SKKN Chinh phục tính đơn điệu của hàm số có chứa tham số bằng máy tính cầm tay casio

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
TRƯỜNG THPT MƯỜNG LÁT
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
CHINH PHỤC TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ CÓ CHỨA THAM SỐ BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY CASIO
Người thực hiện: Triệu Thị Thủy
Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn
SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán
THANH HOÁ NĂM 2018
Mục lục
1. Mở đầu..........................................................................................Trang 02
1.1. Lí do chọn đề tài..................................................................... ..Trang 02
1.2. Mục đích nghiên cứu.................................................................Trang 02
1.3. Đối tượng nghiên cứu............................................................... Trang 02
1.4. Phương pháp nghiên cứu.......................................................... Trang 02
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm................................................. Trang 02
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm..................................Trang 02
2.2. Thực trạng vấn đề .....................................................................Trang 03
2.3. Các giải pháp............................................................................ Trang 04
2.4. Hiệu quả của sáng kiến............................................................. Trang 07
3. Kết luận, kiến nghị....................................................................... Trang 09
Tài liệu tham khảo........................................................................... Trang 11
Danh mục các đề tài sáng kiến kinh nghiệm.....................................Trang 12
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài:
 Năm 2017 là năm đầu tiên mà kì thi tuyển sinh THPT Quốc gia được thực hiện theo hình thức hoàn toàn mới – hình thức trắc nghiệm. Ngay từ thời điểm phương án thi mới công bố, trong đầu tôi đặt ra muôn vàn câu hỏi : ‘‘Với hình thức này thì giáo viên hiện nay phải xử lí như thế nào ? Đề thi sẽ được phân bổ ra sao ? Các em học sinh sẽ phải xử lí thế nào với một đề thi có đến 50 câu trắc nghiệm, trong đó thời gian chỉ vỏn vẹn 90 phút ?’’, hay ‘‘Phải làm sao để có thể giúp các em học sinh vượt qua đề thi nhanh hơn, trong khi bản thân mình chưa từng thử sức với nó ?’’. Quan sát, tìm hiểu trên các trang web, trên mạng xã hội, bản thân tôi chợt nhận ra tầm quan trọng của máy tính cầm tay (MTCT). MTCT giúp xử lí các khâu tính toán quan trọng, phức tạp mà nhiều học sinh khó giải quyết, trong khi đó để khai thác tối đa lợi ích từ một chiếc máy tính thì hầu hết các em chưa nắm được. Càng tìm hiểu sâu về MTCT, tôi càng bị thu hút bởi nó, những ấp ủ về một chuyên đề MTCT càng được nuôi dưỡng, lớn dần. Đặc biệt là các bài toán chứa tham số cực kì khó đối với học sinh miền núi. Chính vì thế tôi nghiên cứu thực hiện đề tài : ‘‘Chinh phục tính đơn điệu của hàm số có chứa tham số bằng máy tính cầm tay casio’’.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
 Nghiên cứu ứng dụng của máy tính cầm tay casio trong việc tìm các khoảng đơn điệu của hàm số có chứa tham số.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
 Nghiên cứu tính đồng biến, nghịch biến của hàm số có chứa tham số trên tập xác định của nó.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Phương pháp: 	
- Nghiên cứu lý luận chung.
- Khảo sát điều tra từ thực tế dạy và học .
- Tổng hợp so sánh, đúc rút kinh nghiệm.
Cách thực hiện:
- Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên cùng bộ môn, tham khảo tài liệu liên quan. .
- Liên hệ thực tế trong nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm qua quá trình giảng dạy.
- Thông qua việc giảng dạy trực tiếp trong năm học 2016-2017 và 2017-2018.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến
 Nhiệm vụ trọng tâm trong trường THPT là hoạt động dạy của thầy và hoạt động học của trò. Đối với người thầy, việc giúp học sinh chiếm lĩnh tri thức nói chung và những kiến thức toán học nói riêng là việc làm rất cần thiết nhưng không hề dễ dàng. 
	 Muốn học tốt môn toán, các em phải nắm vững lý thuyết và biết vận dụng lý thuyết một cách linh hoạt vào từng bài toán cụ thể. Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic và suy nghĩ linh hoạt, sáng tạo. Do đó, trong quá trình dạy học giáo viên cần định hướng cho học sinh tiếp cận, nghiên cứu môn toán một cách có hệ thống và vận dụng máy tính cầm tay casio một cách “thường nhật”, giúp các em khám khá ra các ứng dụng của máy tính cầm tay casio để giải quyết bài toán một cách nhanh nhất. 
	 Bài toán tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số hay gọi chung tính đơn điệu của hàm số trong sách giáo khoa Giải tích12 đề cập:
	Cho hàm số có đạo hàm trên .
Nếu với mọi thì hàm số đồng biến trên 
Nếu với mọi thì hàm số nghịch biến trên .
Tóm lại, trên 
 đồng biến
 nghịch biến.
Chú ý: Nếu , thì không đổi trên .
Định lý mở rộng: Giả sử hàm số có đạo hàm trên K. Nếu 
(), và chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến ( Nghịch biến ) trên K.
cùng với một số rất ít các ví dụ và bài tập kèm theo. Bên cạnh đó thời lượng dành cho phần này rất ít, các em không đủ thời gian để làm hết các bài toán dạng này. Đặc biệt, trong đề thi Đại học - Cao đẳng hiện nay các em tiếp cận với đề thi môn toán hoàn toàn trắc nghiệm thì việc tìm ra ‘‘mẹo’’, hay bước ‘‘ đột phá’’ cho bài toán và giảm thiểu tối đa thời gian để tìm ra đáp án cho bài toán đó việc rất rất nên làm nhằm đáp ứng nhu cầu thực tế hiện nay của học sinh miền núi nói chung và học sinh Mường Lát nói riêng. 
	 Vấn đề đặt ra là tại sao không để học sinh tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số có chứa tham số bằng các cách như cô lập m hoặc sử dụng định lí về xét dấu tam thức bậc hai đối với các hàm số bậc ba có biểu thức đạo hàm là tam thức bậc hai ? Học sinh Mường Lát khi bước vào lớp 10 nói đến bảng cửu chương còn thấy lạ thì liệu giải pháp trên có khả thi hay không? Câu trả lời là không, các em có điểm xuất phát quá thấp nên với một số bài toán có cách nào đó ‘‘mì ăn liền’’ sẽ tốt cho các em hơn. Đây chính là lí do để tôi lựa chọn sử dụng máy tính cầm tay casio để giải bài toán một cách nhanh nhất hiệu quả nhất, rút ngắn thời gian nhất. Thời gian thực hiện đề tài này được tôi bố trí vào các tiết ôn thi tốt nghiệp theo lịch nhà trường, thông qua việc tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số có chứa tham số trong các mẫu đề thi THPT Quốc gia 2017, 2018. 
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến
Trường THPT Mường Lát là ngôi trường có tuổi đời còn khá trẻ đóng tại một trong những huyện nghèo nhất của cả nước, hầu hết học sinh là con em các dân tộc thiểu số như Dao, Thái, Mông, Khơ mú,...nên trình độ dân trí còn thấp, mặt bằng chung về nhận thức của học sinh chưa cao. Việc học hành của các em chưa được các bậc phụ huynh quan tâm đúng mực, dẫn đến việc lơ là của học sinh trong việc học. Về môn Toán nói riêng các em càng ngại do kiến thức lớp dưới không vững, một số em học khá môn Toán nhưng vẫn “sợ” môn học này. Là giáo viên trực tiếp giảng dạy tôi nhận thấy học sinh ở đây ngoài khả năng nhận thức chưa tốt các em còn dành rất ít thời gian để học bài ở nhà. Lí do được đưa ra chủ yếu là do sự “nổi tiếng” khó và khô khan của môn toán, đặc biệt là với học sinh trường THPT Mường lát. Năm học 2017 – 2018 được phân công giảng dạy ở 4 lớp 12A, 12B, 12D, 12G tôi đã thực hiện một khảo sát về việc khi gặp đề bài toán có chứa tham số các em sẽ làm như thế nào và thu được kết quả hết sức đáng buồn như sau:
Lớp khảo sát
Khi gặp đề bài toán có chứa tham số
Không đọc
Đọc nhưng không suy nghĩ cách giải
Suy nghĩ tìm cách giải
Lớp 12A(40HS)
29
10
1
Lớp 12D(41HS)
31
8
2
Tổng
60
18
3
Hỏi các em có dành thời gian để tìm ra cách nào ngoài cách thông thường mà sách giáo khoa đã chỉ ra hay không thì các em hầu như đều trả lời là không.
Chính vì thế cùng nhiều thế hệ học sinh trải qua những kì thi Tốt Nghiệp, tôi luôn trăn trở làm thế nào để giúp học sinh làm bài thi trắc nghiệm một cách tốt nhất? Đặc biệt là với đối tượng học sinh trường có đầu vào thấp như trường THPT Mường Lát. Đối với bộ môn Toán, học sinh không những phải chăm học mà còn phải có phương pháp học phù hợp mới có thể nắm vững kiến thức cơ bản. Một thực trạng đáng lo ngại trong quá trình ôn tập là khi giáo viên hỏi bài, học sinh đã nắm hầu hết kiến thức, nhưng khi kiểm tra lại thì học sinh đã quên hoặc có sự nhầm lẫn tai hại. 
Khi sử dụng máy tính cầm tay trong giảng dạy tôi nhận thấy học sinh hứng thú, tích cực hơn so với các phương pháp khác. Trong năm học 2017 – 2018 tôi bước đầu đã thực hiện giảng dạy sử sụng máy tính cầm tay casio cho một số chủ đề môn toán 12, đồng thời cũng hướng dẫn cho học sinh cách sử dụng hiệu quả nhất và cũng để học sinh thấy rằng lạm dụng máy tính là xấu nhưng biết cách dùng máy là một lợi thế.
2.3. Các giải pháp
Trong khuôn khổ đề tài này tôi chỉ hướng dẫn học sinh sử dụng máy tính casio fx-570 VN PLUS và fx-570 ES PLUS để làm các bài toán trắc nghiệm liên quan đến tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số có chứa tham số.
	Trước khi thực hiện các giải pháp thì các em cần nắm được một số kiến thức sử dụng máy tính căn bản cần biết
Nút lệnh nhãn SHIFT
Nút lệnh SHIFT : khi ấn nút lệnh SHIFT cùng với các nút có ghi chú bên cạnh các lệnh màu vàng thì máy sẽ thực hiện các lệnh ghi chú trên nút đó.
Nút lệnh nhãn ALPHA:
Các kí tự biến số trên máy tính bao gồm các kí tự A, B, C, D, E, F, X, Y, M. Các kí tự này có rất nhiều ứng dụng trong tính toán. Để gọi một kí tự ta sẽ bấm nút Alpha kết hợp với nút chứa các biến để gọi các biến đó ra
Công cụ CALC để thay số :
Nút CALC nằm ngay dưới nút shift có tác dụng thay số vào biểu thức. 
	Chẳng hạn muốn tính giá trị của biểu thức tại , ta thực hiện như sau :
Bước 1 : Nhập biểu thức 
Bước 2 : Bấm CALC máy hỏi nhập 1
Bước 3 : Kết quả nhận được =6
( Lưu ý : Trên máy tính casio các biến lúc này đều là in hoa )
2.3.1. Giải pháp 1:
Đối với những bài xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số chứa tham số trên R, sử dụng chức năng tính đạo hàm của hàm số với X=10 và sử dụng X cố định trong tất cả các phép thử ( Lưu í: X có thể thay đổi bất kỳ nhưng cố định X trong tất cả các phép thử )
Bước 1 : ấn shift, rồi ấn dấu tích phân ở máy tính
( Máy tính xuất hiện)
Bước 2 : ....1 ta nhập hàm số f(x) ban đầu ( đề bài)
 .....2 ta gọi biến x bằng cách ấn ALPHA, ) xuất hiện X
Bước 3 : Ta dùng phím CALC với giá trị m ở các đáp án, Còn X=10( lưu ý X ta có thể thay bằng số bất kỳ chỉ cần khi CALC với các giá trị M khác nhau thì X vẫn giữ nguyên đúng số ta thay là được), kết quả nào cho số dương thì khẳng định hàm số đồng biến, kết quả cho số âm thì hàm số nghịch biến. Đối với hàm đa thức nếu Calc mà kết quả bằng 0 cũng thỏa mãn).
Ví dụ 1 : Với giá trị nào của để hàm số nghịch biến trên R
A.	B. 	 C. 	D. 
Hướng dẫn sử dụng máy tính :
Ở bài toán này ta sẽ sử dụng máy tính cầm tay chức năng đạo hàm
Nhập biểu thức vào máy tính và thay hoặc 
( nút M ở ngay phía trên AC)
Với A : Ta CALC cho 
Với B : Ta không cần thử do nếu thì hàm số trở thành hàm số bậc hai không thể nghịch biến trên R
Với C : Ta CALC cho 
Với D : Ta CALC cho 
Từ đây ta thấy C không thỏa mãn do C tạo ra đạo hàm dương, còn A và D thỏa mãn, Mà đáp án D gồm cả đáp án A, vậy ta chọn đáp án D
Ở đây học sinh có thể thay giá trị bất kỳ ví dụ -1000, 100, 25, 30, 1, 2, 5... vì ta xét trên R nên chọn giá trị nào cũng được.
Ví dụ 2 : Tìm tất cả các giá trị của tham số để hàm số đồng biến trên R
A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn : làm như ví dụ 1
Nhập 
CALC với thì kết quả là -1 như vậy tạm thời A loại
CALC với thì kết quả là -3 như vậy tạm thời B loại
CALC với thì kết quả là 1 thỏa mãn , chọn C. Ta không phải thử đáp án D nữa vì C thỏa mãn rồi.
Chú ý : khi thử với các giá trị , ta nên thử X, M các giá trị rất xa so với biên xem có thỏa mãn hay không.
2.3.2. Giải pháp 2 :
Đối với những bài xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số chứa tham số trên từng khoảng, đoạn... cụ thể.
Ta thực hiện như sau
	Bước 1 : Sử dụng chức năng tính đạo hàm nhập đề bài
	Bước 2 : Ta CALC giá trị của nằm trong khoảng đoạn mà đề bài đã ra, không được lấy ngoài khoảng đó, CALC 	Với các đáp án
	Bước 3 : Nếu CALC mà kết quả dương thì đồng biến, kết quả âm thì nghịch biến. Lưu ý đối với hàm đa thức kết quả bằng 0 cũng thỏa mãn	
VD1 : Tìm tất cả các giá trị của để hàm số nghịch biến trên 
A. 	 	B. 	C. 	D. 
Thực hiện :
Bước 1 : Nhập 
Bước 2 : Ta để ý các phương án A, B, C, D thì thấy A, B khác nhau ở dấu bằng, C, D cũng khác nhau dấu bằng, do vậy ta sẽ thử phương án trước. Ta thử như vậy để nếu không thỏa mãn ta loại A luôn, tương tự với C và D.
Do ở bài toán này, đề bài yêu cầu xét trên nên ta CALC với hoặc hoặc ( Ở đây tôi Calc )
Bước 3 : khi Calc , kết quả bằng 2 loại được A và B
Calc , kết quả bằng -4, Calc tiếp Calc , kết quả bằng -18, Như vậy C thỏa mãn
VD2 :( Đề khảo sát môn Toán 12 năm học 2017-2018 của Sở giáo dục và đào tạo Thanh Hóa) : Tìm tất cả các giá trị của tham số để hàm số đồng biến trên khoảng ( 0 ; 10)
A. 	 B. 
C. 	 D. 
Thực hiện như sau :
	Bước 1 : sử dụng chức năng tính đạo hàm nhập đề bài
	Bước 2 : Do xét trên khoảng nên ta cố định CALC , nằm trong các đáp án
Đáp án A. Calc máy tính hiện Math error, loại A và loại được luôn cả C. 
Đáp án B và C khác nhau ở chỗ Bằng 4.
 Calc kết quả là 3.36, , như vậy B và D đều có khả năng đúng, ta Calc kết quả bằng 0. Như vậy loại được D. Kết quả là B
Lưu ý : đối với hàm phân thức khi calc các đáp án nếu kết quả bằng 0 là loại, đây là điểm khác với hàm đa thức.
VD 3 : ( Đề minh họa môn Toán THPT Quốc gia 2018 lần 1 )
Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số đồng biến trên khoảng 
A. 5 	 B. 3 	 C. 0 	 D.4
Thực hiện như sau :
	Bước 1 : Sử dụng chức năng tính đạo hàm nhập đề bài vào máy tính :
	Bước 2 : nhận thấy do ở đây ta xét trên khoảng nên ta chọn bất kỳ, và ta có thể chọn để thử. Còn với do nguyên âm nên ta thử với xuất phát từ -1, -2, -3, -4... kết quả nào cho số dương thì nhận, cho số âm thì loại vì tìm m để đồng biến. ( lưu í đối với hàm đa thức bằng 0 thỏa mãn )
	Bước 3 :
 CALC , kết quả bằng 3 thỏa mãn
CALC , kết quả bằng 2 thỏa mãn
CALC , kết quả bằng 1 thỏa mãn
CALC , kết quả bằng 0 thỏa mãn
CALC , kết quả bằng -1 không thỏa mãn
CALC , kết quả bằng -2 không thỏa mãn
........................................
CALC , kết quả bằng -96 thỏa mãn
Như vậy ta thấy làm cho hàm số đồng biến, suy ra có 4 giá trị nguyên của thỏa mãn. Chọn D
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm :
Theo phân phối chương trình thời lượng dành cho sự đồng biến và nghịch biến của hàm số trong Giải tích 12 là 02 tiết lý thuyết và 01 tiết bài tập, với thời lượng này học sinh được làm rất ít bài tập và gần như không được hướng dẫn để khai thác các bài tập và đặc biệt là các bài toán về tính đơn điệu của hàm số có chứa tham số. Trước khi áp dụng đề tài tôi nêu các câu hỏi mở và bài tập về nhà cho các em tự tìm hiểu và nghiên cứu. Sau đó tôi cho các em làm bài kiểm tra 15 phút với nội dung như sau: 
Câu 1 : Cho hàm số . Tìm tất cả các giá trị của tham số để hàm số nghịch biến trên khoảng 
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 2 : Tìm tất cả các giá trị của tham số để hàm số luôn nghịch biến trên khoảng là :
A. 	B. 	C. 	 D. 
Các em rất bỡ ngỡ với cách ra đề này, nên nhiều em còn hỏi rất ngây ngô, cô ơi tại sao lại có , đề sai ah cô, các em chưa hình dung được sẽ phải làm gì? Làm như thế nào?. Kết quả thu được đáng buồn như sau:
Lớp
Biết cách làm
Đọc đề nhưng không biết làm
Không đọc đề khoanh bừa đáp án
SL
%
SL
%
SL
%
12A (40 HS)
1
2.5
13
32.5
26
65
12B (38 HS)
0
0
8
21.1
30
78.9
12D (41HS)
1
2.4
13
31.7
27
65.9
12G ( 39 HS)
2
5.1
5
12.8
32
82.1
Tổng
4
2.5
39
24.7
115
72.8
Với một thực tế đáng buồn với những bài toán chứa tham số như trên, giáo viên chưa phát đề xong thì có tới hơn 70% học sinh đã khoanh xong đáp án, đối với học sinh miền núi nói chung và học sinh trường THPT Mường lát nói riêng vì mất gốc toán, vì lúc nào cũng nghĩ rằng toán là bộ môn rất khó nên gây ra tâm lí sợ, đã sợ sẽ không đọc đến nó, đặc biệt những bài toán chứa tham số. Những năm gần đây được sự quan tâm của Đảng và Nhà nước học sinh miền núi có thêm trợ cấp hỗ trợ chi phí học tập cho các em, khi đó các em đã sử dụng số tiền ít ỏi đó mua thêm máy tính cầm tay phục vụ cho việc học tập. Học sinh Mường Lát khi đầu vào lớp 10 những em giải được phương trình bậc nhất, bậc hai đếm được trên đầu ngón tay và được xếp vào ‘‘ quý hiếm ’’, thực sự các em rất rất kém về những bài toán nói chung và bài toán chứa tham số nói riêng. Để giúp các em có thể vượt qua nỗi sợ bài toán về tính đơn điệu của hàm số có chứa tham số tôi đã lên kế hoạch lồng ghép vào các tiết ôn thi tốt nghiệp buổi chiều hướng dẫn các em sử dụng máy tính cầm tay Casio giải quyết các bài toán đó. Sau khi hoàn thành, tôi tiếp tục cho các em làm bài kiểm tra trắc nghiệm với nội dung chỉ sử dụng máy tính cầm tay casio fx-570 VN PLUS và fx-570 ES PLUS để tìm đáp án cho các bài toán sau: ( Thời gian 10 phút )
Câu 1. ( Sách Công phá toán 3): Tất cả các giá trị của tham số để hàm số đồng biến trên khoảng 	là:
A. 	B. 	 C. 	 D. 
Câu 2. ( Sách Công phá toán 3): Cho hàm số , là tham số. Tìm tất cả các giá trị của sao cho hàm số nghịch biến trên khoảng .
A. 	 B. 
C. 	 D. 
Câu 3. ( Sách Công phá toán 3): Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để hàm số đồng biến trên 
A. 	 B. 	C. 	 D. 
Lần này, hầu hết các em đã hình dung được công việc mình sẽ phải thực hiện, hơn nữa các em còn rất hứng thú với đề kiểm tra này, vì các em được áp dụng giải toán mà không cần đến việc phải biết phương pháp làm tự luận thông thường. Kết quả thu được như sau:
Lớp
Đáp án đúng cả 3 câu
Đáp án đúng 2 câu
Đáp án đúng 1 câu
SL
%
SL
%
SL
%
12A (40 HS)
13
32.5
8
20
15
37.5
12B (38 HS)
6
15.8
15
39.5
9
23.7
12D (41HS)
9
22
16
39
11
26.8
12G ( 39 HS)
8
20.5
15
38.5
9
23.1
Tổng
36/158
22.8
54/158
34.2
44/158
27.8
	Kết quả cho thấy hầu hết các em đều hứng thú và quan tân tới việc sử dụng máy tính cầm tay áp dụng vào việc giải nhanh các bài toán trắc nghiệm, số lượng học sinh biết sử dụng và sử dụng có hiệu quả tăng lên rõ rệt, đặc biệt Lớp 12A chỉ có 4 em làm sai cả 3 câu, cả 4 lớp các em làm được chiếm 84,8%, còn 15,2% các em chưa làm được. Với các bài toán xét tính đơn điệu của hàm số mà có chứa tham số mà các em làm được như vậy là điều rất mừng đối với người trực tiếp đứng lớp như tôi và từ đó đã có những em chờ đợi để được học môn Toán, sự hứng thú ở các em là niềm vui, là tín hiệu mừng của những người đứng lớp như chúng tôi. Hy vọng đề tài nhỏ này góp phần để việc dạy và học ôn thi THPT Quốc gia đạt hiệu quả hơn. Ngoài ra đề tài cũng là một gợi ý để các giáo viên tự tìm tòi cho bản thân cách sử dụng máy tính cầm tay cho các dạng toán chứa tham số khác như cực trị, mũ, logarit 
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Kết luận
Sử dụng máy tính cầm tay để giải quyết một bài toán xét tính đơn điệu của hàm số có chứa tham số một cách nhanh nhất, hiệu quả nhât, chiếm ít thời gian nhất đem lại sự thích thú cho người học cũng như người nghiên cứu nó và rất hữu ích đối với thực tế thi THPT Quốc gia như hiện nay. Tuy nhiên cái gì cũng có điểm xuất phát của nó, Toán cũng vậy cái quan trọng nhất chính là các kiến thức cơ bản, cơ sở lí luận ở sách giáo khoa mà ta học hằng ngày, máy tính cầm tay chỉ là công cụ bổ trợ, đòn bẩy giúp ta đánh bại các bài toán trắc nghiệm nhanh hơn và chính xác hơn, như tôi đã nói “ lạm dụng máy tính là xấu nhưng biết cách dùng máy tính là một lợi thế ”. Hy vọng rằng đề tài này sẽ góp phần đem các bài toán có chứa tham số trở nên “gần gũi, thân thiện” với người học, từ đó tạo sự hứng thú trong việc học nội dung xét tính đơn điệu của hàm số có chứa tham số , tránh được thực trạng khoanh bừa đáp án đối với các bài toán chứa tham số trong các đề thi.
 Trong quá trình thức hiện và nghiên cứu đề tài còn nhiều thiếu xót, rất mong nhận được ý kiến đóng góp để bản thân tác giả cùng đề tài ngày càng hoàn thiện hơn. 
 Đề tài hoàn thành được ngoài sự nỗ lực của bản thân là sự giúp đỡ tạo điều kiện của Ban giám h