Sáng kiến kinh nghiệm Mốt số phương pháp giải phương trình lượng giác không mẫu mực

A. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lý do chọn đề tài :
 Phương trình lượng giác là một trong những chủ đề quan trọng trong chương trình giáo dục môn toán THPT. Nhưng nó cũng là một trong những vấn đề mà phần lớn các em học sinh thấy khó tiếp thu và vận dụng. Với học sinh lớp 11, đây là một chủ đề mới, các em còn bỡ ngỡ, chưa nắm rõ phương pháp giải toán nên đa số các em cảm thấy khó khăn khi giải một số bài tập không đúng dạng.
Thực tế qua nhiều năm giảng dạy lớp 11, tôi nhận thấy nhiều học sinh mới đầu tiếp thu những kiến thức về phương trình lượng giác rất thụ động, các em chỉ giải được các phương trình đúng dạng theo một cách máy móc và thường lúng túng khi gặp phải các phương trình lượng giác khác dạng. Vì vậy, trong những năm công tác, tôi luôn cố gắng tìm tòi, đúc kết kinh nghiệm nhằm tìm ra các phương pháp hướng dẫn học sinh, giúp các em tiếp thu kiến thức được tốt hơn, từ đó mà chất lượng giảng dạy cũng như học tập của học sinh trong quá trình giải phương trình lượng giác ngày càng được nâng lên.
Từ lý do trên tôi đã khai thác, hệ thống hóa các kiến thức, tổng hợp các phương pháp thành một chuyên đề: “Mốt số phương pháp giải phương trình lượng giác không mẫu mực ” 
2. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:
Đối tượng nghiên cứu trong đề tài là học sinh lớp 11 học chương trình nâng cao môn toán, năm học 2015 – 2016 trường THPT Cẩm Thủy 2.
Phạm vi nghiên cứu của đề tài là: “ Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác ” sách giáo khoa đại số và giải tích 11 nâng cao.
3. Mục đích và phương pháp nghiên cứu: 
 Qua nội dung của đề tài này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh lớp 11 có một tài liệu học tập và ôn tập tốt hơn về chủ đề giải phương trình lượng giác, để từ đó học sinh có một lối tư duy trừu tượng một cách tự nhiên và chính xác, giúp các em trình bày bài toán đúng trình tự, đúng logic, không mắc sai lầm khi làm bài tập.
Phương pháp nghiên cứu: Nghiên cứu lí luận chung; khảo sát điều tra thực tế dạy và học; tổng hợp so sánh, đúc rút kinh nghiệm; trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ‎ý kiến đồng nghiệp.
B. NỘI DUNG
Các phương trình lượng giác rất đa dạng không thể có một công thức chung nào để giải mọi phương trình lượng giác, bởi vậy cần thiết sử dụng các phép biến đổi lượng giác thông thường để đưa phương trình ban đầu về các dạng cơ bản đã biết cách giải.
Khi giải phương trình lượng giác thông thường ta biến đổi phương trình theo hai hướng sau:
+ Hướng thứ nhất: Biến đổi phương trình đã cho đưa về việc giải các phương trình đơn giản quen thuộc. Các phương pháp biến đổi theo hướng này gồm có: Phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp hạ bậc, phương pháp biến đổi thành tích, phương pháp, phương pháp đánh giá.
+ Hướng thứ hai: Dùng lập luận khẳng định phương trình cần giải là vô nghiệm. 
Sau đây, tôi sẽ trình bày một số dạng toán và cách giải một số phương trình lượng giác không mẫu mực hay gặp trong chương trình lớp 11. 
I. Bài toán 1: Giải phương trình lượng giác bằng phương pháp đặt ẩn phụ
1. Phương pháp chung: 
Trong chương trình lớp 11, các em học sinh đã làm quen với phương pháp đặt ẩn phụ để giải các phương trình lượng giác trong các chủ đề:
- Phương trình bậc hai và bậc cao đối với một hàm số lượng giác.
- Phương trình bậc hai đối với sin và cos.
- Phương trình đối xứngđối với sinx và cosx.
Trong bài toán này ta xét thêm những trường hợp khác, bao gồm:
* Mọi phương trình lượng giác đều có thể thực hiện đại số hóa thông qua hàm , cụ thể đặt thì: 
* Đặt hoặc , điều kiện 
1. Các ví dụ: 
* Ví dụ 1: Giải phương trình: 
 Giải
 Điều kiện: 
 Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:
+ Cách 1: Đặt , ta có:
 Vậy, phương trình có ba họ nghiệm.
+ Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng tích
 Ta có: 
 Vậy, phương trình có ba họ nghiệm.
* Ví dụ 2: Giải phương trình: 
 Giải
 Điều kiện: 
+ Cách 1: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ.
 Đặt: 
 Phương trình đã cho có dạng: 
 Vậy phương trình đã cho có bốn họ nghiệm.
+ Cách 2: Dùng phương pháp luận hệ số để biến đổi phương trình.
 Ta có: 
 Vậy phương trình đã cho có một họ nghiệm.
* Ví dụ 3: Giải phương trình: 
 Giải
 Điều kiện: 
 Ta có: 
 Đặt: 
 Phương trình trở thành: 
+ Với 
+ Với 
 Vậy, phương trình đã cho có ba họ nghiệm.
* Ví dụ 4: ( Câu hỏi trắc nghiệm)
 Cho phương trình: . Tìm các giá trị của tham số để phương trình có nghiệm thuộc ?
A. B. C. D. Không tồn tại 
 Giải
 Điều kiện: 
 Ta có: 
 Đặt: . Phương trình trở thành: 
 Phương trình có nghiệm thuộc Phương trình có nghiệm có nghiệm hoặc 
 Giải hệ 
 Vậy: Đáp án C
* Bài tập rèn luyện :
 Bài 1: Giải các phương trình:
Bài 2: Giải các phương trình:
II. Bài toán 2: Giải phương trình lượng giác sử dụng công thức hạ bậc.
1. Phương pháp chung: 
- Bước 1: Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa.
- Bước 2: Thực hiện việc hạ bậc của phương trình bằng các công thức:
2. Các ví dụ: 
* Ví dụ 1: Giải phương trình: 
 Giải
 Ta có: 
 Vậy phương trình đã cho có hai họ nghiệm.
+ Chú ý1: Với những phương trình chứa số lẻ các nhân tử bậc cao (giả sử bậc 3), thông thường ta không đi hạ bậc tất cả nhân tử đó mà chỉ chọn ra 2 nhân tử để hạ bậc, Cụ thể ta xét ví dụ sau:
* Ví dụ 2: Giải phương trình: 
 Giải
 Ta có: 
 Vậy phương trình đã cho có hai họ nghiệm.
+ Chú ý 2: Với các nhân tử bậc cao hơn 3, ta cần hạ bậc dần. Cụ thể ta xét ví dụ sau:
* Ví dụ 3: Giải phương trình: 
 Giải
 Ta có: 
 Vậy phương trình đã cho có hai họ nghiệm.
* Ví dụ 4: Giải phương trình: 
 Giải
 Ta có: 
 Vậy phương trình đã cho có 5 họ nghiệm.
* Ví dụ 5: Giải phương trình: 
 Giải: 
 Ta có: 
 Do đó, phương trình đã cho trở thành:
 Vậy phương trình đã cho có 2 họ nghiệm.
Ví dụ 6: ( Câu hỏi trắc nghiệm)
 Cho phương trình: . Tìm các giá trị của tham số để phương trình có nghiệm ?
 A. B. C. D. Không tồn tại 
 Giải
 Ta có: 
 Phương trình có nghiệm 
 Vậy: Đáp án B
* Bài tập rèn luyện :
Bài 1: Giải các phương trình:
Bài 2: Giải các phương trình:
III. Bài toán 3: Giải phương trình lượng giác bằng việc biến đổi về dạng tích.
1. Phương pháp chung: 
- Để giải một số phương trình lượng giác, ta có thể biến đổi phương trình về dạng tích: A.B = 0, trong đó A = 0, B = 0 là các phương trình đã biết cách giải.
- Có nhiều cách biến đổi một phương trình lượng giác về dạng tích, ở đây tôi chỉ đưa ra hai dạng biến đổi cơ bản thường gặp, đó là:
 + Biến đổi tổng, hiệu thành tích.
 + Lựa chọn phép biên đổi cho cos2x	
2. Các ví dụ: 
a. Biến đổi tổng, hiệu thành tích.
* Ví dụ 1: Giải phương trình: 
 Giải
 Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:
+ Cách 1: Biến đổi tổng thành tích.
 Ta có: 
 Vậy phương trình đã cho có 2 họ nghiệm.
+ Cách 2:Biến đổi về phương trình chứa 1 hàm số lượng giác.
 Ta có: 
 Vậy phương trình đã cho có 2 họ nghiệm.
* Ví dụ 2: Giải phương trình: 
 Giải
 Ta có: 
 Vậy phương trình đã cho có 2 họ nghiệm.
* Ví dụ 3: Giải phương trình: 
 Giải
 Ta có: 
 Vậy phương trình đã cho có 5 họ nghiệm.
b. Lựa chọn phép biên đổi cho cos2x	
* Ví dụ 4: Giải phương trình: 
 Giải
 Ta có: 
 Vậy phương trình đã cho có 2 họ nghiệm.
* Nhận xét 1: 
- Trong lời giải trên sở dĩ ta lựa chọn biến đổi: , bởi hai nhân tử còn lại là: có hệ số là 2 và có hệ số là 1.
- Trong trường hợp trái lại ta sẽ biến đổi: 
 Cụ thể, ta xét ví dụ sau:
* Ví dụ 5: Giải phương trình: 
 Giải
 Ta có: 
 Vậy phương trình đã cho có 2 họ nghiệm.
* Nhận xét 2: Trong trường hợp hệ số đối xứng ta sẽ lựa chọn biến đổi:
 Cụ thể, ta xét ví dụ sau:
* Ví dụ 6: Giải phương trình: 
 Giải
 Ta có: 
 Vậy phương trình đã cho có 3 họ nghiệm.
* Bài tập rèn luyện :
Bài 1: Giải các phương trình:
Bài 2: Giải các phương trình:
* Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm:
	Trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy rằng: Sau khi đưa ra các phương pháp trên, học sinh đã biết vận dụng linh hoạt các công thức biến đổi lượng giác vào việc học tập và rèn luyện kỹ năng giải phương trình lượng giác, nhiều học sinh không còn tâm lý e ngại khi giải phương trình lượng giác.
C. KẾT LUẬN
1. Ý nghĩa của sáng kiến kinh nghiệm: 
 Nhằm tạo động lực thúc đẩy học sinh tích cực học tập, góp phần nâng cao hiệu quả giảng dạy cho bản thân nói riêng và kết quả giáo dục của nhà trường nói chung.
2. Khả năng ứng dụng:
 Sáng kiến kinh nghiệm có thể áp dụng rộng rãi cho học sinh khối 11. Khả năng ứng dụng của sáng kiến kinh nghiệm là ở phương pháp đặt vấn đề, phân tích, hướng dẫn học sinh giải quyết vấn đề.
3. Bài học kinh nghiệm, hướng phát triển. 
 Như đã nêu trên, muốn cho học sinh học tốt hơn thì học sinh phải nắm vững các công thức biến đổi lượng giác, công thức nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản và các cách giải một số phương trình lượng giác đơn giản, đồng thời đối với giáo viên cần phải có một số kỹ năng sau:
- Kỹ năng vận dụng, sáng tạo các công thức lượng giác cũng như trình bày lời giải.
- Kỹ năng nêu vấn đề và hướng dẫn học sinh giải quyết vấn đề, giúp học sinh biết tư duy và sáng tạo trong quá trình giải toán.
 Giáo viên phải tâm huyết, nhiệt tình, gương mẫu quan tâm đến học sinh, giúp đỡ các em để các em không cảm thấy áp lực trong học tập. Luôn tạo ra tình huống có vấn đề, kích thích hứng thú tìm tòi học tập ở học sinh. Phải thường xuyên học hỏi trau dồi chuyên môn để tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với từng đối tượng học sinh.
4. Kiến nghị, đề xuất:
 Nhằm giúp cho học sinh học tốt hơn với môn Toán nói riêng và các môn học khác nói chung, bản thân kiến nghị với Ban giám hiệu có kế hoạch mua bổ sung các thiết bị dạy học, trang bị thêm phòng giáo án điện tử,.. Tổ chuyên môn cần tổ chức hội giảng, các buổi trao đổi về phương pháp giảng dạy, nhằm giúp cho việc giảng dạy của giáo viên được thuận lợi hơn.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 15 tháng 03 năm 2017
CAM KẾT KHÔNG COPPY
TRƯƠNG VĂN HẬU
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa đại số và giải tích 11 (nâng cao)
2. Bài giảng chuyên sâu toán THPT: Giải toán lượng giác 11 - Lê Hồng Đức - Nhóm cự môn - Nhà xuất bản Hà Nội