Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp véctơ trong khai thác và phát triển bài toán hình học không gian lớp 11

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 2
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
PHƯƠNG PHÁP VÉCTƠ TRONG KHAI THÁC VÀ PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11
Người thực hiện: Lưu Thị Thủy
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán
THANH HÓA NĂM 2019
MỤC LỤC
Trang
1. Mở đầu..................................................................................................
1
1.1. Lí do chọn đề tài..
1
1.2. Mục đích nghiên cứu...
1
1.3. Đối tượng nghiên cứu..
1
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
1
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm............................................................
1
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm ...
1
2.1.1. Định nghĩa véctơ..
1
2.1.2. Các phép toán véctơ.....
2.1.3. Các quy tắc véctơ 
2.1.4. Một số quan hệ hình học và tính chất khác..
1
2
2
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm......
2
2.2.1. Thuận lợi..
2
2.2.2. Khó khăn..
2
2.3. Giải quyết vấn đề 
3
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm..
16
3. Kết luận, kiến nghị...............................................
16
3.1 Kết luận................
16
3.2. Kiến nghị.....
17
Tài liệu tham khảo......................................................................................
18
Danh mục các đề tài sáng kiến kinh nghiệm đã được hội đồng đánh giá cấp Sở GD & ĐT xếp loại từ C trở lên................................................................
1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài
	Khai thác tìm tòi và phát triển bài toán là phương pháp cần thiết sử dụng trong quá trình giảng dạy toán của mỗi giáo viên, giúp học sinh rèn luyện tư duy sáng tạo, tăng hứng thú, say mê học tập.
Các bài toán hình học không gian thường xuyên xuất hiện trong các đề thi Trung học phổ thông Quốc gia, thi học sinh giỏi là thử thách không nhỏ cho số đông các học sinh. Để giải quyết những bài toán này ngoài phương pháp tổng hợp, phương pháp tọa độ hóa còn có thể sử dụng phương pháp véctơ. Nhờ phuơng pháp véctơ mà các bài toán hình không gian thông thường có nội dung như: song song , thẳng hàng, đồng phẳng, tỉ số đoạn thẳng, điểm cố định, bài toán cực trịcó thể được giải quyết một cách đơn giản, dễ hiểu. 
Sử dụng kết hợp phương pháp véctơ với khai thác và phát triển bài toán hình không gian giúp học sinh học tập chủ động, sáng tạo mà không quá phụ thuộc vào các hình không gian . 
Từ quá trình nghiên cứu các bài toán hình không gian trong các kì thi gần đây và đúc rút từ thực tế giảng dạy của bản thân, tôi muốn chia sẻ với đồng nghiệp kinh nghiệm sử dụng: Phương pháp véctơ trong khai thác và phát triển bài toán hình học không gian lớp 11.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Thực hiện đề tài này, người viết hướng tới mục đích:
- Khai thác, phát triển, tổng quát một số bài toán liên quan đến tỉ số đoạn thẳng và điểm cố định trong hình không gian bằng phương pháp véctơ.
- Giúp học sinh phân dạng bài tập, tìm mối liên hệ giữa các bài tập.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
- Đề tài tập trung nghiên cứu bài toán điểm cố định của hình không gian và các vấn đề liên quan.
- Phương pháp véctơ trong giải toán hình không gian.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
	Khi thực hiện đề tài này tôi đã sử dụng các phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp nghiên cứu lí luận: tìm kiếm, nghiên cứu các tài liệu.
- Phương pháp nghiên cứu theo phân loại các dạng bài tập: nghiên cứu các bài toán có cấu trúc tương tự.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.1.1. Định nghĩa véctơ.
	Véctơ là một đoạn thẳng có hướng, nghĩa là trong hai điểm mút của đoạn thẳng , đã chỉ rõ điểm nào là điểm đầu, điểm nào là điểm cuối. [1]
2.1.2. Các phép toán véctơ
Phép cộng véctơ.
Phép trừ véctơ.
Phép nhân véctơ với một số.
Tích vô hướng của hai véctơ.
2.1.3. Các quy tắc véctơ
Quy tắc ba điểm: 	.
Quy tắc hình bình hành: là hình bình hành khi đó: .
Với 3 điểm ta có phân tích: .
Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp khi đó: .
2.1.4. Một số quan hệ hình học và tính chất khác
Quan hệ thẳng hàng: ba điểm phân biệt thẳng hàng .
Quan hệ đồng phẳng: ba véctơ đồng phẳng khi và chỉ khi tồn tại cặp số sao cho với hai véctơ không cùng phương ta có .
Ba véctơ không đồng phẳng thì từ 
.
Bốn điểm đồng phẳng 
.
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
2.2.1.Thuận lợi
Kiến thức véctơ được trình bày khá kĩ ở lớp 10, học sinh đã được luyện tập nhiều dạng bài bằng phương pháp véctơ.
	So với phương pháp hình không gian tổng hợp thường phải đòi hỏi có tư duy cao, trí tưởng tượng và hình vẽ phức tạp thì nhiều bài toán hình không gian nếu giải bằng phương pháp véc tơ thì lời giải thường ngắn gọn, dễ hiểu và hình vẽ không phức tạp.
2.2.2. Khó khăn
	Đa số học sinh học yếu phần hình học đặc biệt là phần vec tơ, các e thường có tâm lý ngại học phần này, và thường khó nhận ra dấu hiệu sử dụng phương pháp véc tơ, cách áp dụng phương pháp này vào giải toán . Thực tế phần véc tơ trong không gian ở lớp 11 có thời lượng khá ít. Các bài toán trong sách giáo khoa chỉ dừng lại ở mức độ cơ bản và số lượng bài tập còn hạn chế . Học sinh khi học phần đông chỉ mong muốn giải được hoặc hiểu được cách giải có sẵn, chứ không đào sâu, trăn trở với bài toán đề khai thác, phát triển bài toán. 
2.3. Giải quyết vấn đề
Bài toán 1. (Trích đề thi chọn HSG tỉnh Thanh Hóa, năm học 2017-2018) 
Cho tứ diện có . Một mặt phẳng thay đổi luôn đi qua trọng tâm của tứ diện, cắt các cạnh lần lượt tại các điểm . Chứng minh rằng biểu thức có giá trị không đổi.
Lời giải:
Vì G là trọng tâm tứ diện SABC nên ta có :, với M là điểm tùy ý.
Áp dụng tính chất trên cho điểm ta có:
. 
Lại có . 
Do đó . 
Vì bốn điểm đồng phẳng nên phải có
Nhận xét: 
+) Học sinh nếu chưa từng tiếp cận với dạng toán này thì cũng khó để nhận ra là nên sử dụng phương pháp véctơ trong giải quyết bài toán. Tuy nhiên nếu được hướng dẫn về một số dấu hiệu lựa chọn phương pháp véctơ thì hướng giải đã rõ.
+) Dấu hiệu lựa chọn phương pháp véctơ: Biểu thức tỉ số đoạn thẳng. Tính chất véctơ của trọng tâm của tứ diện và bốn điểm đồng phẳng.
Các hướng phát triển bài toán
- Thay điểm là trọng tâm của tứ diện bằng một điểm đặc biệt khác, chẳng hạn là trọng tâm của tam giác khi đó ta có:
. 
Từ đó có thể tổng quát hóa Bài toán 1 (Bài toán 1.1).
 - Mặt phẳng thay đổi luôn chứa một đường thẳng cố định (Bài toán 1.2).
- Khai thác giá trị của để xây dựng bài toán cực trị trong không gian (Bài toán 1.3). 
 - Phát triển bài toán bằng cách thay giả thiết cho tứ diện bởi cho một hình không gian khác: hình chóp tứ giác, hình lăng trụ (Bài toán 1.4, Bài toán 1.5, Bài toán 1.6, Bài toán 1.7).
Bài toán 1.1: Cho tứ diện . Một mặt phẳng thay đổi luôn đi qua điểm cố định thỏa mãn và cắt các cạnh lần lượt tại các điểm . Chứng minh rằng biểu thức
 có giá trị không đổi.
Lời giải:
Đặt , .
Khi đó .
Suy ra: . 
Vì bốn điểm đồng phẳng nên phải có 
	.
Vậy . 	
Nhận xét: Từ Bài toán 1.1 giáo viên có thể hướng dẫn học sinh giải quyết các bài toán tương tự (tùy chọn điểm cố định) theo 2 bước sau:
Bước 1: Chọn bộ 3 véctơ không đồng phẳng và tìm biểu thức véctơ xác định điểm cố định.
Bước 2: Dựa vào điều kiện đồng phẳng để chứng minh hoặc tính giá trị của biểu thức. 
Bài toán 1.2. (Trích đề thi chọn HSG trường THPT Lê Lợi, năm 2018)
Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng và là tâm của đáy. Mặt phẳng thay đổi chứa cắt các đoạn thẳng , lần lượt tại , (, khác ). Chứng minh rằng : .
Lời giải: 
A
B
C
S
M
N
O
+ Điểm cố định thuộc mặt phẳng là tâm của tam giác đều nên 
.
+ Áp dụng Bài toán 1. 1 cho hình chóp, mặt phẳng thay đổi luôn đi qua điểm cố định thỏa mãn và cắt các cạnh lần lượt tại các điểm .
	+ Khi đó ta có . 
Vì bốn điểm đồng phẳng nên : 
 (đpcm).
Chú ý: Trên mặt phẳng, đường thẳng thay đổi và luôn đi qua thỏa mãn: . 
Vì thẳng hàng nên .
Như vậy kết quả trong mặt phẳng có thể mở rộng trong không gian và ngược lại có thể đặc biệt hóa bài toán trong không gian.
	Bài toán 1.3. Cho hình chóp tam giác có , , . Một mặt phẳng thay đổi luôn đi qua trọng tâm của tam giác , cắt các tia , , lần lượt tại , , . Giá trị nhỏ nhất của bằng?
	A. .	B. .
	C. . 	D. .
Lời giải: 
A
B
C
S
N
O
Gọi là trọng tâm của tam giác . Ta có 
.
Vì các điểm , , , đồng phẳng nên .
Áp dụng BĐT Bunhiacôpski, ta có: 
.
Đẳng thức xảy ra khi 
, , .
Vậy giá trị nhỏ nhất của bằng . Chọn D.
Nhận xét: Sử dụng kết quả của bài toán tổng quát Bài toán 1.1 kết hợp với các bất đẳng thức quen thuộc có thế sáng tạo ra một số bài toán cực trị khác (xem phần Bài tập rèn luyện ).
Có thể mở rộng bài toán tổng quát trên bằng cách thay hình chóp tam giác bằng hình chóp tứ giác, hình lăng trụ. Xem các bài toán sau đây. 
Bài toán 1.4. (Trích đề thi chọn HSG tỉnh Thanh Hóa 2018-2019)
Cho hình chóp , có đáy là hình bình hành tâm . Gọi là mặt phẳng không đi qua và cắt các cạnh lần lượt tại thỏa mãn . Tính tỉ số khi giá trị biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải:
Đặt với , khi đó: .
 Ta có: .
 (*)
với .
Vì 4 điểm đồng phẳng nên từ (*) ta có: 
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski ta có: 
,
 dấu ‘=’ khi .
Vậy .
Bài toán 1.5. Cho hình chóp , có đáy là hình bình hành tâm . Gọi là trung điểm , mặt phẳng chứa và cắt các cạnh lần lượt tại khác . Xác định vị trí của mặt phẳng để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải:
S
A
B
D
C
M
N
P
O
Đặt với , khi đó: .
 Ta có: 
 (*). 
Vì 4 điểm đồng phẳng nên từ (*) ta có: . 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 
, dấu ‘=’ khi .
Vậy mặt phẳng chứa và song song với . 
Bài toán 1.6. Cho hình chóp , có đáy là hình thang có . Gọi là mặt phẳng không đi qua và cắt các cạnh lần lượt tại thỏa mãn . Tính tỉ số khi giá trị biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.
A
B
D
C
S
M
N
P
Q
 Lời giải:
Đặt với , khi đó: .
 Ta có: 
.
 (*). 
Vì 4 điểm đồng phẳng nên từ (*) ta có: . 
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski ta có: 
, 
dấu ‘=’ xảy ra khi .
Vậy .
Bài toán 1.7. Cho hình hộp . Gọi là mặt phẳng thay đổi cắt các cạnh lần lượt tại . Chứng minh rằng 
 . 
A
B
C
D
N
M
Q
P
I
Lời giải: 
Mặt phẳng cắt các mặt bên theo các giao tuyến tương ứng là . 
Vì nên là hình bình hành.
Do đó ta có: 
 (vì )
 (vì )(đpcm).
Nhận xét: Các bài tập trên cho thấy nếu mặt phẳng thay đổi và luôn đi qua một điểm cố định, cắt các cạnh của một hình không gian thì ta luôn tìm được một biểu thức xác định liên quan đến độ dài các cạnh. Vậy điều ngược lại có đúng không? Các bài toán sau sẽ chỉ rõ điều này. 
Bài toán 2. Cho tứ diện . Các điểm theo thứ tự chuyển động trên các cạnh sao cho . Chứng minh rằng mặt phẳng luôn đi qua một điểm cố định.
A
B
C
S
I
G
Lời giải:
Đặt , .
Theo bài ra, ta có: 
+) . 
+) .
Giả sử là điểm cố định của mặt phẳng . Khi đó 4 điểm đồng phẳng nên ta có: 
 với . 
 . 
Mặt khác do điểm cố định nên tồn tại bộ 3 số không đổi sao cho:
 .
Từ , suy ra . 
Kết hợp với , ta có: 
 .
Vậy . Suy ra là trọng tâm của tứ diện .
Chứng tỏ mặt phẳng luôn đi qua một điểm cố định là trọng tâm của tứ diện .
Nhận xét: Có thể phát triển bài toán trên bằng cách thay đổi đẳng thức ở giả thiết. 
Bài toán 2.1. Cho tứ diện . Các điểm theo thứ tự chuyển động trên các tia sao cho . Chứng minh rằng mặt phẳng luôn đi qua một điểm cố định.
A
B
C
S
M
I
Lời giải:
Đặt , .
Theo bài ra, ta có: +) . 
	 	 +) .
Giả sử là điểm cố định của mặt phẳng . Khi đó 4 điểm đồng phẳng nên ta có: 
 với . 
 . 
Mặt khác do điểm cố định nên tồn tại bộ 3 số không đổi sao cho:
 .
Từ , suy ra . 
Kết hợp với , ta có: 
.
 .
Vậy (với là trung điểm của ). Suy ra là trung điểm của . Chứng tỏ mặt phẳng luôn đi qua một điểm cố định.
Nhận xét: Có thể tổng quát bài toán bằng cách thay biểu thức trong giả thiết của Bài toán 2 bởi một biểu thức tùy ý khác. Hơn nữa từ kết quả của Bài toán 2 và Bài toán 2.1 có thể dự đoán được điểm cố định của mặt phẳng. Từ đó có thể tổng quát hóa bài toán và giải quyết bài toán tổng quát theo cách ngắn gọn hơn.
Bài toán 2.2. Cho tứ diện . Các điểm theo thứ tự chuyển động trên các tia sao cho . Chứng minh rằng mặt phẳng luôn đi qua một điểm cố định.
Lời giải: 
Lấy điểm cố định thỏa mãn: . 
Ta sẽ chứng minh mặt phẳng đi qua điểm . 
Thật vậy, đặt , . 
Ta có: , .
Suy ra . 
Vì . Nên từ suy ra 4 điểm đồng phẳng.
Vậy mặt phẳng luôn đi qua điểm cố định.
Dưới đây là một số bài toán áp dụng bài toán tổng quát.
Bài toán 2.3. Cho hình chóp. Trên các cạnh lần lượt lấy các điểm di động sao cho 
( là số nguyên dương). Chứng minh rằng mặt phẳng luôn chứa một đường thẳng cố định.
Lời giải:
Từ giả thiết ta có: ; ; .
Suy ra ; .
Khi đó theo bài toán tổng quát Bài toán 2.2 ta có, mặt phẳng đi qua 2 điểm cố định thỏa mãn , .
Vậy mặt phẳng luôn chứa một đường thẳng cố định .
Bài toán 2.4.(Trích đề thi chọn HSG trường THPT Triệu Sơn 2, năm 2018) 
Cho hai nửa đường thẳng , chéo nhau. Hai điểm thay đổi lần lượt ở trên và sao cho (với là hai độ dài cho trước). Chứng minh rằng đường thẳng luôn cắt một đường thẳng cố định.
Lời giải :
Dựng tia , lấy trên sao cho .
Trên , 
đặt các đoạn , .
Khi đó ta có 
 . 
Khi đó theo Bài toán 2.2, ta có luôn đi qua điểm cố định thỏa mãn (hay là đỉnh thứ tư của hình bình hành ).
Xét đường thẳng đi qua và song song với , dễ thấy chính là đường thẳng cố định luôn cắt .
Bài tập rèn luyện.
Bài 1. (Trích đề thi thử trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn – lần 2 - 2019)
Cho tứ diện có . Một mặt phẳng thay đổi luôn đi qua trọng tâm của tứ diện, cắt các cạnh lần lượt tại các điểm . Giá trị lớn nhất của biểu thức là 
A. .	 	B. . 	C. . 	D. .
Đáp số: Chọn A
Bài 2. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi là trung điểm của cạnh . Mặt phẳng qua cắt các cạnh lần lượt tại . Tính giá trị của biểu thức .
 	A. .	B. . 	C. 2. 	D. .
Đáp số: Chọn B
Bài 3. Cho tứ diện có các cạnh đôi một vuông góc. là một điểm bất kì thuộc miền trong của tam giác ABC . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là 
 	A. .	 	B. . 	C. 2. 	D. 6.
Đáp số: Chọn C
Bài 4. Cho hình chóp, đáy là hình bình hành tâm . Gọi là điểm di động trên cạnh ( khác và khác ). Mặt phẳng thay đổi chứa và song song với , cắt lần lượt tại . Tính giá trị của biểu thức . 
 	A. .	 	B. . 	C. 2. 	D. 1.
Đáp số: Chọn D
 Bài 5. Cho hình chóp , mặt phẳng di động luôn cắt các cạnh , , lần lượt tại sao cho . Chứng minh mặt phẳng luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 6. (Trích đề thi chọn HSG trường THPT Triệu Sơn 1, năm 2018) 
Cho tứ diện có ba cạnh đôi một vuông góc với nhau tại Gọi là hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng và là điểm bất kỳ trong tam giác Chứng minh rằng
Bài 7. Cho hình hộp chữ nhật có tâm và . Mặt phẳng đi qua và cắt các tia tương ứng tại ba điểm phân biệt . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy rằng: sau khi được luyện tập hệ thống bài tập trên, học sinh đã biết vận dụng phương pháp linh hoạt vào các bài toán liên quan đến điểm cố định và các biểu thức tỉ số đoạn thẳng. Học sinh không còn tâm lý e ngại khi gặp các bài toán này nữa. Hầu hết các em còn biết vận dụng bài toán tổng quát để làm nhanh các bài trắc nghiệm.
Một hiệu quả nữa mà tôi nhận thấy là những học sinh của mình sau khi rèn luyện các bài toán trên đã hứng thú hơn với việc sử dụng phương pháp véctơ. Biết áp dụng trong giải quyết các bài tương tự và cả những dạng toán khác. Tuy nhiên với những học sinh do kiến thức còn hạn chế thì vẫn chưa thấy được điểm mạnh của phương pháp véc tơ và ý nghĩa của việc khai thác , phát triển bài toán. 
3. Kết luận, kiến nghị
3.1. Kết luận
Trên cơ sở tìm hiểu kĩ hai bài toán liên quan đến điểm cố định của hình không gian. Đề tài đã đưa ra được bài toán tổng quát áp dụng cho hình chóp tam giác và cách giải quyết bài toán tổng quát. Từ kết quả tổng quát hóa đề tài đã phát triển bài toán theo nhiều hướng khác nhau thông qua việc hệ thống hóa và sáng tạo mới một số bài toán. Nhờ đó học sinh đã hiểu được bản chất bài toán, có hứng thú với việc tìm tòi và sáng tạo khi giải toán.
Đề tài cho thấy phương pháp vectơ trong giải toán hình không gian là một phương pháp mạnh, giúp giải quyết nhanh chóng, rõ ràng, hiệu quả nhiều dạng bài tập khác nhau kể cả những bài tập ở mức vận dụng và vận dụng cao. Đề tài còn có thể mở rộng theo hướng tổng quát kết quả liên quan đến điểm cố định trên các hình chóp tứ giác, hình lăng trụ và sử dụng phương pháp vectơ để khai thác, phát triển các dạng toán khác của hình học không gian, như: bài toán xác định góc, khoảng cách, tỉ lệ các đoạn thẳng
Khi sâu chuỗi các các bài tập có nhiều nét tương đồng và hiểu rõ bản chất của bài toán thì có thể tổng quát, cũng như sáng tạo ra các bài toán mới một cách dễ dàng hơn. Phát triển và sáng tạo bài toán trong giải toán luôn đem lại cho người dạy và người học nhiều điều thú vị, tạo hứng thú và niềm say mê với hoạt động dạy và học nên cần được trau dồi thường xuyên. 
3.2. Kiến nghị
 Sở Giáo dục và đào tạo tổ chức các hội thảo Sáng kiến kinh nghiệm để các giáo viên có điều kiện trao đổi kinh nghiệm dạy học nói chung và cách khơi dạy đam mê tìm tòi sáng tạo trong học tập
Trên đây là kinh nghiệm nhỏ của tôi trong quá trình dạy học phương pháp véc tơ trong khai thác phát triển bài toán hình học không gian lớp 11 cho học sinh THPT trong các chuyên đề dạy học Toán, vì vậy không tránh khỏi còn có những thiếu sót.Tôi rất mong nhận được sự đánh giá góp ý của Hội đồng khoa học của ngành và các đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện và có tính ứng dụng thực tiễn hiệu quả.
XÁC NHẬN CỦA
THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 25 tháng 05 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của tôi viết, không sao chép nội dung của người khác.
Tác giả
Lưu Thị Thủy
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Nhiều tác giả, SGK Hình học 11 (Nâng cao).
[2]. Nhiều tác giả, SGK Hình học 11(Cơ bản).
[3]. Nhiều tác giả, SGK Hình học 10 (Nâng cao).
[4]. Nhiều tác giả, SGK hình học 10 (Cơ bản).
[5]. Nguyễn Anh Trường – Nguyễn Tấn Siêng , Chuyên đề giải toán hình học không gian, Nhà xuất bản tổng hợp Thành phố Hồ Chí Minh.
[6]. Đề thi thử THPT quốc gia của các trường THPT trên toàn quốc.
[7]. Nguồn Internet.
DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
TT
Tên đề tài SKKN
Cấp đánh giá xếp loại
(Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh...)
Kết quả đánh giá xếp loại
(A, B, hoặc C)
Năm học đánh giá xếp loại