Sáng kiến kinh nghiệm Kĩ thuật nhân chia liên hợp đối với phương trình, hệ phương trình chứa căn thức

Đề tài đã trình bày một kĩ năng vận dụng hiệu quả đối với phương trình, hệ phương trình vô tỉ chương trình đại số 10, ôn thi học sinh giỏi, ôn thi THPT Quốc gia.
Thông qua những ví dụ được chọn lọc trong đề tài, ta thấy nhiều bài toán giải bằng phương pháp này cho lời giải gọn gàng, dễ hiểu và nhanh chóng, một số bài toán còn thể hiện được tính độc đáo của kĩ thuật nhân chia liên hợp. Đặc biệt, ôn thi học sinh giỏi cho học sinh khối 10, 11 thì nhiều em còn tỏ ra thích thú khi được tiếp nhận một kĩ thuật khá mới đối với các em.
Tuy nhiên, kĩ thuật nhân chia liên hợp không phải là “chiếc chìa khóa vàng” để mở cửa mọi phương trình, hệ phương trình mà nó chỉ thực sự có hiệu quả đối với một số dạng bài toán nhất định cho nên học sinh cần phải phối hợp nhuần nhuyễn nhiều phương pháp khác nhau. Tôi tin tưởng rằng nếu người học vận dụng tốt phương pháp này thì việc giải toán phương trình – hệ phương trình sẽ thuận lợi hơn rất nhiều. Với những kết quả đã làm được trong đề tài này, tôi hy vọng rằng đây sẽ là một tài liệu tốt cho giáo viên và học sinh trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi và luyện thi môn toán kì thi THPT Quốc gia.
Đề tài này còn góp phần nâng cao rất đáng kể trong công tác giảng dạy, ôn thi THPT Quốc Gia. Đề tài đã giúp các em tích cực và tự tin hơn trong hoạt động tìm kiếm hướng lời giải cho loại bài tập liên quan phương trình, hệ phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức. Từ chỗ rất lúng túng, sai lầm thì nay phần lớn các em đã biết vận dụng những kỹ năng được bồi dưỡng để giải nhanh và thành thạo nhiều bài toán phức tạp. Điều đáng mừng là có nhiều em đã biết sáng tạo trong giải Toán, có nhiều cách giải nhanh và thông minh.
Đối với bản thân tôi khi thực hiện đề tài này vào trong giảng dạy thì tôi nhận thấy các em học sinh trường đã có sự thay đổi lớn về mặt nhận thức đó là ‘‘môn toán là môn học rất là khó’’ và, đặc biệt các em đã rút ra cho mình kinh nghiệm làm bài thi. Mặt khác khi áp dụng đề tài này tôi nhận thấy mình cần phải thay đổi về phương pháp giảng dạy và phương pháp giải các dạng bài tập nhất là phải tìm ra những phương pháp chung nhất, tổng quát nhất giúp các em học sinh có được phương pháp giải nhanh nhất nhất, ngắn gọn nhất, dễ hiểu nhất và dễ nhớ nhất để ghóp phần nâng cao chất lượng dạy và học môn toán tại trường THPT Nguyễn Viết Xuân
MỤC LỤC 1. Lời giới thiệu ..................................................................................................................................2 2. Tên sáng kiến..................................................................................................................................2 3. Tác giả sáng kiến ...........................................................................................................................2 4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến.........................................................................................................2 5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến ........................................................................................................2 6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: Tháng 09/2017.....................3 7. Mô tả bản chất của sáng kiến......................................................................................................3 7.1. Các bước thực hiện sáng kiến ..............................................................................3 7.2. Nội dung sáng kiến...............................................................................................3 7.3. Khả năng áp dụng của sáng kiến........................................................................21 8. Những thông tin cần được bảo mật: Không có ....................................................................21 9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: .....................................................................21 10.2. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tổ chức, cá nhân............................................................................................................22 11. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có): ...............................................................................................................................22 1 6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: Tháng 09/2017. 7. Mô tả bản chất của sáng kiến 7.1. Các bước thực hiện sáng kiến Bước 1: Xây dựng nội dung sáng kiến. Bước 2: Áp dụng sáng kiến trong hoạt động dạy học. Bước 3: Chỉnh sửa, bổ sung, rút kinh nghiệm. Bước 4: Nhân rộng sáng kiến. 7.2. Nội dung sáng kiến 7.2.1. Các dạng liên hợp cơ bản A B • A B A 0, B 0 A B A B 2 • A B A 0, B 0 A B A B • 3 A 3 B 3 A2 3 A.B 3 B 2 A B • 3 A 3 B 3 A2 3 A.B 3 B 2 A3 B • A 3 B A2 A3 .B 3 B 2 A3 B • A 3 B A2 A3 .B 3 B 2 7.2.2. Nội dung của phương pháp nhân chia liên hợp Vận dụng kĩ thuật nhân chia liên hợp cơ bản khi giải phương trình vô tỉ cho ta kết quả nhanh gọn. Mục tiêu của phương pháp này như sau: - Giả sử nhẩm được nghiệm của phương trình là x a . - Nhân liên hợp một cách hợp lý sao cho xuất hiện nhân tử x a và đưa phương trình về dạng: (x a).g(x) 0 . Thông thường ta chứng minh được g(x) 0 hoặc g(x) 0 (Với mọi x thuộc K là tập điều kiện xác định của phương trình). Trong trường hợp khó chứng minh phương trình g(x) 0 vô nghiệm, đòi hỏi khéo léo xử lý phương trình bằng công cụ bất đẳng thức, đạo hàm, Khi vận dụng kĩ thuật nhân chia liên hợp giải thành thạo phương trình vô tỉ thì kĩ thuật này là công cụ hiệu quả để giải hệ phương trình chứa ẩn trong dấu căn cho ta kết quả nhanh gọn. 3 (2) 3x2 5x 1 3 x2 x 1 x2 2 x2 3x 4 2x 4 3x 6 3x2 5x 1 3 x2 x 1 x2 2 x2 3x 4 2 3 x 2 0 3x2 5x 1 3 x2 x 1 x2 2 x2 3x 4 Mặt khác, ta có: 2 3 > 0 với mọi x 3x2 5x 1 3 x2 x 1 x2 2 x2 3x 4 Vậy phương trình (2) có một nghiệm duy nhất x = 2. Ví dụ 3: Giải phương trình: 2 x2 7x 10 x x2 12x 20 (3) Phân tích: Cũng bằng cách kiểm tra, ta thấy phương trình (3) nhận x = 1 làm một nghiệm nên ta có thể đưa phương trình (3) về dạng phương trình tích xuất hiện nhân tử x 1 . Vì biểu thức dưới dấu căn là tam thức bậc hai nên để xuất hiện nhân tử (x 1) , ta thực hiện phân tích như sau: Xét: x 2 7x 10 (x a) 0 , cho x 1 ta được a 1 biểu thức liên hợp x 2 7x 10 (x 1) . Xét: x 2 12x 20 (x a) 0 , cho x 1 ta được a 2 biểu thức liên hợp x 2 12x 20 (x 2) . Giải: 3 2 x2 7x 10 x 1 x2 12x 20 x 2 (4) 18 x 1 16 x 1 x2 7x 10 x 1 x2 12x 20 x 2 x 1 9 8 (*) x2 7x 10 x 1 x2 12x 20 x 2 (*) 8 x2 7x 10 9 x2 12x 20 x 10 Đến đây ta có hai hướng giải quyết: Hướng 1: Bình phương hai vế(không khả thi). 5 29x 2 3x 1 3x 29x 2 3x 1 a 2 2a 4 Ta đặt a 3 162x3 2 suy ra: a 2 2a 4 a 3x a 1 4 1 a 2 a 1 23x 1 a 2 3x 1 1 3x x 3x a 3x 2 a 2 3 1 Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất x . 3 Ví dụ 5: Giải phương trình sau: x2 12 5 3x x2 5 Phân tích: Ta nhận thấy x = 2 là một nghiệm của phương trình. Như vậy phương trình đã cho có thể phân tích được về dạng x 2Q x 0. Giải: Phương trình đã cho tương đương với: x2 12 4 3x 6 x2 5 3 x2 4 x2 4 3 x 2 x2 12 4 x2 5 3 x 2 x 2 x 2 3 0 x2 12 4 x2 5 3 x 2 x 2 x 2 3 0(*) x2 12 4 x2 5 3 1 1 x 2 x 2 Do 0 nên (*) vô nghiệm. x2 12 4 x2 5 3 x2 12 4 x2 5 3 Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2. Ví dụ 6: Giải phương trình 5x 1 3 9 x 2x2 3x 1 Phân tích: Dễ nhẩm được x = 1 là một nghiệm của phương trình, bằng cách phân tích đã nêu ở các ví dụ trên ta có thể thực hiện lời giải như sau: 1 Giải: ĐK: x . 5 Phương trình đã cho tương đương với: 5x 1 2 3 9 x 2 2x2 3x 5 5 x 1 1 x 2 x 12x 5 5x 1 2 3 9 x 2 3 9 x 4 7 x 3 2x 1 8 3x 2 (2 x) 0 x2 x 1 x3 2x 1 4 0 8 3x2 2 x 2 4 x x 1 x 1 0 (*) 8 3x2 2 x 3x Xét f x 8 3x2 2 x ta có: f ' x 1 8 3x2 3x 2 f '(x) 0 1 x 8 3x2 3 Ta có bảng biến thiên: 6 4 6 2 6 6 4 6 f x kết hợp với x 0 f x 3 3 3 4 4 2 6 4 x 1 x 1 1 0 8 3x2 2 x f x 3 6 4 6 3 1 5 Do đó: (*) x 2 x 1 0 x 2 1 5 Vậy phương trình đã cho có nghiệm x . 2 Ví dụ 8: Giải phương trình x2 x 1 x 2 x2 2x 2 Giải: Cũng bằng cách làm tương tự như Ví dụ 7, ta phân tích được như sau: x2 2x 7 3 x 2 x 2 x2 2x 2 0 x2 2x 7 x 23 x2 2x 2 0 9 x 3 x 3 x 3 x 3 2x 5 x 3 1 x 3 0 2 2 2 3 2 x 6 3 x 1 2 x 1 4 x 1 2 x 3 . Vậy phương trình đã có nghiệm x 3 . Bài tập tự luyện: Giải các phương trình sau: 1. 2x 1 x2 3x 1 0 ĐS: x 1, x 2 2 Hướng dẫn: pt 2x 1 1 x2 3x 2 0 , nhân chia liên hợp xuất hiện nhân tử chung x – 1. 11 3 5 2. 3 2 x 2 2x x 6 ĐS: x 3; x 2 Hướng dẫn: pt 3 x 2 1 2x 6 x 6 3, nhân chia liên hợp xuất hiện nhân tử chung x – 3. 1 x 2x x2 1 3. ĐS: x x 1 x2 2 1 x 2x x2 Hướng dẫn: pt 1 1, nhân chia liên hợp xuất hiện nhân tử chung là x 1 x2 2x 1. 4. 9 4x 1 3x 2 x 3 ĐS: x 6 Hướng dẫn: pt 9 4x 1 5 4 3x 2 x 6 32 513 5. 2x2 16x 18 x2 1 2x 4 ĐS: x 1; x 7 Hướng dân: pt 2x2 16x 18 2x 4 x2 1 0 , nhân chia liên hợp xuất hiện nhân tử chung là x2 1 . 7.2.4. KĨ THUẬT NHÂN CHIA LIÊN HỢP ĐỐI VỚI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU CĂN Kĩ thuật nhân chia liên hợp đã khá hiệu quả đối với một số phương trình chứa ẩn trong dấu căn đã nêu ở chương 2, vận dụng kĩ thuật này ta cũng có những cách giải nhanh gọn đối với hệ phương trình chứa ẩn trong dấu căn. Sau đây là một số ví dụ minh họa cho dạng toán này: 11
Tài liệu đính kèm:
sang_kien_kinh_nghiem_ki_thuat_nhan_chia_lien_hop_doi_voi_ph.docx
BIA SANG KIEN.docx
Mau 1.1_ Don de nghi cong nhan sang kien cap co so.doc