Sáng kiến kinh nghiệm Một cách khác tính tích phân

MỤC LỤC
Mục lục
1
1
Đặt vấn đề
1
1.1
Lý do chọn đề tài
1
1.2
Mục đích nghiên cứu
1
1.3
Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
1
1.4
phương pháp nghiên cứu
1
2
Nội dung
1
2.1
Cơ sở lý luận
1
2.1.1
Công thức đạo hàm
2
2.1.2
Công thức tích phân
3
2.2
Thực trạng của vấn đề
2
2.3
Biện pháp thực hiện
2
2.3.1
Sử dụng công thức 
2
2.3.2
Sử dụng công thức 
5
2.3.3
Sử dụng công thức 
9
2.3.4
Sử dụng công thức 
11
2.3.5
Sử dụng công thức 
12
2.4
Hiệu quả của SKKN
3
Kết luận, kiến nghị
14
Tài liệu tham khảo
16
1. ĐẶT VẤN ĐỀ
1.1/ Lý do chọn đề tài:
	Trong nhiều mục đích của giảng dạy môn toán thì việc khích lệ niềm đam mê, tìm tòi sáng tạo là mục đích mà bản thân tôi luôn luôn coi trọng. Trong quá trình giảng dạy tôi luôn khuyến khích học sinh tự tìm ra ý tưởng, cách giải của riêng mình. 
	Một thực tế, phần lớn học sinh hiện nay khi giải một dạng toán nào đó thường làm theo một thuật toán mà người thầy đã dựng sẵn. Không nhiều học sinh tìm hiểu sâu về định nghĩa, khái niệm, các kiến thức để xây dựng nên thuật toán đó. Là giáo viên may mắn được tiếp xúc với nhiều học sinh có học lực khá giỏi, nên tôi thường động viên khuyến khích các em tìm hiểu rõ bản chất. Từ đó học sinh quen với tính chủ động sáng tạo trong quá trình học. 
	Trong đề thi Đại học (trước đây) và đề thi THPT Quốc gia (hiện nay) thì phần tích phân chiếm 10%. Thời gian gần đây các bài toán gắn với thực tiễn (như xác suất; ứng dụng tích phân; tính giá trị biểu thức lượng giác; khoảng cách) đang dần được chú ý. Việc giải các bài toán tích phân đối với học sinh khá giỏi không mấy khó khăn. Nhưng trên tinh thần phát triển sự say mê tìm tòi cho học sinh, tôi đã hướng dẫn học sinh đi tìm những cách giải, cách trình bày bài toán cũ bằng phương pháp mới. Vì lý do đó tôi chọn đề tài: 
"Một cách khác tính tích phân".
1.2/ Mục đích nghiên cứu:
	Chuyển việc tính tích phân bằng cách truyền thống sang cách tính dựa vào các công thức tính đạo hàm quen thuộc.
1.3/ Đối tượng, phạm vi nghiên cứu:
	- Toán tích phân trong chương trình giải tích lớp 12.
	- Học sinh lớp 12.
1.4/ Phương pháp nghiên cứu:
	- Nghiên cứu tài liệu.
	- Phân tích, tổng hợp, đúc rút trong quá trình giảng dạy.
2. NỘI DUNG
2.1/ Cơ sở lý luận:
2.1.1/ Công thức đạo hàm:
	Tôi yêu cầu học sinh nhớ các công đạo hàm ở dạng vận dụng ngược từ vế phải qua vế trái.
2.1.2/ Công thức tích phân:
	Tôi nhắc lại định nghĩa họ nguyên hàm, ký hiệu nguyên hàm để xây dựng công thức.
	- Ta có 
	- Do là một nguyên hàm của , nên:	
	 (1)
	 (2)
2.2/ Thực trạng của vấn đề:
	- Do thói quen của học sinh là dùng phương pháp vi phân, dùng bảng nguyên hàm để tính tích phân nên khi mới tiếp cận với phương pháp này còn bỡ ngỡ.
- Việc vận dụng công thức ngược thường phải tách thêm bớt (ví dụ là làm xuất hiện ) nên cũng là một trở ngại cho học sinh. 
- Do tính tò mò nên khi đặt tôi vấn đề học sinh có ngại nhưng vẫn muốn thầy trình bày. Khi đã nắm được thì rất hào hứng làm theo.
2.3/ Biện pháp thực hiện:
	Trong quá trình dạy công thức cho học sinh tôi luôn yêu cầu học sinh quan tâm đến chiều ngược lại. Việc hướng dẫn học sinh hình thành vế phải để vận dụng thông qua vế trái tôi làm thường xuyên để tạo thành thói quen. Trong quá trình thực hiện tôi cũng yêu cầu học sinh phải ghi nhớ một số thủ thuật.
2.3.1/ Sử dụng công thức 
	Từ biểu thức dưới dâu tích phân tôi hướng dẫn học sinh tách, thêm bớt để xuất hiện dạng để áp dụng qua vế phải, ta xét một số ví dụ sau:
Ví dụ 1: 
Phân tích:
Bài giải:
	Ta có: 	
	Vậy: 
Chú ý: Ta có thể dùng phương pháp vi phân như sau 	
Ví dụ 2: 
Phân tích:
	 (với )
Bài giải:	
	Ta có 
	Vậy: 
Chú ý: Ta có thể dùng phương pháp vi phân như sau 	
Ví dụ 3: 
Phân tích: 
Bài giải: 
	Ta có: 
	Vậy: 
Chú ý: Ta có thể giải hoặc bằng phương pháp tích phân từng phần.
Bài tập:
1/ 
2/ 
2.3.2/ Sử dụng công thức 
	Tôi gọi đây là công thức "đạo hàm từng phần". Dựa vào công thức này người ta xây dựng công thức nguyên hàm, tích phân từng phần; vì lý do đó ta có thể vận dụng nó để tính nhanh một số tích phân.
	Phương pháp: Từ biểu thức dưới dấu tích phân ta tách, thêm bớt làm xuất hiện dạng để ta chuyển biểu thức dưới dấu tích phân về dạng Đến đây ta sử dụng công thức (1), (2) để lấy kết quả.
	Ta đi xét một số ví dụ sau, ở mỗi ví dụ chúng ta hãy chú ý lượng thêm bớt đó 
Ví dụ 1: 	
Phân tích: Vì , nên ta thêm bớt 
Bài giải:
	Ta có:	
	Vậy 
Ví dụ 2: 	
Phân tích: Vì nên ta thêm bớt 
Bài giải: 	
	Ta có: 
	Vậy 
	Sau đó ta tiếp tục cho học sinh tính I bằng cách nhân thêm cả tử cả mẫu với cosx.
Chú ý: Ta có thể giải bằng phương pháp tích phân từng phần 
	Đặt 
Ví dụ 3: 
Phân tích: 
	Vì ta thêm bớt 
	Tương tự cho biểu thức , ta có cách giải
Bài giải: 
	Ta có: 
	Vậy: 
Chú ý: Ta có thể giải bằng phương pháp tích phân từng phần 2 lần
Ví dụ 4: 
Phân tích: Vì , thêm bớt 
	Tương tự cho biểu thức thức .
Bài giải: 
	Ta có: 
	Ta rút được: 
	Vậy: 	
Chú ý 1: Ta có thể sử dụng phương pháp đồng nhất như sau
	Giả sử 
	Đồng nhất hai vế ta được và ta có kết quả như trên.
Chú ý 2: Ta có thể giải bằng phương pháp tích phân từng phần 2 lần
Ví dụ 5: 
Phân tích: Vì , thêm bớt 
Bài giải: 
	Ta có: 	
	Vậy: 
Ví dụ 6: 
Phân tích: Vì , thêm bớt 
Bài giải: 
	Ta có: 
	Vậy: 
Ví dụ 7: 
Phân tích: Vì , ta thêm bớt 
Giải:
	Ta có: 
	Suy ra 
	Vậy: 	
Bài tập tương tự:
2.1/ 
2.2/ 
2.3/ 
2.4/ 
2.5/ 
2.6/ (trích đề thi Đại học khối B năm 2011)
2.7/ 
2.8/ 
2.9/ 
2.10/ 
2.3.3/ Sử dụng công thức 
	Trong quá trình giải toán nguyên hàm, tích phân chúng ta gặp rất nhiều bài sử dụng công thức trên.
Ví dụ 1: (trích đề khối D năm 2013)
Phân tích: Vì 
Giải: 
	Ta có: 
	Vậy: 
Ví dụ 2: 
Phân tích: Vì 
Bài giải: 	
	Ta có: 
	Vậy: 
Chú ý: Ta có thể giải bằng phương pháp vi phân
Ví dụ 3: 
Phân tích: Vì 
Bài giải: 
	Ta có 
	Vậy 
Chú ý: Ta có thể giải bằng phương pháp vi phân
Ví dụ 4: (trích đề khối B năm 2008)
Phân tích: Vì 
Bài giải: 
	Ta có: 	
	Vậy: 
Chú ý: Ta có thể giải bằng phương pháp vi phân
Bài tập:
3.1/ 
3.2/ 
3.3/ 
3.4/ 
3.5/ (trích đề khối A năm 2010)
2.3.4/ Sử dụng công thức 
	Trong quá trình vận dụng công thức này học sinh thường khó tạo ra u, tôi khuyến khích học sinh dựa vào v và v' để dự đoán ra u. Trong trường hợp khó dự đoán tôi gợi ý học sinh dùng phương pháp đồng nhất.
Ví dụ 1: 
	Ta có: 
	Vậy: 	
Ví dụ 2: 
	Ta có 	
	Vậy: 
Chú ý: Nếu giải bằng cách áp dụng tích phân từng phần tôi hướng dẫn học sinh như sau: 
	 và phân tích cho học sinh là đạo hàm của .
Ví dụ 3: 
	Ta có 
	Vậy 
Chú ý: Ta có thể giải bằng phương pháp tích phân từng phần
Bài tập: 
2.3.5/ Sử dụng 
	Rất nhiều bài mà mẫu chứa một căn sử dụng được công thức này
Ví dụ 1: (trích đề thi Đại học khối A năm 2006)
Phân tích: 
Bài giải: 
	Ta có 
	Vậy 
Chú ý: Ta có thể giải bằng phương pháp vi phân
Ví dụ 2: 
Phân tích: 
Bài giải: 
	Ta có 
	Vậy 
Ví dụ 3: 
Phân tích: 
Bài giải: 
	Ta có: 
	Vậy: 
Ví dụ 4: 
Phân tích: ; để lấy được tích phân thì tử phải có x. Từ đó ta có cách giải như sau
Bài giải: 
	Ta có 
	Vậy 
2.4/ Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm:
	- Đối với bản thân: Tôi thấy việc vận dụng SKKN làm cho bản thân đam mê tìm tòi, thay đổi những lối tư duy truyền thống. Tập cho mình thói quen thay đổi khi đúng trước một vấn đề đã cũ.
	- Đối với học sinh: Việc dạy thực nghiệm lớp 12 A1 năm học 2015-2016 và dạy áp dụng SKKN của lớp 12A1 năm 2016-2017 tôi thu được kết quả và so sánh trong bảng sau
TT
Năm học
Lớp
Sĩ số
Yếu
Trung bình
Khá, giỏi
Số lượng
Tỉ lệ %
Số
 lượng
Tỉ lệ %
Số
 lượng
Tỉ lệ %
1
2015-2016
12A1
45
5
11%
35
78%
5
11%
2
2016-2017
12A1
46
1
2%
24
52%
21
46%
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1/ Kết luận:
	- Sau khi vận dụng sáng kiến này học sinh sẽ hình thành thói quen vận dụng công thức ngược.
	- Học sinh sẽ tìm hiễu kỹ khái niệm, định nghĩa. Học sinh sẽ có thói quen dùng định nghĩa trong giải toán.
	- Đối với đồng nghiệp sau khi tôi trình bày SKKN này giáo viên cũng dần chuyển từ phương pháp vi phân sang sử dụng phương pháp này.
3.2/ Kiến nghị:
	- Những sáng kiến kinh nghiệm có ý nghĩa thực tế trong quá trình giảng dạy, sở nên biên tập thành sách để giáo viên có thêm tài liệu tham khảo.
	- Giấy chứng nhận sáng kiến kinh nghiệm, theo thiển nghĩ của tôi nó có giá trị như “Giấy chứng nhận bản quyền” . Vì vậy sở nên làm trên chất liệu tốt hơn, hình thức đẹp hơn để giáo viên lưu giữ.
 Xin chân thành cảm ơn! 
	 Thọ Xuân, ngày 20 tháng 5 năm 2016 
 	 Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
 không sao chép nội dung của người khác.
 Người thực hiện 
	 Nguyễn Duy Trình	
XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1/ Giải toán tích phân - Nguyễn Văn Mậu (lấy đề bài)
2/ Giải nhanh toán giải tích - Nguyễn Văn Dũng (phần tích phân từng phần)
3/ Tuyển tập đề thi Đại học, Cao đẳng - Trần Phương (lấy đề bài)