Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng véc tơ giải toán hình học

BÁO CÁO KẾT QUẢ 
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1. LỜI GIỚI THIỆU
 	 Hình học là môn học hay và khó đối với các em học sinh THCS. Khi học lên THPT, các em được cung cấp thêm kiến thức hình học mới như véc tơ để thêm công cụ nghiên cứu hình học. Tuy vậy, do là kiến thức mới mẻ, kĩ năng của học sinh còn nhiều hạn chế, các tài liệu tham khảo thường chỉ là tập hợp các bài giải có sử dụng kiến thức véc tơ mà không có định hướng kiến thức, kĩ thuật sử dụng... nên ý thức sử dụng cũng như kĩ năng thực hành giải toán của các em học sinh còn hạn chế, dẫn đến việc học sinh THPT chỉ đơn thuần biết đến các dạng toán thực hành biến đổi véc tơ mà ít khi thấy được ứng dụng, sức mạnh của kiến thức mới. Lý do như kiến thức mới mẻ, các dạng toán đa dạng nhưng khó mà đôi khi không rõ ứng dụng, cách giảng dạy còn hànlâmkhiến cho người học là học sinh gặp nhiều khó khăn, lúng túng. 
Với tham vọng hướng dẫn cho các em học sinh THPT có thêm một công cụ giải toán mới đồng thời giúp các em thấy được cái hay cái đẹp của kiến thức mới mẻ này. Đề tài mong muốn: 
 	- Thể hiện véc tơ có thể ứng dụng giải toán.
 	- Rèn luyện kỹ năng sử dụng véc tơ để giải toán: rèn luyện sử dụng các phép toán véc tơ, xây dựng bộ véc tơ gốc, cách biểu diễn véc tơ.
- Giúp cho học sinh thấy được sức mạnh của phương pháp, ứng dụng của kiến thức.
 Các bài tập sử dụng dưới đây là kết quả sưu tầm của tác giả, hầu hết lời giải đều do tác giả tự thực hiện.
2. SÁNG KIẾN “ SỬ DỤNG VÉC TƠ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC ” 
3. TÁC GIẢ SÁNG KIẾN:
- Đỗ Xuân Thủy
- Trường THPT Triệu Thái
- Số điện thoại:0914334575 E_mail:doxuanthuy.phttrieuthai@vinhphuc.edu.vn
4. LĨNH VỰC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN: 
Sáng kiến áp dụng cho học sinh lớp 10 khi bắt đầu học về khái niệm véc tơ, học sinh lớp 11 khi học về véc tơ trong không gian; nâng cao năng lực toán học hình học véc tơ cho các em học sinh, đặc biệt là các em học sinh khá giỏi. Mục tiêu:
♠ Ôn tập kiến thức véc tơ trong mặt phẳng và trong không gian.
 	♠ Rèn luyện thêm kĩ năng tính toán, biểu diễn véc tơ.
 	♠ Kĩ năng chọn bộ véc tơ cơ sở phù hợp.
 	♠ Cung cấp thêm một phương pháp giải toán mới. 
 	♠ Cung cấp một hệ thống các bài có mức độ từ dễ đến khó.
 	♠ Gợi ý cho học sinh lớp 10, lớp 11 phương pháp giải toán hình học bằng kiến thức véc tơ.
5. NGÀY SÁNG KIẾN ĐƯỢC ÁP DỤNG LẦN ĐẦU HOẶC ÁP DỤNG THỬ
Áp dụng lần đầu vào ngày tháng năm 2016.
6. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN:
CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CƠ BẢN
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ VÉC TƠ
	1. Hai véc tơ bằng nhau: 
2. Trong mặt phẳng toạ độ véc tơ cùng phương với véc tơ 
3. Cho hai véc tơ không cùng phương và . Khi đó mọi véc tơ đều phân tích được một cách duy nhất theo hai véc tơ và , nghĩa là có duy nhất một cặp số (h, k) sao cho .
Bình luận: đây là cơ sở cho phương pháp ứng dụng véc tơ chứng minh hình học bằng việc xây dựng một bộ 2 véc tơ không cùng phương hợp lý.
4. Nếu điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (khác 0 và khác 1): Khi đó ta có: với mọi điểm O.
Bình luận: Đây là công thức hay được sử dụng trong các tính toán. GV dạy SGK cơ bản xây dựng thêm công thức này cho HS.
	5. với mọi điểm O.
6. Hai tam giác ABC và A’B’C’ cùng trọng tâm lần lượt là G, G’ 
7. Hai véc tơ vuông góc 
8. 
II. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN
1) 3 điểm A, B, C thẳng hàng nếu thoả mãn một trong các trường hợp sau:
 a) Tồn tại một số k sao cho .
 b) Với mọi điếm S, nếu tồn tại đẳng thức: với .
Lưu ý, nếu chỉ có đẳng thức thì ta chỉ chứng tỏ được rằng 4 điểm S, A, B, C đồng phẳng.
2) Cho ba véc tơ không đồng phẳng và . Khi đó mọi véc tơ đều phân tích được một cách duy nhất theo ba véc tơ và , nghĩa là có duy nhất một cặp số m,n, k và p sao cho .
Bình luận: đây là cơ sở cho phương pháp ứng dụng véc tơ chứng minh hình học bằng việc xây dựng một bộ 3 véc tơ không đồng phẳng hợp lý.
3) 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng nếu thoả mãn một trong các trường hợp sau:
 	a) 3 véc tơ đồng phẳng.
	b) Với mọi điếm S, nếu tồn tại đẳng thức: với .
Ngược lại:
1) Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng. với một điểm S bất kì, ta có: thì 
 4a). Cho 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng. với một điểm S bất kì, ta có: thì 
 4b). 3 véc tơ đồng phẳng 
CHƯƠNG II: MỘT VÀI KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
I. PHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ TRÊN MẶT PHẲNG
Khi dạy và học về véc tơ, ta thấy được một số ứng dụng của véc tơ như chứng minh hai tam giác cùng trọng tâm, CM thẳng hàng, vuông góc. Các ví dụ đưa ra đều quen thuộc, người HS ít đột phá sử dụng véc tơ để giải những bài toán hình học vốn đã được giải bằng một phương pháp khác.
Đành rằng phương pháp véc tơ không hẳn có ưu điểm hơn các phương pháp khác, nhưng người HS cần có ý thức bồi dưỡng tư duy, ý thức tránh lối mòn trong tư duy, tìm hiểu khám phá vẻ đẹp của phương pháp. Các dạng toán sau đây rất quen thuộc với học sinh yêu hình học, nhưng đã có khi nào ta nghĩ rằng có thể sử dụng véc tơ để giải nó chưa. 
1. Tính góc. Chứng minh quan hệ vuông góc
(THTT T9/257) Chứng minh rằng trong một tam giác vuông 2 trung tuyến thuộc hai cạnh góc vuông cắt nhau theo một góc nhọn có giá trị côsin không nhỏ hơn 0,8.
Hướng dẫn: Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và AC, G là trọng tâm tam giác ABC. Đặt 
Phương pháp véc tơ:
Việc đầu tiên HS phải chọn một bộ véc tơ cơ sở (VTCS) gồm hai véc tơ không cùng phương. Kinh nghiệm chọn là:
	+ Hai véc tơ cùng gốc (dễ biểu diễn véc tơ)
	+ Hai véc tơ vuông góc hoặc tính được tích vô hướng.
Ta có 
Áp dụng BĐT Caushy, 
Vậy 
Gọi K là trung điểm của cạnh AB của hình vuông ABCD, L là điểm chia trong đường chéo AC theo tỉ số Chứng minh rằng: 
Hướng dẫn. 
Phương pháp véc tơ:
B1- Bài tập này ta có thể chọn bộ véc tơ gốc chung gốc và vuông góc.
B2- Biểu diễn các véc tơ (chú ý chúng chung gốc).
B3- Biểu diễn .
B4- Lấy tích vô hướng 
BÌNH LUẬN: Bài tập trên không khó giải với nhiều HS lớp 10. Ở đây ta rèn luyện 3 kĩ năng: chọn bộ véc tơ gốc, biểu diễn véc tơ và tính tích vô hướng. Những kĩ năng này cần thiết cho nội dung véc tơ trong không gian học ở lớp 11, 12.
 Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ BH vuông góc với AC, H thuộc đoạn AC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng AH và DC. Chứng minh rằng: BM MN. 
Hướng dẫn
Phương pháp véc tơ:
Không giảm tổng quát ta chọn hình chữ nhật ABCD sao cho 
B1- Chọn bộ véc tơ gốc chung gốc và vuông góc.
Ta có tính chất trong tam giác vuông: 
B2- Biểu diễn các véc tơ qua bộ véc tơ gốc:
+ (Điểm H chia AC theo tỉ số )
+ 
 + .
B3- Biểu diễn 
 .	
B4- Lấy tích vô hướng 
(APMO 98) Cho tam giác ABC. Gọi D là chân đường cao hạ từ A. Gọi E, F là điểm khác D nằm trên một đường thẳng đi qua D sao cho AE vuông góc với BE, AF vuông góc với CF. Fọi M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn BC, EF. Chứng minh rằng đường thẳng AN vuông góc NM.
Hướng dẫn
Phương pháp véc tơ:
Không giảm tổng quát, giả sử chọn bộ 2 véc tơ gốc đôi một vuông góc. Ta có : . Giả sử: 
 (2 véc tơ cùng phương). Khi đó:
+ 
+ 
Mặt khác
Thay vào biểu thức trên ta được:
, suy ra điều phải chứng minh.
BÌNH LUẬN: Lời giải không phụ thuộc hình vẽ, tính toán nhiều tuy vậy phương pháp giải tiến hành lại rõ ràng.
2. Chứng minh quan hệ cùng phương, thẳng hàng, song song , đồng quy.
Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là các điểm đối xứng với D qua trung điểm các cạnh của ∆ABC. CMR điểm D và trọng tâm của 2 tam giác ABC, MNP thẳng hàng.
Hướng dẫn
 Phương pháp véc tơ:
Ta có Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có suy ra đpcm.
(IMO 23) Trên các đường chéo AC và CE của lục giác đều ABCDEF, ta lần lượt lấy 2 điểm M, N sao cho Biết rằng B, M, N thẳng hàng. Tìm k.
Hướng dẫn
Phương pháp véc tơ:
Gt 
Mà nên 
 Do B, M, N thẳng hàng nên 
Từ đó tính được (0< k< 1).
Cho tứ giác ABCD. Đường thẳng đi qua đỉnh A song song với BC cắt BD tại M, đường thẳng đi qua đỉnh B song song với AD cắt AC tại N. CMR: MN// DC.
Hướng dẫn
Phương pháp véc tơ:
HD. Đặt
(Do ON/OA = OB/OD; OM/OB = OA/OC). 
Cho ΔABC. Đương tròn nội tiếp tam giác tiếp xúc với AB, AC tại M, N. Vẽ đường trung bình DE (// AB) của tam giác. Đường phân giác góc B cắt DE tại P. Chứng minh rằng 3 điểm M, N, P thẳng hàng. 
Hướng dẫn
Phương pháp véc tơ:
 Đặt AB = c, BC = a, CA = b. là các véc tơ đơn vị của tia BC, CA và AB. 
+ 
+ 
suy ra 
Tam giác PEB cân tại E nên PE = EB = và nên . Từ đây suy ra M, N, P thẳng hàng.
Cho tam giác ABC. Trên các cạnh BC, CA, AB lần lượt lấy các điểm D, E, K sao cho: Giả sử BE cắt AD tại B’, CK cắt BE tại C’, AD cắt CK tại A’. Chứng minh rằng 3 tam giác ABC, DKE và A’B’C’ có cùng trọng tâm.
Hướng dẫn
Phương pháp véc tơ:
 a) Giả thiết suy ra suy ra 
Giả sử (1). Gt có; (2) 
Giả sử (3). Thay (2)(3) vào (1) được Từ đó 
3. Tính tỉ số đoạn thẳng, tỉ số diện tích
Các bài tập có thể giải bằng phương pháp kẻ đường phụ, định lý TaletỞ đây ta dùng phương pháp véc tơ nhằm nêu sự ứng dụng đa dạng của phương pháp, đồng thời rèn luyện kĩ năng biến đổi, biểu diễn véc tơ cho HS.
Cho tam giác ABC cân tại A, Từ B kẻ đường cao BH. Tìm tỉ số 
Hướng dẫn
Phương pháp véc tơ:
Giả sử ; 
Mà . 
Vậy: 
Cho tam giác KLM, trên cạnh KL lấy điểm A sao cho KA/AL = 1/3; trên cạnh LM lấy điểm B sao cho LB/BM = 4/1. Gọi C là giao điểm của KB và AM. Biết dt(KLC) = 2(đvdt). Tính diện tích của tam giác KLM.
Hướng dẫn
Phương pháp véc tơ:
Giả sử (1).
 Ta đi tính x.
 Giả thiết suy ra (2).
Giả sử Suy ra mà nên (3). Từ (1)(2)(3) suy ra x = 5.
Cho tam giác ABC. Trên cạnh AC lấy điểm M, trên cạnh BC lấy điểm N sao cho AM = 3MC, NC = 2NB. Gọi O là giao điểm của AN và BM. Tính diện tích (ABC) biết diện tích(OBN) bằng 1(đvdt). 
Hướng dẫn
Phương pháp véc tơ:
 (với AN = xON).
 (1). Giả thiết suy ra (2). Giả sử = (3). Thay (2),(3) vào(1) tính được x =10.
Cho tam giác ABC. Điểm K chia trung tuyến AD theo tỉ số -3. Đường thẳng BK chia diện tích tam giác ABC theo tỉ số nào ?
Hướng dẫn
Phương pháp véc tơ:
Giả sử (1). Giả thiết (2). Mà (3) nên từ (1)(2)(3) suy ra x = -3/2.
(TH&TT T6/345) Trên 2 cạnh AB, AC của tam giác ABC lần lượt lấy 2 điểm E, D sao cho Gọi M là giao điểm của BD và CE. Xác định vị trí của E, D sao cho diện tích tam giác BMC đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị đó theo diện tích của tam giác ABC.
Hướng dẫn
Phương pháp véc tơ:
 Giả sử Ta có 
Ta có Đặt Ta đi tính x.
+)
(2) (vì ). 
+) Giả sử 
Từ đây suy ra 
II. PHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN
	Từ kinh nghiệm biểu diễn véc tơ trong mặt phẳng, HS có thể mở rộng phương pháp véc tơ trong không gian giải quyết được nhiều dạng toán như CM đồng phẳng, CM song song, CM vuông góc, tính góc, tính tỉ số đoạn thẳng
Sau đây là một số minh họa.
QUAN HỆ SONG SONG
Bài 1. (Bài 32-t56, SBTHH11): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, M là trung điểm của SC, N là trung điểm của OB ()
 a) Tìm b) Tính 
Hướng dẫn:
Phương pháp véc tơ:
s
B
C
D
A
O
I
M
N
 a) Xem hình vẽ.
 b) Đặt Giả sử Khi đó Mặt khác Do 3 véc tơ đồng phẳng nên tồn tại 2 số m, n sao cho: hay 
 suy ra 
Bài 2. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. 
a) Hãy xác định đường thẳng (d) cắt cả hai đường thẳng AC’ và BA’ đồng thời song song với B’D’. 
b) Gọi Tính 
Hướng dẫn:
Phương pháp véc tơ:
B
B’
A
C
D
A’
D’
C’
Giả sử và Khi đó: và Mặt khác và IJ song song với D’B’ nên tồn tại một số thực k sao cho: 
Ta tính được Từ đây suy ra cách dựng đường thẳng (d) và tính được 
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Hai điểm M và N lần lượt thay đổi trên các đoạn thẳng SB, AC sao cho: Gọi G là trọng tâm tam giác SCD.
a) CMR MN luôn song song một mặt phẳng cố định khi x thay đổi.
b) Tìm x để 
c) Tìm x để 
Hướng dẫn:
Phương pháp véc tơ:
s
D
A
B
C
O
M
N
a) Đặt Giả thiết suy ra hay suy ra hay đồng phẳng hay 
b) Ta tìm x để GM // mp(SAD) hay tìm x sao cho: đồng phẳng. 
Ta có Từ đây ta có 
 đồng phẳng nên tồn tại 2 số m, n sao cho: hay Từ đây suy ra x = 2.
c) 
 đồng phẳng hay hay từ đây tính được 
Bài 4. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M là một điểm trên đoạn AB’ sao cho AM/MB’ = 5/4. mp(P) qua M và (P) song song với A’C và BC’ cắt CC’ tại N. Xác định thiết diện của hình lăng trụ với mp(P). Tính 
Hướng dẫn:
Phương pháp véc tơ:
C’
A
B
C
B’
A’
N
M
Đặt Dễ dàng tính được .
Từ giả thiết ta có: nên Giả sử Ta có 
Từ giả thiết ta có MN, A’C, BC’ đồng phẳng hay ta có sự biểu diễn: hay Từ đây tính được x = -2. 
BÌNH LUẬN: Nhiều học sinh khi giải bài tập này rất dễ vẽ nhầm hình do lấy điểm M trên đoạn AB’ không chính xác dẫn tới điểm N nằm ngoài đoạn CC’. Bằng cách giải trên ta có thể “điều chỉnh” hình vẽ hợp lý dẫn tới thiết diện dựng được chính xác.
Bài 5. Cho tứ diện SABC có G là trọng tâm tam giác ABC. Một mặt phẳng (P) cắt các tia SA, SB, SC lần lượt tại A’, B’, C’, G’. Chứng minh rằng: 
Hướng dẫn:
Phương pháp véc tơ:
Đặt Ta có 
Trong mặt phẳng xét điểm I: khi đó hay hay SG’ // SI vậy I thuộc đường thẳng SG hay 
Suy ra hay 
Cách khác: Gọi I’, I lần lượt là trung điểm đoạn B’C’ và BC. Ta có: Mặt khác: hay: Từ (1) và (2) suy ra 
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Điểm M di động trên cạnh SC, (P) là mặt phẳng qua AM và song song với BD.
a) CMR (P) luôn chứa một đường thẳng cố định.
b) Tìm CMR có giá trị không đổi.
Hướng dẫn:
Phương pháp véc tơ:
s
D
B
A
C
O
M
H
K
 a) Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua điểm A và song song với BD.
 b) Dễ thấy KH // BD. Gọi I là giao điểm của SO với AM. Dễ thấy O’ là trung điểm của đoạn KH. Đặt Từ ta có 
Gọi I là điểm nằm trên mp(AHMK) thoả mãn: Khi đó hay SI // SO’ suy ra 
hay 
 Mặt khác hay b = t. 
Từ đó suy ra 
.
QUAN HỆ VUÔNG GÓC
Bài 7. Cho hình chóp S.ABC có Tính góc giữa các đường thẳng 
Hướng dẫn
Phương pháp véc tơ:
HD. Dùng bộ 3 véc tơ gốc: dễ thấy đôi một có tích vô hướng dễ tính do các góc giữa 2 véc tơ dễ xác định. 
Chú ý: nên .
Tương tự tính góc còn lại.
Bài 8. Gọi M, N, I, J, K lần lượt là trung điểm của đoạn AC, CC’, AD, BB’, DD’ của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. 
 a) CMR tam giác A’MN là tam giác vuông. 
 b) CMR 
 c) Tính góc (A’B, AC’) và (CK, A’D).
Hướng dẫn
Chọn bộ 3 véc tơ gốc đôi một vuông góc, .
a) ;
Ta có suy ra tam giác A’MN vuông tại M.
b) 
. Suy ra . 
c) Việc tính góc thực hiện như bài tập 12.
Bài 9. (KB-03) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là một hình thoi cạnh a, góc Gọi M, N lần lượt là trung điểm cạnh AA’ và CC’. CMR 4 điểm B’, M, N, D cùng thuộc một mặt phẳng. Hãy tính độ dài cạnh AA’ theo a để tứ giác B’MBN là hình vuông. 
Hướng dẫn.
+ Đặt Ta có .
Ta có biểu diễn: 
Dễ dàng suy ra : 
Hay 4 điểm đồng phẳng.
Nhận xét: Dễ thấy từ giác là hình thoi.
 ; .
Ta có 
Bài 10. (Vinh, kD-2000) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 2. Gọi E, F tương ứng là các trung điểm của các cạnh AB và DD’. 
1) CMR đường thẳng EF song song với mp(BDC’) và tính độ dài EF.
2) Gọi K là trung điểm của cạnh C’D’. Tính khoảng cách từ đỉnh C tới mp(EKF) và xác định góc giữa 2 đường thẳng EF và BD.
 Hướng dẫn. 
Đặt , ba véc tơ đôi một vuông góc, độ dài bằng 2.
1) Ta chứng minh: ba véc tơ. đồng phẳng. 
Ta có: 	 
Ta có đẳng thức sau: nên ba véc tơ. đồng phẳng suy ra đường thẳng EF song song với mp(BDC’). 
	Mặt khác: 
2) * Trước hết: .
 * Giả sử H là hình chiếu của C lên (EFK). Ta có .
Ta tìm sao cho: .
Ta có . 
Suy ra ; 
hay 
BÌNH LUẬN: tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng bằng phương pháp véc tơ rất phức tạp học sinh nên tọa độ hóa để tính thì ngắn gọn.
KẾT LUẬN
Để áp dụng được phương pháp VÉC TƠ cho các quan hệ hình học, ta cần lựa chọn bộ véc tơ gốc phù hợp, nếu không tính toán sẽ rất phức tạp. Phương pháp thích hợp cho những bài toán chứa sẵn yếu tố vuông góc lấy từ tam giác cân, vuông, hình chữ nhật hay tứ giác có các đường chéo vuông góc với nhau 
Giải bài toán theo cách này có ưu điểm là thuật toán đơn giản nhưng tính toán nhiều và không phải mọi bài toán hình có thể làm theo cách làm này.
 	 Các bài toán trên có thể giải bằng phương pháp tọa độ, đơn giản hơn. Tuy vậy có nhiều bài toán giải bằng PP véc tơ lại sáng sủa hơn, đặc biệt là những bài toán chứng minh quan hệ thẳng hàng hay song song.
 	Số lượng các bài tập còn ít, đơn điệu. Hy vọng với sự bổ sung của nhiều người, nội dung này sẽ phong phú hơn. 
 Học sinh lớp 11, 12 sử dụng phương pháp véc tơ trong HHKG cũng sẽ thu được kết quả rất tốt. 
Phương pháp tọa độ trong không gian có rất nhiều ứng dụng trong luyện thi đại học, do khuôn khổ đề tài nên không đề cập. GV và HS có thể tìm thấy trong nhiều tại liệu luyện thi. Ở đây tác giả chỉ dừng lại ở phương pháp véc tơ trong không gian vì nội dung này ít được để ý mặc dù ứng dụng khá rộng rãi và không quá khó để thực hiện.
III. BÀI TẬP THỰC HÀNH
Sau đây là một số bài tập tương tự, có thể giải được bằng phương pháp véc tơ. GV có thể sử dụng làm tư liệu bồi dưỡng HSG.
BÀI TẬP HÌNH HỌC PHẲNG
Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Qua 3 đỉnh A, B, C vẽ các đường thẳng song song với nhau cắt (O) lần lượt tại Chứng minh rằng trọng tâm của các tam giác thẳng hàng.
Cho lục giác ABCDEF. Các điểm M, N, P, Q, R, S lần lượt thay đổi trên các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA sao cho: Chứng minh rằng trọng tâm hai tam giác ANP và CMQ đối xứng nhau qua 1 điểm cố định O.
HD. O là điểm thoả mãn: 
Cho hình bình hành ABCD, gọi I, J, K là các điểm được xác định bởi và Chứng minh rằng điều kiện để I, J, K thẳng hàng là: 
Cho hình chữ nhật ABCD. Đường thẳng vuông góc với AC qua D cắt BC tại I. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng DC và CI. Chứng minh rằng AE DF.
Trên hai cạnh góc vuông AB, AC của tam giác ABC vuông lần lượt lấy các điểm B’, C’ sao cho AB.AB’ = AC.AC’. Gọi M là trung điểm của đoạn BC. Chứng minh rằng: AM B’C’.
Trên các cạnh BC, CA, AB của tam giác vuông cân ABC tại C, lấy các điểm M, N, P sao cho: Chứng minh rằng: CP MN và CP = MN. 	 
Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh DC lấy điểm E, kẻ EF AC (F thuộc cạnh BC). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE và DC. Chứng minh rằng: MN DF.
Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm P, trên cạnh AD lấy điểm Q sao cho AP = AQ. Kẻ AH vuông góc DP tại H. Chứng minh rằng CH QH.	
Cho tam giác ABC, cân tại đỉnh A, đường cao AH. Gọi D là hình chiếu vuông góc của H lên AC, M là trung điểm của HD. Chứng minh rằng AM BD.
Cho ∆ABC cân tại A. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC, D là trung điểm cạnh AB, E là trọng tâm ∆ACD. Chứng minh rằng: IE CD.
(NamTư 95) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Gọi D là chân đường vuông góc từ C tới AB, E là chân đường vuông góc từ D đến AC, F là điểm thuộc đoạn DE sao cho Chứng minh rằng BE CF.
(NamTư 83)Trên cung AB của đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD, người ta lấy điểm M khác A và B. Gọi P, Q, R, S là hình chiếu của điểm M trên các đường thẳng AD, AB, BC, CD. Chứng minh rằng PQ RS và giao điểm của chúng nằm trên một đường chéo của hình chữ nhật.
Cho lục giác ABCDEF. Các điểm M, N, P, Q, R, S lần lượt thay đổi trên các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA sao cho: Chứng minh rằng trọng tâm hai tam giác ANP và CMQ đối xứng nhau qua 1 điểm cố định O.	
Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A. Lấy điểm M tuỳ ý trên cạnh AC, kẻ tia Ax vuông góc với BM. Gọi H là giao điểm của Ax với BC và K là điểm đối xứng với C qua điểm H. Kẻ tia Ky vuông góc với BM, gọi I là giao điểm của Ky với AB. Tính . 
Cho tam giác ABC vuông cân tại A, AD là đường phân giác của góc A. Biết AB = c, AC = b, AD = d. Chứng minh rằng: 
BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, M là trung điểm của SC. Cho mp(P) đi qua AM và song song với BD. Tìm 2 điểm B’, D’ lần lượt là giao điểm của (P) với 2 cạnh SB, SD. Tính tỉ số 
HD.
Hướng dẫn: 4 điểm A, B’, D’, M đồng phẳng. 
Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi B’, D’ lần lượt là trung điểm của SB, SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’. Tìm tỉ số 
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Trên cạnh SB lấy điểm B’, trên cạnh SD lấy điểm D’ sao cho: mp(AB’D’) cắt SC tại C’. Tìm tỉ số 
Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang đáy AD và BC, Gọi M là trung điểm cạnh SD, mp(ABM) cắt SC tại N. Tính tỉ số SN/SC.
HD. Các Bt trên có thể dùng PP véc tơ hoặc PP tỉ số diện tích tam giác hoặc ĐL talet để giải.
Cho hình chóp S.ABC. Gọi G là trọng tâm tam giác SAC. I là điểm trên cạnh AB sao cho: Tí