Sáng kiến kinh nghiệm Phát triển tư duy học sinh thông qua dạy học ứng dụng những hằng đẳng thức đáng nhớ vào giải toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC ỨNG DỤNG NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ VÀO GIẢI TOÁN
Môn: Toán
Cấp học: Trung học Cơ sở
Tên tác giả: Đặng Thị Hương
Đơn vị công tác: Trường THCS Thái Thịnh
Chức vụ: Giáo viên
NĂM HỌC 2019 – 2020
PHẦN MỞ ĐẦU
Lí do chọn đề tài
Môn toán là môn khoa học có tính thực tiễn cao. Nó ảnh hưởng lớn đến đời sống con người, nó ảnh hưởng đến các môn khoa học khác. Trong thời đại ngày nay khi nền Công Nghệ phát triển như vũ bão thì môn toán trở nên cấp thiết hơn bao giờ hết. Chính vì những lí do đó mà ngành giáo dục đã đặt ra mục tiêu cho môn toán trong trường THCS là:
*Về kiến thức:
Cung cấp cho học sinh những kiến thức về số (từ số tự nhiên đến số thực). Về các biểu thức đại số, về phương trình bậc nhất, bậc hai, về hệ phương trình, về bất phương trình bậc nhất một ẩn, về tương quan hàm số, về một số dạng hàm số đơn giản và đồ thị của hàm số.
Một số hiểu biết ban đầu về thống kê.
Những kiến thức mở đầu về hình học mặt phẳng, quan hệ bằng nhau và quan hệ đồng dạng giữa hai hình phẳng, một số yếu tố của lượng giác, một số vật thể trong không gian.
Giúp học sinh ban đầu lĩnh hội được và càng được đào sâu ở các lớp cuối cấp THCS về một số phương pháp giải Toán như: Dự đoán và chứng minh; quy nạp và suy diễn; phân tích và tổng hợp..
*Về kỹ năng:
Hình thành và rèn luyện các kỹ năng tính toán và sử dụng bảng số, máy tính bỏ túi; thực hiện các phép biến đổi các biểu thức; giải phương trình và bất phương trình bậc nhất một ẩn, giải bất phương trình bậc nhất hai ẩn; vẽ hình, đo đạc, ước lượng. Bước đầu hình thành khả năng vận dụng kiến thức, tri thức toán học vào trong đời sống và các môn khoa học khác.
*Về thái độ:
Hình thành cho học sinh khả năng quan sát, dự đoán, phát triển trí tưởng tượng không gian, khả năng suy luận logic, khả năng sử dụng ngôn ngữ chính xác, bồi dưỡng các phẩm chất của tư duy linh hoạt, độc lập sáng tạo; bước đầu hình thành thói quen tự học, diễn đạt chính xác và sáng sủa ý tưởng của mình, hiểu được ý tưởng của người khác. Góp phần hình thành các phẩm chất lao động khoa học và cần thiết của người lao động trong thời đại mới.
1/15
Để thực hiện những mục tiêu trên thì đòi hỏi những người trong cuộc phải nỗ lực, cố gắng không ngừng, phải tìm ra cho mình một phương pháp làm việc tối ưu và hiệu quả. Qua quá trình dạy toán, tôi thấy rằng những HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ theo suốt quá trình học toán của học sinh lớp 8 và các lớp sau đó. Các hằng đẳng thức đáng nhớ được ứng dụng ở rất nhiều thể loại toán khác nhau như thực hiện phép tính, phân tích đa thức thành nhân tử, chứng minh đẳng thức, chứng minh bất đẳng thức, tìm cực trị,
Chính vì những lý do đó mà tôi chọn chủ đề “Phát triển tư duy học sinh thông qua dạy học ứng dụng những Hằng đẳng thức đáng nhớ vào giải toán” nhằm giúp thầy và trò hoàn thành mục tiêu mà ngành giáo dục đã đặt ra.
Mục đích nghiên cứu:
Rèn cho học sinh có kỹ năng về hoạt động trí tuệ để có cơ sở tiếp thu dễ dàng các chương học sau, các môn học khác và ở các lớp học sau nhằm mở rộng khả năng áp dụng kiến thức vào thực tế.
Bồi dưỡng cho học sinh các kỹ năng, kỹ xảo và thói quen giải các bài tập liên quan.
Giúp học sinh phát triển tư duy trừu tượng, rèn luyện cho học sinh khả năng độc lập suy nghĩ, sáng tạo và khả năng suy luận, đồng thời góp phần hình thành và củng cố phẩm chất đạo đức thẩm mỹ.
Phương pháp nghiên cứu:
* Các phương pháp nghiên cứu lý thuyết
Phương pháp phân tích và tổng hợp lý thuyết Phương pháp phân loại và hệ thống hóa lý thuyết Phương pháp giả thuyết
**Các phương pháp nghiên cứu thực tiễn Phương pháp quan sát khoa học Phương pháp điều tra
Phương pháp thực nghiệm khoa học
Phương pháp phân tích tổng kết kinh nghiệm Phương pháp chuyên gia.
Thời gian, địa điểm:
- Thời gian: Từ năm học 2017 – 2018; 2018 – 2019 đến năm học 2019 – 2020
Địa điểm: Trường THCS Thái Thịnh, quận Đống Đa, Hà Nội
Đóng góp mới về lý luận
Cơ sở về lý luận:
Trên thực tế sau khi học xong những hằng đẳng thức đáng nhớ đã có nhiều học sinh quên đi những hằng đẳng thức đáng nhớ và điều này thường rơi vào những học sinh chưa chăm học, có tính ỷ lại cao. Một vấn đề đặt ra cho người giáo viên là làm thế nào để giúp học sinh ghi nhớ những hằng đẳng thức đáng nhớ một cách có hệ thống không máy móc, học vẹt. Qua nhiều năm dạy toán 8 – 9, tôi thấy để khắc phục được điều đó thì việc thực hành giải bài tập toán đóng vai trò quan trọng, tích cực, giúp tạo ra được hứng thú cho những học sinh vốn ngại học.
Thông qua việc giải bài tập “Ứng dụng những hằng đẳng thức”, tôi sâu chuỗi, hệ thống kiến thức, khắc sâu, ghi nhớ những hằng đẳng thức đáng nhớ, từ đó giúp các em có động lực để tìm tòi, nghiên cứu các vấn đề liên quan.
Thực tiễn:
Qua quá trình học môn toán nhiều năm, tôi thấy việc học môn đại số của học sinh là rất khó khăn. Đặc biệt, việc ghi nhớ 7 hằng đẳng thức đáng nhớ, các em không biết nên bắt đầu từ đâu. Việc phân loại các hằng đẳng thức không phải là nhiệm vụ dễ dàng. Chính những khó khăn đó đã ảnh hưởng không nhỏ đến chất lượng học môn toán nói chung, môn đại số nói riêng. Các em lơ là trong việc học trên lớp cũng như chuẩn bị bài ở nhà. Cụ thể, theo kết quả điều tra, một số lớp trong trường cuối học kỳ I năm 2016 – 2017; 2017 – 2018; 2018 - 2019 thu được kết quả như sau:
Làm bài tập ở nhà:
Qua quá trình kiểm tra trực tiếp với khoảng 50 học sinh trong quá giảng dạy tôi thu được kết quả như sau:
Tự giải: 58%
Trao đổi với bạn bè hoặc với mọi người xung quanh để tìm hướng giải: 12%
Chép từ sách giải hoặc chép từ mạng xã hội: 22%
Chép từ bài của bạn: 18%
Chuẩn bị dụng cụ học tập (sách, vở, sách bài tập, máy tính,)
Đầy đủ: 70%	- Còn thiếu: 30%
Học sinh hứng thú môn học đại số:
Hứng thú: 55%	- Bình thường: 31%	- Không thích: 14%
PHẦN NỘI DUNG
Ngoài việc dạy cho học sinh hiểu và biết cách xây dựng những hằng đẳng thức đáng nhớ, cách ghi nhớ, phân biệt các hằng đẳng thức, biết áp dụng hằng đẳng thức để tính nhanh, tính nhẩm, biết vận dụng hằng đẳng thức theo hai chiều người giáo
viên phải rèn cho học sinh khả năng quan sát, nhận xét để áp dụng hằng đẳng thức một cách hợp lý. Để làm được điều đó sau mỗi giờ học giáo viên phải giúp học sinh tự kiểm tra, hệ thống, diễn giải, khám phá, nêu ra vấn đề và tìm hướng giải quyết vấn đề, từ đó học sinh rút ra được kinh nghiệm học hiệu quả sau mỗi bài học.
Tổng quan:
Nhờ có hằng đẳng thức đáng nhớ giúp ta giải quyết được một số dạng bài tập sau:
Nhóm bài tập ứng dụng hằng đẳng thức để thực hiện phép tính
Nhóm bài tập ứng dụng hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức, tính giá trị biểu thức
Nhóm bài tập ứng dụng hằng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử
Nhóm bài tập ứng dụng hằng đẳng thức để chia đa thức cho đa thức
Nhóm bài tập ứng dụng hằng đẳng thức để hỗ trợ việc thực hiện phép tính về phân thức
Nhóm bài tập ứng dụng hằng đẳng thức để giải phương trình và bất phương trình một ẩn
Nhóm bài tập ứng dụng hằng đẳng thức để chứng minh đẳng thức
Nhóm bài tập ứng dụng hằng đẳng thức để chứng minh bất đẳng thức
Nhóm bài tập ứng dụng hằng đẳng thức để tìm cực trị
Nhóm bài tập ứng dụng hằng đẳng thức để chứng minh tính chia hết, không chia hết
Nhóm bài tập ứng dụng hằng đẳng thức để giải phương trình nghiệm nguyên Thông qua việc dạy các ứng dụng trên nhằm phát triển tư duy của học sinh.
Nội dung vấn đề nghiên cứu
Các kiến thức cần nhớ:
1.(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 2.(a - b)2 = a2 - 2ab + b2 3.a2 - b2 = (a + b)(a - b)
4.(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
5.(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 6.a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2 ) 7.a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2 )
Ngoài ra, khi dạy cho học sinh khá, giỏi, giáo viên cần cung cấp thêm các hằng đẳng thức sau:
Bằng phép nhân đa thức, ta chứng minh được các hằng đẳng thức sau:
1.an - bn = (a - b)(an-1 + an-2b + ... + abn-2 + bn-1) 2.an + bn = (a + b)(an-1 - an-2b +... + abn-2 - bn-1)
với mọi số n nguyên dương với mọi số nguyên dương lẻ n
Chẳng hạn:
a5 - b5 = (a - b)(a4 + a3b +... + ab3 + b4 )
a5 + b5 = (a + b)(a4 - a3b +... + ab3 - b4 )
3. Nhị thức Niu-tơn (Newton)
n	n	n	n
(a + b)n = an + C1 (a + b)n = an + C1an-1b + Cn-1b + 	Cn-1abn-1 + bn
Với CK = n(n -1)(n - 2)....(n - k +1) (k = 1, 2,..., n -1) ( CK gọi là số tổ hợp chập k của n
n
phân tử)
1.2.3...k	n
Ví dụ: (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 ,
(a - b)5 = a5 - 5a4b +10a3b2 -10a2b3 + 5ab4 - b5
Áp dụng các hằng đẳng thức trên và tính chia hết ta có:
an - bn chia hết cho ( với a ¹ b và n nguyên dương );
a2n+1 chia hết cho a + b ; a2n - b2n chia hết cho a + b
Nhóm bài tập áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện phép tính. Phương pháp giải: Đưa về 1 trong 7 hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện phép tính Ví dụ 1.1. Tính
a) (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca
b) (2x - y)(4x2 + 2xy + y2 ) = (2x)3 - y3 = 8y3 - y3
c) (2x - y )(4x2 + 2xy + y2 ) = 8x3 - y3
Ví dụ 1.2. Thực hiện phép tính:
1+ 2.36	-
1+ 36
-	53
=	1+ 2.36	-
1+ 36	-	53
= 1+ 2.36 -1- 36 - 53 = 1
23.36 - 23.53
8(93 -125)

183 -103
23 (36 - 53 )
23 (36 - 53 ) 23 (36 - 53 )
23 (36 - 53 )	8
Nhóm bài toán rút gọn biểu thức và tính giá trị biểu thức.
Phương pháp giải: - Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để triển khai, rút gọn
- Thay giá trị của biến vào biểu thức đã rút gọn rồi tính
Ví dụ 2.1.
a) ( x + y )2 + ( x - y )2 = x2 + 2xy + y2 + x2 - 2xy + y2 = 2x2 + 2 y2
b)2 ( x - y + z )2 + ( z - y )2 + 2 ( x - y + z )( y - z ) = ( x - y + z + y - z )2 = x2
c)x 2 - y 2 tại x = 87 và y = 13
3x2 - x
d) 9x2 - 6x +1
tại x = -8
Giải : c)
x 2 - y 2 = ( x - y )( x + y )
Thay x =87 và y = 13 vào ta có ( x - y )( x + y ) = (87 -13)(87 +13) = 100.74 = 7400
Ví dụ 2.2. Cho
a + b =1. Tính giá trị M
2 (a3 + b3 ) - 3(a2 + b2 )
Giải:	M = 2 (a3 + b3 ) - 3(a2 + b2 ) = 2 (a + b)(a2 - ab + b2 ) - 3a2 - 3b2 .Vì nên M = 2.1.(a2 - ab + b2 ) - 3a2 - 3b2 = 2a2 - 2b2 - 2ab - 3a2 - 3b2 = -(a + b)2 = -1 Ví dụ 2.3. Tính giá trị của biểu thức.
a + b =1
432 -112
=	(43 +11)(43 -11)	= 54.32 =
(36, 5)2 - (27, 5)2
(36, 5 - 27, 5)(36, 5 + 27, 5)
ì
3
9.64
Ví dụ 2.4. Cho
ïx + y + z = a
í
ïx2 + y2 + z2 = b2 ; Tính
ï
ï 1	1	1	1
+	+	=
ïî x	y	z	c

x3 + y3 + z3 theo

a, b, c
Giải: Áp dụng hằng đẳng thức
x3 + y3 + z3 - 3xyz = ( x + y + z )( x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx )
Þ x3 + y3 + z3 = 3xyz + a éëb2 - ( xy + yz + zx )ùû . Cần tính

xy + yz + zx và xyz theo

a, b, c
Từ
Ta có:
a2 = ( x + y + z )2 = x + y + z + 2 ( xy + yz + zx)
Þ xy + yz + zx =

a2 - b2
2

1 + 1 + 1 = 1 Þ xy + yz + zx = 1 Þ xyz = c ( xy + yz + zx) x	y	z	c	xyz	c
Þ xyz = c.

a2 - b2

Þ x3 + y3 + z3 = 3.
c (a2 - b2 )

é
+	2
a êb -

a2 - b2 ù
ú
2	2
3c (a2 - b2 ) + a (3b2 - a2 )
ë	2	û
Þ x3 + y3 + z3 =
2
Nhóm bài tập ứng dụng hằng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử
Phương pháp giải: Dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ để biến đổi các biểu thức thành tích một cách phù hợp.
Ví dụ 3.1. Phân tích đa thức thành nhân tử
a)x2 - 9 = ( x - 3)( x + 3)	b)9x2 + 6xy + y2 = (3x + y )2
c)6x - 9 - x2 = -( x - 3)2
Lưu ý: Khi phân tích đa thức thành nhân tử, ta cần cố gắng phân tích được triệt để (càng nhiều nhân tử càng tốt)
Các bài tập áp dụng
Ví dụ 3.2. Tính nhanh. a)252 -152 = (25 -15)(25 +15) = 10.40 = 400
b)872 + 732 - 272 -132 = (872 -132 ) + (732 - 272 ) = ëé(87 -13)(87 +13) + (73 - 27)(73 + 27)ùû
= (74.100) + (46.100) = 7400 + 4600 = 1200
Ví dụ 3.3. Rút gọn các biểu thức sau:
Giải:
a) A = ( x + 2)(x2 - 2x + 4) - (x3 - 2) = (x3 + 23 ) - (x3 - 2) = x3 + 8 - x3 + 2 = 10
ë	û ë	û
b) B = é(a + 2)(a2 - 2a + 4)ù é(a - 2)(a2 + 2a + 4)ù = (a3 + 8)(a3 - 8) = (a3 )2 - 82 = a6 - 64
Nhóm bài tập ứng dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để chia đa thức cho đa thức
Ví dụ 4.1. Tính nhanh
a) (x2 + 2xy + y2 ): ( x + y) = ( x + y)2 : ( x + y ) = x + y
b) (125x3 +1): (5x +1) = (5x +1)(25x2 - 5x +1): (5x +1) = 25x2 - 5x +1
c) (x2 - 2xy + y2 ): ( y - x) = ( y - x)2 : ( y - x) = y - x
Ví dụ 4.2. Không thực hiện phép chia, hãy xem xét đa thức A có chia hết cho đa thức
B không?
A = x2 - 2x +1;
B = 1- x
Giải: Vì
A = x2 - 2x +1 = ( x -1)2 = (1- x)2 . Do đó A chia hết cho B
Nhóm bài tập ứng dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để chứng minh giá trị biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến.
Phương pháp giải:
Thực hiện phép biến đổi đồng nhất các biểu thức hữu tỉ để rút gọn biểu thức không có chứa biến.
Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để biến đổi biểu thức đã cho không còn chứa biến.
Ví dụ 5.1. Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x.
a) (2x + 3)(4x2 - 6x + 9) - 2(4x3 -1)	b) ( x + 3)3 - ( x + 9)(x2 + 27)
c) ( x + y)(x2 - xy + y2 ) + ( x - y )(x2 + xy + y2 )- 2x3
Giải
a)(2x + 3) (4x2 - 6x + 9) - 2(4x3 -1) = (2x)3 + 9 - 8x 3+1 = 10
Vậy giá trị của biểu thứ trên không phụ thuộc vào giá trị của biến x.
b) ( x + 3)3 -( x + 9)(x2 + 27) = x3 + 9x2 + 27x + 27 - x3 - 27x - 9x2 - 243 = -216
Vậy giá trị biểu thức trên không phụ thuộc vào giá trị của biến x.
c) ( x + y )(x2 - xy + y2 ) + ( x - y )(x2 + xy + y2 ) - 2x3 = -x3 - y3 + x3 - y3 = -2y3
Vậy giá trị biểu thức trên không phụ thuộc vào giá trị của biến x.
II. 6. Nhóm bài tập ứng dụng hằng đẳng thức để chứng minh đẳng thức: Phương pháp giải:
Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ và một số kiến thức liên quan để biến đổi vế trái bằng vế phải hoặc vế phải bằng vế trái, hoặc cả hai vế về cùng biểu thức.
Ví dụ 6.1. Chứng minh (10a + 5)2 = 100a(a +1) + 25
Từ đó em hãy nêu cách tính nhẩm bình phương của một số có tận cùng là số 5 và áp dụng để tính 252, 352, 652, 752.
Giải: Biến đổi vế trái, ta có: (10a + 5)2 = 100a2 +100a + 25 = 100a(a +1) + 25
Bình phương của một số có hai chữ số và có tận cùng bằng chữ số 5 là một số có tận cùng bằng 25 và số trăm bằng tích số trục của số đem bình phương với số liền sau. Áp dụng: 252 = 625, 352 = 1225,	652 = 4225,	752 = 5625
Ví dụ 6.2. Chứng minh rằng: Giải: Cách 1:
(a + b)2 = (a - b)2 + 4ab
Biến đổi vế trái, ta có: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 = a2 - 2ab + 4ab + b2 = (a - b)2 + 4ab = VP
Vậy đẳng thức được chứng minh. Cách 2:
Biến đổi vế phải, ta có: (a - b)2 + 4ab = a2 - 2ab + 4ab + b2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 = VT
Vậy đẳng thức được chứng minh.
Cách 3: Biến đổi cả hai vế về cùng một biểu thức:
Biến đổi vế trái: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Biến đổi vế phải: (a - b)2 + 4ab = a2 - 2ab + 4ab + b2 = a2 + 2ab + b2
Vế phải = Vế trái. Vậy đẳng thức được chứng minh.
Ví dụ 6.3. Cho a + b + c =2p
Chứng minh rằng ( p - a)2 + ( p - b)2 + ( p - c)2 + p2 = a2 + b2 + c2
Giải: Ta có: ( p - a)2 = p2 - 2ap + a2 (1),
( p - b)2 = p2 - 2bp + b2 (2),
( p - c)2 = p2 - 2cp + c2 (3)
Cộng vế với vế của (1), (2), và (3), ta có:
( p - a)2 + ( p - b)2 + ( p - c)2 + p2 = p2 - 2ap + a2 + p2 - 2bp + b2 + p2 - 2cp + c2 + p2
( p - a)2 + ( p - b)2 + ( p - c)2 + p2 = 4 p2 - 2 p(a + b + c) + a2 + b2 + c2
( p - a)2 + ( p - b)2 + ( p - c)2 + p2 = 4 p2 - 2 p.2 p + a2 + b2 + c2 (do a + b + c = 2 p) ( p - a)2 + ( p - b)2 + ( p - c)2 + p2 = 4 p2 - 4 p2 + a2 + b2 + c2
( p - a)2 + ( p - b)2 + ( p - c)2 + p2 = a2 + b2 + c2
Vậy đẳng thức được chứng minh.
Ví dụ 6.4. Chứng minh rằng nếu b = a-1 thì
S = (a + b)(a2 + b2 )(a4 + b4 )...(a32 + b32 ) = a64 - b64
Giải: Từ b = a-1, ta có: a – b = 1. Nhân hai vế của S với a-b, ta có:
S (a - b) = (a - b)(a + b)(a2 + b2 )(a4 + b4 )...(a32 + b32 )
S.1 = (a2 - b2 )(a2 + b2 )(a4 + b4 )...(a32 + b32 )
S = (a4 - b4 )(a4 + b4 )...(a32 + b32 )
S = ....
S = (a32 - b32 )(a32 + b32 ) S = a64 - b64
Vậy đẳng thức được chứng minh.
Nhóm bài tập ứng dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để giải một số bài toán cực trị
Phương pháp giải: Dựa vào hằng đẳng thức
é(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
ë
ê(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
để đưa biểu thức
về dạng T = a +[ f (x)]2 với a là hằng số, f(x) là biểu thức có chứa biến x. Vì [ f (x)]2 ³ 0 với mọi X nên T ³ a . Khi đó giá trị nhỏ nhất của T bằng a khi f(x) = 0 và ta phải tìm x để f(x) bằng 0.
Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức có dạng là đa thức
Ví dụ 7.1. Cho
A = x2 - 3x + 5. Tìm Amin với
x ³ 2
Giải: A = x2 -
3 + 3 2 + 11 = (x - 3)2 + 11
Với x ³ 2 thì
2(x. )	( )
2	2	4	2	4
x - 3 ³ 1 Þ (x - 3)2 ³ 1 Þ A ³ 1 + 11 Þ A ³ 3
2	2	2	4	4	4
Suy ra: Amin = 3 khi x đạt giá trị nhỏ nhất. Vậy Amin =3 khi x =2
Ví dụ 7.2. Cho C = (x2 -1)(x2 +1) với x Î R . Tìm Cmin.
Giải: C = (x2 -1)(x2 +1) = x4 -1 vì x4 ³ 0 " x Î R nên C ³ -1 " x Î R vậy Cmin = - 1
Ví dụ 7.3. Cho
D = (x + y)2 + (x +1)2 + ( y - x)2 với
x, y Î R . Tìm Dmin.
D = x2 + 2xy + y2 + x2 + 2x +1+ y2 - 2xy + x2
Û D = 3x2 + 2 y2 + 2x +1
Û D = ( 3x)2 + 2 3x.
+ 1 + 2 y2 + 2
1
3
3	3
Û D = ( 3x +
)2 + 2 y2 + 2
1
3
3
1
3
Vì ( 3x +
)2 ³ 0 " x Î R, 2 y2 ³ 0 " y Î R , do đó
D ³ 2 " x, y Î R
1
3
3
Suy ra: Dmin= 2 khi
3

( 3x +
)2 = 0 và
2y2 = 0 Û x = -1, y = 0
3
Vậy Dmin= 2 khi
3
x = -1, y = 0
3
Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức có dạng phân thức
2
Phân thức có tử số là một hằng số, mẫu số là một đa thức bậc hai (hoặc ngược lại)
Ví dụ 7.4. Tìm giá trị lớn nhất của phân thức
A = x2 - x +1
Giải: Ta thấy A =	2	=	2
x2 - x +1	(x - 1)2 + 3
2	4
Vì (x - 1)2 + 3 ³ 3 với mọi x, nên A luôn luôn có dạng một phân số dương, tử số là
2	4	4
hằng số nên A lớn nhất khi mẫu số nhỏ nhất. Vậy Amax = 2 = 8 Û x = 1 .
3	3	2
4
Phân thức có tử là một đa thức bậc hai, còn mẫu thức là bình phương của một nhị thức
Ví dụ 7.5. Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức
x2 + x +1
A = (x -1)2
x2 - 2x +1+ 3x - 3 + 3	(x -1)2 + 3(x -1) + 3	3	3
Với mọi
x ¹ 1, ta có A =
(x -1)2
=	(x -1)2
= 1+
x -
+
1	(x
-1)2
Đặt	1	= y x -1
khi đó:
A = 3y2 + 3y +1
Û A = 3[( y2 + y + 1) - 1 ] +1 = 3( y + 1)2 + 1
4	4	2	4
Vậy Amin= 1 Û y = - 1 hay	1	= - 1 Û x = -1 (TMĐK đề bài)
4	4	x -1	2
7.2.3. Phân thức đã cho không có dạng đặc biệt
Ví dụ 7.6. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

x2 + 2x + 3
B =	x2 + 2
Giải: Vì x2 + 2 > 0 " x do đó giá trị của biểu thức B xác định " x .
Tìm giá trị lớn nhất B:
x2 + 2x + 3	2(x2 + 4) - x2 + 2x -1	2(x2 + 2) - (x -1)2

(x -1)2
B =	x2 + 2	=
x2 + 2
=	x2 + 2
= 2 -

x2 + 2
Do (x -1)
2 ³ 0; x2
2 > 0 nên
(x -1)2
x2 + 2
³ 0 . Do đó
(x -1)2
-	£
x2 + 2	0
vì thế
B £ 2
Vậy min B = 2 khi x = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của B:
x2 + 2x + 3	2(x2 + 2) + x2 + 4x + 4	1	(x + 2)2

1	(x + 2)2
B =	x2 + 2	=
x2 + 2
=	+
2	2(x
=	+
2 + 2)	2	2(x
2 + 2)
Do (x + 2)

2 ³ 0; 2(x2
+ 2) > 0 nên
(x + 2)2
³	" Î
2(x2 + 2)	0	x	R;
Do đó
B ³ 1 ; vậy Bmin= 1 khi x=1
2	2
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức biết quan hệ giữa các biến
Ví dụ 7.7. Cho 2 số x,y thỏa mãn điều kiện: 3x + y = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = 3x2 + y2
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức N = xy
Giải: Do 3x + y = 1 nên y = 1 – 3x
a)Ta có: M = 3x2 + (1- 3x)2 = 12x2 - 6x +1 = 12(x2 -
2. 1 x + 1 ) + 1 = 12(x - 1)2 + 1 Þ M ³ 1
Vậy Mmin= 1 khi
4
x = 1 , y = 1
4	4
4	16	4	4	4	4
b)	N = x(1- 3x) = -3(x2 - 2x 1 + 1 - 1 ) = -3(x - 1)2 + 1 do (x - 1)2 ³ 0 " x
6	36	36	6	12	6
Do đó:
N £ 1
12
vậy Nmax = 1
12
khi
x = 1 ; y = 1
6	2
II. 8. Nhóm bài tập ứng dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để chứng minh bất đẳng thức
Phương pháp giải: (1) Để chứng minh biểu thức dương với mọi x, ta biến đổi về dạng
[f (x)]2 + k > 0 với k > 0; (2) Để chứng minh biểu thức âm với mọi x, ta biến đổi về
dạng - [f (x)]2 + n < 0 với n < 0
Kiến thức hỗ trợ:
Một số tính chất của bất đẳng thức
a > b Û b < a
a > b,b > c Þ a > c
a > b ü Þ a + c > b + d c > d ý
þ
a > bü Þ ac > bc c > 0 ý
þ
a > b ü Þ ac d ý
þ
a > b > 0ü Þ ac > bd c > d > 0ý
þ
Một số hằng bất đẳng thức
a2 ³ 0; -a2 £ 0 xảy ra đẳng thức khi a = 0
a ³ 0 xảy ra đẳng thức khi a = 0
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
Dùng định nghĩa:
Để chứng minh A > B, ta xét hiệu A – B và chứng minh A – B > 0
Dùng các phép biển đổi tương đương:
Để chứng minh A > B ta biến đổi tương đương:
a > b Û a1 > b1 Û a2 > b2 Û an > bn . Trong đó bất đẳng thức An>Bn luôn đúng, do quá trình biến đổi là t