Sáng kiến kinh nghiệm Rèn kỹ năng giải bài toán "Phân tích đa thức thành nhân tử"

 Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8 ”
 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LẬP THẠCH 
 TRƯỜNG THCS LẬP THẠCH
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
 ĐỀ TÀI:
 RÈN KỸ NĂNG GIẢI BÀI TOÁN
 " PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ "
 Người thực hiện : Nguyễn Trần Kiên 
 Đơn vị công tác : Trường THCS Lập Thạch
 Năm học : 2017 - 2018
 Phần thứ nhất : MỞ ĐẦU
 Nguyễn Trần Kiên 1 Trường THCS Lập Thạch Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8 ”
II. Mục đích nghiên cứu:
 Nhằm nâng cao chất lượng dạy và học: Từ mục tiêu “Học để biết, học để làm, học để 
cùng nhau chung sống và học để làm người”, trước hết giáo dục nhà trường phải hình 
thành và bồi dưỡng cho học sinh năng lực tự học, tự giải quyết vấn đề. Việc trang bị tốt 
năng lực này là một trong những hoạt động trọng tâm của việc đổi mới phương pháp dạy 
học trong điều kiện đổi mới chương trình phổ thông. Vì thế cốt lõi của đổi mới phương 
pháp dạy học là hướng tới hoạt động học tập tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh, 
chống lại thói quen học tập thụ động. Đổi mới phương pháp dạy học bao gồm đổi mới nội 
dung và hình thức hoạt động của giáo viên và học sinh, đổi mới hình thức tổ chức dạy 
học, đổi mới hình thức tương tác xã hội trong dạy học, đổi mới kĩ thuật dạy học với định 
hướng: Bám sát mục tiêu giáo dục phổ thông, phù hợp với nội dung dạy học cụ thể, phù 
hợp với đặc điểm lứa tuổi học sinh, các điều kiện dạy học của nhà trường, ứng dụng công 
nghệ thông tin.
 Khi vận dụng giải các bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử, các em vẫn lúng 
túng. Phải chăng điểm xuất phát từ bài đầu tiên là học sinh làm quen với phân tích đa 
thức thành nhân tử, các em còn chưa hiểu rõ hết bản chất của vấn đề, chưa nắm rõ các 
phương pháp phân tích, quy tắc toán học nên dẫn đến nhầm lẫn khi giải toán. Chính vì 
vậy, ngay từ bài đầu tiên về phân tích đa thức thành nhân tử giáo viên cần phải nghiên 
cứu để giúp học sinh hiểu rõ bản chất của việc phân tích đa thức thành nhân tử, nắm thật 
vững kiến thức để hạn chế sự nhầm lẫn, sai sót sau này.
III. Đối tượng nghiên cứu:
 - Dạng toán “phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8”
 - Học sinh lớp 8 trường THCS Lập Thạch
IV. Phạm vi nghiên cứu:
-Đề tài xoay quanh dạng “Toán phân tích đa thức thành nhân tử” trong chương trình toán 
học bậc THCS.
 - Học sinh THCS, đặc biệt là học sinh giỏi lớp 8 của trường trung học cơ sở Lập 
Thạch - Huyện lập Thạch
V. Phương pháp nghiên cứu:
 Nghiên cứu tài liệu: Đọc tạp chí dạy học ngày nay; tạp chí giáo dục; những vấn đề về 
đổi mới giáo dục trung học cơ sở; sách giáo khoa toán 8; sách bài tập Toán 8; hướng dẫn 
thực hiện chuẩn kiến thức, kĩ năng môn Toán THCS làm cơ sở thực hiện giải pháp này.
 Điều tra: Qua giờ dạy, dự giờ học hỏi kinh nghiệm đồng nghiệp, trao đổi với học sinh 
để đưa ra biện pháp thực hiện.
 Thống kê: Thống kê số liệu học sinh qua theo dõi.
 Nguyễn Trần Kiên 3 Trường THCS Lập Thạch Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8 ”
 Mặt khác, phân tích đa thức thành nhân tử còn được ứng dụng rất nhiều trong các 
dạng toán sau này như: Tính nhanh giá trị của biểu thức, các bài toán tìm x, rút gọn phân 
thức đại số, giải phương trình tích
2. Sự cần thiết của đề tài:
 Xuất phát từ tình hình thực tế của trường và yêu cầu của nội dung kiến thức, tôi nhận 
thấy việc “Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8” là thực sự 
cần thiết. Bởi vì, đây là cách giúp học sinh rèn được kĩ năng quan sát, nhận xét và vận 
dụng linh hoạt các phương pháp đã học vào từng bài tập cụ thể. Từ đó, giúp các em tìm 
tòi, phát hiện và chiếm lĩnh tri thức một cách tốt nhất. Không những thế, giải pháp này 
còn giúp các em hứng thú hơn khi được học toán, xem việc giải bài tập như cách giải trí 
sau khi học các môn khác.
III. Nội dung vấn đề
1. Vấn đề đặt ra
 Để phân tích được đa thức thành nhân tử thì học sinh cần phải nắm vững các phương 
pháp cơ bản như: Đặt nhân tử chung; dùng hằng đẳng thức; nhóm các hạng tử; phối hợp 
nhiều phương pháp. Ngoài ra, đối với học sinh khá, giỏi có thể giới thiệu thêm hai 
phương pháp phân tích (nâng cao): Tách một hạng tử; thêm bớt cùng một hạng tử. Vì 
vậy, giáo viên phải thực hiện được một số việc sau:
 - Xây dựng các phương pháp giải cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử.
 - Củng cố các phương pháp phân tích cơ bản.
 - Sắp xếp bài toán theo các mức độ, những dạng toán cơ bản.
 - Chữa các sai lầm thường gặp của học sinh trong giải toán.
 - Tìm tòi những cách giải hay, khai thác bài toán.
 - Giới thiệu thêm các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (Nâng cao).
 - Một số lưu ý trong quá trình phân tích đa thức thành nhân tử.
2. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
 2.1 Phương pháp đặt nhân tử chung.
 Phương pháp chung :
 - Tìm nhân tử chung của các hệ số (ƯCLN của các hệ số).
 - Tìm nhân tử chung của các biến (mỗi biến chung lấy số mũ nhỏ nhất ). 
 Nhằm đưa về dạng: A.B + A.C + A.D = A.(B + C + D).
Chú ý: Nhiều khi để làm xuất hiện nhân tử ta cần đổi dấu các hạng tử : A = - (-A)
Ví dụ 1: Phân tích đa thức 14x2y – 21xy2 + 28x2y2 thành nhân tử.
 Gợi ý:
- Tìm nhân tử chung của các hệ số 14, 21, 28 trong các hạng tử trên ? 
(ƯCLN(14, 21, 28 ) = 7 )
- Tìm nhân tử chung của các biến x2y, xy2, x2y2 ? (biến chung : xy )
 Nguyễn Trần Kiên 5 Trường THCS Lập Thạch Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8 ”
 3. A2 – B2 = (A – B)(A + B)
 4. A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3 = (A + B)3
 5. A3 – 3A2 B + 3AB2 – B3 = (A – B)3
 6. A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)
 7. A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)
Ví dụ 1: Phân tích đa thức x2  6xy  9 y2 thành nhân tử.
Ta có: x2  6xy  9 y2 = x2  2.x.3y  (3y)2  (x  3y)2
Ví dụ 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
 1
1) 10x  25  x2 2) 8x3  3) 8x3 12x2 y  6xy2  y3
 8
Giải:
1) 10x  25  x2  x2 10x  25   x2 10x  25   x  52
 3   
 1 3  1   1  1 
 3
2) 8x   2x     2x   4x2  x  
 8  2   2  4 
3) 8x3 12x2 y  6xy2  y3  2x3  3.2x2 .y  3.2x.y2  y3  2x  y3
Ví dụ 3: Phân tích đa thức thành nhân tử:
 3 
1) a3  b3  c3  3abc 2)  x  y  z  x3  y3  z3
Giải:
1)a3  b3  c3  3abc  a  b3  3a2b  3ab2  c3  3abc
 [ a  b3  c3 ]-3ab(a+b+c) =(a+b+c)[(a+b)2 -c(a+b)+c2 ]-3ab
 (a+b+c)(a2  b2  c2  ab  bc  ca)
2)  x  y  z3  x3  y3  z3
 3 
  x  y  z  x3   y3  z3 
     
  y  zx2  y2  z2  2xy  2yz  2zx  x2  xy  xz  x2  y  z  y2  yz  z2 
 2
  y  z3x  3xy  3yz  3zx  3 y  z  x x  y  z x  y  3 y  zx  yx  z
 Bài tập áp dụng: 
Bài 1:Phân tích các đa thức thành nhân tử
 1 3 3
1) 25a2 1 5) x  8 y
 8
 1
2) a  2b2  4b2 6) x6 125 y3
 64
 Nguyễn Trần Kiên 7 Trường THCS Lập Thạch Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8 ”
Ví dụ 2: Phân tích đa thức x2 – 2x + 1 – 4y2 thành nhân tử.
 Giải:
 x2 – 2x +1– 4y2 = (x2 – 2x +1) – (2y)2
 = (x – 1)2 – (2y)2
 = (x – 1– 2y)(x –1+2y)
Ví dụ 3: Phân tích đa thức x2 + 2xy + 4x + 4y + y2 thành nhân tử.
 Giải
 x2 + 2xy + 4x + 4y + y2 = (x2 + 2xy + y2) + (4x + 4y)
 = (x + y)2 + 4(x + y)
 = (x + y)(x + y + 4)
 Lưu ý: Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm thì quá trình phân tích 
thành nhân tử không thực hiện được nữa, thì cách nhóm đó đã sai, phải thực hiện lại.
 Bài tập áp dụng: 
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
1) x3  x2  x 1 6) 25  x2  4xy  4 y2
2) x3  3x2  3x  9 7) x2  y2  z2  t2  2xz  2 yt
 2 
3) 3x  3xy  5x  5y 8) ax2  bx2  2ax  2bx  3a  3b
4) x2  4x  y2  4 9) ax  bx  cx  2a  2b  2c
5) x2 – 2x – 4y2 – 4y 10) ax  bx  2cx  2a  2b  4c
Bài 2: Tính nhanh
1) 16,87.91 6, 2.188 16,87.97  0, 67.188 2) 562  312 132  56.62
Bài 3 :Tìm x, biết :
1) x4  5x3 8x  40 2) x4  4x3 16x 16  0
 2.4. Phối hợp nhiều phương pháp
 Phương pháp chung:
 Là sự kết hợp nhuần nhuyễn giữa các phương pháp nhóm nhiều hạng tử, đặt nhân tử 
chung, dùng hằng đẳng thức. Vì vậy, học sinh cần nhận xét bài toán một cách cụ thể, mối 
quan hệ của các hạng tử và tìm hướng giải thích hợp.
 Thông thường ta có thể xét theo thứ tự các phương pháp: Đặt nhân tử chung; dùng 
hằng đẳng thức; nhóm nhiều hạng tử?
Ví dụ : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
 1) x5  x4 y  2x4  2x3 y 2) x2  2xy  y2  4x  4 y  5
 (Đề thi hsg huyện Thanh Chương năm 2012-2013)
 Giải
 x5  x4 y  2x4  2x3 y  x3(x2  xy  2x  2y)  x3[(x2  xy)  (2x  2y)]
1)
 =x3[x(x-y)+2(x-y)]=x3(x  y)(x  2)
 Nguyễn Trần Kiên 9 Trường THCS Lập Thạch Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8 ”
 Vì vậy, việc tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác là nhằm làm xuất hiện các 
phương pháp đã học như: Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử 
là việc làm hết sức cần thiết đối với học sinh trong giải toán.
 Tổng quát: Để phân tích đa thức dạng ax 2 + bx + c thành nhân tử, ta thường tách
 b1  b2  b
hạng tử bx thành b1x + b2x sao cho 
 b1.b2  ac
 Trong thực hành ta làm như sau:
 Bước 1: Tìm tích ac.
 Bước 2: Phân tích ac thành tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách .
 Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng bằng b.
 Áp dụng: Phân tích đa thức – 6x2 + 7x – 2 thành nhân tử 
 Ta có: a = – 6 ; b = 7 ; c = – 2
 Bước 1: ac = (–6).(–2) = 12
 Bước 2: ac = (–6).(–2) = (–4).(–3) =(–12).(–1) = 6.2 = 4.3 = 12.1
 Bước 3: b = 7 = 4 + 3
 Khi đó ta có lời giải: –6x2 + 7x – 2 = – 6x2 + 4x + 3x – 2
 = (– 6x2 + 4x) + (3x – 2)
 = –2x(3x – 2) + (3x – 2)
 = (3x – 2)(–2x + 1)
 Bài tập áp dụng:
 Phân tích đa thức thành nhân tử:
1)x2 10x  9 6)x2  2x  48
2)2x2  7x  3 7)4x2  4x 15
3)3x2  7x  2 8) 15x2  x  6
4)x2 10x 16 9)6x2  7xy  2 y2
5)x2 10x  21 10)9x2  9xy  4 y2
 Lưu ý: Đối với đa thức f(x) có bậc từ ba trở lên, để làm xuất hiện các hệ số tỉ lệ, tuỳ 
theo đặc điểm của các hệ số mà ta có cách tách riêng cho phù hợp, thông thường người 
ta dùng cách tìm nghiệm của đa thức.
 Nguyễn Trần Kiên 11 Trường THCS Lập Thạch