SKKN Dạy học chứng minh bất đẳng thức nhằm nâng cao chất lượng học tập môn Toán cho học sinh lớp 8

1. MỞ ĐẦU
 1.1. Lý do chọn đề tài 
 Bất đẳng thức là một nội dung thường gặp trong các đề thi học sinh giỏi Toán ở các lớp 8, 9, thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT.
 Ở trường THCS, nội dung về bất đẳng thức được đưa vào lớp 8 trong “Chương IV- Bất phương trình bậc nhất một ẩn” với số tiết không nhiều (3 tiết). Tuy nhiên, học sinh lớp 8 đã quen biết nhận định về so sánh số, dùng các dấu bất đẳng thức trong lý thuyết và các bài tập khi học về tập hợp Q, học sinh đã ngầm sử dụng kiến thức về bất đẳng thức, kể cả kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức khi giải các bài tập ở Hình học lớp 7 về so sánh cạnh và góc trong tam giác. Do yêu cầu chương trình nên sách giáo khoa Đại số 8 không đi sâu vào mô tả chính xác khái niệm về bất đẳng thức và chứng minh các bất đẳng thức phức tạp.
 Thực tế, khi gặp một bài toán chứng minh bất đẳng thức, không ít học sinh lúng túng, không biết xoay sở ra sao. Một điều đáng tiếc cho nhiều học sinh lớp 8, 9 là các em rất vất vả trong việc giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức. Nhiều em học sinh đã khổ tâm khi không làm được những bài toán ra trong lần kiểm tra hoặc thi học sinh giỏi các cấp, trong điều kiện thời gian hạn chế. Tự kiểm điểm, các học sinh ấy thấy rằng đã hết sức cố gắng học toán, tin tưởng là mình nắm vững các kiến thức cơ bản về bất đẳng thức, đã hiểu các bài học trong sách giáo khoa, đã xoay bài toán đủ mọi cách nhưng cuối cùng vẫn bế tắc không tìm ra lời giải. Về sau, xem lời giải những bài toán bế tắc ấy thì thấy rằng ở đây không có gì khó khăn lắm về mặt nguyên tắc vì sử dụng toàn những kiến thức cơ bản về bất đẳng thức, bài giải nhiều khi rất đơn giản nhưng chỉ do thiếu sót hoặc không nghĩ đến cách giải ấy.
 Là giáo viên Toán, ai cũng thấy rằng: học sinh học thuộc bài, nắm được bài trong sách giáo khoa là hoàn toàn không đủ, mà phải biết vận dụng kiến thức, biết hệ thống các phương pháp giải từng dạng toán và rèn luyện kỹ năng trong việc giải Toán. Số các bài toán về chứng minh bất đẳng thức trong các sách bồi dưỡng, sách tham khảo, báo Toán học tuổi trẻ, báo Toán tuổi thơ.nhiều không kể xiết, mỗi bài mỗi vẻ, thời gian dạy, hướng dẫn học sinh học tập lại hạn chế, do đó đòi hỏi giáo viên phải biết tổng hợp phân loại các dạng toán thường gặp, các phương pháp giải toán chứng minh bất đẳng thức; từ đó biết hướng dẫn học sinh rèn luyện phương pháp suy nghĩ đúng đắn và biết đúc rút kinh nghiệm.
 Trong quá trình học toán và dạy toán, tôi đã tổng hợp các phương pháp giải và phân loại các dạng toán thường gặp về bất đẳng thức. Từ thực tế dạy học toán 8, 9 ở Trương THCS Quảng Thái, bản thân tôi đã đúc rút được một số kinh nghiệm trong chuyên đề về bất đẳng thức. Trong khuôn khổ đề tài này, xin đưa ra một vài kinh nghiệm mà tôi đã tích luỹ về chủ đề : “ Dạy học chứng minh bất đẳng thức nhằm nâng cao chất lượng học tập môn Toán cho học sinh lớp 8 ” 
1.2.Mục đích nghiên cứu.
a. Đối với giáo viên: 
 Nâng cao trình độ chuyên môn phục vụ cho quá trình giảng dạy.
 Làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nâng cao kiến thức.
b. Đối với học sinh:
 Giúp học sinh học tập môn toán nói chung và việc giải bài tập về chứng minh bất đẳng thức nói riêng. Trang bị cho học sinh một số kiến thức mới nhằm nâng cao năng lực học môn toán giúp các em tiếp thu bài một cách chủ động, sáng tạo và làm công cụ giải quyết một số bài tập có liên quan đến bất đẳng thức.
 Gây được hứng thú cho học sinh khi làm bài tập trong SGK, sách tham khảo, giúp học sinh tự giải được một số bài tập.
 Giải đáp những thắc mắc, sửa chữa những sai lầm hay gặp khi giải toán bất đẳng thức trong quá trình dạy học.
 Giúp học sinh nắm vững một cách có hệ thống các phương pháp cơ bản và vận dụng thành thạo các phương pháp đó để giải bài tập.
Thông qua việc giải các bài toán bất đẳng thức giúp học sinh thấy rõ mục đích của việc học toán và học tốt hơn toán bất đẳng thức.
Chuẩn bị cho học sinh một số kiến thức cơ bản về BĐT để học sinh có thề giải được 1 số bài toán cơ bản. 
Phát triển lòng say mê môn học, mở rộng vốn hiểu biết của học sinh về toán học.
Phát triển tư duy cho học sinh, nâng cao vốn kiến thức từ SGK 
Góp phần đào tạo học sinh có nguồn tri thức vững vàng.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
- Đội tuyển học sinh giỏi môn Toán 8 Trường THCS Quảng Thái, huyện Quảng Xương.
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
Phương pháp nghiên cứu tài liệu.
 Phương pháp quan sát.	
 Phương pháp nghiên cứu sản phẩm hoạt động (nghiên cứu kết quả học tập học sinh ).
Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.
Phương pháp thống kê toán học.
 Phương pháp phân tích, tổng hợp. 
 1.5. Những điểm mới của SKKN:
-Bổ sung thêm 3 phương pháp chứng minh bất đẳng thức thường gặp trong các đề thi học sinh giỏi là: Phương pháp đổi biến, Phương pháp sắp thứ tự các biến, 
Phương pháp quy nạp toán học, Phương pháp phân tích số hạng.
 2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm :
 - Bất đẳng thức là một kiến thức khó nhưng không thể thiếu trong vốn kiến thức của học sinh phổ thông, nhất là học sinh khá giỏi 8,9 và thi vào lớp 10 THPT. Học sinh vận dụng tốt phương pháp phù hợp để giải các bất đẳng thức, tiết kiệm được thời gian nâng cao năng lực tư duy trên cơ sở đó đề tài nêu và giải quyết một số vấn đề sau:
Cơ sở lý thuyết của phương pháp chứng minh bất đẳng thức.
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức.
Những sai lầm thường gặp của học sinh lớp 8 khi giải toán chứng minh bất đẳng thức.
Một số giải pháp dạy học chứng minh bất đẳng thức nhằm nâng cao chất lượng dạy học môn Toán.
	 2.2.Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm : Qua quan sát tình hình học tập bất đẳng thức cũng như kiểm tra học sinh về phần này tôi thấy rằng, đại đa số học sinh lúng túng khi đứng trước bài toán chứng minh bất đẳng thức. Cụ thể nghiên cứu như sau:
 Bảng khảo sát học sinh trước khi nghiên cứu đề tài
LỚP
SĨ SỐ
MỨC ĐỘ HIỂU BÀI CỦA HỌC SINH
Kiến thức cơ bản
Kiến thức nâng cao
SL
%
SL
%
Đội tuyển HSG toán 8
8
6
75
0
0
Nguyên nhân cơ bản: một số nguyên nhân dẫn đến mức độ nắm bắt kiến thức về bất đẳng thức và vận dụng kiến thức về bất đẳng thức để chứng minh bất đẳng thức ở học sinh kém như sau:
Học sinh chưa nắm vững khái niệm, cũng như các tính chất của bất đẳng thức.
Chưa vận dụng linh hoạt lý thuyết về bất đẳng thức vào giải các bài tóan cụ thể.
Kinh nghiệm giải toán bất đẳng thức còn ít.
Hệ thống bài tập tự giải tự tích lũy của các em chưa nhiều.
Các em chưa phân loại được các dạng toán cùng phương pháp chứng minh.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
CHƯƠNG I : CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
I. Định nghĩa bất đẳng thức
 Bất đẳng thức là hai biểu thức nối với nhau bởi một trong các dấu >, B A- B > 0
	A B A- B 0
* Trong bất đẳng thức A > B ( hoặc A < B, A B , A B), A gọi là vế trái, B gọi là vế phải của bất đẳng thức .
* Các bất đẳng thức A > B và C > D gọi là hai bất đẳng thức cùng chiều. Các bất đẳng thức A > B và E < F gọi là hai bất đẳng thức trái chiều.
 * Nếu ta có : A > B C> D, ta nói bất đẳng thức C > D là hệ qủa của bất đẳng thức A > B.
* Nếu ta có A > B C > D, ta nói hai bất đẳng thức A > B và C > D là hai bất đẳng thức tương đương.
* A > B ( hoặc A < B ) là bất đẳng thức ngặt, A B ( hoặc A B ) là bất đẳng thức không ngặt.
* A B là A > B hoặc A = B
* A B cũng là bất đẳng thức .
* Hai bất đẳng thức cùng chiều, hợp thành một dãy không mâu thuẩn gọi là bất đẳng thức kép . Ví dụ : A < B < C.
Chú ý : Như bất cứ một mệnh đề nào, một bất đẳng thức có thể đúng hoặc sai. Tuy nhiên, người ta quy ước: Khi nói về một bất đẳng thức mà không chỉ rõ gì hơn thì ta hiểu đó là một bất đẳng thức đúng. Do đó khi nói “ Chứng minh bất đẳng thức a > b” thì ta hiểu là : “ Chứng minh rằng a > b là một bất đẳng thức đúng ”.
II . Các tính chất của bất đẳng thức
Tính chất 1 : a > b và b > c a > c
Tính chất 2 : a > b a + c > b + c
 Hệ quả: a > b + c a – c > b
Tính chất 3 : a > b và c > d a + c > b + d
 	ac > bc nếu c > 0 
Tính chất 4 : a > b 
	ac < bc nếu c < 0
Tính chất 5 : a > b > 0 và c > d > 0 ac > bd
Tính chất 6 : a > b > 0, n nguyên dương an > bn
Tính chất 7 : a > b > 0 , n nguyên dương 
 Hệ quả : a, b 0 và a2 b2 a b 
Tính chất 8 : a > b, ab > 0 
Tính chất 9 : a > 1, m và n nguyên dương, m > n am > an
 0 n am < an
III. Các hằng bất đẳng thức
 a2 0 . Dấu “ = ” xảy ra a = 0
– a2 0 . Dấu “ = ” xảy ra a = 0
Các hằng bất đẳng thức liên quan đến giá trị tuyệt đối
 * . Dấu “ = ” xảy ra a = 0
 * . Dấu “ = ” xảy ra a 0
	 * . Dấu “ = ” xảy ra ab 0
	 * . Dấu “ = ” xảy ra (a – b)b 0ab0 hoặc ab0
4) Một số bất đẳng thức khi giải toán có thể sử dụng như một bổ đề, chẳng hạn:
 * a2 + b2 2ab . Dấu “ = ” xảy ra a = b
 * với a, b > 0 . Dấu “ = ” xảy ra a = b
 * hay (a + b)2 4ab . Dấu “ = ” xảy ra a = b.
 * với a,b > 0 . Dấu “ = ” xảy ra a = b.
 * ( a2 + b2)(x2 + y2)( ax + by)2. Dấu “ = ” xảy ra ax = by.
CHƯƠNG II: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Khi giải một bài toán, ta cần căn cứ vào đặc thù của bài toán mà chọn phương pháp thích hợp. Sau đây là một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức mà tôi đã sử dụng hướng dẫn cho học sinh lớp 9 nắm vững để vận dụng giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức. Mỗi bài toán chứng minh bất đẳng thức có thể được giải bằng các phương pháp khác nhau, cũng có khi phải phối hợp nhiều phương pháp.
I. Phương pháp dùng định nghĩa bất đẳng thức.
A. Kiến thức cần nhớ.
 Để chứng minh A B ta làm như sau:
 	* Lập hiệu số A - B
	* Chứng tỏ A – B 0
	* Kết luận : A B
B. Ví dụ :
1. Ví dụ 1 : Chứng minh các bất đẳng thức :
a) a2 + b2 + c2 + 3 2( a+b+c ) b) ( a+b+c) 9 ; ( a, b, c > 0)
Giải: Ta có : ( a2 + b2 + c2 + 3) – 2( a + b + c) = a2 + b2 + c2 + 3 – 2a – 2b – 2c = ( a2 -2a +1 ) + ( b2 – 2b +1 ) + ( c2 – 2c + 1 )
= (a – 1)2 + (b-1)2 + (c-1)2 0 
Do đó : a2 + b2 + c2 + 3 2( a+b+c )
b) Ta có : ( a+b+c) - 9 
= ( với a, b ,c > 0)
Do đó: ( a+b+c) 9 với a, b, c > 0.
2. Ví dụ 2 : Chứng minh rằng : (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)-1
Giải: Xét hiệu: (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)-(-1) = (x2 – 5x + 4)(x2 – 5x + 6) +1
 Đặt : x2 – 5x + 5 = y, ta có: ( y – 1)(y + 1) + 1 = y2 0
 Vậy (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)-1
II. Phương pháp dùng các phép biến đổi tương đương.
A. Kiến thức cần nhớ.
 Để chứng minh A B, ta dùng các tính chất của bất đẳng thức, biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh đến một bất đẳng thức đã biết là đúng.
A B A1 B1..(*). Mà (*) đúng thì A B.
B. Ví dụ:
1 . Ví dụ 1: Chứng minh các bất đẳng thức
a) b) ( x, y > 0)
Giải: a) Ta có : 
 a2 + 2+b2 a2 + 2ab + b2
 ( bất đẳng thức đúng ) Vậy : 
b) Vì x, y > 0 nên xy(x+y) > 0 . Do đó:
(x + y)2 4xy ( x – y )2 – 4xy 0
 ( x – y)2 0 bất đẳng thức đúng.
Vậy : với x, y > 0
2. Ví dụ 2 : Cho các số dương a và b thoả mãn điều kiện a + b =1.
 Chứng minh rằng : 
Giải: Ta có : (1)
ab + a + b + 1 9ab ( vì ab 0)
a + b + 1 8ab 2 8ab ( vì a + b = 1 )
 1 4ab (a + b)2 4ab ( vì a + b = 1 )
 (a – b )2 0 (2)
Bất đẳng thức (2) đúng, mà các phép biến đổi trên tương đương. Vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh.
C. Chú ý: Khi sử dụng phép biến đổi tương đương cần chú ý các biến đổi tương đương có điều kiện, chẳng hạn:
	a2 b2 a b với a, b > 0
	m > n am > an với m, n nguyên dương , a > 1
Cần chỉ rõ các điều kiện ấy khi biến đổi tương đương.
III. Phương pháp dùng tính chất của bất đẳng thức.
Kiến thức cần nhớ:
Để chứng minh A B ta có thể dùng các tính chất của bất đẳng thức (xem phần II, chương I)
B. Ví dụ: 
1. Ví dụ 1 : Cho a + b > 1. Chứng minh rằng a4 + b4 > 
Giải: Ta có : a + b > 1 > 0 	 (1)	
Bình phương hai vế : (a + b)2 > 1 a2 + 2ab + b2 > 1 (2)
 Mặt khác: (a – b)2 0 a2 - 2ab + b2 0 (3)
 Cộng từng vế của (2) và (3) được : 2(a2 + b2) >1
 	Suy ra : a2 + b2 > (4)
Bình phương hai vế của (4) : a4 + 2a2b2 + b4 > (5)
Mặt khác (a2 – b2)2 0 a4 - 2a2b2 + b4 0 (6)
Cộng từng vế của (5) và (6) ta có : 2(a4 + b4) >
 Suy ra : a4 + b4 > 
2. Ví dụ 2 : Chứng minh bất đẳng thức : 
Giải: Ta có : (x – y)2 0 x2 + y2 2xy. Dấu “ = ” xảy ra x = y
Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:
 tương tự : 
Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên :
 Þ (đpcm)
IV. Phương pháp làm trội :
A. Kiến thức cần nhớ:Để chứng minh A B nhiều khi ta phải chứng minh A C với C B, từ đó ta có : A B, hoặc chứng minh D B với D A, từ đó ta có : A B
Ví dụ : 
1. Ví dụ 1 : Chứng minh rằng : 
 với 
Giải : Ta có : ( vì 2n > n+1)
Tương tự : 
Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có: 
 (đpcm)
2. Ví dụ 2 : Chứng minh rằng :
 ( với nN , n 1)
Giải : Ta có = đpcm
V. Phương pháp phản chứng. 
A.Kiến thức cần nhớ.
 Để chứng minh A B, ta giả sử A < B, từ đó lập luận để dẫn đến điều vô lí. Như vậy, ta đã dùng phương pháp phản chứng.
B.Ví dụ :
1.Ví dụ 1 : Cho a2+ b2 2. Chứng minh rằng a+b 2
Giải: Giả sử a + b > 2, bình phương hai vế( hai vế đều dương), ta được:
 a2 + 2ab + b2 > 4	 (1)
Mặt khác ta có : 2ab a2 + b2 a2 + b2 + 2ab 2(a2 + b2)
Mà 2(a2 + b2) 4 (giả thiết), do đó : a2 + 2ab + b2 4 (2)
Mâu thuẩn với (1) . Vậy phải có : a + b 2
2. Ví dụ 2 : Chứng tỏ rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là đúng: 
 a2 + 2bc 0, b2 + 2ac 0, c2 + 2ab 0
Giải: Giả sử các bất đẳng thức trên đều sai.
Thế thì, ta có : a2 + 2bc < 0, b2 + 2bc < 0, c2 + 2ab < 0
Suy ra : a2 + 2bc + b2 + 2ac + c2 + 2ab < 0
 (a + b +c)2 < 0 ( vô lí )
Do vậy điều giả sử các bất đẳng thức a2 + 2bc 0, b2 + 2ac 0, c2 + 2ab 0 đều sai là không đúng.
Vậy phải có ít nhất một trong các bất đẳng thức trên là đúng (đpcm).
VI. Phương pháp vận dụng các bất đẳng thức cơ bản về phân số
A. Kiến thức cơ bản
Một số bài toán bất đẳng thức có dạng phân thức thường vận dụng các bài toán cơ bản về phân số. Ta có bài toán cơ bản sau đây:
 B.Ví dụ :
1.Ví dụ 1 : Với a, b, c > 0. Chứng minh rằng ; 
 a) Nếu a < b thì b) Nếu ab thì 
Giải a) Nếu a 0)
 ab + ac < ab + bc a(b+c) < b(a+c) 
 b) Chứng minh tương tự.
 2.Ví dụ 2 : Với x, y, z > 0 . Chứng minh rằng:
 a) b) 
Giải: a) (x – y)2 0 (x-y)2 + 4xy 4xy (x + y)2 4xy 
 b) Từ (a) ta có : ( x + y)2 4xy 
3.Ví dụ 3: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. 
 Chứng minh rằng : 
Giải:Ta có vì a, b, c là ba cạnh của tam giác nên a < b + c
Theo bài toán 1a) ta có : hay (1)
Tương tự ta có: 	 (2)
	 (3)
Từ (1), (2), (3) ta có : 	 
4.Ví dụ 4: Cho a, b > 0. Chứng minh rằng: 
Giải: Vì a, b > 0 nên 4a2 + 4b2 > 0 và 8ab > 0
Theo ví dụ 2b) ta có :(đpcm)
5.Ví dụ 5 :
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = ( x+y+z) Với x,y,z >0
 b)Tìm giá trị nhỏ nhất của: B = [1] 
Giải: a) Ta có : A = ( x+y+z) = 
Nhận thấy: ( với x,y >0 ) dấu bằng xảy ra khi x=y
Tương tự ta có: 
 A 9 Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất bằng 9 khi x=y=z
2) 
Lại có: = 
 (Tương tự câu a) 
Nên đạt giá trị nhỏ nhất bằng 6 khi a=b=c (1)
*Xét E = 
Đặt x = a+b; y = b+c; z = c+a ( x,y,z >0)
Áp dung ( câu a ) ( x+y+z)
Ta được: 
Nên E = đạt giá trị nhỏ nhất bằng 
khi a+b = b+c = c+a a=b=c (2)
Từ (1) và (2) ta có : B = 
 = 
Vậy B đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi a=b=c 
6. Ví dụ 6 : Cho a, b, c > 0 . Chứng minh rằng : 
Giải: Ta có vì a, b, c > 0 2a + b > 0; 2b + c > 0; 2c + a > 0
Áp dụng bất đẳng thức: ta có:
(đpcm)
VII. Phương pháp vận dụng các bài toán về giá trị tuyệt đối.
Kiến thức cần nhớ:
 Đối với một số bài toán bất đẳng thức có chứa giá trị tuyệt đối, ta có thể vận dụng các bài toán về bất đẳng thức chứa giá trị tuyệt dối sau:
Bài toán 1 : Chứng minh rằng :
a) .Dấu “ = ” xảy ra ab 0
b) .Dấu “ = ” xảy ra b(a-b) 0
Bài toán 2: Chứng minh rằng nếu x, y khác 0 thì.
 .Dấu “ = ” xảy ra 
Từ đó suy ra nếu m, n > 0 thì ta có:
 1) 2) 
Dùng phương pháp biến đổi tương đương ta dễ dàng chứng minh được các bài toán trên. Khi cần dùng đến các bài toán này, ta phải chứng minh rổi mới vận dụng.
B. Ví dụ.
1. Ví dụ 1: Chứng minh rằng: 
Giải : Từ bài toán 1a) ta có : 
Chú ý : Từ kết quả trên ta có bài toán tổng quát sau:
Chứng minh rằng: 
2. Ví dụ 2 : Cho a, b 0. Chứng minh rằng
Giải: Đặt x = , ta có : ( theo bài toán 2 ) Ta có : 
 Vì (x-2) và (x-1) cùng dấu
	. Do đó: 
3. Ví dụ 3 : Cho . Chứng minh rằng: 
Giải: Vì : mà 
Suy ra : 
Theo bài toán 1, ta có : 
Vậy : 
VIII. Phương pháp vận dụng bất đẳng thức liên hệ giữa tổng bình phương, bình phương của tổng, tích hai số.
Kiến thức cần nhớ:
Một số bài toán chứng minh bất đẳng thức có thể vận dụng các bất đẳng thức liên hệ giữa tổng bình phương, bình phương của tổng, tích hai số:
2(x2+y2)(x+y)24xy
3(x2+y2+z2)(x+y+z)23(xy+yz+xz)
Chú ý: Khi cần dùng đến các bài toán này, ta phải chứng minh rồi mới vận dụng.
Ví dụ:
 1. Ví dụ 1: Cho x, y > 0 thoả mãn x + y 1. Chứng minh rằng: x4+y4 
Giải: Áp dụng bài toán 1 ta có :
(đpcm)
2. Ví dụ 2 : Chứng minh rằng: 
Giải : Áp dụng bài toán 2 ta có :
IX. Phương pháp chứng minh bất đẳng thức riêng.
 A. Kiến thức cần nhớ - phương pháp.
 Một số bài toán chứng minh bất đẳng thức đưa được về dạng XY, trong đó X = A1A2.An và Y = B1B2Bn hoặc X = A1+A2++An và Y =B1+B2++Bn với Ai, Bi (i = ) là đa thức, phân thức mà các biểu thức Ai, Bi có cùng chung quy luật. Dễ dàng chứng minh được bất đẳng thức riêng , từ đó suy ra 
B. Ví dụ:
1.Ví dụ 1 : Cho a, b, c >0 Chứng minh rằng: 
Giải: Ta chứng minh bất đẳng thức riêng : 
Ta có : ( vì b>0) 
 bất đẳng thức luôn đúng
Do đó ta có : Tương tự ta có : 	 ; 	
Suy ra : 
Vậy : (đpcm)
2. Ví dụ 2 : Cho a, b, c > 0 . Chứng minh rằng:
Giải: Chứng minh bất đẳng thức riêng :
 (1)
Ta có (1)
 , bất đẳng thức luôn đúng
Do đó ta có : (1)
Tương tự ta có : (2)
	 (3) Từ (1), (2), (3) ta có đpcm.
 3. Ví dụ 2 : Cho các số a, b, c > 0 và a + b + c ≤ 1. Chứng minh rằng: 
 [2] 
 (Trích đề thi hsg toán 8 huyện Quảng Xương năm học 2017-2018)
Giải: Đặt x = a2+ 2bc ; y = b2 + 2ac và z = c2 + 2ab
Ta có : x + y + z = (a+b+c)2 ≤ 1
Xét: A = ( x+y+z) = 
Áp dụng bđt phụ: ( với x,y >0 ) dấu bằng xảy ra khi x=y
Tương tự ta có: 
Suy ra: A ≥ 3+6 =9. Dấu bằng xảy ra khi: 
X. Phương pháp xét từng khoảng giá trị của biến. 
A. Kiến thức cần nhớ:
Một số bài toán chứng minh bất đẳng thức nhiều khi việc xét từng khoảng giá trị của biến giúp ta tìm được lời giải dễ dàng hơn.
B. Ví dụ:
1.Ví dụ 1: Chứng minh rằng : x8 - x7 + x2 - x + 1>0
Giải : Gọi A là vế trái của bất đẳng thức :
Cách 1 : - Nếu x 1 thì ta viết A dưới dạng: x7(x-1)+x2(x-1)+1
Do x ³ 1 nên A > 0
- Nếu x < 1 thì viết A dưới dạng : x8 + x2(1-x5) + (1 - x)
Do x0, do đó : A > 0
Cách 2: A = x7(x-1)- (x-1) + x2 = (x-1)(x7 - 1) +x2
Nếu x ³ 1 thì x7 ³ 1, do đó (x-1)(x7-1) ³ 0, còn x2 >0 nên A > 0
Nếu x 0, còn x2³ 0 nên A >0
2. Ví dụ 2 : Cho ba số a, b, c thoả mãn : a + b + c ³ abc
 Chứng minh rằng : a2 + b2 + c2 ³ abc
Giải : Xét hai trường hợp:
1) . Ta có a2 + b2 + c2 ³ a + b + c ³ abc
2) Trong ba số có ít nhất một số nhỏ hơn 1. Không mất tính tổng quát, giả sử <1 Ta có : a2 + b2 + c2 ³ a2 + b2 ³ 
XI. Phương pháp đổi biến
A. Kiến thức cần nhớ.
Một số bài toán chứng minh bất đẳng thức ta có thể đổi biến rồi từ đó dẫn về bài toán quen thuộc đã biết cách giải.
Chú ý : Một số bài toán chứng minh bất đẳng thức dạng:
 là hằng số , A1, A2, ., An, B1, B2,, Bn là các đa thức nhiều biến và cùng bậc), ta có thể chọn cách đổi biến m1=B1, m2=B2, m3 = B3mn = Bn, rồi biểu diễn A1, A2, An theo m1, m2,, mn sẽ đưa về bài toán quen thuộc sau:
Chứng minh rằng nếu x, y > 0 thì 
B. Ví dụ:
1. Ví dụ 1 : Chứng minh rằng (x + 2003)4 + (x+2005)4 ³ 2
Giải : Đặt x + 2004 = y ta có:
(x + 2003)4 + (x+2005)4 = (y - 1)4 + (y + 1)4
= y4 - 4y3 + 6y2 - 4y + 1 + y4 + 4y3 + 6y2 + 4y + 1= 2y4 + 12y2 + 2 ³ 2
Chú ý : Ta có thể chứng minh tổng quát : (x = a)4 + (x + b)4 ³ bằng cách đặt : x = 
2. Ví dụ 2 : Cho a + b + c =1. Chứng minh rằng : 
Giải : Đặt : 
Do : a + b + c =1 nên x + y + z = 0 ta có:
Dấu “ = ” xảy ra 
3.Ví dụ3 : Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng :
Giải: Đặt : x = b + c – a, y = a