SKKN Dạy học Bồi dưỡng học sinh giỏi khối 11 Trường THPT Quan Sơn 2 với Chuyên đề: Sử dụng phương pháp véc tơ để giải một số bài toán hình học không gian

Nội dung
Trang
MỤC LỤC
1
PHẦN MỞ ĐẦU
2
1. Lý do chọn đề tài
2
2. Mục đích nghiên cứu
2
3. Đối tượng và phạm vi ngiên cứu
3
4. Phương pháp nghiên cứu
3
PHẦN NỘI DUNG 
4
1. Cơ sở lí luận 
4
2. Thực trạng nghiên cứu
4
3. Giải pháp thực hiện
6
3.1. Các yêu cầu cơ bản khi giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp véc tơ
6
3.2.Quy trình chung để giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp véctơ
6
3.3 Một số biện pháp để tổ chức thực hiện
6
3.4.Một số dạng toán sử dụng phương pháp 
6
 Dạng 1: Phần quan hệ song song:
7
 Dạng 2: Phần khoảng cách và góc
10
 Dạng 3: Phần quan hệ vuông góc
14
4. Hiệu quả của sáng kiến
16
PHẦN KẾT LUẬN 
18
Kết luận
18
TÀI LIỆU THAM KHẢO
19
MỤC LỤC
PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
 Toán học là một môn khoa học công cụ. Tuy nó không trực tiếp sản xuất ra vật chất nuôi sống con người nhưng là một môn khoa học công cụ nên bất kỳ một môn khoa học nào cũng cần phải có Toán học.
 	Để học tốt bộ môn Toán học không phải là chuyện đơn giản. Có người học rất nhiều, rất chăm nhưng chỉ giải được các bài toán thông thường, đơn giản, quen thuộc mà thôi. Còn đứng trước một bài toán mới thì rất lúng túng, gặp nhiều khó khăn. Phải chăng tư duy toán học còn hạn chế chưa chịu khó suy nghĩ, chưa định hướng, linh hoạt áp dụng kiến thức, định lí vào giải toán.
 Trong cải cách giáo dục phổ thông, một trong các nhiệm vụ cơ bản của chương trình hình học là “Bồi dưỡng kỹ năng vận dụng phương pháp véctơ vào việc nghiên cứu một số hình hình học, một số quan hệ hình học ...Việc sử dụng vectơ để giải bài toán hình học”. Chính vì vậy, việc giáo viên hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp vectơ để giải bài toán là cần thiết và phù hợp với xu thế cải cách giáo dục hiện nay.
 Mặt khác khi đứng trước một bài toán hình học không gian thì học sinh mới chỉ dùng phương pháp hình học tổng hợp (lớp 11) và phương pháp toạ độ (lớp 12) để giải mà chưa nghĩ đến việc dùng phương pháp véctơ để giải chúng.
 Hơn nữa, năm học 2015- 2016 tôi được phân công dạy lớp 11A1 có tiết tự chọn, được phân công dạy bồi dưỡng học sinh giỏi khối 11 qua thực tế giảng dạy, tôi thấy có một số học sinh tư duy tốt. Với tư tưởng không chỉ dạy kiến thức cho các em mà còn dạy hình thành ở các em phương pháp suy luận, khả năng vận dụng, kết nối các kiến thức để đưa ra phương pháp giải mới cho các bài toán. Giáo viên phải thực hiện điều đó và hướng dẫn học sinh ngay trong các tiết học tự chọn và bồi dưỡng học sinh giỏi. Vì lí do trên tôi chọn đề tài: Dạy học Bồi dưỡng học sinh giỏi khối 11 Trường THPT Quan Sơn 2 với chuyên đề: “Sử dụng phương pháp véc tơ để giải một số bài toán hình học không gian”
2. Mục đích nghiên cứu:
 Mục đích của sáng kiến này là người viết muốn :
- Trang bị cho học sinh giải các bài toán hình học không gian bằng phương pháp véc tơ.
- Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán. Qua đó giúp học sinh nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo khi giải toán.
- Nâng cao chất lượng giáo dục mũi nhọn môn toán của nhà trường.
- Phát triển ở học sinh những năng lực phẩm chất trí tuệ góp phần tích cực vào việc giáo dục tư tưởng đạo đức thẩm mỹ của người công dân.
3. Đối tượng nghiên cứu:
Đối tượng nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm là học sinh khối 11 trường THPT Quan sơn 2.
4. Phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp quan sát (công việc dạy - học của giáo viên và học sinh).
- Phương pháp điều tra (nghiên cứu chương trình, hồ sơ chuyên môn,).
- Phương pháp đàm thoại phỏng vấn (lấy ý kiến của học sinh thông qua trao đổi trực tiếp).
- Phương pháp thực nghiệm.
 PHẦN NỘI DUNG
1. Cơ sở lý luận:
 Một trong những phương thức phát triển năng lực tư duy sáng tạo trong giải toán là rèn luyện khả năng phát hiện các ứng dụng đa dạng của hệ thống kiến thức Toán được học trong nhà trường. Trong chương trình toán học phổ thông, phương pháp vectơ đóng một vai trò quan trọng. Đó là một công cụ khá mạnh và hữu hiệu để giải một số bài toán hình học một cách nhanh gọn và dễ hiểu. Xét về mặt khoa học, phương pháp vectơ khá trừu tượng, có nhiều công thức khó nhớ và nhiều bài toán khó hiểu. Cái khó hơn nữa là việc chuyển các sự kiện hình học của bài toán được diễn đạt bằng ngôn ngữ hình học tổng hợp sang ngôn ngữ vectơ và ngược lại. Tuy nhiên, đây là một chủ đề khá “lôi cuốn”đối với những học sinh đam mê toán học, bởi nó đòi hỏi người học phải tư duy, tìm tòi và sáng tạo. 
 Việc nghiên cứu đề tài này là thực hiện yêu cầu của việc đổi mới phương pháp dạy học nói chung, dạy học môn Toán trong chương trình Trung học phổ thông nói riêng. Trong đó, việc phát huy tính chủ động tích cực và sáng tạo của học sinh trong quá trình học tập có ý nghĩa rèn luyện các em trở thành những con người năng động, có khả năng chủ động giải quyết được các vấn đề đặt ra trong học tập cũng như trong cuộc sống sau này.
2. Thực trạng nghiên cứu: 
 Trong chương trình cải cách giáo dục, việc trình bày phương pháp vectơ có liên quan mật thiết đến phương pháp toạ độ. Khái niệm trục toạ độ, hệ trục toạ độ học sinh đã được làm quen trong chương trình toán cấp 2. Trong chương trình hình học THPT, Ban cơ bản: Ở lớp 10 học sinh làm quen với phương pháp véctơ, sau đó dùng véctơ để xây dựng hệ toạ độ trên mặt phẳng. Sang lớp 11 học sinh được làm quen với véctơ trong không gian, sử dụng vectơ để nghiên cứu quan hệ vuông góc trong không gian. Ở lớp 12 vectơ được sử dụng để nghiên cứu một số quan hệ hình học và xây dựng hệ trục toạ độ trong không gian. Nhưng chưa đi sâu vào việc trình bày lời giải các bài toán hình học không gian bằng phương pháp véc tơ. Một số định lí đóng vai trò “bản lề ” trong việc chuyển từ khái niệm vectơ sang khái niệm toạ độ: Định lí về hai véctơ cùng phương; Định lí về phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương trong mặt phẳng; Định lí về phân tích một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng trong không gian.
Một số người cho rằng giờ học tự chọn, bồi dưỡng học sinh giỏi là chỉ việc ra bài tập cho học sinh ngồi làm, mục đích là rèn luyện “kĩ năng giải toán cho học sinh”. Việc dạy tự chọn, bồi dưỡng học sinh giỏi không hoàn toàn như vậy. Nếu trong các tiết học theo phân phối chương trình, thầy và trò cần trao đổi, truyền đạt các kiến thức cơ bản trong sách giáo khoa để học sinh thu lượm được kiến thức và kỹ năng giải toán một cách tốt nhất thì trong giờ học tự chọn, bồi dưỡng học sinh giỏi, người thầy cần định hướng giúp học sinh tìm ra những phương pháp giải mới, hay nhằm phát huy tính sáng tạo, khả năng học tập ở các em. Để làm được điều này, người thầy cần phải chuẩn bị bài giảng một cách công phu và tổ chức các hoạt động dạy học tích cực để học sinh có thể hiểu sâu hơn các kiến thức cơ bản, hình thành kỹ năng giải toán và kích thích niềm yêu toán. 
Việc hướng dẫn các em nắm chắc kiến thức cơ bản, biết liên kết, móc nối các bài toán nhằm giúp các em hiểu sâu và nhớ lâu, từ đó mở rộng bài toán, đi tìm kiến thức mới. Đó chính là cách tốt nhất để hình thành năng lực học toán cho các em. 
Việc hình thành cho học sinh phương pháp học và tự học Toán là nhiệm vụ của người giáo viên Toán. Cụ thể là dạy học sinh cách tìm tòi, dự đoán, tự đi tìm kiến thức mới, biết so sánh, đối chứng, biết lật lại vấn đề, biết suy xét tính chân thực của bài toán ..., giúp các em có trí tưởng tượng phong phú, lập luận lôgic, trình bày khoa học và một thế giới quan duy vật biện chứng. 
Trường THPT Quan sơn 2 là trường ở vùng cao biên giới phía tây tỉnh Thanh Hóa. Hiện nay, chất lượng học tập của đa số học sinh còn thấp. Các em chưa có điều kiện học tập, đặc biệt chương trình phân hoá học sinh. Nhà trường chưa có điều kiện tốt để học sinh khá giỏi, học sinh yếu kém phát triển nhận thức phù hợp với từng đối tượng học sinh. Học sinh hổng kiến thức từ lớp dưới rất lớn. Nhà trường chưa có đủ phương tiện dạy học theo phương pháp mới. Đặc biệt lượng kiến thức đưa ra là nặng đối với học sinh vùng sâu vùng xa. Cho nên việc nâng cao chất lượng đại trà là nhiệm vụ trong tâm của nhà trường. Việc bồi dưỡng học sinh giỏi được chú ý nhưng chưa được đề cao, chưa tạo được hứng thú với nhiều học sinh.
Có lẽ ai cũng nhận thấy điều đó. Đội ngũ giáo viên của trường đang trực tiếp giảng dạy, các cấp lãnh đạo, các ngành đã làm gì để khắc phục tình trạng đó. Theo tôi, đây là vấn đề hạn chế đang tồn tại, nếu ta không có giải pháp hợp lí.
3. Giải pháp thực hiện:
3.1. Các yêu cầu cơ bản khi giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp véc tơ:
- Học sinh cần nắm chắc được một số định lí: Định lí về hai véctơ cùng phương; Định lí về phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương trong mặt phẳng; Định lí về phân tích một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng trong không gian...
- Học sinh cần có kỹ năng biến đổi các biểu thức véc tơ, phân tích véc tơ theo hệ véc tơ cho trước và ghi nhớ một số bài toán cơ bản...
3.2. Quy trình chung để giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp véctơ:
Bước 1.Lựa chọn một số véctơ mà ta gọi là “ hệ véctơ cơ sở’’; “phiên dịch” các giả thiết, kết luận của bài toán hình học không gian đã cho ra “ngôn ngữ” véctơ .
Bước 2. Thực hiện các yêu cầu của bài toán thông qua việc tiến hành các phép biến đổi các hệ thức véctơ theo hệ vectơ cơ sở.
Bước 3. Chuyển các kết luận vectơ sang các tình chất hình học không gian tương ứng. 
3.3 Một số biện pháp để tổ chức thực hiện:
3.3.1. Hình thức luyện tập trên lớp có sự hướng dẫn của giáo viên:
- Thực hiện trong phạm vi một số buổi chữa bài tập của các buổi học chính khoá , tự chọn với các bài tập ở mức độ vừa phải. Giáo viên đưa ra phương pháp giải, ví dụ mẫu và hệ thống bài tập, học sinh nêu các lời giải có thể có được của bài toán. Sau đó cho học sinh tìm tòi, phát hiện một số vấn đề xung quanh bài giải ở mức độ đơn giản.
- Thực hiện một số buổi trong công tác bồi dưỡng đối với những học sinh khá hơn ở mức độ những bài toán cao hơn.
3.3.2.Hình thức tự nghiên cứu các bài toán có sự hướng dẫn của giáo viên:
Hình thức này cũng cần thực hiện liên tục trong quá trình học tập của học sinh, làm cho khả năng tư duy, tính sáng tạo của học sinh ngày càng được tăng lên.
3.4.Một số dạng toán sử dụng phương pháp: 
Chúng ta biết rằng không có một chìa khoá vạn năng nào có thể dùng để mở khoá “giải” mọi bài toán. Vì vậy trong đề tài này tôi đã phân chia, sắp xếp các bài tập thành những dạng khác nhau, và trong mỗi dạng đó tôi cố gắng lựa chọn các ví dụ, bài tập điển hình nhất, qua đó nhằm rèn luyện cho học sinh các kĩ năng biến đổi vectơ đơn giản làm tiên đề cho các kĩ năng chuyển các sự kiện của bài toán diễn đạt bằng ngôn ngữ hình học tổng hợp sang ngôn ngữ vectơ và ngược lại. 
Các bài toán minh hoạ cho các dạng toán:
 Dạng 1. Phần quan hệ song song:
Bài toán 1. Hai đường thẳng phân biệt AB và CD song song với nhau khi và chỉ khi .
Bài toán 2. Cho hai không cùng phương thuộc mặt phẳng (P), AB không thuộc (P) . Khi đó :AB//(P) .
Bài toán 3. Cho hai mặt phẳng phân biệt ( ABC) và (MNP).
 Khi đó:.
 Ví dụ 1: Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1. Giả sử M, N, E, F lần lượt là trọng tâm của các tam giác AA1B1, A1B1C1, ABC, BCC1. Chứng minh : MN // EF.
Lời giải:
Bước1:Chọn hệ véc tơ cơ sở
Theo bài ra:
+M là trọng tâm của tam giác AA1B1:
 (1)
+N là trọng tâm của tam giác A1B1C1:
 (2)
+E là trọng tâm của tam giác ABC:
 (3)
+F là trọng tâm của tam giác BCC1:
 (4)
+ 
Bước 2: Biến đổi các biểu thức véc tơ 
Từ (1), (2): (5)
Từ (3), (4): (6)
 Từ (5), (6): (7)
Bước 3: Chuyển ngôn ngữ véc tơ sang ngôn ngữ hình học không gian
Từ (7) : MN // EF.
 Ví dụ 2: Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1.Giả sử M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AA1, B1C1. Chứng minh: MN // (DA1C1).
Lời giải:
Bước 1: Chọn hệ véc tơ cơ sở
+ M là trung điểm AA1: (1)
+ N là trung điểm B1C1: (2)
+ (3)
Bước 2: Biến đổi các biểu thức véc tơ 
Từ (1), (2): 
Suy ra: (4)
Bước 3: Chuyển ngôn ngữ véc tơ sang ngôn ngữ hình học không gian
Từ (4) : MN // (DA1C1).
Ví dụ 3: Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AA1, CC1 và G là trọng tâm của tam giác A1B1C1. 
Chứng minh: (MGC1) // (AB1N).
Lời giải:
Bước 1: Chọn hệ véc tơ cơ sở 
 +M là trung điểm AA1: (1)
 + N là trung điểm CC1: (2) 
+ G là trọng tâm của tam giác A1B1C1:
 (3) + (4) 
Bước 2: Biến đổi các biểu thức véc tơ 
Ta có:
Từ (5) và (6) , do không đồng phẳng nên ta có: 
Ta có: 
Từ (8) và (9): 
Bước 3: Chuyển ngôn ngữ véc tơ sang ngôn ngữ hình học không gian
Từ (7) : (11)
Từ (10) : (12)
Từ (11) và (12) : 
Bài tập vận dung:
Bài 1. Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1. Giả sử E là tâm của mặt ABB1A1; N, I lần lượt là trung điểm của CC1 và CD . Chứng minh : EN//AI.
Bài 2. Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1. Giả sử M, N lần là trọng tâm các tam giác ABA1 và ABC . Chứng minh : MN//(AA1C1).
Bài 3. Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1. Giả sử M, N, E lần lượt là trung điểm BB1, CC1, AA1. G là trọng tâm tam giác A1B1C1.
Chứng minh: (MGC1)//(BA1N)
Dạng 2. Phần góc và khoảng cách:
Bài toán 4. Góc giữa hai đường thẳng AB và CD được tính theo công thức: 
Bài toán 5. Khoảng cách giữa hai điểm A và B là :
Bài toán 6. Cho điểm M và đường thẳng l có véc tơ chỉ phương , điểm A thuộc l. Tính khoảng cách từ M đến l.
Phương pháp giải:
Đặt , gọi N là hình chiếu của M lên l.
Khi đó: và 
Khoảng cách cần tìm :
Bài toán 7. Cho (ABC), điểm M không thuộc (ABC).Tính khoảng cách từ M đến (ABC) và góc giữa MA và (ABC).
Phương pháp giải:
Đặt ,, gọi N là hình chiếu của M lên (ABC).
Khi đó :
Do nên 
Khi cho biết x,y ta tìm được khoảng cách từ M đến (ABC) bằng.Nếu thì góc giữa AM và (ABC) bằng góc giữa và , còn thì AM (ABC).
Bài toán 8. Cho đường thẳng chéo nhau, d1 đi qua A1 và có véc tơ chỉ phương ; đường thẳng d2 đi qua A2 và có véc tơ chỉ phương . 
Tính khoảng cách và góc giữa hai đường thẳng trên.
Phương pháp giải:
+ Góc giữa hai đường thẳng :
+Đoạn vuông góc chung P1P2 ( P1 thuộc d1, P2 thuộc d2), khi đó:. Do 
Khoảng cách cần tìm: 
Ví dụ 4: Cạnh đáy của lăng trụ tam giác đều ABC.A1B1C1 bằng a, các điểm O và O1 tương ứng trọng tâm của các dáy ABC và A1B1C1.Độ dài hình chiếu của đoạn thẳng AO1 trên đường thẳng B1O bằng .Hãy tính đường cao của lăng trụ.
Lời giải:
Chọn hệ véc tơ cơ sở 
.
Giả sử 
Ta có:
Suy ra:
Vì:
 nên 
Ví dụ 5: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có SA=4.Điểm D nằm trên cạnh SC, CD=3, còn khoảng cách từ A đến đường thẳng BD bằng 2. Tính thể tích của hình chóp.
Lời giải:
Chọn hệ véc tơ cơ sở 
Đặt là góc phẳng ở đỉnh của hình chóp.
N là hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng BD.
Do ANDB
 Mặt khác:
Từ (1) và (2) ta được .Vì vậy : 
Mặt khác:
Từ (1) và (2) ta được .Vì vậy : 
Ta tính độ dài đường cao của hình chóp SO.
Vì O là trọng tâm của tam giác ABC nên 
Vậy: .
Ví dụ 6: Đáy của hình chóp S.ABC là tam giác đều ABC cạnh bằng , cạnh bên SC vuông góc với đáy và có độ dài bằng 2. M,N lần lượt là trung điểm BC, AB.Hãy tìm số đo của góc và khoảng cách giữa SM và CN.
Lời giải:
Ta chọn hệ véc tơ cơ sở 
+Ta tìm góc giữa SM và CN?
Ta có:
Khi đó:
+Tính khoảng cách giữa SM và CN?
Gọi P thuộc SM và Q thuộc CN. Khi đó:
Do PQ là đoạn vuông góc chung của SM và CN nên:
Ví dụ 7: Đáy của hình chóp S.ABC là tam giác đều ABC với cạnh bằng 1, cạnh SA vuông góc vuông góc với đáy, . Mặt phẳng song song với các đường thẳng SB và AC, mặt phẳng song song với các đường thẳng SC và AB. Tính giá trị của góc giữa hai mặt phẳng và .
Lời giải:
Chon hệ véc tơ cơ sở .
Giả sử là các véc tơ bất kì khác ,
tương ứng vuông góc hai mặt phẳng và ,
còn góc hai mặt phẳng và .
Thế thì: 
Đặt 
Ta có: 
Số phương trình bé hơn số ẩn, điều đó chứng tỏ không được xác định duy nhất.
Chọn nên là một trong các véc tơ vuông góc với 
Tương tự :
Chọn :
Khi đó :.
Bài tập vân dụng.
Bài 1. Cho tứ diện ABCD có AB=CD=a, CA=BD=b, AD=BC=c. Tính cosin của góc giữa các cạnh đối diện.
Bài 2. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A1B1C1 có BC=a, AC=b, Ab=c, AA1=h. Tính cosin của góc:
	1.Giữa AB1 và BC1.
Bài 3. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=a, BC=b, CC’=c. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC’ và CD’.
Bài 4. Cho tứ diện đều SABC cạnh bằng 1. BD là đường cao của tam giác ABC Tam giác đều BDE nằm trong mặt phẳng tạo với cạnh AC góc, biết rằng các điểm S và E nằm về một phía đối với mặt phẳng (ABC). Tính SE.
Dạng 3. Phần quan hệ vuông góc:
Bài toán 9. Hai đường thẳng phân biệt AB và CD vuông góc với nhau khi và chỉ khi .
Bài toán 10. Cho hai không cùng phương thuộc mặt phẳng (P), AB không thuộc (P) . Khi đó :AB(P) .
Ví dụ 8: Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1. M và N là các điểm thuộc các đường chéo BA1 và CB1 sao cho:. Chứng minh rằng: .
Lời giải:
Chọn hệ véc tơ cơ sở 
Khi đó: 
Theo bài ra :
Mặt khác: 
Do đó:
Ví dụ 9:
Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 có các mặt là các hình thoi bằng nhau.Các góc phẳng của góc tam diện đỉnh A1 bằng nhau. 
Chứng minh rằng: .
Lời giải:
Chọn hệ véc tơ cơ sở 
Theo giả thiết :
Gọi m là độ dài cạch hình hộp.
Ta có:
Từ (1) và (2) suy ra 
Bài tập vân dụng.
Bài 1. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi M,N lần lượt là trung điểm cạnh AD và BB’. Chứng minh : MNA’C.
Bài 2. Cho hình chóp S.ABC, SA(ABC), SA=a, AC=2a, AB=a, . Gọi M và N là hai điếm sao cho:
Chứng minh: SC(AMN).
Bài 3. Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC, đáy ABC là tam giác cân tại A. 
Vẽ SO(ABC), D là trung điểm cạnh AB, E là trọng tâm tam giác ADC.
Chứng minh: DC(SOE)).
 4. Hiệu quả của sáng kiến:
 Trong quá trình giảng dạy ở lớp 10 tôi thấy khi hướng dẫn học sinh sử dụng véc tơ để giải các bài toán hình học phẳng, các bài toán về đại số thì học sinh vận dụng rất tốt và hứng thú. Từ thực trạng trên trong quá trình dạy lớp 11 tôi đã mạnh dạn dần dần hình thành phương pháp bằng cách phát triển từ bài toán cơ bản đến bài toán ở mức độ khó hơn trong quá trình giảng dạy chính khoá cũng như dạy bồi dưỡng học sinh giỏi, để trang bị đầy đủ kiến thức véc tơ phổ thông, trang bị thêm phương pháp giải toán hình học không gian cho học sinh, để khi đứng trước bài toán hình học không gian học sinh có thể tự tin lựa chọn một trong ba phương pháp để giải.
 Tôi nhận thấy, việc khai thác phương pháp véc tơ để giải các bài hình học không gian để giúp học sinh tìm tòi, phát huy tính sáng tạo, hình thành nhiều cách giải khác nhau khi đứng trước bài toán hình học không gian là điều rất cần thiết. Hơn nữa, phương pháp này không đòi hỏi học sinh phải tư duy trực quan cao, mà chỉ cần học sinh nắm vững một số bài toán cơ bản trong sách giáo khoa và một số kỹ năng biến đổi thuần tuý về mặt đại số thì có thể vận dụng phương pháp để giải các bài hình học không gian một cách đơn giản và nhanh chóng. Từ đó giúp học sinh tự tin hơn khi gặp các bài toán khó cũng như công việc khó trong cuộc sống, hình thành ở bản thân các em tính kiên trì sáng tạo trong công việc.
 	Sau khi nghiên cứu kỹ và vận dụng các biện pháp sư phạm được xây dựng ở trên vào quá trình dạy học, tôi thấy không có gì trở ngại, khó khả thi trong việc vận dụng các biện pháp này. Những dạng toán, bài toán, phương pháp giải mới như vậy vừa kích thích được tính tích cực, độc lập của học sinh lại vừa giúp học sinh được lĩnh hội những tri thức phương pháp mới trong quá trình giải toán. 
Học sinh chủ động xây dựng kiến thức, phát hiện và chiếm lĩnh các đơn vị kiến thức trong bài. Học sinh nắm được các kiến thức và phương pháp giải mới các bài toán hình học không gian, học tập một cách tích cực hơn, đặc biệt là đã hình thành được cho học sinh phương pháp tư duy mới. Học sinh đã bắt đầu ham thích những dạng toán mà trước đây các em rất “ngại” - bởi vì luôn gặp phải những kiến thức yêu cầu tư duy cao. Sau thời gian thực nghiệm học sinh cảm thấy yêu thích môn Toán hơn, đặc biệt là kiến thức về hình học không gian. 
Việc thực nghiệm các biện pháp sư phạm cho thấy các biện pháp sư phạm đều có tính khả thi, bước đầu đem lại hiệu quả tốt. 
	 Mức độ lĩnh hội, tiếp thu kiến thức tôi thu được trước và sau khi vận dụng linh hoạt đề tài vào việc ôn luyện cho học sinh lớp 11A1 gồm 33 em học sinh với việc bồi dưỡng học sinh giỏi như sau:
Trước khi vận dụng đề tài vào việc ôn luyện và bồi dưỡng:
Giỏi
Khá
TB
Yếu
Kém
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
2
6,1
5
15,2
17
51,5