Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình vô tỉ

	SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT TRẦN HƯNG ĐẠO
=====***=====
BÁO CÁO KẾT QUẢ 
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
Tên sáng kiến: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình vô tỉ
Tác giả sáng kiến: Nguyễn Thị Phương .
Mã sáng kiến: 0952.04
Tam Dương, Năm 2018.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT TRẦN HƯNG ĐẠO
=====***=====
BÁO CÁO KẾT QUẢ 
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
Tên sáng kiến: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình vô tỉ
Tác giả sáng kiến: Nguyễn Thị Phương .
Mã sáng kiến: 0952.04
Tam Dương, Năm 2018.
BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1. Lời giới thiệu.
 Phương trình vô tỉ là một chủ đề hay và rất quan trọng trong chương trình ôn thi Đại học, Cao đẳng và thi học sinh giỏi. Trong những năm gần đây phương trình vô tỉ thương xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng, chọn học sinh giỏi các cấp. Vì vậy cần trang bị cho học sinh những kiến thức liên quan đến phương trình vô tỉ và phương pháp giải chúng là rất quan trọng. Có rất nhiều phương pháp giải chúng, mỗi phương pháp đều có những nét độc đáo riêng. Tuy nhiên, xuất phát từ quá trình tự học, tự nghiên cứu của bản thân và những kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy phương pháp đặt ẩn phụ là một phương pháp hay, phong phú và giải quyết được một số lượng lớn bài tập về phương trình vô tỷ. Hơn nữa phương pháp này phát huy rất tốt các khả năng tư duy sáng tạo, khả năng phân tích phán đoán của học sinh. Với những ưu điểm trên, tôi chọn đề tài:”Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình vô tỉ” để viết chuyên đề chuyên môn để làm tài liệu dạy học và trao đổi với đồng nghiệp.
2. Tên sáng kiến:
 Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình vô tỉ.
3. Tác giả sáng kiến:
- Họ và tên: Nguyễn Thị Phương.
- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Trần Hưng Đạo – Tam Dương – Vĩnh Phúc.
- Số điện thoại: 0983142433 
- E_mail: nguyenthiphuong.gvtranhungdao@vinhphuc.com.vn
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến : Nguyễn Thị Phương. 
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: 
-Trong chương trình Toán THPT rất nhiều chuyên đề phức tạp đối với nhận thức của học sinh. Tuy nhiên trong phạm vi đề tài này, tôi chỉ nghiên cứu về chủ đề phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình vô tỉ.
- Về phía học sinh, tôi lựa chọn hai nhóm học sinh các lớp 10A5 là nhóm thực nghiệm, 10A6 là nhóm đối chứng, trường THPT Trần Hưng Đạo – Tam Dương – Vĩnh Phúc, do tôi trực tiếp giảng dạy năm học 2017 – 2018.
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 
 Năm học 2017 -2018. 
7. Mô tả bản chất của sáng kiến:
7.1 . NỘI DUNG
7.1.1. Cơ sở lý thuyết.
1. Định nghĩa căn bậc hai số học.
Với số a không âm thì: 
2. Điều kiện để căn thức bậc hai có nghĩa:  có nghĩa 
3. Các công thức biến đổi.
4. Cách giải và biện luận phương trình ax2 + bx +c =0 (a ¹ 0) 
Kết luận
(2) có 2 nghiệm phân biệt 
(2) có nghiệm kép 
(2) vô nghiệm
Chú ý: Nhẩm hệ số: + Nếu thì phương trình (1) có hai nghiệm .
+ Nếu thì phương trình (1) có hai nghiệm .
5. cách giải phương trình chứa căn đơn giản.
Loại 1. 
Loại 2. 
7.1.2 Các dạng bài đặt ẩn phụ.
I. Phương pháp đặt ẩn phụ dạng 1 
 Phương pháp đặt ẩn phụ dạng 1 là việc sử dụng 1 ẩn phụ để chuyển phương trình ban đầu về phương trình gồm 1 ẩn phụ.
Trường hợp 1: Nếu bài toán chứa ta đặt , điều kiện .
A. Các ví dụ.
Ví dụ 1. Giải phương trình.
Giải: 
Điều kiện: 
Đặt 
Khi đó ta được phương trình: 
Với t = 1 ta có: ( thỏa mãn) .
Vậy phương trình có nghiệm là .
Ví dụ 2. Giải phương trình.
Giải: 
Ta thấy .
Đặt 
Khi đó ta được phương trình: 
Với t = 8 ( thỏa mãn) .
Vậy phương trình có nghiệm là x = -9,x = 4.
Ví dụ 3. Giải phương trình.
Giải: 
Đặt 
Khi đó ta được phương trình: 
Phương trình (*) vô nghiệm.
Với t = -2 
Vậy phương trình có nghiệm là x = -2,x =-3.
Ví dụ 4: Cho phương trình.
 (1)
Giải pương trình với m = -3.
Tìm m để phương trình có nghiệm.
Giải: 
 Điều kiện: 
Đặt 
Khi đó ta được phương trình: (2)
a. Với m = -3 phương trình có nghiệm 
b. Để phương trình (1) có nghiệm thì (2) có nghiệm
Ví dụ 5: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
 .
Giải:
Đặt: .
Khi đó phương trình trở thành . Phương trình đã cho có nghiệm khi (*) có nghiệm hay .
B. Bài tập áp dụng.
Bài 1. Giải các phương trình sau:
Bài 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm.
Trường hợp 2. Nếu bài toán chứa .Ta đặt 
A. Các ví dụ.
Ví dụ 1. Giải phương trình:
Giải:
Ta đặt 
Ta được phương trình: 
Với 
Vậy phương trình có nghiệm là x = 5.
 (1). ĐK: 
Nhận xét không là nghiệm của phương trình.
. Đặt 
Vậy phương trình vô nghiệm.
B. Bài tập áp dụng
Giải phương trình.
( ĐHQGHN-HVNH-2000)
f. 
g. 
h.( ĐHTN- KA, B - 2001)
k) 
i) (KTQS‘01)
Trường hợp 3. Một số phương trình có thể giải bằng phương pháp đặt một ẩn phụ nhưng ẩn phụ không xuất hiện ngay mà phải biến đổi để xuất hiện ẩn phụ. Để giải những bài tập đòi hỏi cần phải có khả năng nhận xét , phân tích đề bài . Ví dụ như một số phương trình sau:
A. Các ví dụ
Ví dụ 1. Giải phương trình.
Giải:
Điều kiện: 
Nhận xét: 
Đặt , Ta được phương trình: 
Với t = 1, Ta có: 
Vậy phương trình có nghiệm là x = 1.
Ví dụ 2. Giải phương trình.
Giải:
Điều kiện : 
Đặt ; thì , Thay vào ta được phương trình:
(Vì )
Với ta có: 
Với ta có: 
Vậy phương trình có nghiệm là 
Nhận xét : Ta có thể bình phương hai vế của phương trình với điều kiện: 
Ta được phương trình: , từ đó ta tìm được nghiệm tương ứng. Nhưng đơn giản nhất là đặt và đưa về hệ đối xứng. ( Xem phần đặt ẩn phụ dạng 4)
Ví dụ 3. Giải phương trình.
Giải:
Điều kiện : 
Đặt ; thì ta được phương trình:
Với ta có
Vậy phương trình có nghiệm là x = 0.
Ví dụ 4. Giải phương trình.
Giải:
Điều kiện .
Chia cả hai vế của phương trình cho x ta được:
Đặt , ; ta được phương trình:
(vì ). 
Với ta có 
Vậy phương trình có nghiệm là .
Ví dụ 5. Giải phương trình.
Giải:
Điều kiện: 
Đặt 
Ta được phương trình: 
Với , phương trình có nghiệm là x = 8, 
B. Bài tập tương tự.
Giải phương trình: 
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Nhận xét: Đối với cách đặt ẩn phụ như trên chỉ giải quyết được một lớp bài toán, tuy nhiên phương trình với ẩn phụ có thể sẽ phức tạp, khó giải.
Dạng 2: Đặt ẩn phụ nhưng vẫn còn ẩn ban đầu. (Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn )
Các ví dụ
Ví dụ 1. Giải phương trình :
Giải: Đặt , ta có : 
Nhận xét: Đối với dạng này không phải phương trình nào chúng ta cũng có thể đặt ẩn phụ được ngay mà cần phải nhận xét, phân tích để chọn và biến đổi phương trình theo ẩn phụ đó, ví dụ như một số phương trình sau: 
Ví dụ 2. Giải phương trình : 
Giải:
Đặt : 	Khi đó phương trình trở thnh : 
Bây giờ ta thêm bớt , để được phương trình bậc 2 theo t có chẵn :
Ví dụ 3. Giải phương trình: 
Giải .
Bình phương 2 vế phương trình: 
Ta đặt : . Ta được: 
Ta phải tách làm sao cho có dạng chính phương .
Bài tập đề nghị: 
Bài 1.Giải các phương trình sau:
1. 	ĐS: .
2. 	Đặt , ĐS: .
3. 	ĐS: .
4. 	Đặt , ĐS: .
Bài 2. Giải các phương trình sau
1) 	2) 	
3) 4) 	 
 5) 6)
Dạng 3: . Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến :
Chúng ta đã biết cách giải phương trình: (1) bằng cách 
Xét phương trình trở thành : 
 thử trực tiếp 
Các trường hợp sau cũng đưa về được (1)
Chúng ta hãy thay các biểu thức A(x) , B(x) bởi các biểu thức vô tỉ thì sẽ nhận được phương trình vô tỉ theo dạng này .
a) Phương trình dạng : 
Xuất phát từ đẳng thức :
 Hãy tạo ra những phương trình vô tỉ dạng trên ví dụ như:
Để có một phương trình đẹp , chúng ta phải chọn hệ số a,b,c sao cho phương trình bậc hai giải “ nghiệm đẹp”
Ví dụ 1. Giải phương trình : 
Giải:
 Đặt 
Phương trình trở thành : 	
Tìm được: 
Ví dụ 2: giải phương trình sau :
Giải: 
Đk: 
Nhận xét : Ta viết 
Đồng nhất thức ta được: 
Đặt , ta được: 
 Ta được :
Ví dụ 3. Giải phương trình :
Giải:
Nhận xét : Đặt ta hãy biến pt trên về phương trình thuần nhất bậc 3 đối với x và y. 
Pt có nghiệm :
b) Phương trình dạng : 
Phương trình cho ở dạng này thường khó “phát hiện “ hơn dạng trên , nhưng nếu ta bình phương hai vế thì đưa về được dạng trên.
Ví dụ 1. giải phương trình : 
Giải: 
Ta đặt : khi đó phương trình trở thành : 
Ví dụ 2.Giải phương trình sau :
Giải 
Đk . Bình phương 2 vế ta có : 
Ta có thể đặt : khi đó ta có hệ : 
Do . 
Ví dụ 3. giải phương trình : 
Giải:
Đk . Chuyển vế bình phương ta được: 
Nhận xét : không tồn tại số để : vậy ta không thể đặt 
.
Nhưng may mắn ta có : . Ta viết lại phương trình: . Đến đây bài toán được giải quyết . 
Bài tập đề nghị.
Giải phương trình :
a.
b. 
c. 
Dạng 4: Đặt ẩn phụ đưa về hệ k phương trình với k ẩn phụ.
Trường hợp 1: Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình thông thường.
Đặt , Từ đó tìm mối kiên hệ giữa a(x) và b(x). Tù đó tìm được hệ phương trình với u và v.
Đối với phương trình dạng: 
Ta có thể đặt: , 
Khi đó ta được hệ phương trình: 
A. Các ví dụ
Ví dụ 1: Giải phương trình.
Giải:
Đặt 
Ta được hệ phương trình 
Giải hệ phương trình ta được (x;y) =(3;2), (x;y) =(2;3).
Vậy phương trình ban đầu có hai nghiệm x = 2, x=3.
Ví dụ 2: Giải phương trình.
Giải:
Đặt 
Ta được hệ phương trình 
Lấy (1) – (2) Ta được phương trình 
Với a = b – 1 ta có: 
Vậy phương trình ban đầu có nghiệm 
Ví dụ 3. Giải phương trình: 
Giải:
Điều kiện: 
Đặt 
Ta đưa về hệ phương trình sau: 
Giải phương trình thứ 2: , từ đó tìm ra rồi thay vào tìm nghiệm của phương trình.
B. Bài tập tương tự.
Giải phương trình
a.
b. 
c. 
d. 
e. 
f. 
g. 
h. 
i. 
Trường hợp 2: Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình đối xứng loại I.
 Đối phương trình dạng: 
Ta có thể đặt: , 
Khi đó ta được hệ phương trình: 
A. Các ví dụ.
Ví dụ 1: Giải phương trình: 
Giải:
Điều kiện: 
Đặt 
Ta được hệ phương trình 
Ta có u; v là nghiệm của phương trình: 
Với 
 Với 
Vậy phương trình ban đầu có hai nghiệm x = -1,x = 2.
Ví dụ 2: Giải phương trình
Giải:
Điều kiện: 
Đặt 
Ta được hệ phương trình 
Với Ta có u; v là nghiệm của phương trình: 
Hoặc 
Với Ta có u; v là nghiệm của phương trình: (Phương trình này vô nghiệm.)
Vậy phương trình ban đầu có hai nghiệm x = 16,x = 1.
Ví dụ 3: Giải phương trình
Giải:
Điều kiện: 
Đặt 
Ta được hệ phương trình 
Ta có và 
Do đó: Ta được hệ phương trình 
Vậy phương trình ban đầu có nghiệm x = 1.
B. Bài tập tương tự.
Giải phương trình
a. 
b. 
c. 
Trường hợp 3: Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình đối xứng loại II.
* Khi gặp phương trình có dạng .
Đặt ta có hệ .
Ví dụ 1: Giải phương trình . 
ĐS: .
Ví dụ 2: Giải phương trình . 
Giải
ĐK . .
Đặt . 
Ta được hệ phương trình . Giải thêm chút nữa ta được kết quả!	ĐS: .
Chú ý: bài này không thể sử dụng phương pháp bình phương vì không nhẩm được nghiệm, nên ta phải biến đổi để xuất hiện những biểu thức giống nhau và từ đó ta đặt ẩn phụ.
Ví dụ 3: Giải phương trình . 
ĐS: .
Chú ý: Bài này có thể sử dụng phương pháp bình phương.
 Ví dụ 4. Giải phương trình: 
Giải:
Điều kiện: 
Ta có phương trình được viết lại là: 
Đặt thì ta đưa về hệ sau: 
Trừ hai vế của phương trình ta được 
Giải ra ta tìm được nghiệm của phương trình là: 
Kết luận: Nghiệm của phương trình là 
Ví dụ 5. Giải phương trình:
Giải
Điều kiện 
Ta biến đổi phương trình như sau: 
Đặt ta được hệ phương trình sau:
Với . 
Với 
Bài tập đề nghị : 
Giải các phương trình sau 
1) 	2) 	3) (x2 + 3x - 4)2 + 3(x2 + 3x - 4) = x + 4 
4) 	 5) 	6) 	 
7) 8) (ĐHAN-D)	
9) 	10) 
Dạng 5: Đặt nhiều ẩn phụ đưa về tích 
Ví dụ 1. Giải phương trình :
Giải : 
, ta có : , 
giải hệ ta được: 
Ví dụ 2. Giải phương trình sau :
Giải . 
Ta đặt : , 
 khi đó ta có : 
B. Bài tập áp dụng
 Giải các phương trình sau 
2) 
3) 
4) 
7.2. KẾT QUẢ THỰC HIỆN SAU KHI THỰC HIỆN 
 Kết quả kiểm tra theo nhóm và tỉ lệ:
Nhóm
Số học sinh
Kết quả thực nhiệm
Giỏi
Khá
T.bình
Yếu
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
Đối chứng 10A6
5
0
0
1
20
1
20
3
60
Thực nghiệm 10A5
5
1
20
3
60
1
20
0
0
8. Những thông tin cần được bảo mật (nếu có):
..................................................................................................................................... 
9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:
- Giáo viên: Nhiệt tình, có trách nhiệm cao, đầu tư chuyên môn, chuẩn bị kĩ những câu hỏi thảo luận và dự kiến các phương án trả lời.
- Học sinh: Chuẩn bị các kiến thức về phương trình vô tỉ đã có, sách giáo khoa và các đồ dùng học tập khác.
- Thiết bị dạy học: Máy tính, máy chiếu, sách giáo khoa 
10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả và theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu, kể cả áp dụng thử (nếu có) theo các nội dung sau:
10.1. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả:
Qua quá trình thực nghiệm viết chuyên đề “Phương trình vô tỉ” tôi nhận thấy việc chia nhỏ các dạng đặt ẩn phụ là một trong những cách thức dạy học có hiệu quả tối ưu. Đồng thời giúp học sinh lĩnh hội kiến thức một cách khoa học, có hệ thống và sâu sắc hơn. Từ đó các em cũng thấy được mối liên hệ giữa các kiến thức của môn học.
 Tóm lại, đề tài nghiên cứu này tôi hi vọng sẽ đóng góp một phần nhỏ bé công sức vào công cuộc đổi mới dạy học trong nhà trường phổ thông hiện nay, góp phần làm cho việc học phương trình vô tỉ đơn giản hơn và đạt hiệu quả cao hơn.
10.2. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tổ chức, cá nhân:
 Đề tài nghiên cứu có tính khả thi, và ứng dụng vào thực tiễn, mang lại hiệu quả cao trong quá trình học của học sinh về chuyên đề phương trình vô tỉ.
 Giúp học sinh có niềm say mê và hứng thú với chuyên đề đồng thời cung cấp cho học sinh một tài liệu về chuyên đề này.
 Với sáng kiến nhỏ này, người viết mong nhận được ý kiến đóng góp của các đồng nghiệp nhằm bổ sung cho đề tài được sâu sắc và thiết thực hơn.
 Tôi xin chân thành cảm ơn!
11. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có):
Số TT
Tên tổ chức/cá nhân
Địa chỉ
Phạm vi/Lĩnh vực
áp dụng sáng kiến
1
Nguyễn Thị Phương
Trường THPT Trần Hưng Đạo
Phương trình vô tỉ 
2
Nhóm 10 học sinh khá, giỏi lớp 10.
Lớp 10 trường THPT Trần Hưng Đạo
Phương trình vô tỉ.
......., ngày.....tháng......năm......
Thủ trưởng đơn vị/
Chính quyền địa phương
(Ký tên, đóng dấu)
........, ngày.....tháng......năm......
CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG 
SÁNG KIẾN CẤP CƠ SỞ
(Ký tên, đóng dấu)
Tam Dương, ngày 12 tháng 2 năm 2018.
Tác giả sáng kiến
(Ký, ghi rõ họ tên)
Nguyễn Thị Phương