Sáng kiến kinh nghiệm Phân tích đa thức thành nhân tử

 CHUYÊN ĐỀ 
 PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
A- MỤC TIÊU
* Hệ thống lại các dạng toán và các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
* Giải một số bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử
* Nâng cao trình độ và kỹ năng về phân tích đa thức thành nhân tử
B - CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN
 Khái niệm phân tích đa thức thành nhân tử.
 Nhân, chia lũy thừa cùng cơ số.
 Nhân đa thức.
 Hằng đẳng thức đáng nhớ.
 Nghiệm đa thức.
 Chia đa thức.
 ...............
C - CÁC PHƯƠNG PHÁP VÀ BÀI TẬP
I. CÁC PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN
1. Phương pháp đặt nhân tử chung
 - Tìm nhân tử chung là những đơn, đa thức có mặt trong tất cả các hạng tử.
 - Phân tích mỗi hạng tử thành tích của nhân tử chung và một nhân tử khác.
 - Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng 
tử vào trong dấu ngoặc (kể cả dấu của chúng).
 - Chú ý: Có khi ta phải đổi dấu để làm xuất hiện nhân tử chung.
 Ví dụ 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
 a) 28a2b2  21ab2 + 14a2b = 7ab(4ab  3b + 2a)
 b) 2x(y – z) + 5y(z –y ) = 2(y  z) – 5y(y  z) = (y – z)(2  5y)
 c) xm + xm + 3 = xm (x3 + 1) = xm( x+ 1)(x2 – x + 1)
Bài tập áp dụng: 
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
 a) 3x2y2 – 6x2y3 + 9x2y2 b) 5x2y3 – 25x3y4 + 10x3y3
 c) 12x2y - 18xy2 – 30y2 d) 5(x-y) – y(x-y)
 e) y(x-z) + 7(z-x) g) 27x2 (y-1)-9x3(1-y)
Bài 2: Tìm x, biết:
 a) 5(x-3) – 2x(x-3) =0 b) 4x(x-2016) – x – 2016
 c) (x+1)2 = x+1 d) x3 -13x = 0
2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức
 1  Đặt nhân tử chung.
  Dùng hằng đẳng thức.
  Nhóm nhiều hạng tử.
 Ví dụ 4. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
 a) 3xy2 – 12xy + 12x = 3x(y2 – 4y + 4) = 3x(y – 2)2
 b) 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6axy2 – 3a2xy + 3xy 
 = 3xy(x2 – 2y – y2 – 2ay – a2 + 1)
 = 3xy[( x2 – 2x + 1) – (y2 + 2ay + a2)]
 = 3xy[(x – 1)2 – (y + a)2]
 = 3xy[(x – 1) – (y + a)][(x – 1) + (y + a)]
 = 3xy( x –1 – y – a)(x – 1 + y + a)
Bài tập áp dụng
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
 a) x5 + x3 – x2 - 1 b) x4 – 3x3 – x + 3
 b) x3 – x2y – xy2 + y3 d) 3x + 3y – x2 – 2xy – y2
Bài 2: Tìm x, biết
 a) x3 – 16x = 0 b) x4 – 2x3 + 10x2 – 20x = 0
 c) (2x – 3)2 = (x+5)2 d) x2(x-1) – 4x2 + 8x – 4 = 0
II. CÁC PHƯƠNG PHÁP KHÁC
1. Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử
1.1) Đối với đa thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c
Cách 1 (tách hạng tử bậc nhất bx):
Bước 1: Tìm tích ac, rồi phân tích ac ra tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách.
 a.c = a1.c1 = a2.c2 = a3.c3 =  = ai.ci = 
Bước 2: Chọn hai thừa số có tổng bằng b, chẳng hạn chọn tích a.c = ai.ci với 
 b = ai + ci
Bước 3: Tách bx = aix + cix. Từ đó nhóm hai số hạng thích hợp để phân tích tiếp.
 Ví dụ 5. Phân tích đa thức f(x) = 3x2 + 8x + 4 thành nhân tử.
 Hướng dẫn
  Phân tích ac = 12 = 3.4 = (–3).(–4) = 2.6 = (–2).(–6) = 1.12 = (–1).(–12)
  Tích của hai thừa số có tổng bằng b = 8 là tích a.c = 2.6 (a.c = ai.ci).
  Tách 8x = 2x + 6x (bx = aix + cix)
 Lời giải
 3x2 + 8x + 4 = 3x2 + 2x + 6x + 4 = (3x2 + 2x) + (6x + 4) 
 = x(3x + 2) + 2(3x + 2) 
 = (x + 2)(3x +2)
Cách 2 (tách hạng tử bậc hai ax2)
 3 Lần lượt kiểm tra với x = ± 1, ± 2, 4, ta thấy f(–2) = (–2)3 + (–2)2 + 4 = 0. Đa 
thức f(x) có một nghiệm x = –2, do đó nó chứa một nhân tử là x + 2. Từ đó, ta tách 
như sau
Cách 1 : f(x) = x3 + 2x2 – x2 + 4 = (x3 + 2x2) – (x2 – 4) = x2(x + 2) – (x – 2)(x + 2)
 = (x + 2)(x2 – x + 2).
Cách 2 : f(x) = (x3 + 8) + (x2 – 4) = (x + 2)(x2 – 2x + 4) + (x – 2)(x + 2)
 = (x + 2)(x2 – x + 2).
Cách 3 : f(x) = (x3 + 4x2 + 4x) – (3x2 + 6x) + (2x + 4)
 = x(x + 2)2 – 3x(x + 2) + 2(x + 2) = (x + 2)(x2 – x + 2).
Cách 4 : f(x) = (x3 – x2 + 2x) + (2x2 – 2x + 4) = x(x2 – x + 2) + 2(x2 – x + 2)
 = (x + 2)(x2 – x + 2).
 Từ định lí trên, ta có các hệ quả sau :
Hệ quả 1. Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nghiệm là x = 1. Từ đó 
f(x) có một nhân tử là x – 1.
 Chẳng hạn, đa thức x3 – 5x2 + 8x – 4 có 1 + (–5) + 8 + (–4) = 0 nên x = 1 là một 
nghiệm của đa thức. Đa thức có một nhân tử là x – 1. Ta phân tích như sau :
 f(x) = (x3 – x2) – (4x2 – 4x) + (4x – 4) = x2(x – 1) – 4x(x – 1) + 4(x – 1) 
 = (x – 1)( x – 2)2
Hệ quả 2. Nếu f(x) có tổng các hệ số của các luỹ thừa bậc chẵn bằng tổng các hệ số 
của các luỹ thừa bậc lẻ thì f(x) có một nghiệm x = –1. Từ đó f(x) có một nhân tử là x 
+ 1.
 Chẳng hạn, đa thức x3 – 5x2 + 3x + 9 có 1 + 3 = –5 + 9 nên x = –1 là một 
nghiệm của đa thức. Đa thức có một nhân tử là x + 1. Ta phân tích như sau :
 f(x) = (x3 + x2) – (6x2 + 6x) + (9x + 9) = x2(x + 1) – 6x(x + 1) + 9(x + 1)
 = (x + 1)( x – 3)2
 f (1)
 Hệ quả 3. Nếu f(x) có nghiệm nguyên x = a và f(1) và f(–1) khác 0 thì và 
 a  1
 f (1)
 đều là số nguyên.
 a  1
Ví dụ 9. Phân tích đa thức f(x) = 4x3  13x2 + 9x  18 thành nhân tử.
 Hướng dẫn
 Các ước của 18 là ± 1, ± 2, ± 3, ± 6, ± 9, ± 18.
 f(1) = –18, f(–1) = –44, nên ± 1 không phải là nghiệm của f(x). 
 18 18 18 18
 Dễ thấy , , , không là số nguyên nên 
 3 1 6 1 9 1 18 1
 -3, ± 6, ± 9, ± 18 không là nghiệm của f(x). Chỉ còn –2 và 3. Kiểm tra ta thấy 3 
là nghiệm của f(x). Do đó, ta tách các hạng tử như sau :
 f(x)  4x3 12x2  x2  3x  6x 18  4x2 (x  3)  x(x  3)  6(x  3)
 = (x – 3)(4x2 – x + 6)
 5 Bài 2: Tìm số tự nhiên n để giá trị biểu thức
 P = (n2 – 3)2 + 16 là số nguyên tố
2. Thêm bớt cùng một hạng tử
2.1 Thêm, bớt cùng một số hạng tử để xuất hiện hiệu hai bình phương:
Ví dụ 1: 4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2 = (2x2 + 9)2 – 36x2 
 = (2x2 + 9)2 – (6x)2 = (2x2 + 9 + 6x)(2x2 + 9 – 6x) 
 = (2x2 + 6x + 9 )(2x2 – 6x + 9) 
Ví dụ 2: x8 + 98x4 + 1 = (x8 + 2x4 + 1 ) + 96x4 
 = (x4 + 1)2 + 16x2(x4 + 1) + 64x4 - 16x2(x4 + 1) + 32x4
 = (x4 + 1 + 8x2)2 – 16x2(x4 + 1 – 2x2) 
 = (x4 + 8x2 + 1)2 - 16x2(x2 – 1)2
 = (x4 + 8x2 + 1)2 - (4x3 – 4x )2 
 = (x4 + 4x3 + 8x2 – 4x + 1)(x4 - 4x3 + 8x2 + 4x + 1)
2.2. Thêm, bớt cùng một số hạng tử để xuất hiện nhân tử chung
Ví dụ 1: x7 + x2 + 1 = (x7 – x) + (x2 + x + 1 ) = x(x6 – 1) + (x2 + x + 1 ) 
 3 3 2
 = x(x - 1)(x + 1) + (x + x + 1 ) 
 = x(x – 1)(x2 + x + 1 ) (x3 + 1) + (x2 + x + 1)
 = (x2 + x + 1)[x(x – 1)(x3 + 1) + 1] 
 = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 - x + 1)
Ví dụ 2: x7 + x5 + 1 
 7 5 2 2
 = (x – x ) + (x – x ) + (x + x + 1) 
 3 3 2 3 2
 = x(x – 1)(x + 1) + x (x – 1) + (x + x + 1) 
 2 4 2 2 2
 = (x + x + 1)(x – 1)(x + x) + x (x – 1)(x + x + 1) + (x + x + 1) 
 2 5 4 2 3 2
 = (x + x + 1)[(x – x + x – x) + (x – x ) + 1] 
 2 5 4 3
 = (x + x + 1)(x – x + x – x + 1) 
Ghi nhớ: 
Các đa thức có dạng x3m + 1 + x3n + 2 + 1 như: x7 + x2 + 1 ; x7 + x5 + 1 ; x8 + x4 + 1 ;
x5 + x + 1 ; x8 + x + 1 ;  đều có nhân tử chung là x2 + x + 1
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
 a) x12 + 4 b) 4x8 + 1 c) x7 + x5 – 1
 d) x7 + x5 + 1 e) x5 + x – 1 g) x11 + x + 1
Bài 2: Tìm tất cả các số tự nhiên x để giá trị biểu thức A = x 4 + 4 có giá trị là số 
nguyên tố.
 7 m3 + 3mn2
C = (m + c)3 – 4.  4c3  3c(m2 - n2 ) = 3( - c3 +mc2 – mn2 + cn2)
 4
 = 3[c2(m - c) - n2(m - c)] = 3(m - c)(c - n)(c + n) 
 = 3(a + b - c)(c + a - b)(c - a + b)
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
 a) (x2 + 3x)2 – 2(x2 +3x) – 8
 b) (x2+4x+10)2 – 7(x2 +4x+11) + 7
 c) (x2+5x-2)2 – 7(x2+5x – 2)(x2 +3) + 5(x2+3)2
 d) (x2 – 3x + 5)2 – 7(x2 – 3x + 5) + 12x2
 e) (x+2)(x+3)(x+4)(x+5) – 24
Bài 2: Chứng minh tích của 4 số nguyên liên tiếp cộng thêm 1 là một số chính 
phương.
Bài 3: Cho x, y là các số nguyên. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau luôn có 
giá trị không âm.
 M = (x-y)(x-2y)(x-3y)(x-4y) + y4
4. Phương pháp hệ số bất định
Ví dụ 1: Phân tích đa thức x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3 thành nhân tử.
Nhận xét: các số  1,  3 không là nghiệm của đa thức, đa thức không có nghiệm 
nguyên củng không có nghiệm hữu tỉ
Như vậy nếu đa thức phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng 
(x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd
 a  c  6
 
 ac  b  d 12
đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho ta có: 
 ad  bc  14
 bd  3
Xét bd = 3 với b, d  Z, b  1,3 với b = 3 thì d = 1 hệ điều kiện trên trở thành
a  c  6

ac  8 2c  8 c  4
    
a  3c  14 ac  8 a  2
bd  3
Vậy: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3 = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1) 
Ví dụ 2: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8
Nhận xét: đa thức có 1 nghiệm là x = 2 nên có thừa số là x - 2 do đó ta có:
 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = (x - 2)(2x3 + ax2 + bx + c) 
 9 Ta thấy k phải là hằng số vì P có bậc 3 đối với tập hợp các biến x, y, z, còn tích 
(x – y)(y – z)(z – x) cũng có bậc 3 đối với tập hợp các biến x, y, z.
 Vì đẳng thức x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) = k(x – y)(y – z)(z – x) đúng với 
mọi x, y, z nên ta gán cho các biến x ,y, z các giá trị riêng. 
 chẳng hạn x = 2, y = 1, z = 0 ta được:
 4.1 + 1.(–2) + 0 = k.1.1.(–2) suy ra k =1
 Vậy P = –(x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(x – z)
Áp dụng: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
 a) M = xy(x-y) + yz(y-z) + zx(z-x)
 b) P = (a+b+c)3 – a3 – b3 – c3
6. Phương pháp đưa về một đa thức đặc biệt
a) Đưa về đa thức : a3 + b3 + c3  3abc
 Ví dụ 20. Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
 a) a3 + b3 + c3  3abc.
 b) (x  y)3 + (y  z)3 + (z  x)3.
 Lời giải
 a) a3 + b3 + c3  3abc = (a + b)3  3a2b  3ab2 + c3  3abc
 = [(a + b)3 + c3]  3ab(a + b + c)
 = (a + b + c)[(a + b)2  (a + b)c + c2]  3ab(a + b + c)
 = (a + b + c)(a2 + b2 + c2  ab  bc ca)
 b) Đặt x  y = a, y  z = b, z  x = c thì a + b + c. Theo câu a) ta có :
 a3 + b3 + c3  3abc = 0  a3 + b3 + c3 = 3abc.
 Vậy (x  y)3 + (y  z)3 + (z  x)3 = 3(x  y)(y  z)(z  x)
b) Đưa về đa thức : (a + b + c)3  a3  b3  c3
 Ví dụ 21. Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
 a) (a + b + c)3  a3  b3  c3.
 b) 8(x + y + z)3  (x + y)3  (y + z)3  (z + x)3.
 Lời giải
 a) (a + b + c)3  a3  b3  c3 = [(a + b) + c]3  a3  b3  c3
 = (a + b)3 + c3 + 3c(a + b)(a + b + c)  a3  b3  c3
 = (a + b)3 + 3c(a + b)(a + b + c)  (a + b)(a2  ab + b2)
 = (a + b)[(a + b)2 + 3c(a + b + c)  (a2  ab + b2)]
 = 3(a + b)(ab + bc + ca + c2) = 3(a + b)[b(a + c) + c(a + c)]
 = 3(a + b)(b + c)(c + a).
 11