Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh lớp 11 định hướng giải bài toán Tổ hợp – Xác suất

1.MỞ ĐẦU:
1.1. Lý do chọn đề tài:
Tổ hợp – Xác suất là một phần quan trọng, mới lạ khác với các kiến thức đại số khác trong chương trình toán học THPT. Các dạng bài về quy tắc đếm, tổ hợp, chỉnh hợp, xác suất rất đa dạng và dễ nhầm lẫn. Qua thực tiễn qua trình dạy học đồng thời thông qua tìm hiểu, điều tra từ giáo viên và học sinh ở trong trường THPT Tĩnh Gia 2, tôi thấy giáo viên khó khăn trong việc đưa ra hệ thống bài tập về Tổ hợp – Xác suất phong phú, đa dạng sao cho học sinh có thể nhận định và đưa ra cách giải chính xác. Học sinh thì vì hay gặp sai lầm trong khi đưa ra lời giải, hoặc chưa xác định đúng ý tưởng của bài đã vội kết luận lời giải, một số khác thấy mơ hồ, rối rắm khi thấy các dữ kiện nhiều, phức tạp, từ đó nhụt ý chí, dẫn đến ngại suy nghĩ và đưa ra ý tưởng giải bài tập loại này. Mặt khác, trong các đề thi đại học từ năm 2014 trở về trước, và trong các kỳ thi học sinh giỏi tỉnh Thanh hóa và các tỉnh khác, bài toán này là một trong những bài trọng điểm để phân loại năng lực học sinh, khi giải được loại toán này các em mới đạt vào top khá giỏi. Để giúp học sinh có thể hệ thống và nắm vững các cách tư duy giải các dạng bài Tổ hợp- Xác suất chương trình toán 11 nên tôi đã nghiên cứu ra đề tài này.
Đặc biệt năm nay được phân công dạy lớp chọn số 1, đảm nhiệm đội tuyển học sinh giỏi, qua nghiên cứu giảng dạy tôi thấy việc triển khai sáng kiến “ Hướng dẫn học sinh lớp 11 định hướng giải bài toán Tổ hợp – Xác suất ” là sát thực, phù hợp và cần thiết với việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh khá giỏi và ôn luyện cho học sinh thi tốt nghiệp, đại học, cao đẳng trong kỳ thi THPT QG, đặc biệt giúp bản thân tôi ôn luyện cho đội tuyển học sinh giỏi của trường tham gia kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh. Do vậy tôi chọn đề tài này để nghiên cứu nhằm phần nào đáp ứng yêu cầu trên và góp phần vào nâng cao chất lượng dạy học cho nhà trường .
1.2. Mục đích nghiên cứu
- Trang bị cho học sinh về một số lý thuyết, một số dạng và cách giải bài toán Tổ hợp - Xác suất.
- Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán. Qua đó học sinh nâng cao kỹ năng tư duy sáng tạo.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
 - Các bài tập về Tổ hợp – Xác suất nằm trong chương trình toán học 11 trung học phổ thông, trong các đề thi tốt nghiệp, đại học cao đẳng .
1.4. Phương pháp nghiên cứu 
- Tích lũy qua nhiều năm giảng dạy phần này.
- Thông qua việc kiểm tra đánh giá năng lực tiếp thu của học sinh.
- Thông qua trao đổi góp ý và học tập kinh nghiệp từ các đồng nghiệp.
- Thông qua sách giáo khoa, sách bài tập, hệ thống bài tập và tài liệu tham khảo.
- Thông qua các đề thi học sinh giỏi lớp 11, 12 tỉnh thanh hóa các năm 2011 đến nay của tỉnh Thanh Hóa và các đề thi học sinh giỏi lớp 10, 11, 12 của các trường THPT trên toàn quốc.
- Thông qua các đề thi tốt nghiệp, đại học cao đẳng từ năm 2015 đến nay . 
- Thông qua các đề thi thử đại học của các trường THPT trên toàn quốc.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm:
Căn cứ vào lý thuyết chương II: ’’ Tổ hợp – Xác suất’’ trong chương trình đại số và giải tích 11 cơ bản . Tôi tóm tắt nội dung lý thuyết như sau: 
2.1.1. Hai quy tắc đếm: 
2.1.1.1. Quy tắc cộng:
 Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó m+n cách thực hiện.
- Quy tắc cộng có thể mở rộng cho nhiều hành động.
2.1.1.2. Quy tắc nhân:
 Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất, và ứng với mỗi cách thực hiện đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có m.n cách hoàn thành công việc.
- Quy tắc nhân có thể mở rộng cho nhiều hành động liên tiếp.
2.1.2. Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp: 
2.1.2.1. Hoán vị: 
 Cho tập hợp A gồm n phần tử . Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó
 - Số các hoán vị của n phần tử : .
2.1.2.2. Chỉnh hợp:
 Cho tập hợp A gồm n phần tử . Kết quả của việc lấy k phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.
- Quy ước: 
- Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử : .
- Tính chất: 
2.1.2.3. Tổ hợp:
 Cho tập hợp A gồm n phần tử . Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.
- Số các tổ hợp chập k của n phần tử : .
- Tính chất: ; .
2.1.3. Xác suất của biến cố:
2.1.3.1. Phép thử, không gian mẫu, biến cố:
- Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó, mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó.
- Tập hợp các kết quả có thể thể xảy ra của phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử và kí hiệu là .
- Số phần tử của không gian mẫu : 
- Biến cố là tập con của không gian mẫu. Tập là biến cố không thể, tập là biến cố chắc chắn.
2.1.3.2. Các phép toán trên các biến cố:
- Biến cố đối của biến cố A là 
- Hợp của hai biến cố A, B là 
- Giao của hai biến cố A, B là 
Nếu thì A và B xung khắc.
2.1.3.3. Xác suất của biến cố:
 Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử với không gian mẫu chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. Ta gọi tỉ số là xác suất của biến cố A, kí hiệu là 
- Tính chất: 
Nếu A và B xung khắc thì 
Nếu A và B là hai biến cố độc lập thì 
Từ cơ sở lý thuyết về số phức tôi định hướng giải quyết bài toán tổ hợp xác suất trong các tiết ôn tập:
- Phân loại các dạng bài tập Tổ hợp – Xác suất.
- Nêu cách định hướng giải cho từng loại bài toán Tổ hợp – Xác suất.
Với đề tài " Hướng dẫn học sinh lớp 11 định hướng giải bài toán Tổ hợp – Xác suất.'' sẽ giúp học sinh giải quyết nhanh chính xác trước một bài toán Tổ hợp – Xác suất trong chương trình Đại số và giải tích 11. 	
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
Trong quá trình ôn tập thi học kỳ 2, ôn thi HSG lớp 11 cấp trường cho học sinh lớp 11 phần Tổ hợp – Xác suất. Học sinh chỉ mới giải quyết được một số bài toán dễ , khi gặp một số bài toán yêu cầu cao hơn đa số các em chưa đưa ra được hướng giải quyết ngay, hoặc đưa ra lời giải sai, hoặc có em đưa ra được hướng giải quyết thì giải quyết chậm và trưa triệt để bài toán.
Trước khi áp dụng đề tài, tôi đã cho học sinh làm bài kiểm tra 15 phút về Tổ hợp – Xác suất. Kết quả :
Lớp
Sĩ số
 9-10
7-8
5-6
3-4
0-2
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
11A1
45
1
2,2
11
24,5
23
51,1
10
22,2
0
0
11A2
42
0
0
5
11,9
14
33,3
20
47,6
3
7,2
	Với các vấn đề của thực trạng trên, tôi đã mạnh dạn triển khai cho các em mảng kiến thức này nhằm giải tỏa bớt những bất cập nói trên.
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng trong sáng kiến kinh nghiệm:
2.3.1. Giải pháp:
- Tổ chức 3 buổi (9 tiết) ôn tập cho học sinh ôn thi THPT QG, bồi dưỡng học sinh khá giỏi.
- Nêu các dạng bài toán về Tổ hợp – Xác suất , đưa ra cách giải cho từng dạng, hệ thống các bài tập tự luận cho học sinh rèn luyện kỹ năng làm bài.
- Nêu các cách sử dụng máy tính casio bỏ túi để tính toán nhanh kết quả.
- Cuối chuyên đề cho học sinh làm bài kiểm tra .
2.3.2. Nội dung giải pháp:
Phương pháp chung:
- Xác định được khi nào dùng quy tắc cộng, khi nào dùng quy tắc nhân.
- Khi bài toán có sự sắp xếp thứ tự của tất cả các phần tử một tập hợp thì dùng hoán vị. Có sự sắp xếp thứ tự một số phần tử thì dùng chỉnh hợp. Nếu chỉ cần chọn một số phần tử nào đó mà không quan tâm đến thứ tự của chúng thì dùng tổ hợp.
- Đối với bài toán xác suất, xác định đúng không gian mẫu, xác định đúng biến cố. Đa số đưa về cách tính xác suất cơ bản, nếu biến cố đối dễ xác định hơn chúng ta nên đưa về tính xác suất của biến cố đối. Nếu xuất hiện biến cố độc lập thì chúng ta dùng công thức nhân xác suất.
- Nắm vững các dấu hiệu chia hết.
- Đưa về một trong các dạng cơ bản sau.
A. DẠNG BÀI LẬP SỐ, CHỌN SỐ TỰ NHIÊN :
Phương pháp:
- Chọn chữ số có tính chất đặc biệt trong các chữ số cần lập trước, sau đó chúng ta mới chọn các chữ số còn lại. Chú ý đến vị trí thứ tự của các chữ số, sự giống nhau và khác nhau của các chữ số. Chữ số đầu tiên có điều kiện khác 0.
- Tránh trường hợp dùng các quy tắc đếp bị trùng lặp khi đó số lượng đếm được sẽ bị dư ra.
Ví dụ 1: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau mà chữ số liền trước lớn hơn chữ số liền sau?
Hướng dẫn: - Số thỏa mãn đề bài chỉ được lập duy nhất từ một bộ số gồm 5 chữ số bất kỳ
Bài giải:
Chọn ra 5 chữ số bất kỳ có cách. Mà mỗi bộ 5 chữ số đó lập được duy nhất một số gồm năm chữ số thỏa mãn chữ số liền trước lớn hơn chữ số liền sau.
Suy ra có (số).
Ví dụ 2: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm sáu chữ số khác nhau thỏa mãn:
a) số đó chia hết cho 5.
b) số đó có chứa chữ số 0 nhưng không có chữ số 1.
Hướng dẫn: - Ở câu a, chọn chữ số thỏa mãn dấu hiệu chia hết cho 5 trước.
 - Ở câu b, chọn vị trí cho số 0 trước.
Bài giải:
a) Gọi số cần tìm có dạng đôi một khác nhau)
Vì 
Với thì có cách chọn
Với thì có cách chọn
Vây theo quy tắc cộng thì có(số)
b) Gọi số cần tìm có dạng đôi một khác nhau và khác 1)
Chọn vị trí trong cho chữ số 0 có 5 cách.
Năm vị trí còn lại chọn từ tập có cách chọn
Vây theo quy tắc nhân thì có(số)
Ví dụ 3: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm sáu chữ số khác nhau trong đó có ba chữ số chẵn và ba chữ số lẻ.
Hướng dẫn: - Vì chữ số đầu khác 0 nên ta chọn chữ số đứng đầu trước. Sau đó chọn vị trí cho các chữ số còn lại.
Bài giải:
Gọi số cần tìm có dạng đôi một khác nhau)
TH1: Với a chẵn thì a có 4 cách chọn
Có cách chọn hai chữ số chẵn còn lại, vàcách chọn vị trí để xếp hai chữ số đó. 
Có cách chọn và xếp 3 chữ số lẻ .
Theo quy tắc nhân thì có: (số)
TH2: Với a lẻ thì a có 5 cách chọn
Có cách chọn hai chữ số lẻ còn lại, và cách chọn vị trí để xếp hai chữ số đó. 
Có cách chọn và xếp 3 chữ số chẵn .
Theo quy tắc nhân thì có: (số)
Vậy có tất cả (số)
Ví dụ 4: Từ hai số 1 và 6 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm tám chữ số trong đó không có hai chữ số 1 đứng cạnh nhau.
Hướng dẫn: - Vì số được lập từ hai chữ số nên ta phải chia các trường hợp rồi chọn vị trí cho nhiều chữ số giống nhau trước.
Bài giải:
Th1: Số cần lập có tám chữ số 6 Có 1 (số)
Th2: Số cần lập có một chữ số 1 và bảy chữ số 6 
Có 8 cách chọn vị trí cho chữ số 1Có 8 (số)
Th3: Số cần lập có hai chữ số 1 và sáu chữ số 6 
Có cách chọn vị trí cho hai chữ số 1( hai khoảng trống trong 7 khoảng trống giữa, trước và sau khi xếp sáu chữ số sáu)Có (số)
Th4: Số cần lập có ba chữ số 1 và năm chữ số 6 
Có cách chọn vị trí cho ba chữ số 1( ba khoảng trống trong 6 khoảng trống giữa, trước và sau khi xếp năm chữ số sáu)Có (số)
Th5: Số cần lập có bốn chữ số 1 và bốn chữ số 6 
Có cách chọn vị trí cho bốn chữ số 1( bốn khoảng trống trong 5 khoảng trống giữa, trước và sau khi xếp bốn chữ số sáu)Có (số)
Theo quy tắc cộng thì có tất cả: (số)
Ví dụ 5: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm bảy chữ số trong đó có hai chữ số 1, hai chữ số 2, các chữ số 3, 4, 5 chỉ có mặt một lần, đồng thời các chữ số giống nhau thì không đứng cạnh nhau.
Hướng dẫn: - Bài toán này ta dùng biến cố đối. Chọn vị trí cho các chữ số giống nhau đứng cạnh nhau trước.
Bài giải:
Gọi số cần tìm có dạng 
TH1: Lập số tự nhiên gồm bảy chữ số trong đó có hai chữ số 1, hai chữ số 2, các chữ số 3, 4, 5 có mặt một lần.
Có cách chọn vị trí cho hai chữ số 1, có cách chọn vị trí cho hai chữ số 2 và 3! cách chọn ba vị trí cho ba chữ số 3, 4, 5.
Theo quy tắc nhân, trường hợp này có (số)
TH2: Xét các trường hợp có hai chữ số giống nhau đứng cạnh nhau.
*) Trường hợp hai chữ số một đứng cạnh nhau, hai chữ số hai đứng cạnh nhau. Coi mỗi cặp là một vị trí, vậy có 5! ( số)
*) Trường hợp hai chữ số một đứng cạnh nhau, hai chữ số hai không đứng cạnh nhau. Coi cặp hai chữ số 1 là một vị trí.
Có cách chọn hai vị trí cho hai chữ số 2 không đứng cạnh nhau.
Có 4! Cách sếp các chữ sô 3, 4, 5 và cặp chữ số 1.
Theo quy tắc nhân có (số)
*) Trường hợp hai chữ số một không đứng cạnh nhau, hai chữ số hai đứng cạnh nhau. Coi cặp hai chữ số 2 là một vị trí.
Có cách chọn hai vị trí cho hai chữ số 1 không đứng cạnh nhau.
Có 4! Cách sếp các chữ sô 3, 4, 5 và cặp chữ số 2.
Theo quy tắc nhân có (số)
Theo quy tắc cộng, trường hợp này có: (số)
Vậy có tất cả: (số)
Ví dụ 6: Cho tập , gọi S là tập hợp các số tự nhiên gồm bốn chữ số được lập từ tập A. Chọn nhẫu nhiên một số từ S. Tính xác suất để số được chọn chia hết cho 6.
(Trích đề thi khảo sát lớp 11 lần 1 -Trường THPT Tĩnh gia 2.)
Hướng dẫn: - Từ dấu hiệu chia hết cho 2 chọn vị trí cho chữ số tận cùng trước. Sau đó dựa vào dấu hiệu chia hết cho 3 suy ra các cách chọn các chữ số còn lại.
Bài giải:
Số cách lập số tự nhiên gồm bốn chữ số được lập từ tập A là: 
Không gian mẫu: 
Gọi biến cố A: “ Số được chọn từ tập S chia hết cho 6”.
Gọi số cần tìm có dạng 
 có 9 cách chọn.
Chọn có cách chọn.
Nếu có 3 cách chọn.
Nếu dư 2có 3 cách chọn.
Nếu dư 1có 3 cách chọn.
Do đó bất kỳ thì có 3 cách chọn.
Theo quy tắc nhân: 
Vậy xác suất của biến cố A là: 
Ví dụ 7: Gọi S là tập hợp các số tự nhiên gồm sáu chữ số. Chọn nhẫu nhiên một số từ S. Tính xác suất để số được chọn gồm sáu chữ số khác nhau trong đó hai chữ số kề nhau không cùng là số lẻ.
(Trích đề thi khảo sát HSG lớp 11 lần 2 -Trường THPT Tĩnh gia 2.)
Hướng dẫn: 
- Từ điều kiện đề bài cho biết tổng số chữ số lẻ có trong số cần lập là bao nhiêu. Từ các trường hợp chọn chữ số đầu chẵn hay lẻ rồi chọn vị trí cho các chữ số lẻ không cạnh nhau
Bài giải:
Số cách lập số tự nhiên gồm sáu chữ số là: 
Không gian mẫu: 
Gọi biến cố A: “ Số được chọn từ tập S gồm sáu chữ số khác nhau trong đó hai chữ số kề nhau không cùng là số lẻ.”.
Gọi số cần tìm có dạng đôi một khác nhau)
Để thỏa mãn số được chọn gồm sáu chữ số khác nhau trong đó hai chữ số kề nhau không cùng là số lẻ thì trong số này có không quá 3 chữ số lẻ.
Th1: Có một chữ số lẻ và năm chữ số chẵn.
Nếu lẻ thì có 5! cách xếp 5 chữ số chẵn có 5! (số)
Nếu chẵn thì có có 4 cách chọn. Có 5 cách chọn một chữ số lẻ, 5 cách chọn vị trí để xếp chữ số lẻ đó. Có 4! cách sắp xếp 4 chữ sô chẵn còn lại. có 5.5.4!
Trường hợp này có : 5!+5.5.4!=3000 (số)
Th2: Có hai chữ số lẻ và bốn chữ số chẵn. 
Nếu lẻ thì có 5 cách chọn. Có 4.4 cách chọn và xếp một vị trí cho chữ số lẻ còn lại, có cách chọn và xếp 4 chữ số chẵn có (số)
Nếu chẵn thì có có 4 cách chọn. Chọn 2 số lẻ và xếp vào hai vị trí không kề nhau có cách, 3 số chẵn còn lại có cách chọn và xếp vào các vị trí còn trống. có 
Trường hợp này có : (số)
Th3: Có ba chữ số lẻ và ba chữ số chẵn .
Nếu lẻ thì có 5 cách chọn. Có cách chọn và xếp hai vị trí không kề nhau cho chữ số lẻ còn lại, có cách chọn và xếp 3 chữ số chẵn. 
 có (số)
Nếu chẵn thì có có 4 cách chọn. Chọn 3 số lẻ và xếp vào ba vị trí không kề nhau có cách, 2 số chẵn còn lại có cách chọn và xếp vào các vị trí còn trống. có 
Trường hợp này có : (số)
Theo quy tắc cộng: 
Vậy xác suất của biến cố A là: 
Ví dụ 8: Ba bạn Cường, Lương, Tâm mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn . Tính xác suất để ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3.
( Trích đề thi THPT QG năm 2019. BGD&ĐT)
Hướng dẫn: - Từ dấu hiệu chia hết cho 3, dựa vào dấu hiệu số dư một số bất kỳ chia cho 3 để xét các trường hợp. 
Bài giải:
Mỗi bạn có 19 cách viết một số. Không gian mẫu: 
Gọi biến cố A: “ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3.”
Xét trên đoạn có sáu số tự nhiên chia hết cho 3, bảy số tự nhiên chia cho 3 dư 1 và sáu số tự nhiên chia cho 3 dư 2.
Biến cố A xảy ra các trường hợp sau:
TH1: Cả ba bạn đều viết số chia hết cho 3 có (cách)
TH2: Cả ba bạn đều viết số chia cho 3 dư 1 có (cách)
TH3: Cả ba bạn đều viết số chia cho 3 dư 2 có (cách)
TH4: Một bạn viết số chia hết cho 3, một bạn viết số chia cho 3 dư 1, một bạn viết số chia cho 3 dư 2 có (cách)
Theo quy tắc cộng: 
Vậy xác suất của biến cố A là: 
Ví dụ 9: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số và là bội số của 3, đồng thời bé hơn .
( Trích đề thi giữa kỳ 2 năm học 2017-2018 trường THPT Hưng Nhân – Thái Bình)
Hướng dẫn: - Từ dấu hiệu chia hết cho 3, dựa vào dấu hiệu số dư một số bất kỳ chia cho 3 để xét các trường hợp. 
Bài giải:
Do số cần lập bé hơn nên có dạng 
Tổng tất cả các số có 6 chữ số dạng được lập từ các chữ số trên là : 
Do nên tổng số số chia hết cho 3 bằng tổng số số chia cho 3 dư 1 và bằng tổng số số chia cho 3 dư 2
Vì vậy tổng số số tự nhiên gồm 6 chữ số và là bội số của 3, đồng thời bé hơn là: (số)
Ví dụ 10: Gọi là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau được chọn từ các chữ số . Lấy ngẫu nhiên một số thuộc . Tính xác suất để lấy được một số chia hết cho và tổng chữ số của nó cũng chia hết cho ( Trích đề thi khảo sát THPT QG năm 2019, Sở GD&ĐT Thanh Hóa)
Hướng dẫn: - Từ dấu hiệu chia hết cho 11 để suy ra các điều kiện của các chữ số.
Bài giải: 
Số phần tử của S là .
Gọi số tự nhiên thuộc có dạng .
Vì 
nên 
Từ giả thiết 
Các cặp có tổng chia hết cho 11 là 
Vậy số cách chọn số thỏa mãn là 
Bài tập vận dụng:
Bài 1: Có bao nhiêu số có 8 chữ số khác nhau mà có mặt hai chữ số lẻ và ba chữ số chẵn, trong đó mỗi chữ số chẵn có mặt đúng hai lần. ( đáp số : số)
( Trích đề thi HSG lớp 11 tỉnh năm 2019- Sở GD&ĐT Thanh Hóa)
Bài 2: Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lập số tự nhiên có 9 chữ số. Lấy ngẫu nhiên một số vừa lập. Tính xác suất để số lập được là số có 9 chữ sô trong đó chữ số 5 có mặt đúng bốn lần, các chữ số còn lại có mặt đúng một lần. ( đáp số : )
Bài 3: Trong tập hợp các số tự nhiên có 6 chữ số. Tính xác suất để lấy được số lẻ gồm 6 chữ số khác nhau đôi một, lớn hơn 500000.( đáp số : )
Bài 4: Chọn ngẫu nhiên một số có 5 chữ số dạng . Tính xác suất để chọn được số thỏa mãn .( đáp số : )
Bài 5: Có bao nhiêu số tự nhiên có tám chữ số đôi một khác nhau và số đó chia hết cho 9. ( đáp số : số )
Bài 6: Gọi A là tập hợp các ước số tự nhiên của 40500. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập A. Tính xác suất để số chọn được chia hết cho 6. ( đáp số : )
( Trích đề thi giao lưu HSG lớp 11 năm 2018 – Trường THPT Đặng Thai Mai)
Bài 7: Gọi A là tập hợp tất cả các số tự nhiên có năm chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập A. Tính xác suất để chọn được một số có hàng đơn vị bằng 1 và số đó chia hết cho 7 . ( đáp số : )
( Trích đề thi chọn HSG lớp 11- năm học 2017-2018. Trường THPT Tĩnh Gia 2)
Bài 8: Có bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số sao cho không có chữ số nào lặp lại đúng ba lần. ( đáp số : số)
Bài 9: Gọi A là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 9 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập A. Tính xác suất để chọn được một số chia hết cho 3. 
( đáp số : )
( Trích đề thi chọn HSG lớp 11- năm học 2017-2018. Trường THPT Nghi Sơn)
Bài 10: Từ các số 0, 1, 2, 3, 4 lập số tự nhiên có 5 chữ số, trong đó chữ số 3 có mặt đúng hai lần, chữ số 1 có mặt đúng một lần, các chữ số còn lại có mặt không quá một lần. Lấy ngẫu nhiên một số vừa lập. Tính xác suất để số lập được là số chia hết cho 4. ( đáp số : )
( Trích đề thi chọn HSG lớp 11-năm học 2017-2018,Trường THPT Đặng Thai Mai)
Bài 11: Gọi M là tập hợp tất cả các số tự nhiên có chín chữ số đôi một khác nhau dạng . Chọn ngẫu nhiên một số từ tập M. Tính xác suất để số được chọn là một số chẵn, đồng thời thỏa mãn . ( đáp số : )
Bài 12: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau và số đó chia hết cho 15. ( đáp số : )
(Trích đề thi khảo sát THPTQG lần 3 năm học 2017-2018, THPT Tĩnh gia 2.)
Bài 13: Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm bảy chữ số khác nhau sao cho 3 và 5 không đứng cạnh nhau. ( đáp số : số)
B. DẠNG BÀI CHỌN NGƯỜI, CHỌN VẬT :
Phương pháp:
- Chọn người hoặc chọn vật chú ý đến vị trí thứ tự , điều kiện của bài toán, xét đầy đủ các trư