Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LÊ HOÀN 
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
 HƯỚNG DẪN HỌC SINH TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG 
 Người thực hiện: Trần Thị Vân
 Chức vụ: Giáo viên
	 SKKN thuộc lĩnh vực môn: Toán 
THANH HOÁ NĂM 2018
 Mục lục
Trang
I. MỞ ĐẦU
Lí do chọn đề tài
3
Mục đích nghiên cứu
3
Đối tượng nghiên cứu
3
Phương pháp nghiên cứu
3
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận
 1/ Định nghĩa khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
4
 2/ Tính chất của hai mặt phẳng vuông góc
4
 3/ Phương pháp xác định khoảng cách từ điểm M đến (P) dựa vào định nghĩa
4
 4/ Quan hệ giữa khoảng cách từ hai điểm đến cùng một mặt phẳng 
4
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
5
2.3. Giải pháp
 1. Bài toán 1: Khoảng cách từ một điểm đến mặt bên của hình chóp
5
 2. Bài toán 2: Khoảng cách từ một điểm đến mặt đáy của hình chóp
13
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
15
III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận 
16
3.2. Kiến nghị
16
Tài liệu tham khảo
17
I. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
 Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng; khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau; khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, giữa đường thẳng và mặt phẳng song song là các bài toán thường gặp trong chương III hình học lớp 11. Việc giải các bài toán này, phần lớn là đưa về tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng .
 Từ năm học 2016-2017, môn toán đã được đổi sang hình thức thi trắc nghiệm, bên cạnh sự cần thiết của nắm chắc lý thuyết thì việc hiểu và thuần thục các kỹ năng giải bài tập là vô cùng quan trọng đối với các em học sinh.
 Khi giảng dạy bài “Khoảng cách” của môn hình học không gian lớp 11 tôi thấy :
- Theo phân phối chương trình bài học chỉ gồm 2 tiết lí thuyết và 1 tiết bài tập. Việc áp dụng kiến thức vào làm bài toán tính khoảng cách chỉ thông qua vài ví dụ chung chung trong khi lượng bài tập liên quan đến khái niệm này tương đối nhiều và phong phú . 
- Nếu giáo viên không phân dạng bài tập để hướng dẫn học sinh rèn luyện phương pháp tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng thì các em có lực học ở mức độ trung bình khá sẽ rất khó khăn trong việc áp dụng định nghĩa, định lí, phương pháp chung vào các bài cụ thể .
Từ những lý do trên, tôi đã chọn đề tài “ Hướng dẫn học sinh tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng ”.
1.2. Mục đích nghiên cứu
 Giúp học sinh lớp 11 và học sinh ôn thi tốt nghiệp THPT quốc gia có lực học ở mức độ trung bình khá làm thành thạo bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng trong hình chóp. Trên cơ sở đó, các em sẽ tiến tới làm tốt bài toán này trên các loại hình khác như: hình lăng trụ, hình hộp
1.3. Đối tượng nghiên cứu
 Đề tài nghiên cứu, tổng kết một số kĩ năng tính khoảng cách từ một điểm đến mặt bên và mặt đáy của hình chóp. 
1.4. Phương pháp nghiên cứu
 1. Nghiên cứu lý luận dạy học.
 2. Thực hành qua các tiết học tự chọn và ôn thi tốt nghiệp.
 3. Tổng kết, đánh giá, đúc rút kinh nghiệm qua việc giảng dạy ở các năm.II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận
 1/ Định nghĩa khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là khoảng cách giữa điểm
và hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng .
Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng kí hiệu là: [1].
M
H
P
 2/ Tính chất của hai mặt phẳng vuông góc
Định lí: 
 Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này mà vuông góc với giao tuyến sẽ vuông góc với mặt phẳng kia [1].
P
Q
a
 3/ Phương pháp xác định khoảng cách từ điểm M đến (P) dựa vào định nghĩa
*Bước 1: Tìm một mpvuông góc với và chứa .
 Xác định giao tuyến của và .
*Bước 2: Trong mp, dựng đường thẳng vuông góc với tại thì là hình chiếu vuông góc của trên mp, do đó [2].
P
Q
M
H
 4/ Quan hệ giữa khoảng cách từ hai điểm đến cùng một mặt phẳng
Trong không gian, cho mphai điểm phân biệt không thuộc mp:
M
N
P
H
K
I
Nếu thì:
 [2].
M
N
P
H
K
Nếu // thì:
 [2].
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
 Nhiều học sinh lớp 11 và học sinh ôn thi tốt nghiệp THPT quốc gia có lực học ở mức độ trung bình khá khi giải quyết câu hỏi về tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng thì rất thuộc phương pháp nhưng lúng túng khi áp dụng. Lý do là các em chưa được rèn luyện cách áp dụng phương pháp chung vào từng loại điểm và mặt trong hình cụ thể.
2.3. Giải pháp
 Trước thực trạng trên tôi đã phân chia bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng trong hình chóp thành hai bài toán với ba dạng nhỏ và cụ thể hóa phương pháp giúp các em dễ dàng tiếp thu, áp dụng. 
Bài toán 1. Khoảng cách từ một điểm đến mặt bên của hình chóp.
 Dạng 1.1: Khoảng cách từ chân đường cao đến mặt bên của hình chóp.
 Dạng 1.2: Khoảng cách từ một điểm khác chân đường cao đến mặt bên của hình chóp.
Bài toán 2. Khoảng cách từ một điểm đến mặt đáy của hình chóp.
1. BÀI TOÁN 1: KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT BÊN CỦA HÌNH CHÓP
 Dạng 1.1: Khoảng cách từ chân đường cao đến mặt bên của hình chóp
 a/ Bài toán: Cho hình chóp có đường cao là . Xác định khoảng
cách từ chân đường cao đến mặt bên .
H
K
C
A
D
B
S
I
 b/ Phân tích: Đầu tiên, cần lấy một 
mp() vuông góc với và chứa :
Xét thấy đã có sẵn , để lấy mpvuông góc với , ta chọn lấy mp() vuông góc với . Vậy kẻ thêm một đường thẳng vuông góc với và cắt là có mp().
 c/ Phương pháp: 
* Bước 1: Tìm một mpvuông góc với và chứa như sau
 + Nhận biết đã có sẵn.
 + Trong , dựng tại (tùy vào đặc điểm của mặt
 đáy mà có vị trí cụ thể) ta được 
 Lấy giao tuyến của và là 
* Bước 2:
 - Trong mp, từ dựng tại suy ra 
 - Tính : Thường dựa vào các hệ thức trong tam giác vuông 
 ; ;... 
Ví dụ 1: Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại , cạnh và góc . Cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy, . Tính theo khoảng cách từ điểm đến .
600
2a
A
S
K
B
C
a
Hướng dẫn:
 * Đã biết là chân đường cao của hình chóp nên có sẵn , kẻ từ đường thẳng vuông góc với chính là , suy ra . 
 Xác định .
 * Trong mp, dựng tại , ta được: .
 Tính : Theo giả thiết ta có: vuông tại , cạnh và gócnên suy ra: . Tam giác vuông tại có là đường cao nên . 
 Vậy : .
M
A
C
B
H
I
S
K
a
600
Ví dụ 2: Cho hình chóp có đáy lá tam giác đều cạnh bằng , hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng là trung điểm của , mặt phẳng tạo với đáy một góc bằng . Tính theo khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .
Hướng dẫn:
 * Đã có sẵn , kẻ ( là trng điểm với là trung điểm ) ta được . Xác định 
 * Từ kẻ tại 
 Tính : 
 Xác định góc giữa mp và mp là 
 , 
 Vậy .
Ví dụ 3: Cho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh a , .
Cạnh bên vuông góc với đáy, góc giữa và mp bằng 450. Tính theo khoảng cách từ đến mp.
I
A
K
D
C
B
S
600
a
450
a
Hướng dẫn: 
Nhận xét: Điểm là chân đường cao và là mặt bên hình chóp 
 * Đã có , trong () dựng tại ( là trung điểm của ) ta được . Xác định . 
 * Trong dựng tại suy ra 
 Tính : 
 + Xác định góc giữa và mp là 
 + là các tam giác đều cạnh nên 
 + vuông tại và có suy ra 
 +Tam giác vuông tại có là đường cao nên
 .
 Vậy : .
Bài tập tự luyện
Bài 1. Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật với và . Cạnh bên vuông góc với đáy và góc giữa cạnh bên SC với đáy là . Tính theo khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .
Đáp số: 
Bài 2. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Gọi , lần lượt là trung điểm của và . Tính theo 
a/ khoảng cách từ đến mp. 
b/ khoảng cách từ đến mp. 
Đáp số: a/ . b/ .
Bài 3. Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông tại , , . Gọi là trung điểm của đoạn thẳng , là giao điểm của và . Tính theo khoảng cách từ đến mp.
Đáp số: .
 Dạng 1.2: Khoảng cách từ một điểm khác chân đường cao đến mặt bên của hình chóp.
D
B
A
C
H
M
I
S
 a/ Bài toán: Cho hình chóp có đường cao . Lấy điểm thuộc mặt phẳng đáy sao cho khác . Tính khoảng cách từ đến mặt bên .
K
M
D
B
A
C
H
S
 (Hình a) (Hình b)
 c/ Phương pháp: Áp dụng cho 2 trường hợp sau
* Trường hợp 1: mp chứa đường cao(Hình a).
 Vì chứa đường caosuy ra theo giao tuyến 
 Tiến hành dựng tại , được .
* Trường hợp 2: mp không chứa thì ta tính dựa vào
 (Hình b).
 - Bước 1: Thực hiện “ chuyển dần khoảng cách từ về
 khoảng cách từ ” như sau
 + Nếu thì : 
 + Nếu cắt tại điểm thì:
(Chú ý: Trong trường hợp tỷ lệ khó tìm, thì ban đầu ta chuyển về có tỷ lệ khoảng cách dễ tìm trước, ... cuối cùng mới chuyển đến ) 
 - Bước 2: Xác định và tính suy ra .
Ví dụ 1: Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại ,. . Hình chiếu vuông góc của đỉnh trên mặt đáy là trung điểm của cạnh và . Tính theo :
	a/ Khoảng cách từ đến mp.
	b/ Khoảng cách từ đến mp [4].
Hướng dẫn: Xét tam giác vuông tại , ta có: .cos .
 a/ .sin.
H
B
A
C
M
S
2a
300
* Vì nên ; . Kẻ tại suy ra . Do đó .
* Trong : .	
 Vậy .
B
K
A
C
H
I
S
2a
300
 b/ 
 Xét thấy mp không chứa , do đó để tính chuyển về 
* Ta có và . 
* Xác định : Trong , kẻ tại (). Nối .
 Trong , kẻ tại . Ta được .
* Tính : Xét vuông tại , là đường cao 
 ta có: . 
 Vậy: .
Ví dụ 2: Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại và , vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết , , góc giữa hai mặt phẳng và bằng . Tính theo khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .
450
H
A
B
I
C
D
S
2a
a
a
Hướng dẫn:
* Vì nên .
* Gọi là hình chiếu của trên , 
chứng minh được là khoảng cách từ 
đến .
* Từ giả thiết chứng minh được , 
 suy ra góc giữa hai mặt phẳng 
và bằng , tính được .
* Trong tam giác vuông tính được .
Đáp số: .
Ví dụ 3: Cho hình chóp tam giác đều có độ dài cạnh đáy bằng , độ dài cạnh bên bằng . Gọi là trọng tâm của tam giác , là trung điểm
của . Tính theo khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .
C
B
M
A
G
I
H
S
2a
Hướng dẫn: là chân đường cao của hình chóp, nếu “ chuyển trực tiếp khoảng cách từ về khoảng cách từ ” sẽ khó thấy tỷ lệ khoảng cách, vậy ta chọn chuyển về , về 
 * 
 * Tính . ( Hình vẽ)
 ; ; 
Trong : .
 Vậy .
Bài tập tự luyện
Bài 1. Cho hình chóp có đáy là hình vuông tâm cạnh bằng . Cạnh bên , vuông góc với đáy. Gọi là trọng tâm tam giác . Tính theo 
a/ Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng . 
b/ Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng . 
Đáp số: a/ .
 b/ .
Bài 2. Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại , , ; mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng . Biết và . Tính theo khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng . 
Đáp số: .
Bài 3. Cho hình lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh . Hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng là trung điểm cạnh , góc giữa đường thẳng và mặt đáy bằng .Tính theo khoảng cách từ điểm đến mp() . 
Đáp số: .
2. BÀI TOÁN 2: KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT ĐÁY CỦA 
 HÌNH CHÓP
 a/Bài toán: Cho hình chópcó đường cao lấy điểm bất kỳ thuộc mặt sao cho không trùng với các điểm. Xác định khoảng cách từ điểmđến mặt đáy .
 b/ Phân tích: Đã biết nên để xác định ta dựa vào .
S
C
A
D
B
H
M
I
N
 c/ Phương pháp:
Cách 1: “ Chuyển khoảng cách từ về khoảng cách từ ” 
 * Trong có chứa , nối cắt mp tại (tùy vào hình mà
 có thể chính xác hóa vị trí ).
 * Tìm liên hệ : .
Cách 2: Dựng hình chiếu của trên 
 * Trong kẻ suy ra 
 * Tính theo tỷ lệ với .
A
B
C
D
O
G
P
N
S
Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng , cạnh bên bằng . Gọi là trọng tâm tam giác , tính khoảng cách từ đến mp. 
Hướng dẫn: 
 + Gọi là giao điểm của và . Do là hình chóp tứ giác đều
nên .
 + Nối cắt tại ( là trung điểm của ). Vì nên .
 + Ta có: , , 
 Vậy .
Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ tam giác đều có , góc giữa đường thẳng và mp bằng . Gọi là trọng tâm của tam giác . Tính khoảng cách từ đến mp.
450
C’
I
G’
C
A’
B’
A
B
G
a
Hướng dẫn: 
+ Xét thấy là mặt đáy của hình chóp với đường cao . 
+ Ta có thuộc trung tuyến của và nên 
+ Tính : Góc giữa và là góc suy ra . 
 Vì nên cạnh . 
 Vậy : .
Bài tập tự luyện
Bài 1. Cho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh . Tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi là trọng tâm tam giác . Tính theo khoảng cách từ đến mp.
Đáp số: .
Bài 2. Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, biết diện tích đáy bằng ,, là tam giác đều và nằm trên mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi là trung điểm của . Tính theo khoảng cách từ đến mặt phẳng .
Đáp số: .
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
 	Tôi áp dụng phương pháp trên ở 2 nhóm học sinh có học lực môn Toán học tương đương nhau thông qua việc, kiểm tra 15 phút, kiểm tra 1 tiết, kết quả thu được như sau:
- Nhóm không sử dụng phương pháp trên (nhóm đối chứng):
Lớp
Sĩ số
Đạt yêu cầu
Không đạt yêu cầu
Số lượng
%
Số lượng 
%
11A4
45
17
37.7
28
62.3
12A5
44
15
34.09
29
65.91
- Nhóm thực nghiệm (có sử dụng phương pháp mới)
Lớp
Sĩ số
Đạt yêu cầu
Không đạt yêu cầu
Số lượng
%
Số lượng 
%
11A8
44
39
88.63
5
11.37
12A7
44
40
90.0
4
10.0
III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
	Đề tài đã giải quyết được các vấn đề sau:
	1. Đề tài đã chỉ ra được cách khắc phục khó khăn trong việc áp dụng kiến thức hình không gian của một lớp đối tượng học sinh vào giải các bài toán về tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
	2. Đề tài đã chỉ ra hướng đi nhằm đơn giản các đơn vị kiến làm cho học sinh tiếp thu kiến thức nhẹ nhàng hơn, dễ hiểu hơn. 
	3. Đề tài được dùng trong những tiết luyện tập để nâng cao kết quả hoạt động giáo dục.
	4. Thông qua việc tìm ra bài toán gốc, việc tổng quát bài toán, việc tạo ra bài toán mới, dần dần hình thành cho các em khả năng làm việc độc lập, sáng tạo, phát huy tối đa tính tích cực của học sinh theo đúng tinh thần phương pháp mới của Bộ Giáo dục và Đào tạo. Điều quan trọng là tạo cho các em niềm tin, hứng thú khi học tập bộ môn.
3.2. Kiến nghị
Mặc dù đề tài này tôi nghiền ngẫm, đúc rút kinh nghiệm và vận dụng trong giảng dạy ở nhiều năm, cũng đã giúp được những điều bổ ích cho học sinh học tập tốt hơn. Xong chắc chắn còn phải tiếp tục được hoàn thiện, bổ sung thêm. Vậy tôi rất mong được sự góp ý chân tình của các đồng nghiệp.
	 Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh hoá, ngày 19 tháng 05 năm 2018
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung
của người khác.
(Ký và ghi rõ họ tên)
Trần Thị Vân
TÀI LIỆU THAM KHẢO
 1/ Sách giáo khoa hình học lớp 11 nâng cao- Văn Như Cương chủ biên- Nhà xuất bản giáo dục, 2007. 
 2/ Giải toán hình học 11- Lê Hồng Đức - Nhóm Cự Môn - Nhà xuất bản Hà Nội, 2008.
3/ Đề thi TNTHPT Quốc gia Quốc gia năm 2015.
4/ Đề minh họa THPT Quốc gia Quốc gia năm 2015.