Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải quyết hiệu quả bài toán tính khoảng cách trong không gian

Người thực hiện: Phạm Thị Hiền
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc môn: Toán
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT NHƯ XUÂN
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 11
GIẢI QUYẾT HIỆU QUẢ BÀI TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN
THANH HÓA NĂM 2018
MỤC LỤC
1.
MỞ ĐẦU ......................................................................................
Trang 01
1.1.
Lí do chọn đề tài ................................................................
Trang 01
1.2.
Mục đích nghiên cứu ....
Trang 01
1.3.
Đối tượng nghiên cứu ...
Trang 02
1.4.
Phương pháp nghiên cứu .
Trang 02
2.
NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM .............................
Trang 02
2.1.
Cơ sở lí luận của Sáng kiến kinh nghiệm .......................
Trang 02
2.2.
Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm ...............................................................................
Trang 03
2.3.
Các sáng kiến và giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề ................................................................................
Trang 04
2.3.1. Phương pháp tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng ...........................................................................
Trang 04
2.3.2. Phương pháp tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song ..........................................................
Trang 10
2.3.3. Phương pháp tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song ............................................................................
Trang 11
2.3.4. Phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ............................................................................
Trang 12
2.3.5. Bài tập củng cố, rèn luyện .........................................
Trang 16
2.4.
Hiệu quả của Sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường ......
Trang 18
3.
KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ ..........................................................
Trang 19
3.1.
Kết luận ....
Trang 19
3.2.
Kiến nghị ...
Trang 20
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......
Trang 21
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài:
	Khoảng cách là một trong những kiến thức quan trọng trong hình học không gian, bài toán về khoảng cách cũng thường xuyên xuất hiện trong các kì thi quốc gia, kì thi học sinh giỏi. Nhưng trong quá trình dạy học vừa qua tôi nhận thấy học sinh chưa hứng thú, còn e ngại đối với bài toán tính khoảng cách, kết quả học tập chưa cao. Bởi đây là dạng toán tổng hợp nhiều loại kiến thức, tính trừu tượng cao, đòi hỏi nhiều kỹ năng... Do đó để học tốt nội dung này, người học không chỉ phải nắm vững kiến thức, có tư duy trừu tượng, biết vẽ hình và khai thác hình vẽ... mà bên cạnh đó còn phải nắm vững phương pháp giải toán và được rèn luyện để hình thành kỹ năng. 
	Mặt khác trong trương trình Sách giáo khoa Hình Học 11 hiện hành, bài toán khoảng cách được trình bày ở bài cuối cùng học kì II (Chương 3), phân phối chương trình chỉ có 3 tiết nên giáo viên cần phải nghiên cứu để đưa ra phương pháp giảng dạy hiệu quả nhất mới có thể giúp cho học sinh nắm vững lý thuyết và phương pháp giải bài toán tính khoảng cách. Trong đó giáo viên phải chú trọng giúp học sinh nắm vững các dạng toán cơ bản và phương pháp giải chúng, từ đó gây hứng thú cho học sinh, giúp học sinh học tập tự tin hơn, không còn e ngại và từng bước khuyến khích học sinh học tập, rèn luyện hình thành kỹ năng, phát triển tư duy. Bên cạnh đó, tôi nhận thấy hiện nay chưa có nhiều đề tài, tài liệu tham khảo viết về vấn đề này sát với điều kiện thực tế và đối tượng học sinh trường THPT Như Xuân, trong khi nhiều học sinh chưa biết tự sàng lọc tài liệu để học. Ngoài ra, nếu học sinh giải quyết tốt bài toán tính khoảng cách ở Hình Học 11 sẽ giúp các em giải quyết tốt bài toán tính thể tích ở môn Hình Học 12; và đây cũng chính là hai dạng toán rất quan trọng và thường gặp trong chương trình toán THPT. Đặc biệt trong những năm gần đây bộ giáo dục đã sử dụng đề môn toán bằng hình thức trắc nghiệm khách quan trong kì thi THPT quốc gia thì hai dạng toán này sẽ xuất hiện nhiều và đòi hỏi học sinh phải tư duy linh hoạt hơn, có kỹ năng để tính nhanh và chính xác kết quả, điều đó khiến các em lại càng thấy khó khăn, thậm chí nhiều em còn có ý định bỏ qua dạng toán này.
	Vì vậy trong quá trình dạy học tôi luôn trăn trở và luôn nghiên cứu, tìm tòi đưa ra hệ thống các dạng bài tập và phương pháp giải tốt nhất. Từ đó trong năm học 2017-2018, tôi đã chọn đề tài Sáng kiến kinh nghiệm là "Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải quyết hiệu quả bài toán tính khoảng cách trong không gian" để giúp các em có hướng làm bài tập hiệu quả hơn và trong thời gian ngắn nhất. 
1.2. Mục đích nghiên cứu:
	Tôi nghiên cứu đề tài này nhằm tìm ra những phương pháp giảng dạy phù hợp với điều kiện thực tế và đối tượng học sinh nhà trường, giúp học sinh lớp 11 giải quyết tốt bài toán tính khoảng cách trong môn hình học, từ đó học sinh tháo gỡ những vướng mắc, khó khăn khi học, không e ngại môn học này, có hứng thú khi học và nâng cao chất lượng học tập môn học; giúp người dạy có thêm kinh nghiệm khi giảng dạy bộ môn này, từ đó nâng cao chất lượng giảng dạy môn hình học không gian nói chung và bài toán tính khoảng cách trong môn Hình Học 11 nói riêng, làm tiền đề để học sinh giải quyết tốt bài toán tính thể tích ở Hình Học 12. Đồng thời bản thân mong muốn Sáng kiến kinh nghiệm này là một tài liệu tham khảo hữu ích cho người học và người dạy, góp phần vào phong trào đổi mới phương pháp dạy học trong giai đoạn hiện nay.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
Đối tượng nghiên cứu của đề tài này là phương pháp giải bài toán tính khoảng cách trong giảng dạy nội dung chương III – Quan hệ vuông góc, sách giáo khoa Hình Học 11, chương trình chuẩn [1].
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
	Phương pháp nghiên cứu chủ yếu của Sáng kiến kinh nghiệm này là: Phương pháp xây dựng cơ sở lý thuyết và phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin.
1.5. Những điểm mới của Sáng kiến kinh nghiệm:
	Sáng kiến kinh nghiệm này tôi phát triển từ đề tài của bản thân ở những năm học trước, tôi đã bổ sung những điểm mới sau:
	- Xây dựng lại hệ thống bài tập theo hình thức câu trắc nghiệm khách quan để phù hợp với xu thế thi THPT quốc gia hiện nay.
	- Điều chỉnh, bổ sung nội dung mục Lí do chọn đề tài; điều chỉnh một số mục về hình thức trình bày.
	- Bổ sung và điều chỉnh lại một số hướng dẫn giải toán ở các ví dụ để hướng dẫn dễ hiểu, sát với đối tượng học sinh hơn.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lý luận của Sáng kiến kinh nghiệm:
	Sáng kiến kinh nghiệm này được áp dụng để giúp học sinh giải quyết tốt bài toán tính khoảng cách trong Chương III – Quan hệ vuông góc, Hình Học 11, chương trình chuẩn, bao gồm: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng; khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song; khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song; khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. 	Các kiến thức sử dụng trong sáng kiến này đều thuộc phạm vi chương trình sách giáo khoa Hình Học 11 THPT, chương trình chuẩn ([1]) và chủ yếu là trong Chương III – Quan hệ vuông góc, đảm bảo chuẩn kiến thức kỹ năng theo chương trình hiện hành. Ngoài ra, Sáng kiến này sử dụng một số kiến thức mà người dạy có thể hướng dẫn học sinh dễ dàng suy ra từ các kiến thức đã được học, cụ thể như sau:
Tính chất 1. Nếu hai điểm phân biệt M, A nằm trên đường thẳng song song với mặt phẳng (P) thì ta có:
Chứng minh: 
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M, A lên (P) thì MHKA là hình chữ nhật nên
 hay 
M
A
H
K
P
Tính chất 2. Nếu hai điểm phân biệt M, A không thuộc (P) và đường thẳng MA cắt (P) tại điểm I thì ta có:
M
A
H
K
P
I
.
Chứng minh: 
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M, A lên (P) thì MH // AK và I, H, K thẳng hàng nên theo định lí Ta-lét ta có
 hay .
	Như vậy, với hai tính chất được chứng minh một cách đơn giản trên cùng với những kiến thức học sinh đã được học trong chương trình toán THPT, có thể khẳng định học sinh hoàn toàn có đủ kiến thức, khả năng để tiếp thu nội dung của Sáng kiến này và hoàn toàn phù hợp với chuẩn kiến thức của chương trình hiện hành.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm:
	Trước khi áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm này trong giảng dạy môn Hình Học 11, tôi nhận thấy đa số học sinh rất e ngại, không hứng thú khi giải bài toán tính khoảng cách trong không gian. Khi giải toán học sinh chưa định hướng được phương pháp giải rõ ràng, còn mơ hồ, mò mẫm; chưa biết đặt ra các câu hỏi định hướng như: Bài toán này thuộc dạng nào? Phương pháp giải dạng này như thế nào? Thực hiện theo các bước như thế nào, bước nào trước, bước nào sau? Khai thác giả thiết ra sao? Cần vận dụng những kiến thức liên quan nào? Vẽ hình thế nào, có cần vẽ thêm hình phụ không? Trình bày lời giải thế nào? Lời giải trình bày như thế có sai sót gì không?. Chính điều đó làm cho học sinh lúng túng khi giải toán và không hứng thú học dẫn đến kết quả học tập chưa cao, đa số học sinh thường không giải được bài toán dù không khó hoặc còn gặp sai lầm, lời giải sai sót. Từ đó kéo theo việc học sinh học yếu môn Hình Học ở lớp 12 nói chung và việc giải quyết bài toán tính thể tích đa diện nói riêng. Bên cạnh đó, khi giảng dạy bài toán tính khoảng cách nếu người dạy không có sự nghiên cứu kỹ lưỡng sẽ khiến học sinh khó tiếp thu, kết quả giảng dạy không cao.
2.3. Các sáng kiến và giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề: 
	Để giải quyết thực trạng trên, khi giảng dạy học sinh giải bài toán tính khoảng cách trong nội dung Chương III, Hình Học 11, tôi đã nghiên cứu đưa ra các dạng toán và phương pháp giải, sắp xếp một cách hợp lý, sau đó hướng dẫn học sinh một cách tỉ mỉ, có ví dụ cụ thể để học sinh nắm được. Đồng thời hình thành và rèn luyện kỹ năng giải toán thông qua hệ thống bài tập luyện tập và bài tập tự luyện được lựa chọn cẩn thận. Sau đây là các dạng toán cơ bản, phương pháp giải, hệ thống ví dụ, bài tập mà tôi đã áp dụng để giúp học sinh giải quyết tốt bài toán tính khoảng cách trong chương trình Hình Học 11.
	Trước hết, tôi phân chia thành bốn dạng toán về tính khoảng cách và sắp xếp theo thứ tự, đó là:
Dạng 1: Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Dạng 2: Tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song.
Dạng 3: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
Dạng 4: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
	Sau đó, tôi hướng dẫn học sinh lần lượt nắm vững phương pháp giải và hình thành, rèn luyện kỹ năng giải các dạng toán đó. Để đưa ra các dạng toán và phương pháp giải tôi đã tự nghiên cứu, đúc rút kinh nghiệm, kết hợp với tham khảo trong [2], [3]. Cụ thể như sau:
2.3.1. Phương pháp tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Xét bài toán: Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P).
	Trước hết, giáo viên phân tích để học sinh thấy đa số bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng sẽ có giả thiết liên quan đến một hình chóp hoặc có thể quy bài toán liên quan đến một hình chóp. Vì vậy ta xét bài toán trong 3 trường hợp sau:
Trường hợp 1: Điểm M trùng với chân đường cao của hình chóp và (P) là một mặt bên của hình chóp.
	Giáo viên giới thiệu trường hợp cụ thể, xem là Bài toán gốc 1:
	Xét hình chóp S.ABC, có SA vuông góc với đáy (ABC). Tính khoảng 	cách từ A đến (SBC).
Phương pháp: (Xác định trực tiếp đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (SBC)).
Thực hiện theo các bước như sau:
- Bước 1: Kẻ đường thẳng AK vuông góc với BC tại K.
(Giáo viên nhấn mạnh BC là giao tuyến của mặt đáy (ABC) và mặt (SBC)).
- Bước 2: Kẻ đường thẳng AH vuông góc với SK tại H.
- Bước 3: Chứng minh .
Thật vậy, ta có (do ) và nên .
- Bước 4: Tính AH.
S
A
C
B
K
H
Lưu ý: Nếu bài toán chưa cho sẵn chân đường cao, giáo viên cần hướng dẫn học sinh tìm chân đường cao. Khi đó giáo viên cần củng cố và hướng dẫn học sinh vận dụng các tính chất sau:
	1) Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào 	nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc 	với mặt phẳng kia [1].
	2) Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với một mặt phẳng 	thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng đó [1].
	3) Nếu hình chóp có các cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao của 	hình chóp đó trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy của nó.
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và nằm trên mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD). Gọi M là trung điểm cạnh AB. Tính theo a các khoảng cách sau:
	a) . 	b) .
Hướng dẫn: Chứng minh M là chân đường cao. Từ đó tính , theo các bước của Bài toán gốc 1.
S
A
D
B
M
H2
C
H1
K2
Lời giải:
a) Ta có (do tam giác SAB đều).
Mà , 
nên . Suy ra M là chân đường cao của hình chóp S.ABCD.
Ta thấy nên:
- Kẻ MK1 vuông góc với BC tại K1.
Suy ra K1 trùng với B (do ).
- Kẻ MH1 vuông góc với SB tại H1.
Khi đó và (do 
nên . Suy ra .
 .
b) Ta thấy nên:
- Kẻ MK2 vuông góc với CD tại K2. Suy ra K2 là trung điểm CD (do).
- Kẻ MH2 vuông góc với SK2 tại H2. Suy ra .
 .
Trường hợp 2: Điểm M không trùng với chân đường cao của hình chóp, (P) là một mặt bên của hình chóp và không chứa chân đường cao.
Phương pháp: (Tính gián tiếp thông qua phương pháp đổi điểm).
	Giả sử A là chân đường cao của hình chóp. Giáo viên hướng dẫn học sinh đưa trường hợp 2 về trường hợp 1 bằng phương pháp đổi điểm M về A như sau:
M
A
H
K
P
- Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng MA và mặt phẳng (P).
- Nếu MA // (P), theo Tính chất 1 (trang 2)
ta có: 
(Gọi là phương pháp đổi điểm song song).
- Nếu MA cắt (P) tại I, theo Tính chất 2 
(trang 3) ta có:
hay .
(Gọi là phương pháp đổi điểm cắt nhau).
M
A
K
P
I
H
Nhận xét: Phương pháp đổi điểm giúp ta chuyển bài toán tính về bài toán tính , trong đó A là điểm mà việc thực hiện tính khoảng cách tới (P) thuận lợi hơn so với M. Thông thường A là chân đường cao hoặc A thuộc mặt đáy của hình chóp. 
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, , , góc giữa cạnh SB và mặt đáy (ABCD) bằng 600. Gọi G là trọng tâm tam giác SAB. Tính theo a các khoảng cách sau:
	a) .	b) .	c) .	
Hướng dẫn: A là chân đường cao nên tính được theo các bước của Bài toán gốc 1. Vì vậy để tính , , cần tính theo bằng cách đổi các điểm B, O, G về A. Đối với điểm G, do việc xét vị trí tương đối giữa GA với (SCD) gặp khó khăn nên cần đổi G qua một điểm trung gian thuộc mặt đáy của hình chóp, sau đó đổi về A.
S
A
D
B
H
C
K
O
M
.G
Lời giải:
a) Ta có A là chân đường cao của hình chóp.
BA // CD, CD (SCD) nên BA // (SCD).
Suy ra .
Do nên ta thực hiện:
- Kẻ AK vuông góc với CD tại K.
Suy ra K là trung điểm CD và 
- Kẻ AH vuông góc với SK tại H (1).
Suy ra nên .
Ta có: , .
Góc giữa SB và (ABCD) là góc SBA (do ) nên góc SBA bằng 600. Do đó trong tam giác SAB, ta có .
Suy ra: .
b) Ta có OA cắt (SCD) tại C nên 
hay = .
c) Gọi M là trung điểm AB thì GM cắt (SCD) tại S nên
 hay (3).
Mặt khác, MA // (SCD) nên (4).
Từ (3) và (4) suy ra .
Vậy .
Ví dụ 3. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm cạnh AB, góc giữa đường thẳng A’C và đáy bằng 60. Tính theo a khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACC’A’) [5].
Hướng dẫn: Cần gắn bài toán vào một hình chóp hợp lý (Gợi ý: Sao cho hình chiếu vuông góc của A’ lên (ABC) là chân đường cao và (ACC’A’) là mặt phẳng chứa mặt bên của hình chóp này). Sau đó sử dụng phương pháp đổi điểm để đổi điểm B về chân đường cao.
A
B
C
M
K
A’
B’
C’
H
Lời giải:
Gọi M là trung điểm AB thì
A’M (ABC) và M là chân đường cao của hình chóp A’.ABC.
Suy ra hình chiếu của A’C lên (ABC) là CM nên góc giữa A’C và (ABC) là góc A’CM bằng 60.
BM (ACC’A’) = A nên
hay .
* Tính :
- Kẻ MK vuông góc với AC tại K.
- Kẻ MH vuông góc với A’K tại H.
Suy ra MH (ACC’A’) nên .
MK = AM.sin600 ; A’M = MC.tanA’CM . 
 .
Vậy .
Trường hợp 3: Mặt phẳng (P) chứa đường cao của hình chóp, điểm M thuộc mặt đáy của hình chóp.
Khi đó ta xét một trường hợp cụ thể, xem là Bài toán gốc 2 như sau:
	Xét hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy (ABC). Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB).
S
A
C
B
H
Phương pháp: (Trực tiếp xác định đường thẳng đi qua C và vuông góc với mặt phẳng (SAB)).
Thực hiện theo các bước như sau:
- Bước 1: Kẻ CH vuông góc với AB tại H.
(Giáo viên nhấn mạnh AB là giao tuyến
của mặt đáy (ABC) và mặt bên (SAB)).
- Bước 2: Chứng minh .
Thật vậy, ta có (do ) 
và nên .
- Bước 3: Tính CH.
Lưu ý: Nếu điểm M không thuộc mặt đáy của hình chóp thì sử dụng phương pháp đổi điểm, đổi M về một điểm thuộc mặt đáy của hình chóp.
Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi. Biết rằng tứ diện SABD là tứ diện đều cạnh a. Gọi G là trọng tâm tam giác SAB. Tính theo a:
	a) .	b) .
Hướng dẫn: Hình chóp không có sẵn đường cao nên cần xác định đường cao với lưu ý sử dụng giả thiết tứ diện SABD đều, khi đó sẽ thấy (SAC) chứa đường cao của hình chóp. Do B thuộc mặt đáy của hình chóp nên sử dụng trực tiếp các bước của Bài toán gốc 2. Điểm G không thuộc mặt đáy của hình chóp nên đổi về một điểm thuộc mặt đáy.
Lời giải:
a) Gọi O là tâm của tam giác đều ABD thì (do SABD là tứ diện đều). Suy ra SO là đường cao của hình chóp S.ABCD.
S
A
D
B
O
H
C
I
.G
K
Ta thấy mặt phẳng (SAC) chứa đường cao SO và nên để tính ta thực hiện:
- Kẻ BH vuông góc với AC tại H thì H chính là giao điểm của BD và AC (do ABCD là hình thoi).
- Khi đó (do ) và nên .
- Suy ra: .
Vậy .
b) Gọi I là trung điểm AB thì GI cắt (SAC) tại S nên
 hay (1).
Mặt khác IB cắt (SAC) tại A nên
 hay (2).
Từ (1) và (2) ta có .
Vậy .
Lưu ý: Có thể tính trực tiếp như sau: Kẻ IK vuông góc với AC tại K. Khi đó IK // BD nên K là trung điểm AH và .
Ví dụ 5. Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật, , . Hình chiếu vuông góc của A1 lên (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD. Góc giữa hai mặt phẳng (ADD1A1) và (ABCD) bằng 600. Tính theo a khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng (A1BD) [6].
Hướng dẫn: Cần tìm cách gắn bài toán với một hình chóp phù hợp. Giáo viên có thể gợi ý học sinh theo các bước sau:
- Gọi O = AC BD thì A1O (ABCD) và (A1BD) chứa A1O.
- Từ đó cần tìm hình chóp có đường cao là A1O và (A1BD) là mặt bên.
A1
D1
C1
B1
C
A
D
B
O
I
H
H1
- Sau khi đã tìm được hình chóp phù hợp, xét xem B1 có thuộc mặt đáy của hình chóp này không? Nếu không hãy sử dụng phương pháp đổi điểm chuyển B1 về một điểm thuộc mặt đáy của hình chóp (có thể đổi điểm song song hoặc đổi điểm cắt nhau).
Lời giải:
Gọi O là giao điểm của AC và BD thì A1O (ABCD).
Xét hình chóp A1.ABD có O là chân đường cao và mặt bên (A1BD) chứa đường cao A1O.
Gọi I là giao điểm của A1B và AB1 thì B1A (A1BD) = I.
Do đó: hay .
*Tính :
Kẻ AH vuông góc với BD tại H.
Suy ra AH (A1BD) nên .
Trong tam giác ABD vuông tại A ta có:
 .
Vậy .
Lưu ý: Do B1C // (A1BD) nên có thể đổi điểm song song từ B về C. Khi đó xét hình chóp A1.BCD ta cũng có mặt bên (A1BD) chứa đường cao A1O nên kẻ CH1 vuông góc với BD tại H1 thì .
Kết luận mục 2.3.1
	Mục 2.3.1 trình bày phương pháp tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng bằng cách gắn bài toán vào một hình chóp. Khi vận dụng, giáo viên cần hướng dẫn học sinh:
	- Biết phát hiện và gắn bài toán vào hình chóp phù hợp thuộc một trong 	ba trường hợp trên (nếu như đề bài chưa cho sẵn).
	- Phát hiện chân đường cao của hình chóp.
	Hai điều trên chính là chìa khoá giúp học sinh giải quyết tốt bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Từ đó làm tiền đề giúp học sinh giải quyết tốt các dạng toán tính khoảng cách tiếp theo.
2.3.2. Phương pháp tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song.
M
H
P
Xét bài toán: Tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng (P), khi và (P) song song với nhau. 
Phương pháp:
- Chọn điểm M thuộc .
- Suy ra .
- Tính .
Nhận xét: Như vậy bài toán tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song được quy về bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Mấu chốt của bài toán tính là chọn được điểm M thuộc phù hợp. Thông thường ta sẽ chọn điểm là chân đường cao, điểm thuộc mặt đáy; điểm có