SKKN Cách khai thác bài toán mới từ một số bài toán Hình học trong sách giáo khoa cho học sinh lớp 8 trường Trung học cơ sở Bắc Sơn - Bỉm Sơn

PHẦN I- MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài:
 Là giáo viên dạy Toán nhiều năm, tôi nhận thấy: dạy Toán đặc biệt là dạy môn Hình học, không đơn thuần là dạy cho học sinh nắm được những khái niệm, định lý hoặc giải được bài toán đơn lẻ thông thường  mà điều quan trọng là dạy cho học sinh thói quen tìm tòi, thói quen tự khám phá và phát hiện kiến thức thông qua sự hướng dẫn của giáo viên hoặc thông qua các hoạt động do giáo viên tổ chức. 
 Với suy nghĩ đó, trong quá trình giảng dạy nhiều năm tôi đã tiến hành dạy khai thác bài toán hình học mới từ bài toán sách giáo khoa đối với các đối tượng học sinh và tôi nhận thấy hiệu quả rất rõ rệt từ cách dạy trên. Vì vậy tôi xin được mạnh dạn trình bày kinh nghiệm “Cách khai thác bài toán mới từ một số bài toán Hình học trong sách giáo khoa cho học sinh lớp 8 trường Trung học cơ sở Bắc Sơn- Bỉm Sơn” để trao đổi với đồng nghiệp với mong muốn nâng cao chất lượng dạy học hơn nữa. 
2. Mục đích nghiên cứu:
Khai thác bài toán mới từ bài toán ban đầu giúp cho học sinh thói quen đào sâu suy nghĩ, phát triển năng lực tư duy, óc tò mò khoa học và sức sáng tạo của học sinh. Giúp học sinh biết xử lí các tình huống.
3. Đối tượng nghiên cứu:
3.1. Khách thể nghiên cứu: Hệ thống các bài tập thông qua nội dung các bài Hình học. Qua đó, giúp các em rèn tốt khả năng tư duy, hệ thống kiến thức, thu thập, phân tích thông tin, làm bài tập thực hành. 
3.2 Khách thể khảo sát : Gồm hai nhóm học sinh lớp 8 trường Trung học cơ sở Bắc Sơn- Bỉm Sơn, năm học 2017 - 2018 .
3. 3 Đối tượng: Xây dựng và thử nghiệm, rút kinh nghiệm chuyên đề cấp trường ở khối 8 theo sự chỉ đạo của Ban giám hiệu trường Trung học cơ sở Bắc Sơn- Bỉm Sơn.
4. Phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, kiểm tra, thống kê 
- Nghiên cứu tài liệu trên mạng Intenet và quan sát, phỏng vấn, khi dạy học sinh. 
PHẦN II- NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
1. Cơ sở của sáng kiến kinh nghiệm
1.1. Cơ sở lí luận
- Mục tiêu cơ bản của giáo dục là “Đào tạo và xây dựng thế hệ học sinh trở thành những con người mới phát triển toàn diện, có đầy đủ phẩm chất đạo đức, năng lực, trí tuệ, có kỹ năng mềm để đáp ứng với yêu cầu thực tế hiện nay”. Để thực hiện được mục tiêu đó, trước hết chúng ta phải biết áp dụng phương pháp dạy học hiện đại để bồi dưỡng cho học sinh năng lực tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề, rèn luyện thành nề nếp tư duy sáng tạo của người học, từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến, phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, dành thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh. Đồng thời bản thân mỗi giáo viên cũng phải tự tìm ra những phương pháp mới, khắc phục lối truyền thụ một chiều, phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh trong các môn học, đặc biệt là môn Toán.
1.2 Cơ sở thực tiễn 
 Trong thời đại hiện nay, nền giáo dục của nước ta đã tiếp cận được với khoa học hiện đại. Các môn học đều đòi hỏi tư duy sáng tạo và hiện đại của học sinh. Đặc biệt là môn Toán, nó đòi hỏi tư duy rất tích cực của học sinh, đòi hỏi học sinh tiếp thu kiến thức một cách chính xác, khoa học và hiện đại. Vì thế để giúp các em học tập môn Toán có kết quả tốt giáo viên không chỉ có kiến thức vững vàng, một tâm hồn đầy nhiệt huyết, mà điều cần thiết là phải biết vận dụng các phương pháp giảng dạy một cách linh hoạt, sáng tạo truyền thụ kiến thức cho học sinh một cách dễ hiểu nhất. 
2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Thực trạng tình hình 
 Kỹ năng phân tích tổng hợp của học sinh còn yếu, mối liên hệ giữa các dữ liệu trong bài toán, dẫn đến việc học sinh rất lúng túng và gặp rất nhiều khó khăn khi giáo viên thay đổi giả thiết bài toán thì còn bỡ ngỡ, không biết cách làm. Xuất phát từ thực tế đó nên kết quả học tập của các em chưa cao, chỉ đạt ở mức trung bình. Do vậy việc hướng dẫn giúp các em có kỹ năng khai thác, tạo nên bài toán mới từ bài toán trong sách giáo khoa là việc làm thiết thực. 
Muốn thế giáo viên phải tích cực quan tâm thường xuyên, không chỉ giúp các em nắm được lý thuyết mà còn phải tạo ra cho các em có một phương pháp học tập cho bản thân, rèn cho các em có khả năng tư duy, tìm tòi. Do đó giáo viên không những cố gắng rèn luyện cho học sinh cách giải mà cần khuyến khích học sinh xây dựng bài toán mới từ bài toán ban đầu để học sinh phát huy được khả năng tư duy linh hoạt, nhạy bén, tạo được lòng say mê, sáng tạo, ngày càng tự tin cho học sinh khi học môn Hình học. 
 Với hai nhóm có học sinh nhận thức ngang nhau và kết quả khảo sát trước khi thực hiện dạy thực nghiệm như sau:
Nhóm
Số HS khảo sát
Kết quả thu được
Tỉ lệ Khá trở lên
Giỏi
Khá
TB
Yếu kém
Nhóm 1
25
2( 8%)
6(24%)
10(40%)
7(28%)
32%
Nhóm 2
25
1(4%)
7(28%)
11(44%)
6(24%)
32%
Tổng
50
3(6%)
13(26%)
21(42%)
13(26%)
32%
 Thông qua kết quả kiểm tra, tôi nhận thấy kết quả chưa được như mong muốn, vì lẽ đó tôi quyết định nghiên cứu đề tài sáng kiến kinh nghiệm mang tên: “ Cách khai thác bài toán mới từ một số bài toán Hình học trong sách giáo khoa cho học sinh lớp 8 trường THCS Bắc Sơn” với mục tiêu nâng cao chất lượng hơn nữa và tạo hứng thú tìm tòi cho học sinh khi học bộ môn Hình học.
2.2 Những thuận lợi và khó khăn 
2.2.1. Thuận lợi
- Trường Trung học cơ sở Bắc Sơn- Bỉm Sơn luôn có được sự quan tâm giúp đỡ của Phòng Giáo dục và Đào tạo, Ban giám hiệu nhà trường thường xuyên quan tâm tới tất cả các hoạt động của trường, luôn tạo mọi điều kiện để giáo viên làm tốt công tác nghiên cứu.	
- Hầu hết các em học sinh ngoan thích học bộ môn Toán khi mà tôi giảng dạy.
2.2.2. Khó khăn :
- Trường Trung học cơ sở Bắc Sơn- Bỉm Sơn là điểm trường thuộc vùng miền núi, nhiều học sinh không thể tự học ở nhà vì các em còn phải phụ giúp gia đình 
- Khả năng nắm kiến thức mới của các em còn chậm và chỉ có thói quen giải xong bài tập trong sách giáo khoa, không tìm tòi, tư duy khi thay đổi điều kiện bài toán thì ta có được bài toán nào và hướng giải ra sao.
- Kỹ năng vận dụng lý thuyết vào bài tập của các em còn hạn chế.
3. Giải pháp và tổ chức thực hiện
 3.1. Giải pháp: 
 Từ những khó khăn cơ bản của học sinh cũng như những yếu tố khách quan khác, tôi đã cố gắng tìm ra những giải pháp khắc phục nhằm đạt được hiệu quả cao. Nắm bắt được tình hình học sinh ngại khó khi học môn Hình học nên tôi đã đưa ra các dạng bài tập khác nhau để phân loại cho phù hợp với khả năng nhận thức của từng đối tượng. Các bài tập ở dạng từ thấp đến cao để các em nhận thức chậm có thể làm tốt những bài toán ở mức độ trung bình, đồng thời kích thích sự tìm tòi và sáng tạo của những học sinh khá.
3.2 Tổ chức thực hiện
 Tuy khả năng nhận thức và suy luận của học sinh trong mỗi nhóm chưa đồng đều nhưng khi học tất cả đều phải dựa vào một quy tắc ba bước sau:
 Bước 1: Hướng dẫn học sinh tìm hiểu nội dung bài toán. Trong bước này học sinh cần :
- Đọc kỹ đề bài, hiểu đề bài .
- Khái quát được nội dung bài toán 
- Phân tích nội dung bài toán: bài toán cho biết gì? yêu cầu chứng minh điều gì? 
- Vẽ hình chính xác, trực quan, vẽ trong các trường hợp khác nhau và không vẽ hình trong trường hợp đặc biệt.
Bước 2: Tìm đường lối chứng minh.
- Tìm sự liên hệ giữa cái đã biết và điều chưa biết.
- Có thể phân tích thành bài toán đơn giản hơn hoặc tìm sự tương tác với các bài toán đã làm .
- Bài toán liên quan đến nội dung kiến thức nào đó học .
- Ta cần đưa hình phụ. 
Bước 3: Thực hiện chương trình giải và kiểm tra lời giải 
- Trên cơ sở phân tích tìm lời giải trên, tổng hợp lại quá trình chứng minh .
- Kiểm tra lại việc vận dụng các kiến thức đó đã hợp lý chưa ? kết luận của bài toán có đáp ứng được yêu cầu chứng minh không ?
- Để khai thác bài toán mới từ bài toán ban đầu hỏi học sinh phải phân tích kỹ bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau . 
- Đặc biệt hóa hoặc khái quát hóa bài toán ta được bài toán nào? Kết luận bài toán ban đầu còn phù hợp không? 
- Đảo giải thiết và kết luận của bài toán cho nhau ta có thể được bài toán mới không?
3.3 Các ví dụ minh họa
VÍ DỤ 1: ( Bài 6 – Trang 24 – SGK Hình học 8). 
Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành? 
 Giải :
MN là đường trung bình của tam giác ABC 
 MN // AC và MN = AC (1) 
PQ là đường trung bình của tam giác ACD
 PQ//AC và PQ = AC (2) 
Từ (1) và (2) => MN = PQ và MN // PQ
 MNPQ là hình bình hành.
Khai thác bài toán :
Câu hỏi đặt ra là: Liệu tứ giác ABCD không lồi như hình 1 thì tứ giác MNPQ có là hình bình hành không? 
Dễ thấy hoàn toàn tương tự như trên ta chứng minh được tứ giác MNPQ là hình bình hành. Vì vậy ta có hai bài toán sau:
Bài toán 1.1: 
Cho tứ giác ABDC có M, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD và Q, N lần lượt là trung điểm của các đường chéo AD và BC. Chứng minh rằng tứ giác MNQP là hình bình hành?
Bài toán 1.2: Cho tam giác ABD, C là điểm nằm trong tam giác ABD.Gọi M, N, P,Q lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình bình hành?
Và cũng từ bài toán 1.1 và bài toán 1.2 cho ta bài toán:
Bài toán 1.3 : 
Cho 4 điểm A, B, C, D phân biệt trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA. Các điểm A, B, C, D phải thỏa mãn điều kiện gì để M, N, P, Q là bốn đỉnh của:
a) Hình chữ nhật?
b) Hình thoi?
c) Hình vuông?
 2. Từ ví dụ 1 ta có 
Nên , do vậy ta có các bài toán sau:
Bài toán 1.4 :
Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA . Chứng minh ?
Bài toán 1.5 :
Cho tứ giác ABCD gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BD, CD. Chứng minh rằng ?
 3. Từ ví dụ 1 ta thấy rằng nếu trên cạnh BC có điểm E , trên cạnh AD có điểm F ( E N , F Q ) mà tứ giác FPEM là hình bình hành thì cũng có tứ giác FQEN là hình bình hành, do vậy giúp ta giải được bài toán sau:
Bài toán 1.6:
 Cho tứ giác ABCD có M, P lần lượt là trung điểm thuộc các cạnh AB,CD.Chứng minh rằng nếu tồn tại hai điểm E, F lần lượt thuộc các cạnh BC và DA ( EB EC, FA FD ) sao cho tứ giác FPEM là hình bình hành thì BC // AD?
Hướng dẫn: Nếu I, J lần lượt là trung điểm các đường chéo AC và BD, từ ví dụ 1 và bài toán 1 ta có IJ và NQ cùng đi qua trung điểm của MP giúp ta đến với bài toán Giecgôn sau:
Bài toán 1.7(Bài toán Giecgôn):
Chứng minh rằng đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo và đoạn thẳng nối trung điểm các cạnh đối của tứ giác đồng quy tại một điểm?
Hướng dẫn: Hơn nữa ta nhận ra rằng ở ví dụ 1 còn có : 
AC BD MN MQ MNPQ là hình chữ nhật (1)
AC = BD MN = MQ MNPQ là hình thoi (2)
Từ (1) và (2) => AC BD và AC = BD
MNPQ là hình vuông.
Từ kết quả trên giúp ta giải bài toán hay và khó sau :
Bài toán 1.8: 
Cho tam giác OBC. Về phía ngoài dựng các hình vuông OBIA, OCKD. Gọi Q, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AD và CB. Các điểm M, P là tâm các hình vuông OBIA; OCKD. Chứng minh rằng: tứ giác MNPQ là hình vuông? 
Hướng dẫn: Nhận thấy rằng M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA của tứ giác ABCD, do vậy chìa khóa của bài toán là chứng minh AC = BD, AC BD. Điều này có được từ OAC = OBD( c.g.c)
VÍ DỤ 2: ( Bài 27 - Trang 80 SGk Toán 8 tập 1 )
Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, K lần lượt là trung điểm của AD, BC, AC. Chứng minh rằng ?
Giải
Theo giả thiết E, F, K lần lượt là trung điểm của AD, BC, AC. Nên KF là đường trung bình của tam giác ABC EK là đường trung bình của tam giác ADC do đó 
Mặt khác FE KE + KF. Suy ra FE Dấu “=’’ xảy ra E, K, F thẳng hàng AB // CD.
*Khai thác bài toán :
 1.Khi cho G là trung điểm của AB, H là trung điểm của CD chứng minh tương tự ta cũng có GH do đó ta có bài toán:
Bài toán 2.1: 
Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, BC, AB, DC của tứ giác ABCD. Chứng minh rằng FE + GH không lớn hơn nửa chu vi của tứ giác ABCD?
2. Nhận thấy EK// CD và KF // AB nên nếu K nằm giữa F và E thì AB// CD vì vậy ta có bài toán sau:
Bài toán 2. 2 :
 Cho tứ giác ABCD, gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC và có FE =. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình thang?
 3.Trở lại ví dụ 2 nếu cho H là trung điểm của BD Thì EH = và EH//AB. Xét ba điểm E,H,K có nên 
do đó cho ta các bài toán:
Bài toán 2.3:
Cho tứ giác ABCD. Gọi K, H lần lượt là trung điểm của AC, BD.
Chứng minh rằng: KH ?
Bài toán 2.4:
Cho tứ giác ABCD. Gọi K, H lần lượt là trung điểm của AC, BD. Chứng minh rằng: nếu KH = thì tứ giác ABCD là hình thang?
VÍ DỤ 3: ( Bài 76 -Trang 106 – SGK Toán 8 tập 1)
Cho hình thoi ABCD có AB = BD. 
Tính các góc của hình thoi ABCD? 
Giải .
ABCD là hình thoi ( giả thiết ) 
AB = BC = CD = DA 
Mà AB = BD ( giả thiết).
Nên AB = BD = AD =>ABD đều =>
Lại có: AD // BC nên (cặp góc trong cùng phía) 
Hay 
Mặt khác: (t/c hình thoi), 
nên:. 
* Khai thác bài toán :
1. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD
ta có , , 
Áp dụng định lý Pitago vào tam giác OAB vuông tại O
 ta có: 
Từ đó giúp ta có các bài toán sau:
Bài toán 3.1: Cho hình thoi ABCD có chu vi là 8cm
 và AB = DB. Tính độ dài đường chéo AC?
Bài toán 3.2: Cho hình thoi ABCD có chu vi là 8 cm và AC = 2 cm. Tính số đo các góc của hình thoi ABCD?
Bài toán 3.3: Cho hình thoi ABCD có chu vi là 8 cm và AB = BD. Tính độ dài đường cao của hình thoi?
Bài toán 3. 4: Cho hình thoi ABCD có chu vi là 16 cm; đường cao AH bằng 2 cm. Tính các góc của hình thoi?
2. Từ ví dụ 3 nếu đặt AB = a và M, N lần lượt nằm trên các cạnh AB; BC
sao cho: AM = BN thì BND = AMD (c.g.c), ta có các điều sau:
+ DN = DM trung trực của MN đi qua điểm D cố định.
+
 đều. Từ AB = a và ABD đều ta có BD = a và AO = nên 
 Kẻ ME // BD và NF // BD ( E AD, F CD ) thì AD//MF và FE = MN, mà MN=MD nên FE = MD nên FDEM là hình thang cân. Vì vậy có các bài toán sau :
Bài toán 3.5: Cho hình thoi ABCD có AB = BD . Gọi M , N lần lượt trên các cạnh AB, BC sao cho AM = BN. Tính số đo các góc của tam giác DMN?
Bài toán 3.6: Cho hình thoi ABCD có góc A bằng 600. Gọi M, N lần lượt di động trên các cạnh AB, BC sao cho AM = BN. Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định?
3. Kẻ ME // BD và NF//BD (EAD, F CD chứng minh FDEM là hình thang cân?
VÍ DỤ 4: ( Bài 126 trang 73 – SBT )
Cho tam giác ABC, điểm M di chuyển trên cạnh BC. Hỏi trung điểm I của AM di chuyển trên đường nào?
Hướng dẫn:
Cách 1:
Qua I kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB và AC theo thứ tự ở P và Q. AMB có: AI = IM,
IP // BM nên P là trung điểm của AB. Chứng minh tương tự Q là trung điểm AC. Các điểm P của Q cố định nên I di chuyển trên đoạn thẳng PQ ( P, Q theo thứ tự là trung điểm của AB, AC).
Cách 2 :
Từ A và I kẻ AH và IK vuông góc với BC,AMH có: IA = IM (gt), IK//AH (cùng BC), IK là đường trung bình của AMH nên, AH không đổi => không đổi, BC cố định nên I nằm trên đường thẳng song song với BC và cách BC một khoảng bằng không đổi.
Nếu M B => I P ( P là trung điểm AB )
Nếu M C => I Q ( Q là trung điểm AC )
Vậy khi M di chuyển trên BC thì I di chuyển trên đường trung bình PQ của ABC.
 * Khai thác bài toán :
1. Ở ví dụ 1 nếu kẻ MD // AC, ME // AB thì tứ giác ADME là hình bình hành, khi đó trung điểm của AM
 cũng là trung điểm của DE nên ta có bài toán sau:
Bài toán 4.1: Cho ABC, M là một điểm bất kỳ thuộc
 cạnh BC, kẻ MD // AC, ME // AB, gọi
 I là trung điểm của DE.Khi M di chuyển trên cạnh BC 
thì I di chuyển trên đường nào?
2.Đặc biệt bài toán 4.1 bằng cách cho ta 
có bài toán sau:
Bài toán 4.2: Cho ABC có , M là một điểm bất kỳ thuộc cạnh BC, gọi MD là đường vuông góc kẻ từ M đến AB, ME là đường vuông góc kẻ từ M đến AC, I là trung điểm của DE. Khi M di chuyển trên BC thì I di chuyển trên đường nào ?
 3. Đặc biệt bài toán 4.1 bằng cách choABC đều thì các tam giác BMD và CME cũng đều.Vì vậy ta có bài toán:
Bài toán 4.3: Cho đoạn thẳng BC cố định, điểm M di chuyển trên đoạn thẳng ấy, vẽ về một phía của BC các tam giác đều BMD và CME. Khi điểm M di chuyển trên đoạn thẳng BC thì trung điểm I của đoạn thẳng DE di chuyển trên đường nào ?
 4. Nếu ABC vuông cân tại A, qua điểm M kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt các đường thẳng AB, AC tại K và I thì các tam giác BMK và CMI cũng vuông cân tại M. Gọi D, E lần lượt là trung điểm của BK và CI thì ADME là hình chữ nhật, khi đó trung điểm của DE cũng là trung điểm của AM nên ta có bài toán:
Bài toán 4.4: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, điểm M chuyển động trên cạnh huyền BC. Đường thẳng qua M vuông góc với BC, cắt các đường thẳng BA, CA theo thứ tự ở K và I. Gọi E là trung điểm của CI, D là trung điểm của BK. Tìm tập hợp các trung điểm O của DE?
 5. Từ bài toán 4.4 ta lấy P đối xứng với M qua D, Q đối xứng với M qua E thì các tứ giác BMKP và CMIQ là các hình vuông có tâm lần lượt là D và E, do đó ta tiếp tục có bài toán:
Bài toán 4.5: Cho đoạn thẳng BC = a, gọi M là điểm nằm giữa B và C.Vẽ về một phía của BC các hình vuông BMKP, CMIQ có tâm theo thứ tự là D và E. Gọi O là trung điểm của DE, khi M di chuyển trên đoạn thẳng AB thì điểm I di chuyển trên đường nào?
 6. Khai thác dạng bài toán trên với 2 điểm di động trên các đoạn thẳng cố định ta có các bài toán sau hay và khó hơn.
 Thật vậy!
+ Nếu ABC cân tại A, các điểm D, E thuộc các cạnh AB, AC sao cho AD = CE thì tứ giác ADME luôn là hình bình hành, khi đó trung điểm của AM cũng là trung điểm của DE nên ta có bài toán sau:
Bài toán 4.6: Cho tam giác ABC cố định có AB = AC, hai điểm D và E theo thứ tự di chuyển trên các cạnh bên AB, AC sao cho AD = CE. Tìm tập hợp trung điểm O của DE?
 + Nếu ABC cân tại A, các điểm D, E thuộc các cạnh AB, AC sao cho thì , ta lại quay được về bài toán 4.6. Do vậy ta có bài toán tiếp theo:
Bài toán 4.7: Cho tam giác ABC cố định có AB = AC, hai điểm D và E theo thứ tự di chuyển trên các cạnh bên AB, AC sao cho. Tìm tập hợp trung điểm O của DE?
Khai thác: Vấn đề đặt ra với bài toán 4.6 là: Nếu ABC không cân và BD + CE = a không đổi thì có tìm được qũy tích trung điểm M của DE không?
Hướng dẫn: Ta xét các trường hợp đặc biệt sau:
- Khi E C thì D G (BG = a) M ở vị trí I là trung điểm CG.
- Khi D B thì E H ( CH = a) M ở vị trí K là trung điểm BH ta chứng minh K, M, I thẳng hàng. 
Thật vậy! Gọi O là trung điểm CB. Ta có I, N,O thẳng hàng, 2OK = CH ; 2OI = BG ; CH = BG = a nên IOK cân tại O; 2MN = CE ; 2NI = DG ; CE = DG nên INM cân tại N. Các tam giác cân: IOK và INM có góc ở đỉnh bằng nhau nên do đó I, M, K thẳng hàng. 
VÍ DỤ 5: ( Bài 37 – Sách bài tập Toán 8 , tập 1)
 Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua trung điểm của đường trung bình của hình thang và cắt hai đáy của hình thang, sẽ chia hình thang đó thành hai hình thang có diện tích bằng nhau?
Giải :
Giả sử hình thang ABCD ( AB //CD), MN là đường trung bình của hình thang, I là trung điểm của NM. Đường thẳng bất kì đi qua I cắt các đáy AB; CD lần lượt tại E; F. Kẻ AH DC .
Ta có SAEFD = 
SEBCF = 
Mà MI = NI nên SAEFD = SEBCF.
*Khai thác bài toán :
1. Từ kết quả ví dụ 5 . 
 Ta có nên nếu MI = k. NI thì SAEFD = k.SEBCF?
Ta có các bài toán sau :
Bài toán 5.1: Cho hình thang ABCD ( AB // CD ) có MN là đường trung bình
 ( M AD; NBC ), K là điểm trên đoạn thẳng MN sao cho MK = k.NK 
( k > 0). Đường thẳng qua I cắt hai đáy AB và CD theo thứ tự tại E và F.
Chứng minh rằng : SAEFD = SEBCF?
Bài toán 5. 2: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Nêu các cách xác định các điểm P, Q lần lượt trên các cạnh AB và CD để có : SAPQD = SABCD?
 2. Từ lời giải ví dụ 2 cũng giúp ta nhận thấy rằng SAEFD = SEBCF thì EF đi qua trung điểm I của MN, nên ta có tiếp bài toán sau:
Bài toán 5.3: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Các điểm E, F lần lượt trên các cạnh AB, CD sao cho SAEFD = SEBCF, chứng minh rằng đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định?
VÍ DỤ 6 : ( Bài tập 9- SGK hình lớp 8)
Tứ giác ABCD là một hình vuông cạnh 12 cm ; AE = x cm ( hình vẽ )
Tính x sao cho diện tích tam giác ADE bằng diện tích hình vuông?
Giải :
SABCD = AD2 = 122 = 144 (cm2)
SADE = AD. AE = 6x
SADE = SABCD khi 6x = .144 => x = 8 ( cm)
* Khai thác bài toán:
 1. Từ kết quả ví dụ 3 ta thấy: SADE = SABCD 
thì SDEBC = SABCD nên SADE = SDEBC. 
Ta có bài toán sau :
Bài toán 6.1 : Cho hình vuông ABCD cạnh 12