Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên

 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
 -----------o0o-----------
Mã SKKN
.
MÔN TOÁN : PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
 NGHIỆM NGUYÊN
CẤP HỌC: TRUNG HỌC CƠ SỞ
 NĂM HỌC 2016-2017
 Phần thứ nhất: ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Ở chương trình toán 8, 9 học sinh đã được biết các bài toán về giải phương trình nghiệm nguyên. Hơn nữa phương trình nghiệm nguyên là một mảng rộng có rất nhiều trong các đề thi: Kiểm tra học kì (câu khó), học sinh giỏi ở các cấp, thi vào lớp 10 THPT, .
Qua quá trình thực tiễn giảng dạy tôi thấy học sinh còn yếu trong định hướng, hay bế tắc, lúng túng về cách xác định dạng toán, phương hướng giải và chưa có nhiều phương pháp giải hay thể hiện được tư duy sáng tạo nhiều. Lý do chủ yếu của các vấn đề trên là các em chưa có hệ thống phương pháp, chưa tiếp cận nhiều và rèn kỹ năng giải dạng toán đó.
Đứng trước thực trạng ấy, là một giáo viên được phân công công tác bồi dưỡng học sinh giỏi, học sinh có định hướng thi chuyên toán tôi thấy:
- Số tiết dành cho nội dung này còn rất ít. Số lượng bài tập phương trình nghiệm nguyên trong sách giáo khoa và sách bài tập hầu như không có, chủ yếu cũng chỉ là các bài tập ở mức độ dễ, còn các bài tập khai thác sâu nội dung này rất ít.
- Có nhiều giáo viên chỉ chú ý nêu nên một hướng giải các bài tập, hệ thống bài tập đưa ra còn rời rạc, chưa chú ý đến việc hướng dẫn học sinh nghiên cứu thêm về các bài tập ở dạng tương tự hóa, khái quát hóa và đặc biệt hóa để khai thác và phát triển bài toán gốc.
- Đa số học sinh sau khi học xong các em không tự bắt tay vào làm lại, suy ngẫm lời giải, việc đọc sách và tìm hiểu tài liệu của các em còn hạn chế.
- Phương trình nghiệm nguyên là chuyên đề rất rộng và khó việc xác định ranh giới dạy cho các em như thế nào để đáp ứng được yêu cầu ra đề thi học sinh giỏi các cấp, thi công lập THPT hoàn toàn phụ thuộc vào kiến thức, hệ thống phương pháp, kinh nghiệm của người thầy đặc biệt hơn nữa là lòng nhiệt tình, sự hy sinh công sức của các thầy, cô.
Để tìm lời giải đáp, tôi đã bắt tay vào viết sáng kiến “Phân loại và cách giải một số dạng phương trình nghiệm nguyên” nhằm giúp học sinh của mình nắm vững các phương pháp giải, từ đó phát hiện phương pháp giải phù hợp với từng bài cụ thể ở các dạng toán khác nhau.
*) Khả năng áp dụng sáng kiến.
	- Về phía học sinh: Khi được học về chủ đề "giải phương trình nghiệm nguyên" các em học sinh tự tin khi cho về dạng toán này các em có thể chủ động để giải được bài.
- Về phía giáo viên: Sau khi có kết quả học sinh giỏi, thi vào trường THPT các em đa số làm được dạng toán này. Do đó tôi tin vào hiệu quả của sáng kiến.
	- Về phía nhà trường: 
+ Tạo điều kiện, động viên giáo viên tích cực tham gia viết sáng kiến, đặc biệt những sáng kiến có chất lượng trong công tác mũi nhọn của nhà trường ‘‘bồi dưỡng học sinh giỏi’’
*) Lợi ích thiết thực của sáng kiến.
	- Học sinh có hứng thú học tập hơn, khi gặp dạng toán phương trình nghiệm nguyên các em đã được trang bị đầy đủ kiến thức nên các em không còn cảm giác sợ và bỏ mà tìm mọi cách để giải quyết thật tốt bài toán với phương án tối ưu nhất.
	- Rất nhiều học sinh đạt được điểm cao, tối đa trong các kỳ thi học sinh giỏi cũng như thi vào các trường THPT trong và ngoài tỉnh. Qua đó có nhà trường có nền tảng vững chắc trong công tác tuyển sinh các thế hệ học sinh tốt.
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Mục đích nghiên cứu là tạo ra được sự hứng thú say mê trong quá trình giảng dạy của thầy và học tập của trò. Kích thích , phát triển năng lực tư duy sáng tạo chủ động của học sinh qua quá trình học tập.Nhằm nâng cao chất lượng môn Toán, đặc biệt là chất lượng bồi dưỡng học sinh giỏi
III.ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU 
Đối tượng nghiên cứu là các dạng phương trình nghiệm nguyên ở THCS
IV.ĐỐI TƯỢNG KHẢO SÁT, THỰC NGHIỆM
Đối tượng khảo sát,thực nghiệm là học sinh lớp 8 và nhóm học sinh giỏi toán 9 .
	V.PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Sử dụng các phương pháp nghiên cứu bao gồm:
-Phương pháp quan sát
-Phương pháp đàmthoại
-Phương pháp phân tích
-Phương pháp tổng hợp
-Phương pháp khái quát hóa
-Phương pháp khảo sát thực nghiệm
VI.PHẠM VI VÀ KẾ HOẠCH NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI
1.Phạm vi nghiên cứu của đề tài: Chương trình sách giáo khoa và một số tài liệu khác
2.Thời gian thực hiện: Thực hiện trong năm học 2015-2016 và 2016-2017
Phần thứ hai: NHỮNG BIỆN PHÁP ĐỔI MỚI ĐỂ GIẢI QUYẾT VÁN ĐỀ
1.Cơ sở lý luận
Xuất phát từ thực tế nhiều năm liền tôi tham gia công tác bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi và thi vào THPT xuất hiện dạng toán về giải phương trình nghiệm nguyên với xác suất cao. Nếu học sinh không được trang bị các phương pháp, khi học sinh đứng trước một bài toán, phải làm thế nào để định hướng được cho các em cách giải bài toán đó hợp lí nhất, cách để các em phát hiện được ra một bài toán có thể giải quyết bằng phương pháp phương trình nghiệm nguyên hay không. Hơn nữa trong phương trình nghiệm nguyên bao gồm rất nhiều phương pháp, phương pháp nào giải quyết được phương pháp nào không, lựa chọn phương pháp nào để có lời giải ngắn gọn nhất, đặc biệt nên ưu tiên phương pháp mà mình có thể trình bày bài một cách có hiệu quả nhất. Đó chính là nội dung mà trong sáng kiến này tôi muốn truyền đạt đến bạn đọc. 
	Theo xu thế của sự hội nhập, phát triển đặc biệt là ngành công nghệ ứng dụng ngày càng khẳng định được vị thế trên trường quốc tế là đào tạo ra lớp các thế hệ có năng lực tư duy sáng tạo, năng lực tự học, tự giải quyết vấn đề, năng lực tự quản lý, năng lực giao tiếp, năng lực hợp tác, năng lực tính toán ..., từ đó tác động đến tình cảm và đem lại niềm vui cho học sinh tạo hứng thú trong học tập khẳng định bản thân, góp phần công sức nhỏ bé xây dựng một xã hội văn minh, giàu đẹp. Với cương vị là một giáo viên làm chuyên môn tôi mạnh dạn viết sáng kiến phương trình nghiệm nguyên trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi. Bằng năng lực bản thân, sự học hỏi đồng nghiệp và sự tâm huyết của bản thân để giúp các em được trang bị sâu và rộng hơn mảng kiến thức hay và khó đáp ứng được yêu cầu thi vào các trường THPT, chuyên ngày càng có sự đổi mới và mang tính thiết thực. 
*) Những đổi mới trong sáng kiến:
 Sáng kiến phân loại chi tiết, có cách nhận dạng, cung cấp các định lí, bài toán cơ bản để các em áp dụng một cách tự nhiên dễ hiểu.
Thông thường khi dạy về bài toán "giải phương trình nghiệm nguyên" giáo viên thường chỉ dạy một vài bài cơ bản, không có phương pháp làm cụ thể. Nên khi học sinh gặp phải các đề thi học sinh giỏi huyện, tỉnh và đề thi vào trường chuyên thường là bỏ hoặc làm được còn ngộ nhận vì kiến thức phương pháp giải dạng toán còn hạn chế.
	- Qua quá trình giảng dạy, nghiên cứu và áp dụng sáng kiến tôi thấy học sinh đã có những tiến bộ rõ rệt, khi giáo viên đưa ra một số đề thi của những năm trước các em nắm được các phương pháp giải, do đó đã vận dụng sáng tạo kiến thức được học và tìm được lời giải chính xác và ngắn gọn. 
 Để làm được điều đó giáo viên dạy học và kiểm tra, đánh giá kết quả học tập theo định hướng phát triển năng lực của học sinh cần bám sát về dạy học theo chủ đề, cụ thể ‘‘Sáng kiến giải phương trình nghiệm nguyên trong dạy học bồi dưỡng học sinh giỏi’’ dạy học theo chủ đề được thiết kế nhằm trang bị cho học sinh hệ thống lý thuyết, biên soạn các câu hỏi, các dạng bài tập phong phú từ dễ đến khó tạo điều kiện cho các em dễ dàng trong việc tiếp cận. Sau mỗi dạng bài của phương trình nghiệm nguyên đều có bài kiểm tra đánh giá năng lực của học sinh, trong đó tôi chú trọng đến đánh giá kỹ năng thực hiện của học sinh. 
- Tôi thiết kế sáng kiến chủ đề ‘‘Giải phương trình nghiệm nguyên ’’ dưới dạng các tiết học theo cấu trúc của một bài học mới:
Hoạt động 1: Hoạt động trải nghiệm
Hoạt động 2: Hoạt động hình thành kiến thức, phương pháp
Hoạt động 3: Hoạt động thực hành
Hoạt động 4: Hoạt động bổ sung.
2. Thực trạng của vấn đề
Để đánh giá được khả năng của các em đối với dạng toán trên và có phương án tối ưu truyền đạt tới học sinh, tôi đã ra một đề toán cho 20 em học sinh khá giỏi lớp 9 năm học 2015- 2016 đến nay.
Bài 1: ( 6 điểm ) Tìm x, y biết
 	a) x + 2xy + y = 3, với x > y
 	b) 
Bài 2: (4 điểm) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: x2 – 5y2 = 0
 Kết quả thu được như sau: 
 Dưới điểm 5
 Điểm 5 – 8
 Điểm 8 – 10
SL
%
SL
%
SL
 %
 15 
75
 5
25
0
 0
+ Qua việc kiểm tra đánh giá khi học sinh chưa được áp dụng sáng kiến vào quá trình giảng dạy tôi thấy học sinh không có phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên đạt hiệu quả. Lời giải thường dài dòng, không chính xác, hiểu sai vấn đề đôi khi còn ngộ nhận. Cũng với những bài toán trên, nếu học sinh được áp dụng sáng kiến vào quá trình giảng dạy đã trang bị kỹ phần lý thuyết và các phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên thì chắc chắn bài làm của các em sẽ có hiệu quả cao hơn rất nhiều.
+ Về phía giáo viên một số người cho rằng chỉ cần dạy cho học sinh thi vào THPT đạt được điểm 8 là hoàn thành nhiệm vụ, chính vì suy nghĩ đó nên một số giáo viên chưa chịu tìm tòi, suy nghĩ đào sâu kiến thức để trang bị cho các em một mảng kiến thức của phần chuyên đề trong đó phải kể đến phương trình nghiệm nguyên để các em đạt được kết quả cao hơn trong các kỳ thi học sinh giỏi, chuyên, THPT từ đó mở ra cho các em nhiều cơ hội hơn trong quá trình học tập; cũng như lòng say mê nghiên cứu khoa học muốn được tìm tòi, sáng tạo góp phần xây dựng đất nước ngày một phồn vinh và phát triển.
3. Giải pháp, biện pháp thực hiện
3.1. Nhắc lại định nghĩa, định lí, tính chất và kiến thức liên quan giải phương trình nghiệm nguyên.
 Học sinh cần được trang bị thật tốt và hệ thống kiến thức sau:
1. Định nghĩa phép chia hết:
 a, b Z (b 0) q, r Z sao cho a = bq + r với 0 r < 
 Nếu r = 0 a b 
Nếu r0 a b
2. Một số tính chất chia hết: a, b, c, d Z
Nếu a 0 thì a a và 0 a
Nếu a b và b c a c
Nếu a b và b a a = ± b
Nếu a b và a c a BCNN(a,b)
Nếu a b , a c và (b,c) = 1 a (b,c)
Nếu a b ac b ( c 
3. Một số định lí thường dùng.
 Nếu a c và b c (a ± b) c
Nếu a c và b d ab cd
Nếu a b an bn ( n nguyên dương)
* Một số hệ quả áp dụng:
+ a, b Z và n nguyên dương ta có (an – bn)  (a – b)
+ a, b Z và n chẵn (n nguyên dương) ta có (an – bn)  (a + b)
+ a, b Z và n lẻ (n nguyên dương) ta có (an + bn)  (a + b)
4. Các dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 8, 9, 11....
5. Thuật toán Ơ-clit mở rộng. (Tìm ước chung lớn nhất của 2 số a, b)
6. Phương trình ax2 + bx + c = 0
 Nếu có nghiệm nguyên là x0 thì c x0
7. Số 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất.
8. Phương trình được đưa về dạng f(x).g(x) = k với f(x) và g(x) là các đa thức hệ số nguyên. Ta phân tích k ra thừa số nguyên tố rồi giải các hệ phương trình.
 với m.n = k.
9. Phương trình đối xứng các ẩn của x, y, z.....Khi tìm nghiệm nguyên dương không làm mất tính tổng quát ta có thể giả sử 1 £ x £ y £ z £.....
10. Sử dụng tính chất về chia hết của số chính phương 
 Số chính phương không tận cùng bằng 2, 3, 7, 8. 
 Số chính phương chia hết cho số nguyên tố p thì chia hết cho p2. 
 Số chính phương khi chia cho 3, cho 4 chỉ có thể dư 0 hoặc 1. 
 Số chính phương chia cho 5, cho 8 thì số dư chỉ có thể là 0; 1 hoặc 4. 
 Số chính phương lẻ chia cho 4 hoặc 8 thì số dư đều là 1. 
 Lập phương của một số nguyên chia cho 9 chỉ có thể dư 0; 1 hoặc 8. 
 Không tồn tại số chính phương nằm giữa hai số chính phương liên tiếp.
11. Bất đẳng thức Cô - si: 
Với 
 Đẳng thức xảy ra a1 = a2 = a3 =......=an
3.2. Khai thác các phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên 
Có rất nhiều dạng phương trình nghiệm nguyên để giải được phương trình nghiệm nguyên đòi hỏi người học phải khai thác tốt kiến thức áp dụng vào việc giải từng dạng của phương trình nghiệm nguyên bằng phương án tối ưu nhất thể hiện thật tốt tư duy sáng tạo của các em.
3.2.1- Biến đổi phương trình đưa được về dạng ax + b = 0 (a, b Z)
Phương pháp giải:
+ Giải phương trình
+ Tìm nghiệm nguyên (xZ).
Ví dụ 1 : Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn đẳng thức:
y(x – 1) = x2 + 2	(1)
(Đề thi tuyển sinh vào 10 trường Đại học Quốc gia 2000-2001)
* Phương pháp giải:
+ Trường hợp 1: Nếu thì phương trình (1) trở thành:
0y = 3 (vô nghiệm)
+ Trường hợp 2: Nếu thì phương trình (1) trở thành:
Với , để phương trình (1) có nghiệm nguyên (x, y) thì 
Hay x – 1 là ước của 3, ta có:
x - 1
- 3
- 1
1
3
x
- 2
0
2
4
y
- 2
- 2
6
6
* Nhận xét: Coi (1) là phương trình ẩn y (x tham số) thì phương trình (1) đưa được về dạng: ax = - b. Để giải phương trình (1), ta lưu ý trường hợp 2 phương trình (1) chỉ có nghiệm nguyên 
Việc giải phương trình tìm x, y không còn là vấn đề khó khăn đối với học sinh khá, giỏi nữa.
Khai thác bài toán trong ví dụ 1 nếu phương trình nhận được là phương trình bậc hai khuyết bậc 1 (chứa tham số) để các em khai thác sâu kiến thức hơn nữa:
Ví dụ 2: Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn đẳng thức:
	(y + 2)x2 + 1 = y2	(2)
* Phương pháp giải :
	Xét phương trình (2) 
+ Trường hợp 1: Nếu y = - 2 thì phương trình (2) có dạng: 
	0x2 = 3 (phương trình vô nghiệm)
	+ Trường hợp 2: Nếu thì phương trình (2) có dạng:
Để phương trình (2) có nghiệm nguyên (x, y) thì điều kiện cần , ta có:
y + 2
- 3
- 1
1
3
Y
- 5
- 3
- 1
1
x2
- 8
- 4
0
0
X
0
0
Vậy nghiệm nguyên của phương trình (2): (x, y) 
* Nhận xét: Coi phương trình (2) là phương bậc hai ấn x và khuyết bậc một (y đóng vai trò là tham số), nên phương pháp giải tương tự ví dụ 1 nếu đặt: x2 = a do đó để tìm x các em tìm x2 không âm (trường hợp 2). Qua đó xét thấy nếu phát hiện ra được dạng cơ bản của phương trình thì việc áp dụng phương pháp giải chỉ còn là rèn kỹ năng trình bày bài làm cho các em.
Ví dụ 3: Tìm m N để phương trình (2m + 1)x = 4m3 – 4m2 – m + 7 có nghiệm nguyên.
* Phương pháp giải : 
Xét phương trình: (2m + 1)x = 4m3 – 4m2 – m + 1 (1)
Vì m N nên 2m + 1 , do đó phương trình (1) có nghiệm:
Có 2m2 – 3m + 1 Z với nên để x Z thì 
Vì m N nên giải phương trình 2m + 1 = 1 hoặc 2m + 1 = 7
Vậy m {0; 3} thì phương trình (1) có nghiệm nguyên.
* Nhận xét: Với m N phương trình (1) có nghiệm , thực hiện phép chia đa thức một biến đã sắp xếp . Do đó để tìm giá trị x nguyên lại dẫn về giải phương trình tìm m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
3.2.2 Ứng dụng của phương trình bậc hai trong tìm nghiệm nguyên: 
* Phương pháp giải: Tương tự phương pháp 4.2.1
*Ví dụ 1: Tìm m N để phương trình:
 có 2 nghiệm nguyên.
* Phương pháp giải: 
Xét phương trình: (1)
+ Với m = 0 phương trình (1) không có 2 nghiệm nguyên
+ Với m 0 phương trình (1), có:
Vì m N nên (3m - 2)2 là số chính phương nên phương (1) có hai nghiệm phân biệt 
 - Để phương trình có 2 nghiệm nguyên thì (*)
Vì m N m = 1 hoặc m = 2 thỏa mãn điều kiện (*).
* Nhận xét: - Khi đưa ra ví dụ 1 hầu hết các em biến đổi phương trình (1) về dạng bậc một với m là ẩn (x là tham số) mx(x + 3) = - 2(x + 3) và giải rất tốt. 
- Còn khi khai thác bằng phương pháp 4.2.2 một ứng dụng của phương trình bậc hai ẩn x (m tham số) các em thấy được việc định hướng tư duy cần được đào sâu suy nghĩ giúp các em có sự tìm tòi, khai thác sâu kiến thức. 
	Biết cách phân tích đề bài sẽ giúp các em tiếp cận bài toán theo đúng hướng và có nhiều sáng tạo trong giải toán cụ thể như qua ví dụ sau:
*Ví dụ 2: Tìm a N để phương trình có hai nghiệm nguyên không lớn hơn 8
* Phương pháp giải: 
Xét phương trình: x2 - (4a + 1)x + 4a2 + 2a = 0 (1)
Có ( > 0)
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: 
Ta có: 2a + 1 > 2a với 
Để phương trình có 2 nghiệm nguyên không lớn hơn 8 thì:
2a + 1 < 8 
Vậy a N nên a {0; 1; 2; 3} thì phương trình có hai nghiệm nguyên không lớn hơn 8.
* Nhận xét: Đây là phương trình bậc hai ẩn x (a tham số). Tính giá trị của để kiểm tra ngay được số nghiệm của phương trình (1), sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai tìm được x = 2a hoặc x = 2a + 1. Để cả hai nghiệm này là hai nghiệm nguyên không lớn hơn 8, xét thấy 2a < 2a +1 nên bài toán chỉ còn lại một trường hợp tìm a N để 2a < 8 (tránh được việc chia bài toán thành nhiều trường hợp lỗi học sinh hay mắc phải tốn quá nhiều thời gian và công sức trong giải toán).
Qua việc giải bài toán trên các em lại rút ra thêm được một ứng dụng lý thú nữa việc giải phương trình bậc hai tìm nghiệm nguyên.
Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 – (y + 5)x + 5y + 2 = 0 (3)
(Thi thử vào 10 của một huyện năm 2014-2015)
* Phương pháp giải
	Xét phương trình: x2 – (y + 5)x + 5y + 2 = 0
	x2 – (y + 5)x + 5y + 2 = 0 (y là tham số)
 Giả sử phương trình bậc 2 có 2 nghiệm x1, x2 
 Theo định lý Viet, ta có : 
Þ 5x1 + 5x2 – x1x2 = 23
Û (x1 - 5)(x2 - 5) = 2 mà 2 = 1.2 = (-1).(-2)
Þ x1 + x2 = 13 hoặc x1 + x2 = 7 Þ y = 8 hoặc y = 2
Thay vào phương trình (3) ta tìm được các cặp số (7; 8); (6; 8); (4; 2); (3; 2) là các nghiệm nguyên của phương trình.
* Nhận xét: Trong lời giải không thấy tính giá trị của biểu thức mà dựa vào yêu cầu của bài toán tìm nghiệm nguyên của phương trình nên đã giả sử phương trình có nghiệm nguyên áp dụng hệ thức vi – ét có mối quan hệ của 2 nghiệm từ đó dẫn đến phương trình hệ quả biến đổi về dạng phương trình tích tìm được các nghiệm nguyên. Chú ý rằng khi giả sử phương trình có nghiệm và giải phương trình hệ quả tìm ra được giá trị nguyên x, y mới chỉ dừng lại ở điều kiện cần cho nên phải thay x, y tìm được vào phương trình đã cho (điều kiện đủ) nếu thỏa mãn mới được kết luận nghiệm nguyên của phương trình.
+ Hoặc sau khi tìm giá trị y kiểm tra qua điều kiện:S2 
 Haythỏa mãn rồi kết luận nghiệm phương trình (3)
Ví dụ 4: Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn (1)
(Đề thi chuyên toán Nguyễn Trãi 2013-2014)
* Phương pháp giải:
Phương trình (1) 
Tồn tại x 
Do y là số nguyên nên 
Vậy các cặp số nguyên cần tìm là S = {}
 Khai thác tốt ứng dụng của phương trình bậc hai là chìa khóa vàng trong việc 
tìm lời giải cho phương trình nghiệm nguyên.
Ví dụ 5: Tìm m nguyên để phương trình sau có ít nhất một nghiệm nguyên: 
 (4) 
(Đề thi chuyên toán Nguyễn Trãi 2009-2010)
* Phương pháp giải:
Xét phương trình: (4)
Điều kiện để phương trình có nghiệm: 
. Vì (m - 2) > (m - 3) nên: và và 
 m = 2 hoặc m = 3.
+ Trường hợp 1: Khi m = 2 = 0x = -1 (thỏa mãn)
+ Trường hợp 2: Khi m = 3 = 0 x = - 1,5 (loại).
Vậy m = 2 phương trình (4) có ít nhất một nghiệm nguyên
* Nhận xét: Phương trình (1) là phương trình bậc hai ẩn x (m là tham số), điều
 kiện cần để phương trình (1) có nghiệm : (tìm tập giá trị của f(m)).
 Với m tìm được thay vào phương trình (1) (điều kiện đủ) để kiểm tra rồi kết
 luận nghiệm cho bài toán
3.2.3 – Khai thác phân tích đa thức thành nhân tử đưa dạng phương trình tích, tìm nghiệm nguyên.
Phương pháp: - Đưa phương trình về dạng f1(x, y).f2(x, y)...fn(x, y) = a1a2...an
 - Xét các trường hợp xảy ra nghiệm nguyên của phương trình
Ví dụ 1: Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình xy – 4x = 35 – 5y (1)
* Phương pháp giải: 
Xét phương trình xy – 4x = 35 – 5y 	(1)
Vì x, y nên x + 5 
Mặt khác, theo phương trình (1’) x + 5 phải là ước tự nhiên của 15, ta có: 
 hoặc hoặc 
Vậy phương trình (1) có nghiệm nguyên (x, y) 
* Nhận xét: Dựa tính chất của x, y nên x + 5 nên để giải phương trình (1’) chỉ xét riêng 2 trường hợp là đủ. Cần chú ý tìm đủ các ước của 15 và dùng phương pháp loại trừ để xét.
Ví dụ 2: Tìm số nguyên x, sao cho : với p là số nguyên tố.
* Phương pháp giải: 
Theo bài ra: 
mà x, (x + 1) là số nguyên liên tiếp nên là số chẵn
 p là số chẵn. 
Mặt khác p là số nguyên tố nên p = 2 
 x = 1 hoặc x = - 2 (thỏa mãn).
* Nhận xét: Phát hiện ra được tính chất của số nguyên tố p là tích của hai số nguyên liên tiếp do đó p là số chẵn nên phát hiện ngay p = 2. Với p = 2 mới là điều kiện cần phải thay trở lại phương trình để giải tìm x thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x + 2xy + y = 3, với x > y
(Đề thi HSG lớp 9 huyện Lâm Thao – Phú Thọ 2009-2010)
* Phương pháp giải: 
Ta có: x + 2xy + y = 3 
Vì x > y nên 2x + 1 > 2y +1. Với x, y là các số nguyên và 7 là số số nguyên tố, nên: 7 = 7.1 = (-1).(-7) ta được:
 hoặc 
Từ đó tìm được hai cặp nghiệm (x, y) 
* Nhận xét: Ở cách giải này, chúng ta đã linh hoạt đưa được phương trình đã