Sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện kĩ năng giải bài toán tính khoảng cách Hình học không gian 11

PHẦN 1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Hình học không gian là phần kiến thức rất quan trọng trong chương trình môn toán THPT nói chung và trong chương trình môn toán lớp 11 nói riêng. Trong các kì thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng hằng năm luôn có mặt bài toán hình học không gian. Đặc biệt các bài toán về quan hệ vuông góc luôn là một chủ đề quen thuộc và không thể thiếu trong mọi bài toán hình học không gian có mặt trong các kì thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng (hiện nay là THPT Quốc Gia) cũng như trong các kì thi chọn học sinh giỏi.
Đối với học sinh đa số các em thường gặp rất nhiều khó khăn khi giải các bài toán hình học không gian. Các em thường chưa có kĩ năng giải hoặc chưa hình thành được phương pháp giải các bài toán hình học không gian. Hiện nay trong bối cảnh môn toán đang được thi bởi hình thức trắc nghiệm thì những bài toán về tính khoảng cách lại càng xuất hiện nhiều hơn nữa.
Làm thế nào để nâng cao kĩ năng giải toán hình học không gian đặc biệt là những bài toán tính khoảng cách cho học sinh ? Với suy nghĩ đó tôi luôn cố gắng dạy cho các em học sinh biết và nắm vững các phương pháp chứng minh các quan hệ vuông góc (đường thẳng vuông góc với đường thẳng, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc) từ đó hình thành nên các phương pháp tìm khoảng cách (khoảng cách giữa điểm với đường thẳng, khoảng cách giữa điểm với mặt phẳng, khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau). 
1.2. Mục đích nghiên cứu
	Với mong muốn giúp các em học sinh có cái nhìn tổng quát hơn về các bài toán tính khoảng cách. Tạo cho các em sự tự tin trong các bài toán tính toán của hình học không gian. Đây cũng là một tài liệu để các đồng nghiệp có thể tham khảo. Đặc biệt với cách kiểm tra và thi hiện nay những bài toán tính toán xuất hiện chủ yếu trong các kì thi của các trường, các sở. Năm nay thi Trung Học Phổ Thông Quốc Gia sẽ có thêm chương trình của lớp 11 trong đề thi. Vì vậy tài liệu này cũng sẽ giúp ích cho các em phần nào. Tính khoảng cách tốt còn giúp các em giải quyết tốt các bài toán tính thể tích, đây là dạng toán chủ yếu xuất hiện trong chương trình hình học lớp 12. 
1.2. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là hình thành và rèn luyện kĩ năng tính khoảng cách cho học sinh.
Cụ thể: 
+Khoảng cách từ điểm tới đường thẳng.
 +Khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng.
 +Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
1.4. Các phương pháp nghiên cứu của đề tài:
+Phương pháp nghiên cứu, xây dựng cơ sở lý thuyết.
+Phương pháp điều tra thực tế.
+Phương pháp thống kê, thu thập số liệu.
PHẦN 2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận
Trong nhà trường trung học phổ thông nhiệm vụ trọng tâm là hoạt động dạy của thầy và hoạt động học của trò. Đối với người thầy việc giúp học sinh nắm vững các kiến thức phổ thông nói chung và các kiến thức của bộ môn toán nói riêng là một việc làm rất cần thiết. Người giáo viên cần phải dạy cho các em nắm vững các phương pháp và các kĩ năng cần thiết để có thể giải tốt các bài toán đặt ra. Đối với hoạt động học của trò muốn học tốt môn toán học sinh cần phải nắm vững những tri thức khoa học ở môn toán một cách có hệ thống, phải biết vận dụng lí thuyết một cách linh hoạt vào từng bài toán cụ thể. Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic, suy nghĩ linh hoạt. Vì vậy trong quá trình dạy học giáo viên cần giúp học sinh cách học và biết sử dụng các kiến thức đã học vào các bài toán cụ thể. Mục đích là giúp học sinh khi đứng trước một bài toán các em cần biết phân tích nhận dạng, biết áp dụng các phương pháp đã được học để giải bài toán hoặc biết cách chuyển bài toán về dạng quen thuộc để từ đó có các phương pháp giải thích hợp. Đối với các bài toán về quan hệ vuông góc trong hình học không gian cũng vậy ngoài việc phải cung cấp cho các em các kiến thức cần thiết và phương pháp giải các dạng toán cụ thể cũng cần dạy cho các em cách phân tích bài toán, xét các mối quan hệ qua lại giữa các đối tượng: Điểm, đường thẳng, mặt phẳng Để từ đó các em đưa ra được cách giải các bài toán bằng phương pháp phù hợp nhất.
2.2. Thực trạng vấn đề
Xuất phát từ việc dạy phân môn hình học lớp 11 nâng cao, cụ thể là bài toán tính khoảng cách. Đối với dạng toán này mục tiêu là học sinh biết cách tìm khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song. Đây là những bài toán thường gặp trong các kì thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng (trung học phổ thông quốc gia) gần đây. Vì vậy khi dạy dạng toán này giáo viên cần hình thành cho học sinh kĩ năng và các phương pháp tìm khoảng cách.
2.3. Giải pháp và cách thức thực hiện
Trước khi giải một bài toán tính khoảng cách các em học sinh cần phải nắm vững các định nghĩa, các định lí, các hệ quả của các định lí, các tính chất. Tiếp đến các em cũng cần nắm vững một số các phương pháp chứng minh các dạng toán thường gặp. Sau đó các em phải rèn luyện các kĩ năng vận dụng các phần lí thuyết đã nắm vững đó vào các bài toán cụ thể. Vì vậy người giáo viên trong quá trình dạy học cần hệ thống lí thuyết, đưa ra một số dạng toán thường gặp và cách giải các dạng toán đó.
2.3.1. Cơ sở lí thuyết:
Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, đến một đường thẳng.
Định nghĩa 1: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (hoặc đến đường thẳng ) là khoảng cách giữa hai điểm và , trong đó là hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng (hoặc lên đường thẳng d)
Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
Định nghĩa 2: Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song với là khoảng cách từ một điểm nào đó từ tới .
Định nghĩa 3: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Định nghĩa 4: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
2.3.2. Các dạng toán thường gặp:
Dạng 1: Tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (hoặc đến một đường thẳng)
Phương pháp giải: 
Xác định chân đường vuông góc của điểm đó lên trên mặt phẳng (hoặc trên đường thẳng).
Sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông hoặc lượng giác để tính các khoảng cách cần tìm.
Lưu ý: 
Để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng ta có thể xác định mặt phẳng chứa điểm và vuông góc với sau đó đi xác định giao tuyến của và rồi trong dựng đường thẳng đi qua A và vuông góc với giao tuyến cắt giao tuyến tại . Khi đó, khoảng cách từ đến chính là đoạn .
Dạng 2: Tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song.
Phương pháp giải: 
Để tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song ta tính khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường thẳng đến mặt phẳng, đó là khoảng cách cần tìm
Để tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song ta tính khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc mặt phẳng này tới mặt phẳng kia và đó là khoảng cách cần tìm.
Nhận xét: 
Thực tế của bài toán dạng 2 này là tính khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng vì thế việc rất quan trọng là chúng ta phải xác định điểm sao cho thuận lợi để tính khoảng cách từ điểm đó tới mặt phẳng.
Dạng 3: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Phương pháp giải: Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và ta có thể dùng các cách giải sau:
Cách 1: Xác định đường vuông góc chung của và và tính độ dài đoạn vuông góc chung đó. 
Cách 2: Dựng một mặt phẳng chứa và song song với , khi đó khoảng cách giữa và là khoảng cách giữa và .
Cách 3: Dựng mặt phẳng chứa và mặt phẳng chứa sao cho song song với , khi đó khoảng cách giữa và là khoảng cách giữa và . 
2.3.3. Một số ví dụ
2.3.3.1 Khoảng cách từ một điểm tới đường thẳng.
Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , vuông góc với mặt phẳng và . Gọi là trung điểm của cạnh . Tính theo khoảng cách từ điểm đến đường thẳng .
Lời giải
Gọi là trung điểm , gọi là giao điểm của và . Ta chứng minh được .
Lại có . Tính ; . 
Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , tâm , , . Gọi là trung điểm của và là trung điểm của . Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng .
Lời giải
Kẻ đường thẳng qua vuông góc với tại , cắt tại . Ta có:
Vì 
Tính 
Mà . 
Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại . Gọi là trung điểm cạnh và . Tính khoảng cách từ đến cạnh .
Lời giải
Vì nên hình chiếu của lên mặt phẳng là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác . Từ kẻ đường thẳng vuông góc taị .
Vì và nên .
 Vì .
 Vì đều 
2.3.3.2 Khoảng cách từ một điểm tới mặt phẳng
Cho hình chóp đáy là hình thang, , . Cạnh bên vuông góc với đáy và . Gọi là hình chiếu của lên . Tính (theo ) khoảng cách từ đến mặt phẳng .
Lời giải
Gọi là giao điểm của và .Ta có .
Laị có với 
Vì .
Từ 
Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại là trung điểm của , hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng là trung điểm của , mặt phẳng tạo với đáy một góc bằng . Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng theo .
Lời giải
Gọi là trung điểm của và là hình chếu của lên .
Ta xác định nên từ 
Ta có: .
Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại và . Hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng là trung điểm của cạnh . Góc giữa hai mặt phẳng và bằng . Tính khoảng cách từ trung điểm của cạnh đến mặt phẳng .
Lời giải
Ta có: .
Dựng . Khi đó .
Do.
Suy ra . Dựng . Khi đó: .
Do . 
Cho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh , . Hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng là điểm thuộc đoạn sao cho . Đường thẳng tạo với mặt phẳng góc với là giao điểm của và . Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng theo .
Lời giải
Dễ thấy tam giác đều và là trọng tâm tam giác . Khi đó . Mặt khác 
. Do 
Dựng .. 
Vậy .
Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật tâm , có . Gọi là trung điểm . Biết vuông góc với mặt phẳng đáy và tam giác vuông tại . Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng .
Lời giải
Ta có . Khi đó: 
. Do . Dựng . Khi đó:
.
Mặt khác .
Do đó: .
Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật có , . Hình chiếu của lên mặt phẳng đáy là trọng tâm của tam giác . Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng . Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .
Lời giải
Ta có suy ra . Do 
 .
 Dựng , .
 Do .
Mặt khác .
Cho hình chóp có , , . Gọi là trung điểm cạnh . Hình chiếu vuông góc của đỉnh trên mặt phẳng đáy là trung điểm của , góc giữa đường thẳng và mặt phẳng đáy bằng . Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .
Lời giải
Đặt . 
Mà . Dựng , . Khi đó . Mặt khác .
Mặt khác .
Do đó: .
Do đó .
Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại và . Hình chiếu vuông góc của lên trùng với giao điểm của và . Mặt bên hợp với đáy một góc . Biết rằng , . Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng theo .
Lời giải
Dựng . 
Theo Talet ta có: . 
Khi đó: .
Ta có: . 
Lại có  
(HSG Vĩnh Phúc 2018) Cho hình chóp có đáy là hình thoi tâm , , ; hai mặt phẳng và cùng vuông góc với mặt phẳng . Biết khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng . Tính khoảng cách từ tới mặt phẳng .
Lời giải
Ta có diện tích hình thoi là: .
Theo giả thiết: .
Trong kẻ , trong kẻ 
.
kẻ .
.
Khi đó ta có: .
(HSG Sơn La 2017-2018) Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng đáy bằng . Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .
Lời giải.
Gọi là giao điểm của và . Suy ra . Ta có . Gọi là hình chiếu của lên .
Trong tam giác vuông có . 
Vậy .
(HSG Cần Thơ 2017-2018)
Cho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh bằng Gọi là trọng tâm của tam giác biết Gọi là điểm thuộc cạnh sao cho Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .
Lời giải
Tam giác có , nên tam giác là tam giác đều. Suy ra . Xét tam giác có nên tam giác vuông 
tại . Tương tự tam giác vuông tại .
Vậy hay . Xét hai tam giác vuông và có cạnh chung và nên chúng bằng nhau. Suy ra .
 Trong tam giác vuông , có thuộc cạnh và 
 (1). Mặt khác 
Mà (2). Từ (1) và (2) suy ra 
Ta có 
.
2.3.3.3 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Cho hình chóp có đáy là hình vuông, gọi là trung điểm . Tam giác cân tại và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy , biết , tạo với mặt đáy một góc . Tính theo khoảng cách giữa hai đường thẳng và .
Lời giải
Đặt .
Ta có: .
Cạnh .
Cạnh .
Từ .
Dựng hình bình hành như hình vẽ . Tứ diện là tứ diện vuông .
Cho lăng trụ có các mặt bên là hình vuông cạnh . Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh . Tính theo khoảng cách giữa hai đường thẳng và 
Lời giải
Ta có . Kẻ .
Mặt khác , kẻ tại 
Ta có .
Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông tại , . Gọi là trung điểm của đoạn thẳng , là giao điểm của và . Tính theo a khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .
Lời giải
Lăng trụ đứng 
Ta có: 
Cho hình chóp có tam giác cạnh , tam giác cân tại . Hình chiếu của trên mặt phẳng là trung điểm của cạnh , góc giữa với mặt phẳng đáy bằng . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và theo .
Lời giải
Gọi là trung điểm cạnh và . Nên .
Vẽ hình bình hành . 
Khi đó: . 
Kẻ Vì 
Ta có: .
Cho hình chóp có đáy là hình thang cân, hai đáy và . Biết , , . Hình chiếu vuông góc của lên là trung điểm của đoạn . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và theo .
Lời giải
Vì mà .
Gọi là trung điểm , suy ra , mà . 
Kẻ . Ta có : 
 hay 
 (HSG Bình Phước 2017-2018) 
Cho hình chóp có đáy là hình thang với , . Biết rằng hai mặt phẳng và cùng vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa và mặt đáy bằng . Tính theo thể tích của khối chóp và khoảng cách giữa hai đường thẳng và .
Lời giải
Gọi là giao điểm của và . Khi đó . Mặt khác, do hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt đáy nên . Gọi là trung điểm của là hình vuông cạnh .
Mặt khác vuông cân tại . Do đó, 
Ta có: .
.
Ta có 	
Gọi là điểm đối xứng với qua là hình bình hành . 
Do đó .
Trong mặt phẳng dựng . Khi đó ta có: . Ta có 
.
Chú ý: Kẻ là đoạn vuông góc chung của và .
Xét ta có .	
(HSG Đà Nẵng 2017-2018)
Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh bằng , cạnh bên vuông góc với đáy và có độ dài bằng . Gọi , lần lượt là trung điểm của và . Tìm số đo của góc và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và .
Lời giải
Đặt , , .
Suy ra ; .
Tìm góc , ta có: và .
Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng và : gọi , thì 
Suy ra .
 là đoạn vuông góc chung của và khi và chỉ khi ..
Suy ra .
(HSG Đồng Nai 2017-2018) Cho hình chóp tứ giác có mặt đáy là một hình chữ nhật. Mặt bên là tam giác cân tại và mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng . Biết , và góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy là .Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng , .
Lời giải
Gọi là trung điểm của . Trong qua kẻ song song với .
Gọi là hình chiếu của lên .
Gọi là hình chiếu của lên .
Vậy .
Gọi là tâm hình chữ nhật ta có: , , , . Do nên vuông cân tại .
Mà , đồng dạng nên: .
. Xét vuông tại ta có: 
. Vậy .
 (HSG Hà nam 2016-2017)
Cho hình hộp có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, , . Cạnh bên hợp với mặt phẳng () một góc .Tính theo thể tích khối hộp và khoảng cách giữa hai đường thẳng .
Lời giải
Gọi G là trọng tâm là tâm đường tròn ngoại tiếp (vì đều). Theo giả thiết .
. 
 đều cạnh a
 vuông tại G 
Ta có 
vì 
Gọi (N là trung điểm của AD)
Vì 
Ta có 
Trong mp dựng suy ra 
Có 
(HSG Hà Nam 2017-2018)
Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại và . Biết, , đường chéo vuông góc với mặt phẳng . Tính theo thể tích khối chóp và khoảng cách giữa hai đường thẳng và .
Lời giải
Ta có: 
Kẻ tại 
Tam giác vuông tại nên: . Gọi là giao điểm của và . 
Ta có 
 .
Kẻ đường thẳng đi qua và song song với . Kẻ , 
(SHE) (SA,d); 
Kẻ vuông góc với tại thì vuông góc với .
 nên .
Trong tam giác ta có 
.
2.3.3.4. Bài tập tự luyện 
Một số bài toán trắc nghiệm về khoảng cách.
Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , , hình chiếu vuông góc của lên là trung điểm của đoạn . Gọi là trung điểm của đoạn . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và theo .
A. .	B. .	C. . D. 
Đáp án đúng : đáp án D.
 Cho hình chóp có , đáy vuông tại , , và hình chiếu vuông góc của lên là trung điểm của đoạn . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và theo .
A. .	B. .	C. .	D. .
Đáp án đúng : đáp án B.
Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại và , với , . Các mặt bên và cùng vuông góc với đáy. Góc giữa và bằng . Tính khoảng cách giữa và .
A. .	B. .	C. .	D. .
Đáp án đúng : đáp án A
Cho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh , , . Hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng là điểm thuộc đoạn thỏa mãn . Gọi là trung điểm cạnh . Tính khoảng cách giữa và .
A. .	B. .	C. .	D. .
Đáp án đúng : đáp án B. 
 Cho hình lăng trụ tam giác đều có độ dài cạnh đáy bằng ,góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng đáy bằng .Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh và .Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và theo .
A. .	B..	C. .	D..
Đáp án đúng : đáp án A
Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật tâm , , . Tam giác cân tại , , góc giữa và bằng . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và .
A. .	B..	C. .	D..
Đáp án đúng : đáp án D .
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Đối với học sinh: Trong quá trình dạy học tôi luôn nhắc nhở các em phải luôn nắm chắc các định nghĩa, phải biết cách sử dụng có hiệu quả các định lí. Khi giải các bài toán về khoảng cách cũng cần chú trọng đến khâu vẽ hình, cần quan tâm đến các bài toán đặc biệt để từ đó có cái nhìn tổng thể hơn đối với bài toán tính khoảng cách. Do đó các em đã biết tính khoảng cách từ điểm tới mặt, khoảng cách từ điểm tới đường thẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ở những bài toán cơ bản. Các em học sinh có học lực khá đã giải được các bài toán khó.
 Trong bài kiểm tra chương III - Hình học 11 Nâng Cao năm học 2016-2017, lớp 11A2 có 93 % các em đạt kết quả trên trung bình trong đó có 80% đạt kết quả khá giỏi, lớp 11A8 có 90 % các em đạt kết quả trên trung bình trong đó có 78% đạt kết quả khá giỏi. Trong bài kiểm tra chương III - Hình học 11 Nâng Cao năm học 2017-2018, lớp 11A6 có 95% các em đạt kết quả trên trung bình trong đó có 82% đạt kết quả khá giỏi. Bên cạnh đó trong các kì thi học sinh giỏi cấp trường cũng như các kì thi bồi dưỡng phần đa các em cũng đã tính đúng các bài toán về khoảng cách từ đó có kết quả cao trong các kì thi.
- Đối với bản thân: Đã có sự tích lũy về kiến thức cũng như phương pháp dạy học. Tùy các đối tượng học sinh, mỗi đối tượng có một phương pháp khác nhau. Qua đó có phương pháp giảng dạy đạt hiệu quả rõ rệt.
- Đối với đồng nghiệp: Đề tài cũng là một nguồn tham khảo hữu ích, về cả nội dung, ý tưởng và một số ý kiến phân tích, lập luận của tác giả trong quá trình trình bày ở mỗi ví dụ để hoàn thiện ý tưởng, giáo án giảng dạy của mình.
PHẦN 3. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT
1. Kết luận: Hình học không gian là vấn đề quan trọng và không thể thiếu trong các đề thi đại học, cao đẳng, trung học chuyên nghiệp. Đặc biệt hơn nữa là trong các đề thi luôn có phần quan hệ vuông góc hoặc ứng dụng của nó để giải các bài toán liên quan. Vì thế giúp học sinh có kĩ năng giải các bài toán hình học không gian là nhiệm vụ hết sức quan trọng. Các em học sinh muốn có kĩ năng giải tốt các bài toán về quan hệ vuông góc các em phải nắm vững lí thuyết, các dạng toán và phương pháp giải các dạng toán đó. 
Trên đây là một số kinh nghiệm của bản thân tôi rút ra được trong quá trình dạy học các bài toán tính khoảng cách. Bài tập hình học không gian là tương đối khó và phức tạp. Thông qua các dạng toán, phương pháp giải và các ví dụ trên đây hi vọng phần nào giúp các em học sinh có kĩ năng giải các bài toán tính khoảng cách và cũng là tiền đề để sau này các em giải quyết tốt các bài toán tính thể tích. 
2. Kiến nghị:
Nhằm giúp học sinh học tốt phần quan hệ vuông góc trong không gian tôi 
kiến nghị:
-Trong phân phối chương trình lớp 11 số tiết học là hơi ít đặc biệt là số tiết luyện tập vì thế tôi kiến nghị tăng số tiết cho chương học này.
- Trong quá trình dạy học phần này tôi đề nghị giáo viên nêu ra các dạng toán và các phương giải các dạng toán đó, đặc biệt là phải rèn luyện kĩ năng dựng hình cho học sinh.
Trong khuôn khổ hạn hẹp của đề tài, với năng lực có hạn của bản thân không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong đ