả sử đã dựng được đường thẳng thỏa đề. Chỉ cần xác định một trong ba điểm hoặc hoặc , chẳng hạn cần dựng điểm , một mặt thuộc mặt khác do đó mà thuộc nên thuộc , với , từ đó suy ra cách dựng
+) Cách dựng: 
 - Dựng 
 - Dựng 
 - Dựng 
 - Dựng đường thẳng qua . 
Ta có đường thẳng cần dựng.
+) Chứng minh: 
 Gọi ,. Chứng minh .
Thật vậy, xét phép vị tự , suy ra nên 
Kẻ cân tại O tương tự 
+) Biện luận: 
 - Nếu , bài toán có một nghiệm hình
 - Nếu , bài toán có hai nghiệm hình
 - Nếu , bài toán không có nghiệm
Bài 2: [5] Cho đường thẳng và hai đường tròn nằm về hai phía đối với . Hãy dựng hình vuông sao cho đường chéo nằm trên d, đỉnh nằm trên đường tròn , đỉnh nằm trên đường tròn .
 Giải
+) Phân tích: Giả sử đã dựng được hình vuông thỏa yêu cầu, và đối xứng nhau qua đường thẳng , xét phép đối xứng trục Đ biến thành và biến đường tròn thành đường tròn đi qua . Vì vậy là điểm chung của hai đường tròn và . Mặt khác là đường kính của đường tròn ngoại tiếp hình vuông, do đó là giao điểm của đường tròn đường kính và đường thẳng 
+) Cách dựng:
 - Dựng đường tròn là ảnh của đường tròn qua phép đối xứng trục Đ. Gọi là giao điểm của và 
 - Dựng ảnh của qua phép đối xứng trục Đ. Đó chính là điểm .
 - Dựng đường tròn đường kính .
Gọi là giao điểm của đường tròn đó với , 
 là hình vuông phải dựng. 
+) Chứng minh: Theo cách dựng, điểm 
thuộc nên ảnh của qua phép đối xứng 
trục Đd thuộc . Tứ giác có hai đường 
chéo bằng nhau và vuông góc với nhau tại trung điểm mỗi đường, do đó là hình vuông.
+) Biện luận: Số nghiệm hình bằng số giao điểm của đường tròn và . Nếu hai đường tròn đó trùng nhau thì bài toán có vô số nghiệm.
Bài 3: [5] Cho tam giác . Hãy dựng đường thẳng song song với sao cho cắt các cạnh lần lượt tại và .
Giải
+) Phân tích: Giả sử đã dựng được đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán. Khi đó nếu gọi thì tứ giác là hình bình hành nên cân tại . Mặt khác: là tia phân giác của góc .Vì // nên nằm trên . Vậy là chân đường phân giác trong của góc .
+) Cách dựng: 
 - Dựng đường phân giác của góc 
 - Dựng giao điểm của và 
 - Dựng trên sao cho //
 - Dựng thuộc cạnh sao cho //
Khi đó đường thẳng d qua là đường 
thẳng cần dựng.
+) Chứng minh: Ta có //
 Theo cách dựng thì , 
mà nên nên . 
Mặt khác tứ giác là hình bình hành nên từ đó suy ra . Vậy là đường thẳng cần dựng.
+) Biện luận: Bài toán có một nghiệm hình
Dạng toán 4: Sử dụng phép biến hình giải bài toán cực trị
Bài 1: [6] Cho trước một điểm và đường thẳng không đi qua . Trên ta đặt một đoạn thẳng ( là độ dài cho trước