SKKN Áp dụng định lý vi - Ét giải các bài toán liên quan đến việc so sánh nghiệm của phương trình bậc hai

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
TRUNG TÂM GDTX-DN NHƯ THANH
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ VI-ÉT GIẢI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN VIỆC SO SÁNH NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Người thực hiện: Trần Ánh Dương
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán
THANH HOÁ NĂM 2016
MỤC LỤC
TT
Nội dung
Trang
1
I. Mở đầu
1
2
1. Lý do chọn đề tài
1
3
2. Mục đích nghiên cứu
1
4
3. Đối tượng nghiên cứu
2
5
4. Phương pháp nghiên cứu
2
6
II. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2
7
1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
2
8
2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
3
9
3. Các sáng kiến kinh nghiệm để giải quyết vấn đề
3
10
4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
12
11
III. Kết luận, kiến nghị
12
12
1. Kết luận
12
13
2. Kiến nghị
13
14
Tài liệu tham khảo
14
I. Mở đầu:
1. Lý do chọn đề tài:
Định lí Vi-ét là một phần hết sức quan trọng trong chương trình toán học phổ thông đã được nêu trong sách giáo khoa Đại số lớp 10. Khai thác định lý Vi-ét và ứng dụng của nó chúng ta có thể giải các bài toán liên quan đến việc phải so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số thực; tìm điều kiện để một hàm số đơn điệu trên khoảng (đoạn); tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu trong khoảng (đoạn), đặc biệt khi trong chương trình đã bỏ “Định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai”. 
Khi học xong định lý Vi-ét học sinh có thể giải quyết được các bài toán dạng tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc hai có 2 nghiệm trái dấu. Nhưng khi chuyển sang bài toán có dạng tìm điều kiện của tham số để so sánh 2 nghiệm của phương trình bậc hai với số thực thì học sinh lúng túng không tìm được phương pháp giải. Giải quyết được vấn đề tôi vừa đặt ra, sau này học sinh sẽ giải quyết được một số dạng toán như sau:
- Tìm điều kiện để phương trình tham số có thể đưa về phương trình bậc hai có nghiệm (Dạng: ; ; phương trình tham số bậc 4 đối xứng)
- Tìm điều kiện để hàm số đồng biến trên một khoảng, đoạn, 
- Tìm điều kiện để cực đại và cực tiểu của hàm số nằm trên khoảng, đoạn
- Bài toán phải so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số thực nào đó.
Chính vì vậy, tôi chọn đề tài ‘‘Áp dụng định lý Vi-ét giải các bài toán liên quan đến việc so sánh nghiệm của phương trình bậc hai’’. Nó thực sự có ích trong quá trình tôi dạy ôn thi học sinh giỏi cấp tỉnh hệ GDTX và ôn thi THPT Quốc gia. Tạo được sự hứng thú cho học sinh đối với bộ môn toán. Tôi xin đưa ra để các bạn đồng nghiệp tham khảo và cho ý kiến.
2. Mục đích nghiên cứu:
	Thực hiện đề tài này tôi muốn lấy đây làm phần tài liệu phục vụ trực tiếp cho quá trình giảng dạy của bản thân, đồng thời có thể làm tài liệu tham khảo cho các bạn đồng nghiệp. Trong quá trình dạy học tôi nhận thấy dạng toán so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với 1 số thực ở lớp 10 và dạng toán tìm điều kiện để hàm số đơn điệu trên khoảng (đoạn), tìm điều kiện để cực đại, cực tiểu của hàm số trong khoảng (đoạn) ở lớp 12 đa số các em học sinh còn lúng túng và chưa có phương pháp giải. Vì thế tôi chọn đề tài này để đưa ra một phương pháp giúp các em tháo gỡ khó khăn vừa nêu. Qua đó cho học sinh thấy được sự sáng tạo và linh hoạt trong giải toán. Từ đó đem đến cho học sinh sự say mê và yêu thích hơn trong học toán, do vậy sẽ đem lại kết quả cao hơn trong học tập
3. Đối tượng nghiên cứu:
	Nghiên cứu về định lí Vi-ét, nghiệm của tam thức bậc hai so với một số α, tìm điều kiện của tham số để hàm số đơn điệu trên một khoảng, bài toán về cực trị của hàm số phải sử dụng định lí Vi-ét
4. Phương pháp nghiên cứu:
	Sử dụng phương pháp phân tích, tổng hợp, so sánh, thực nghiệm.
II. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm:
1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm:
a. Định lí Vi-ét:
Nếu phương trình bậc hai: có 2 nghiệm thì: 
Ngược lại, nếu hai số và có tổng và tích thì và là các nghiệm của phương trình .
b. Các ứng dụng của định lí Vi-ét trong việc so sánh nghiệm:
* Cho phương trình bậc hai: có các nghiệm và giả sử 
Đặt: và 
+ Nếu thì hai nghiệm Hai nghiệm trái dấu ().
+ Nếu thì Hai nghiệm dương ().
+ Nếu thì Hai nghiệm âm ().
* Định lí về tính đơn điệu của hàm số và dấu của đạo hàm bậc nhất:
Hàm số có đạo hàm trên khoảng K :
a. Nếu thì hàm số đồng biến trên K (bằng không tại một số hữu hạn điểm);
b. Nếu thì hàm số nghịch biến trên K (bằng không tại một số hữu hạn điểm).
* Điều kiện cần để hàm số có cực trị:
Nếu hàm số có đạo hàm trên khoảng (a; b) và đạt cực trị tại thì .
* Cách giải bất phương trình bậc hai.
2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
Trong quá trình dạy học môn Toán đại số lớp 10, khi dạy về phần tam thức bậc hai, mà cụ thể là bài toán “ so sánh nghiệm của tam thức bậc hai với một số thức α”, tôi thấy học sinh thường lúng túng trong việc giải bài toán này bằng cách giải trực tiếp bất phương trình, vì bất phương trình này thường là bất phương trình vô tỷ và học sinh thường rất dễ mắc sai lầm, nhiều khi cách giải này còn dài dòng và phức tạp. Để giúp các em có thể vượt qua trở ngại này và tự tin hơn, làm tốt hơn khi giải bài toán loại này tôi đã chọn đề tài ‘‘Áp dụng định lý Vi-ét giải các bài toán liên quan đến việc so sánh nghiệm của phương trình bậc hai’’
3. Các sáng kiến để giải quyết vấn đề:
a. Bài toán mở đầu:
* So sánh các nghiệm của phương trình bậc hai: (1) với số thực .
Giải:
Cách 1:
Đặt: , khi đó ta được phương trình: 
Ta có: 
Nếu thì 
 Nếu thì 
Khi đó bài toán trở thành so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với 0 
Nếu phương trình có hai nghiệm và và:
+ , thì phương trình (1) có hai nghiệm và 
+ , thì phương trình (1) có hai nghiệm và 
+ , thì phương trình (1) có hai nghiệm và 
Cách 2:
Trường hợp 1: Bài toán yêu cầu tìm điều kiện để phương trình (1) có 2 nghiệm lớn hơn .
Giả sử phương trình (1) có 2 nghiệm và . Khi đó:
 và 
Để phương trình (1) có 2 nghiệm lớn hơn thì:
Trường hợp 2: Bài toán yêu cầu tìm điều kiện để phương trình (1) có 2 nghiệm nhỏ hơn .
Giả sử phương trình (1) có 2 nghiệm và . Khi đó:
 và 
Để phương trình (1) có 2 nghiệm nhỏ hơn thì:
Trường hợp 3: Bài toán yêu cầu tìm điều kiện để phương trình (1) có 1 nghiệm lớn hơn một nghiệm nhỏ hơn .
Giả sử phương trình (1) có 2 nghiệm và . Khi đó:
 và 
Để phương trình (1) có 1 nghiệm lớn hơn một nghiệm nhỏ hơn thì:
b. Các dạng bài tập:
Dạng 1: Dạng bài tập so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số thực
Ví dụ 1:
Tìm m để phương trình: (1) có một nghiệm lớn hơn 1 và nghiệm kia nhỏ hơn 1.
Giải:
Đặt: x = y+1, khi đó ta được phương trình: 
 (2)
Để phương trình (1) có một nghiệm lớn hơn 1 và nghiệm kia nhỏ hơn 1, tức là phương trình (1) có hai nghiệm thoã mãn: (Giả sử )
Vì nên bài toán trở thành tìm m để phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu 
Kết luận: phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt, 1 nghiệm lớn hơn 1 và 1 nghiệm nhỏ hơn 1
Ví dụ 2:
Cho phương trình: 
	 (1)
a. Xác định các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 2
b. Xác định các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng (0; 2).
Giải:
Ta có .
Giả sử phương trình (1) có hai nghiệm , theo Vi-ét ta có:
(2)
Phương trình (1) có hai nghiệm lớn hơn 2
Vậy, với m > 3 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn 2.
b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng (0; 2)
Vậy với thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt thuộc khoảng (0; 2).
Dạng 2: Dạng bài tập tìm điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng, đoạn và hàm số đạt cực đại, cực tiểu trên khoảng, đoạn
Ví dụ 3: 
Tìm điều kiện của m để hàm số nghịch biến trong khoảng (-1; 1).
Giải:
TXĐ: D = R.
	Ta có: 
	Giả sử y’ có hai nghiệm là , theo Vi-ét ta có: .
Hàm số nghịch biến trên khoảng (-1; 1) trên khoảng (-1; 1)
 	Vậy giá trị m cần tìm là: .
Ví dụ 4:
Cho hàm số . Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại thỏa mãn:
a) ;	b) .
Giải:
Có TXĐ: D = R;
Có . Để hàm số có cực trị thì phương trình 
có hai nghiệm phân biệt
	Giả sử phương trình (1) có hai nghiệm là .
a) Hàm số có CĐ, CT tại thỏa mãn 
 Từ (*) và (**) suy ra giá trị của m cần tìm là: .
b)Hàm số có CĐ, CT tại thỏa mãn 
Vậy không có giá trị nào của m cần tìm thỏa mãn yêu cầu.
Dạng 3: Một số bài toán khác
Ví dụ 5:
Tìm m để phương trình: (1) có nghiệm.
Giải: 
Ta thấy, phương trình (1) không nhận x = 0 làm nghiệm. 
Chia hai vế của phương trình (1) cho ta được phương trình: 
Đặt: , điều kiện 
Ta được phương trình: (2)
Để phương trình (1) có nghiệm, thì phương trình (2) phải có nghiệm thoả mãn: 
Để tìm điều kiện cho phương trình (2) có nghiệm thỏa mãn: , ta đi tìm điều kiện cho phương trình (2) vô nghiệm hoặc có hai nghiệm thỏa mãn: .
+ Để phương trình (2) vô nghiệm: 
+ Để phương trình (2) có hai nghiệm và thỏa mãn: .
Đặt: và , ta được các phương trình:
 (3) và (4)
Để phương trình (2) có hai nghiệm và thoã mãn ,
thì phương trình (3) phải có hai nghiệm thoã mãn: và phương trình (4) có hai nghiệm thoã mãn: 
Để phương trình (3) có hai nghiệm thoã mãn: 
 (5)
Để phương trình (4) có hai nghiệm thoã mãn: 
 (6)
Từ (5) và (6), ta có .
Vậy, để phương trình (2) vô nghiệm hoặc có hai nghiệm thỏa mãn: , thì: .
Vậy, để phương trình (1) có nghiệm thì: 
Ví dụ 6:
Tìm m để phương trình: (1) có nghiệm.
Giải: 
(1) 
Để phương trình (1) có nghiệm, thì phương trình: (2) phải có nghiệm .
Để tìm điều kiện cho phương trình (2) có nghiệm , ta đi tìm điều kiện cho phương trình (2) vô nghiệm hoặc có hai nghiệm: mà .
+ Để (2) vô nghiệm vô nghiệm.
+ Để (2) có hai nghiệm mà .
Đặt: , ta được phương trình: (3)
Để (2) có hai nghiệm mà , thì phương trình (3) phải có hai nghiệm: và 
Vậy, để phương trình (1) có nghiệm thì 
Ví dụ 7:
Tìm m để hệ: (I) có nghiệm.
Giải: 
(I)
Đặt: , điều kiện: , khi đó ta có hệ: (II) 
Ta có, u; v nếu có là nghiệm của phương trình: (1)
Để hệ (I) có nghiệm thì hệ (II) phải có nghiệm 
Để hệ (II) có nghiệm thì phương trình (1) phải có hai nghiệm 
 và
Đặt: , khi đó ta được phương trình: (2)
Để phương trình (1) có hai nghiệm và , thì phương trình (2) phải có hai nghiệm và .
Vậy, với thì hệ (I) có nghiệm.
 Bài tập áp dụng:
1.Cho phương trình: .Tìm m để phương trình: 
a) Có hai nghiệm lớn hơn 2.
b) Có hai nghiêm phân biệt lớn hơn 1.
2. Cho phương trình: . Tìm m để phương trình:
a) Có đúng một nghiệm thuộc khoảng .
b) Có hai nghiêm phân biệt, mà nghiệm lớn của phương trình thuộc khoảng .
3. Tìm điều kiện của m để các hàm số:
a) luôn đồng biến
b) nghịch biến trong khoảng (-1; 1)
c) đồng biến khi x ³ 2
d) đồng biến trong khoảng (0;3)
4. Cho hàm số . Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại thỏa mãn: .
5. Cho hàm số . Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại thỏa mãn:
	a) ;
	b) ;
	c) ;
6. Tìm m để phương trình: có hai nghiệm phân biệt.
7. Cho phương trình: .Tìm m để phương trình:
a) Có nghiệm.
b) Có 4 nghiệm phân biệt.
4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục của bản thân, đồng nghiệp và nhà trường:
- Đề tài này tôi bắt đầu thực hiện từ năm học 2014-2015 trực tiếp trên lớp 12B1, thực hiện trong năm học 2015-2016 trên lớp 10B3. Kết quả đa số các em đã biết so sánh nghiệm của tam thức bậc hai với một số thực bằng Vi-ét, giải quyết được những băn khoăn, e ngại cho học sinh khi giải dạng toán này. Đề tài đã góp phần nâng cao kết quả học tập bộ môn Toán nói riêng, kết quả học tập của các em trong nhà trường nói chung. 
	- Kết quả khảo sát của lớp 12B1, lớp 10B3 đa số các em đều làm được dạng toán về tam thức bậc hai hoặc liên quan đến tam thức bậc hai. Cụ thể như sau:
Lớp
Trước khi vận dụng SKKN
Sau khi vận dụng SKKN
Số học sinh không đạt
Số học sinh đạt
Số học sinh không đạt
Số học sinh đạt
Lớp 12B1
9,2%
90,8%
4,8%
95,2%
Lớp 10B3
12,5%
87,5%
8,4%
91,6%
	- Những kết quả khả quan từ thực nghiệm sư phạm, cho phép tôi kết luận rằng mục đích nghiên cứu của đề tài đã được hoàn thành và đề tài có tính khả thi cao.
	- Tôi hy vọng rằng, đây là cuấn tài liệu mà các thầy cô giáo dạy Toán yêu thích, đồng thời giúp các em học sinh học tốt hơn phần tam thức bậc hai, bất phương trình bậc hai, hàm số đơn điệu, cực trị của hàm số. Qua đó góp phần nâng cao kết quả học tập của các em.
III. Kết luận, kiến nghị:
1. Kết luận:
Trong chương trình Đại số lớp 10 cũ có trình bày định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai, nên khi giải các bài toán có liên quan đến việc phải so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số thực nào đó, học sinh không gặp quá nhiều khó khăn vì đã có cơ sở lí thuyết để áp dụng. Bây giờ, do trong chương trình đã lược bỏ định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai, nên bài viết này của tôi có thể giúp các em học sinh giải được một lượng lớn các bài toán so sánh nghiệm mà trong chương trình toán phổ thông.
2. Kiến nghị:
	Đề tài này có ý nghĩa thiết thực cho học sinh, đặc biệt là dùng cho học sinh ôn thi THPT Quốc gia, ôn thi học sinh giỏi,. Vì vậy trong thời gian tới, tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu và mở rộng hơn nữa để đề tài được hoàn chỉnh hơn, và thực sự là cuốn tài liệu bổ ích. Để đề tài được hiệu quả hơn thì:
- Cần điều chỉnh phạm vi bài tập nhằm áp dụng trên nhiều đối tượng học sinh.
- Đầu tư thời gian, vật chất nghiên cứu thêm các chuyên đề khác có liên quan.
- Cần có sự quan tâm, ủng hộ của các cấp lãnh đạo.
XÁC NHẬN CỦA GIÁM ĐỐC
Như Thanh, ngày 20 tháng 5 năm 2016
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác
Người viết
Trần Ánh Dương
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Lê Hồng Đức: Phương pháp giải toán hàm số, NXB Hà Nội, 2005.
Lê Hồng Đức (Chủ biên) – Đào Thiện Khải – Lê Bích Ngọc: Phương pháp giải toán đại số, NXBĐHSP, 2004. 
Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên)-Vũ Tuấn (Chủ biên)- Doãn Minh Cường – Đỗ Mạnh Hùng – Nguyễn Tiến Tài, Đại số 10, NXBGD,2006.
Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên)-Vũ Tuấn (Chủ biên) – Lê Thị Thiên Hương – Cấn Văn Tuất – Nguyễn Tiến Tài, Giải tích 12, NXBGD,2008.