SKKN Cực trị trên miền đa giác lồi và một số bài toán kinh tế

 I - LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
 Trong chương trình toán lớp 10 nói riêng và trong đời sống nói chung, chúng ta thường gặp những tình huống có vấn đề về việc lựa chọn phương án nào là tối ưu nhất hoặc phương án nào hiệu quả nhất hay ít rủi ro nhất hay an toàn nhấtĐây là vấn đề không mới nhưng để lựa chọ chính xác lại không dề dàng.
 Trong đời sống, từ sản suất công nghiệp hay sản suất cá thể của hộ nông dân, việc lựa chọn phương án tối ưu không chỉ giúp tiết kiệm chi phí mà còn tăng thêm lợi nhuận, ngược lại nếu lựa chọn không tốt sẽ dẫn đến rủi ro rất nhiều thậm chí đói mặt với nguy cơ lỗ vốn, phá sản.
 Nhận thấy việc giải các bài toán cực trị trên một miền đa giác có thể liên hệ đến các bài toán kinh tế đơn giản, và qua đó có thể giúp chúng ta lựa chọn hướng đi đúng, đầu tư đúng hướng, giảm rủi ro và tăng thêm lợi nhuận, tôi sẽ trình bày chuyên đề “Cực trị trên miền đa giác lồi và một số bài toán kinh tế” .
II - THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI
Thuận lợi:
Học sinh đã được trang bị kiến thức nền cơ bản
Đa số học sinh có tinh thần háo hức trước các vần đề mới và thực tế
Khi thực hiện chuyên đề, học sinh có nhiều chuyển biến về thái độ và kết quả học tập.
Khó khăn: 
Nhiều học sinh thấy “ sợ” các bài toán về cực trị.
Việc giải các bài toán thực tế phải có sự hiểu biết nhất định về công việc của người sản xuất trên nhiều lĩnh vực, phải thâm nhập vào thực tế phải có thời gian cùng tham gia lao động sản xuất.
Khi áp dụng vào thực tế, trình độ nhận thức của mỗi người lại không giống nhau, còn nhiều tư tưởng bảo thủ
 III - NỘI DUNG
CƠ SỞ LÝ LUẬN
 Không chỉ cung cấp cho học sinh kiến thức mà còn định hướng trong suy luận và khả năng tư duy. Giúp học sinh biết nâng cao, mở rộng bài toán và tổng quát hóa bài toán một cách tự nhiên.
 Trong chuyên đề này, tôi chủ yếu sử dụng phương pháp đồ thị để gải quyết các vấn đề đặt ra.
NỘI DUNG
 2.1) Nhắc lại một số kiến thức cơ bản:
a) Biểu diễn miền nghiệm của một bất phương trình bậc nhất hai ẩn: ax + by + c > 0 (1) (Hoặc ax + by + c < 0 (2), ax + by + c ≥0 (3), ax + by + c ≤0 (4)) [1],[2]
- Bước 1: vẽ hệ trục tọa độ oxy rồi vẽ đường thẳng d: ax + by + c = 0
- Bước 2: xét dấu hai nửa mặt phẳng tọa độ có bờ chung là đường thẳng d bằng cách thay tọa độ của một điểm không nằm trên đường thẳng d (điểm M(x0;y0) chẳng hạn) vào vế trái của phương trình đường thẳng d, được số m = ax0 + by0 + c. Nếu số m > 0 thì nửa mặt phẳng chứa điểm M có dấu dương, nửa kia có dấu âm và ngược lại. Thông thường nếu đường thẳng d khong qua gốc O(0;0), tức là c ≠0, ta chỉ cần chọn điểm M là O(0;0) làm điểm đại diện xét dấu.
- Bước 3: Biểu diễn miền nghiệm của (1): Ta gạch bỏ nửa mặt phẳng mang dấu âm, để lại nửa mặt phẳng dấu dương, đối với các bất phương trình (2), (3), (4) cũng làm tương tự. Nếu bất phương trình có dấu bằng ta để cả biên.
b) Biểu diễn nghiệm của hệ bất phương trình: [1], [2]
- Muốn biểu diễn miền nghiệm của một hệ bất phương trình, ta biểu diễn từng bất phương trình của hệ. Miền hình phẳng không bị gạch bỏ cuối cùng là miền nghiệm của hệ bất phương trình.
Ví dụ 1: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình sau: 2x-3y-8>0x+y-40 (1)
Giải: 
Trước hết ta vẽ bốn đường 
thẳng:
 d1: 2x – 3y – 8 =0
 d2: x + y – 4 = 0
 d3: 3x – y – 5 = 0
 d4: y – 5 = 0
Thực hiện các công đoạn đã nêu ở trên ta được miền nghiệm (S) của hệ bất phương trình (1) là miền tứ giác ABCD (đồ thị 1), tính cả biên là cạnh AD, trong đó, tọa độ các đỉnh của tứ giác là: A(1;-2), B(4;0), C(9;-5) và D(0;-5)
2.2) Bài toán cực trị trên miền đa giác lồi
BÀI TOÁN: Tìm giá trị nhỏ nhất hay giá trị lớn nhất của biểu thức 
P(x;y) = ax + by (b≠0) trên một miền đa giác lồi, phẳng, kể cả biên. [1], [2]
 Bài toán trên có nghĩa là: Cho biểu thức P(x,y) = ax + by và miền đa giác lồi (S) trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Tìm GTLN hay GTNN của P(x;y) = ax + by với (x;y) là tọa độ điểm M thuộc (S).
Cách giải: Ta luôn có thể giả thiết rằng b >0, vì nếu b <0, ta nhân hai vế với -1
ta được Q(x;y) = - P(x;y) = -ax – b’ = -ax + b’, khi đó P(x;y) lớn nhất thì Q(x;y)
 Tập hợp các điểm M(x;y) để P(x;y) = ax + by nhận giá trị p là đường thẳng ax + by = p. Đường thẳng này có hệ số góc k = -a/b và cắt trục tung tại điểm M(0;m) với m = p/b. Do b > 0 nên việc tìm gtnn hay gtln của P quy về tìm đường thẳng dm để điểm M ở vị trí cao nhất hay thấp nhất mà dm có ít nhất một điểm chung với (S).
(S)
nhỏ nhất, P(x;y) nhỏ nhất thì Q(x;y) lớn nhất.
 Như vậy, khi tìm GTNN hay GTLN của P, ta chỉ cần cho đường thẳng dm di chuyển song song với đường thẳng d: ax + by =0 và quan sát vị trí giao điểm M 
Nhận xét: Điểm M sẽ ở vị trí cao nhất hay thấp nhất khi đường thẳng dm đi 
qua một trong các đỉnh của đa giác. Do vậy ta có thể tìm tọa độ các đỉnh của đa giác (S) rồi tính giá trị của P(x;y) tại các đỉnh đó. Đỉnh nào cho giá trị lớn nhất của P thì đó là GTLN tọa độ điểm đó là vị trí GTLN đạt được, đỉnh nào cho giá trị bé nhất của P thì đó là GTNN cần tìm.	
Ví dụ 2: Cho x, y là các số thực thỏa mãn đk: 2x-y≥2x-2y≤2x+y≤5x≥0
Tìm GTNN, GTLN của biểu thức P = y – x 
Giải: Hệ ↔ 2x-y-2≥0x-2y-2≤0x+y-5≤0x≥0 (2)
Vẽ 4 đường thẳng d1: 2x – y – 2 = 0, d2: x – 2y – 2 = 0, d3: x + y – 5 = 0 và d4: x = 0
Gạch bỏ những nửa mặt phẳng không thỏa mãn ta được miền nghiệm (S)
của hệ (2) là miền tam giác ABC (kể cả biên).
A=d1∩d2→A23;-23, B=d1∩d3→B73;83, C=d2∩d3→C4;1
Bảng giá trị của P tại các đỉnh của tam giác ABC
Đỉnh
A23;-23
B73;83
C4;1
Giá trị của P
-4/3
1/3
-3
Ví dụ 3: (Trích đề dự bị THPT QG 2015): Trong một cuộc thi pha chế, mỗi đội được dùng tối đa 24g hương liệu, 9 lít nước và 210g đường để pha chế nước cam và nước táo. Để pha chế 1 lít nước cam cần 30g đường, 1 lít nước và 1g hương liệu. Để pha chế 1 lít nước táo cần 10g đường, 1 lít nước và 4g hương liệu. Mỗi lít nước cam pha chế được sẽ có 60 điểm thưởng, còn mỗi lít nước táo sẽ nhận được 80 điểm thưởng. Hỏi cần pha chế mỗi loại bao nhiêu để được số điểm thưởng cao nhất.
3 lít nước cam, 6 lít nước táo; C. 6 lít nước cam, 3 lít nước táo
2 lít nước cam, 7 lít nước táo; D. 4 lít nước cam, 5 lít nước táo
Vậy: Pmin=-3↔ x=4y=1; Pmax=13↔x=73y=83
 Nhận xét chung: Đây là dạng toán tìm phương án tối ưu rất phổ biến trong cuộc sống. Thông thường nếu không biết cách tính toán để lựa chọn phương án hợp lý, ta thường thử nhiều lần rồi so sánh các kết quả đó với nhau xem phương án nào tốt hơn.
Chẳng hạn ở bài toán trên ta có thể tính số điểm thưởng cho từng phương án rồi chọn phương án có điểm thưởng nhiều nhất làm kết quả
Phương án A có số điểm thưởng là 660 
Phương án B có số điểm thưởng là 680 
Phương án C có số điểm thưởng là 600 
Phương án D có số điểm thưởng là 640 
Cả 4 phương án trên đều đạt được tiêu chí là pha chế đủ 9 lít nước, có vẻ như đều hợp lý, và như vậy chỉ cần chọn đáp án B là ổn. Tuy nhiên phương án này liệu đã chính xác chưa! Nó có thể ẩn chứa nhiều rủi ro bởi các điều kiện ràng buộc như số gam đường, hương liệuNếu chọn B thì lượng đường đảm báo nhưng hương liệu phải dùng là 30g, nghĩa là bị thiếu hương liệu, không phù hợp với yêu cầu. Phương án A thì sao? Nếu phương án A thì lượng đường cúng đảm bảo nhưng hương liệu dùng hết 27g, vần bị thiếu. Vậy đâu là phương án tối ưu???
Giải 
Gọi x và y là số lít nước cam và nước táo cần pha chế (ĐK x≥0, y≥0)
Số điểm thưởng thu được là T = 60x + 80y
Số lít nước đã dùng là: x + y ≤9
Số gam đường đã dùng là: 30x + 10y ≤210 hay 3x+y≤21
Số gam hương liệu: x+4y≤24
Theo bài ra ta cần tìm GTLN của T = 60x + 80y với x, y là các số thực thỏa mãn 
x≥0;y≥0x+y≤93x+y≤21x+4y≤24↔x≥0;y≥0x+y-9≤03x+y-21≤0x+4y-24≤0(3)
Đồ thị mô tả miền nghiệm của (3) là: ( đồ thị 3)
Từ đồ thị ta có miền nghiệm (S) của hệ (*) là miền ngũ giác OABCD, (tính cả biên)
Tọa độ các đỉnh là: O(0;0), A(0;6), B(4;5), C(6;3), D(7;0).
Bảng giá trị điểm thưởng tại các đỉnh:
Đỉnh
O(0;0)
A(0;6)
B(4;5)
C(6;3)
D(7;0)
Đ. Thưởng T
0
480
640
600
280
Vậy phương án có điểm thưởng cao nhất là 4 lít nước cam, 5 lít nước táo. Đáp án D
2.3) MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG BÀI TOÁN KINH TẾ
 Trong thực tế, việc giải một số bài toán kinh tế thường dẫn đến việc xét những hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và giải chúng. Loại bài toán này được nghiên cứu trong ngành toán học còn được gọi là “Quy hoạch tuyến tính”. Đó là ngành toán học có nhiều ứng dụng trong đời sống và kinh tế. Sau đây ta sẽ xét một số bài toán đơn giản thuộc loại đó [1],[2]
Ví dụ 4: Tại một xí nghiệp có 3 nhóm máy móc A,B,C dùng để sản xuất ra hai loại sản phẩm I và II. Để sản xuất một đơn vị sản phẩm mỗi loại phải lần lượt dùng các máy thuộc các nhóm khác nhau. Biết rằng có tất cả 10 máy A, 4 máy B và 12 máy C . Để sản xuất 1 đơn vị sản phẩm I cần 2 máy A, 2 máy C, còn để sản xuất 1 đơn vị sản phảm II cần 2 máy A, 2 máy B và 4 máy C. Mỗi sản phẩm loại I lãi 3 triệu đồng, sản phẩm loại II lãi 5 triệu đồng. Hãy tìm phương án để việc sản xuất 2 loại sản phẩm trên có lãi cao nhất. 
3 loại I, 2 loại II B. 4 loại I, 2 loại II
4 loại I, 1 loại II D. 2 loại I, 2 loại II
 Nhận xét chung: Để giải bài toán này ta cần thiết lập các giả thiết của bài toán thông qua các ẩn số để đưa bài toán về hệ bất phương trình và giải nó.
Giải: Gọi x và y là số sản phẩm loại I và loại II được sản xuất , ta có hệ điều kiện sau: x≥0;y≥02x+2y≤102y≤42x+4y≤12↔x≥0;y≥0x+y-5≤0y-2≤0x+2y-6≤0 (4)
Số tiền lãi thu được là: T = 3x + 5y ( triệu đồng)
Bài toán quy về tìm x, y thỏa mãn điều kiện (1) để T = 3x + 5y đạt GTLN.
Đồ thị mô tả miền nghiệm (S) của hệ điều kiện (4) là: ( đồ thị 4)
Từ đồ thị 4, ta được miền nghiệm của hệ (4) là miền ngũ giác OABCD 
Tọa độ các đỉnh của ngũ giác là: O(0;0), A(0;2), B(2;2), C(4;1), D(5;0)
Bảng giá trị tiền lài T tại các đỉnh:
Đỉnh
O(0;0)
A(0;2)
B(2;2)
C(4;1)
D(5;0)
Tiền lãi T
0
10
16
17
15
Đáp án đúng là C: 4 sản phẩm loại I, 1 sản phẩm loại II
2.4) Tình huống thực tế
 Ở gần nhà tôi ( Hoằng Lộc – Hoằng Hóa) có gia đình chú Tuấn được biết đến như là hộ nông dân giỏi. Hồi tháng 2/2017 tôi có dịp qua nhà chú chơi và hỏi chú về mô hình chăn nuôi tại gia đình chú, chú Tuấn cho biết: hồi mới bắt đầu, chú chỉ nuôi mỗi lứa5 con heo với 2 con bò, do nuôi ít và cũng tận dụng sức lao động rỗi rãi lúc nông nhàn nên chi phí thức ăn cho heo cũng ít, giá bán lại cao nên lãi cũng tàm tạm, còn nuôi bò cũng nhàn. Vợ chú đi làm đồng có thể tranh thủ bứt cỏ, lại tận dụng thêm nguồi thức ăn từ làm nông nghiệp như rơm, dạ, thóc lép, cám gạonên chăn nuôi cũng chẳng vất vả gì, chỉ có điều gia xúc chậm lớn hơn bây giờ. Cách đây 3 năm chú quyết định mở rộng mô hình chăn nuôi. Chú đầu tư chuồng trại nuôi heo và nuôi bò. Năm ngoái có lúc chú nuôi 50 con heo thương phẩm (4 chuồng) và 5 con bò. Do chăn nuôi nhiều nên chủ yếu cho ăn thức ăn công nghiệp, heo nhanh lớn hơn, nhàn hơn nhưng tốn kém hơn so với chăn nuôi thông thường. Chú cho biết để nuôi mỗi con heo sau khoảng gần 4 tháng xuất chuồng, trừ chi phí có thời điểm lãi hơn 1 triệu đồng mỗi con. Tính ra mỗi lứa heo lãi khoảng 45- 50 triệu đồng, một năm nuôi 3 lứa là có hơn 100 triệu từ nuôi heo. Nuôi bò thì đầu tư nhiều hơn và cần nhiều công hơn nên chú nuôi ít. Tuy nhiên sang năm nay giá heo nhiều biến động. lứa heo vừa rồi lỗ vốn thảm hại. Chú đang tính giảm đàn heo và tăng thêm số lượng đàn bò để chăn nuôi an toàn hơn. Tôi động viên chú tiếp tục chăn nuôi theo hướng điều chỉnh số lượng đàn gia súc nuôi trong gia đình và giữ mức đầu tư ban đầu ở mức độ vừa phải.
 Giả sử chú Tuấn dành 200 triệu quay vòng cho chăn nuôi và chú vẫn muốn chăn nuôi 2 loại gia súc trên thì số lượng từng loại như thế nào? Biết rằng lao động chủ yếu là 2 vợ chồng chú, các em nhà chú còn đi học nên chỉ hỗ trợ bố mẹ phần nào. Xét ví dụ sau:
Ví Dụ 5: Gia đình chú Tuấn muốn mở rộng mô hình chăn nuôi theo trang trại, dự đinh nuôi 2 loại gia súc là lợn và bò. Ước tính rằng nếu nuôi lợn thì phải đầu tư cả tiền giống, thức ăn khoảng 2 triệu, sau 4 tháng bán được khoảng 2,5 triệu, hết khoảng 10 công mỗi con. Còn nếu nuôi bò phải đầu tư 16 triệu, sau 4 tháng bán được 18 triệu, và phải dành khoảng 25 công mỗi con. Biết rằng gia đình chú đầu tư cho chăn nuôi không quá 200 triệu đồng và số công bỏ ra không quá 450, tiền khấu hao do đầu tư chuồng, trại ban đầu mỗi năm khoảng 10 triệu. Hỏi số tiền lãi nhiều nhất thu được trong một năm gần với số nào nhất? 
65 triệu B. 79 triệu C. 90 triệu D. 95 triệu 
Giải: 
Gọi x và y là số lợn và bò nuôi trong mỗi vụ , ta có hệ điều kiện sau:
 x≥0,y≥02x+16y≤20010x+25y≤450
↔x≥0,y≥0x+8y-100≤02x+5y-90≤0 (5)
Tiền lãi mỗi vụ (chưa tính khấu hao) là 
T = 0,5x + 2y
Tiền lãi thu về sau 1 năm là 
S = 3 T – 10 = 1,5x + 6y – 10 
Bài toán quy về tìm GTLN của S với x, y thỏa mãn điều kiện (5)
Đồ thị mô tả miền nghiệm của (5) là: (đồ thị 5)
Từ đồ thị trên ta thấy miền nghiệm (S) của (5) là miền tứ giác OABC( cả biên)
Tọa độ các đỉnh của tứ giác là: O(0;0), A(0;12,5), B(20;10), C(45;0)
Bảng giá trị tiền lãi hằng năm tại các đỉnh là
Đỉnh
O(0;0)
A(0;12,5)
B(20;10)
C(45;0)
Tiền lãi S (triệu đồng)
0
65
80
57,5
Từ bảng giá trị trên ta thấy tiền lãi thu được sau 1 năm là 80 triệu, do vậy chọn đáp án B ( gần 79 triệu nhất)
Lời bình: Qua ví dụ trên ta thấy với người nông dân, việc tìm ra phương án chăn nuôi tối ưu một mặt tiết kiệm được chi phí đầu tư, mặt khác nâng cao hiệu quả nguồi vốn và giảm đáng kể rủi ro. Rõ ràng trong trường hợp này chăn nuôi cùng lúc nhiều loại sẽ có hiệu quả cao hơn so với nuôi mình bò hay lợn. Ngoài ra nếu có thêm ao, gia đình này hoàn toàn có thể chăn nuôi kết hợp nhiều loại khác nữa ví dụ nuôi cá sẽ tận dụng được đáng kể nguồi chất thải từ chăn nuôi heo và bò, nuôi gà sẽ tận dụng rất tốt không gian và nguồi thức ăn thừa từ nuôi bò. Việc kết hợp như vậy sẽ tạo thành chuỗi bổ trợ cho nhau và giảm rủi ro khi ngành chăn nuôi có nhiều biến động, khủng hoảng thừa thịt heo như giai đoạn này.
2.5) Tìm hiểu về chi phí nuôi heo công nghiệp [3],[4],[5]
- Con giống: Giá heo giống khoảng 60k – 65k /1kg, con giống khoảng 12kg sẽ có giá khoảng 750k 
- Thức ăn của heo chia làm 3 giai đoạn. Giai đoạn 1 “úm heo”,heo ăn thức ăn loại 1, giá 18k/kg, mỗi con ăn hết 20kg nên chi phí hết 360k/ con. Giai đoạn 2 là giai đoạn tăng trưởng (khoảng 2 tháng), thức ăn giai đoạn này 12k/kg, mỗi con ăn hết 125kg nên chi phí hết 1.500k/con. Giai đoạn 3 xuất bán (khoảng 10-15 ngày), thức ăn giai đoạn này là 10k/kg, mỗi con ăn hết khoảng 25kg nên hết 250k. Do vậy, để nuôi 1 con heo từ 10kg đến khi xuất chuồng khoảng 100kg, chi phí thức ăn hết khoảng 2,1 triệu trên tổng khối lượng thức ăn của mỗi con heo khoảng 160-175kg/con, cộng với đầu tư con giống và các chi phí khác như chuồng trại, điện nước, vệ sinh, thú y, mỗi con heo nuôi công nghiệp sẽ phải đầu tư khoảng 3 triệu, so với giá heo hiện tại khoảng 28k/kg, người chăn nuôi đang bị lỗ, chưa kể tiền lãi vay ngân hàng (chăn nuôi công nghiệp), trong đó riêng chí phí thức ăn hết hơn 2/3. 
Bài toán đặt ra là muốn nuôi heo công nghiệp mà vẫn có lãi thì phải thực hiện tốt các vấn đề sau:
Thứ nhất: Tiết kiệm chi phí heo giống bằng cách phát triển đàn heo nái. Kinh nghiệm từ các chủ trang trại lợn cho thấy nếu tự sản xuất được con giống thì sẽ tiết kiệm khoảng 50% chi phí con giống.
Thứ 2: Giảm chi phí thức ăn, có thể cho heo ăn thức ăn hỗn hợp (giá bình quân 12k/kg) với thức ăn truyền thống như cám gạo, cám ngô (giá khoảng 6k/kg) theo tỉ lệ nhất đinh. Khi đó thời gian nuôi mõi lứa sẽ dài hơn, khoảng hơn 4 tháng nhưng chi phí thức ăn sẽ giảm đáng kể. Thịt lợn tuy ít nạc hơn nhưng an toàn hơn cho sức khỏe người tiêu dùng
Thứ 3: Giảm quy mô đàn heo.
 Bây giờ ta cùng tìm giải pháp cho thức ăn [5]
Ví dụ 6: Một trang trại nuôi heo công nghiệp muốn cắt giảm chi phí thức ăn cho heo bằng cách trộn lẫn thức ăn hỗn hợp với cám gạo theo một tỉ lệ nhất định. Biết rằng giá cám gạo là 6000 đ/ kg, thức ăn hỗn hợp là 12.000 đ/kg, tỉ lệ cám gạo không lớn hơn 2 lần và không bé hơn 1,2 lần thức ăn hỗn hợp và tổng khối lượng 2 loại cám mỗi con heo dùng không lớn hơn 210kg và không nhỏ hơn 180kg. Xác định chi phí thấp nhất và cao nhất dành cho thức ăn của mỗi con heo cho đến khi xuất bán. So sánh với chi phí bằng thức ăn công nghiệp toàn phần. 
Giải 
Gọi x và y lần lượt là số kg cám gạo và thức ăn hỗn hợp cần dùng, ta có hệ bất phương trình sau: 
x≥0;y≥01,2y≤x≤2y180≤x+y≤210 (6)
 Chi phí dành cho thức ăn là T = 6x + 12y.
Bài toán quy về: tìm x, y thỏa mãn (6) để T bé nhất
Từ đồ thị 6 ta có miền nghiệm của (6) là miền tứ giác ABCD (kể cả biên), trong đó: A(108;72), B(126;84), C(140;70) và D(120;60)
Bảng giá trị chi phí thức ăn 
Đỉnh
A(108;72)
B(126;84)
C(140;70)
D(120;60)
Chi phí T
1,512 triệu
1,764 triệu
1,680 triệu
1,440 triệu
 Như vậy chi phí thức ăn thấp nhất là 1.440.000 Đ và cao nhất là 1.764.000 Đ.
 Từ bảng số liệu trên ta thấy nếu kết hợp giữa thức ăn hỗn hợp với thức ăn truyền thống, tuy thời gian tăng trưởng của heo chậm hơn nhưng chi phí thức ăn thấp hơn đáng kể, nếu tiết kiệm tốt, chi phí dành cho thức ăn tiết kiệm khoảng 1/3 so với cho ăn bằng thức ăn hỗn hợp, ngoài ra có thể kết hợp với nuôi lợn nái thì chi phí con giống ít nhất giảm được 1/3, do đó chi phí chăn nuôi chỉ còn khoảng trên 2 triệu. Người chăn nuôi mới có lãi. Với phương án này, chi phí tối đa cho thức ăn của heo cũng tiết kiệm hơn 400k so với nuôi hoàn toàn bằng thức ăn tổng hợp. Đây là một lưu ý cho bà con khi muốn chăn nuôi heo theo hướng công nghiệp. Bây giờ ta cùng tìm hiểu mô hình trồng cây trên cùng đơn vị diện tích sao cho lợi nhuận thu về là lớn nhất.
Ví dụ 7: Một hộ nông dân trồng đậu và cà trên diện tích tối đa 8 sào. Nếu trồng đậu thì cần 20 công và thu hoạch khoảng 5 triệu đồng trên mỗi sào. Còn nếu trồng cà thì cần 30 công và thu lời khoảng 7 triệu trên mỗi sào. Biết rằng số công bỏ ra không quá 180. Phải trồng mỗi loại cây trên diện tích bao nhiêu để số tiền thu về là nhiều nhất? khi đó số tiền thu về gần với số nào nhất?
 50 triệu B. 55 triệu C. 40 triệu D. 45 triệu
Giải: Gọi x và y là diện tích trồng đậu và cà của gia đình, ta có hệ bất phương trình:
x≥0,y≥0x+y≤820x+30y≤180↔x≥0,y≥0x+y-8≤02x+3y-18≤0(6)
Số tiền thu về là T = 5x + 7y
Yêu cầu bài toán quy về tìm x, y thỏa mãn (6) để T = 5x + 7y lớn nhất.
Đồ thị mô tả tập nghiệm của (7) là: (đồ thị 7)
Miền nghiệm của (7) là miền tứ giác OABC, kể cả biên
Tọa độ các đỉnh là O(0;0), A(0;6), B(6;2), C(8;0)
Bảng giá trị tiền thu hoạch:
Đỉnh
O(0;0)
A(0;6)
B(6;2)
C(8;0)
Tiền thu T
0
42 triệu
44 triệu
40 triệu
Như vậy, muốn đạt lợi nhuận cao nhất cần canh tác đậu và cà theo tỉ lệ 6 sào đậu, 2 sào cà. Khi đó lợi nhuận thu về là 44 triệu. Vậy, chọn đáp án D.
Ví Dụ 8: Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein (chất đạm) và 400 đơn vị lipit (chất béo) trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi kg thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit. Mỗi kg thịt lợn chứa 600 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit. Biết gia đình này chỉ mua nhiều nhất 1,6 kg thịt bò và 1,1kg thịt lợn. Giá tiền 1kg thịt bò là 220 nghìn đồng, còn 1 kg thịt lợn có giá 70 nghìn đồng. Số tiền tối thiểu mà gia đình này mang đi chợ là.
181 nghìn B. 164 nghìn C. 143 nghìn D. 127 nghìn
Giải: Gọi x, y lần lượt là số kg thịt bò và thịt lợn của gia đình ấy, ta có hệ
0≤x≤1,60≤y≤1,1800x+600y≥900200x+400y≥400↔0≤x≤1,60≤y≤1,18x+6y-9≥0x+2y-2≥0(8)
Số tiền đã mua là: T = 220x + 70y (nghìn đồng)
Đồ thị mô tả miền nghiệm của (8) là: 
Từ đồ thị ta thấy miền nghiệm (S) của (8) là miền tứ giác ABCD ( kể cả biên) trong đó O(0;0), A(0;1), B(0.6;0.7), C(1.125;0).
Bảng tiền mua hàng là
Đỉnh
A(0.6;0.7)
B(0.3;1.1)
C(1.6;1.1)
C(1.6;0.2)
Tiền mua T
181
143
429
366
Vậy số tiền tối thiểu phải mang đi chợ là 143 nghìn đồng. Chọn đáp án C , nghĩa là người này cần mua 3 lạng thịt bò và 1,1 kg thịt lợn.
III. Bài tập áp dụng
Một phân xưởng có hai máy đặc chủng M1, M2 dùng để sản xuất 2 loại sản phẩm ký hiệu là I, II. Một tấn sản phẩm loại I lãi 20 triệu đồng, còn 1 tấn sản phẩm loại II lãi 16 triệu đồng. Muốn sản xuất 1 tấn sản phảm loại I phải dùng M1 trong 3 giờ, dùng máy M2 trong 1 giờ. Muốn sản xuất 1 tân sản phẩm loại II phỉ dùng máy M1 trong 2 giờ, máy M2 trong 1 giờ. Một máy không thể