Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh linh hoạt trong việc kết hợp phương pháp giải tự luận và trắc nghiệm đối với bài tập hình tọa độ trong không gian

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT NGA SƠN
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
HƯỚNG DẪN HỌC SINH LINH HOẠT TRONG VIỆC KẾT HỢP
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỰ LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM ĐỐI VỚI 
BÀI TẬP HÌNH TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Người thực hiện: Lê Diễm Hương
 Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực: Toán học
 THANH HÓA NĂM 2018
MỤC LỤC
Mục
Nội dung
Trang
1
Mở đầu
3
1.1
Lí do chọn đề tài
3
1.2
Mục đích nghiên cứu
3
1.3
Đối tượng nghiên cứu
3
1.4
Phương pháp nghiên cứu
3
2
Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
4
2.1
Cơ sở lý luận
4
2.2
Thực trạng của đề tài
5
2.3
Giải pháp thực hiện
5
2.3.1
Hệ thống kiến thức liên quan
5
2.3.2
Một số điểm cần lưu ý khi giải câu hỏi trắc nghiệm
10
2.3.3
Các dạng bài tập hình tọa độ trong không gian thường gặp
11
2.3.4
Kỹ năng sử dụng máy tính cầm tay bổ trợ
15
2.3.5
Hướng dẫn học sinh giải câu hỏi trắc nghiệm phần nhận biết - thông hiểu
15
2.3.6 
Hướng dẫn học sinh giải câu hỏi trắc nghiệm phần vận dụng - vận dụng cao
15
2.3.7
Một số câu hỏi trắc nghiệm về toán hình không gian trong đề thi THPT QG có thể giải bằng phương pháp tọa độ
19
2.3.8
Bài tập tự luyện
20
2.4
Kết quả nghiên cứu
21
3
Kết luận và kiến nghị
22
Tài liệu tham khảo
22
1. MỞ ĐẦU
1.1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
 Hình học là một nội dung thường xuyên xuất hiện trong các đề thi THPT Quốc gia. Đặc biệt trong những năm gần đây, bài toán hình tọa độ trong không gian có cả những nội dung hay, khó . Với lượng kiến thức khá rộng và khái quát cần sự tư duy nhiều hơn từ học sinh nên bài toán hình tọa độ trong không gian là một trong những phần kiến thức quan trọng trong kỳ thi THPT Quốc gia .
 Từ những kiến thức cơ bản học sinh được học trong chương trình lớp 12. Các em có thể nhận biết và vận dụng giải được một số bài toán đơn giản. Tuy nhiên với những câu hỏi hay với mức độ vận dụng hay vận dụng cao nếu học sinh chỉ đơn thuần giải theo phương pháp tự luận truyền thống lâu nay thì đòi hỏi cần nhiều thời gian hoặc có thể mắc sai sót trong quá trình tìm ra đáp án hoặc thậm chí gặp một số câu hình học không gian lớp 11 các em bỏ qua chỉ chọn ngẫu nhiên .
 Vì vậy, tôi chọn đề tài “HƯỚNG DẪN HỌC SINH LINH HOẠT TRONG VIỆC KẾT HỢP PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỰ LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM ĐỐI VỚI BÀI TẬP HÌNH TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN” để phần nào giúp các em học sinh có cái nhìn hệ thống, phát triển tư duy, trí tuệ và cách học tích cực hơn đối với dạng toán này. Và từ đó giúp các em có thêm sự tự tin và thời gian thật cần thiết để hoàn thành kỳ thi THPT Quốc gia sắp tới.
 1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU 
 Đứng trước những vấn đề trên trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh khá, giỏi, tôi đã luôn trăn trở và đi tìm những thuật giải, những hướng đi cụ thể để giải quyết những vấn đề đó. Nhưng chúng ta đã biết không có một chìa khoá vạn năng nào có thể “mở khoá” được mọi bài toán. Trong khi đó việc giảng dạy toán học nói chung và trong bồi dưỡng học sinh giỏi toán nói riêng, việc làm cho học sinh giải quyết được vấn đề đặt ra của bài toán một cách sáng tạo, hoàn chỉnh là rất cần thiết. Trong bài viết này, dựa trên kinh nghiệm giảng dạy, luyện thi THPT Quốc gia và bồi dưỡng học sinh giỏi toán, tôi xin nêu lên một hướng giải quyết cho bài toán trắc nghiệm hình tọa độ trong không gian với đề tài “ HƯỚNG DẪN HỌC SINH LINH HOẠT TRONG VIỆC KẾT HỢP PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỰ LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM ĐỐI VỚI BÀI TẬP HÌNH TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN” nhằm làm cho học sinh nâng cao khả năng tư duy, suy luận, linh hoạt trong quá trình giải toán bằng hình thức thi trắc nghiệm như hiện nay.
1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
- Nội dung là các bài toán về hình tọa độ trong không gian và một số bài toán hình học không gian có thể giải bằng phương pháp tọa độ nằm trong chương trình lớp 11, 12 môn Toán của THPT.
- Một số bài tập hình tọa độ theo các mức độ trong đề thi THPT quốc gia năm 2017, 2018 của Bộ GD & ĐT.
1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
* Phương pháp:
- Phương pháp nghiên cứu lý luận chung.
- Phương pháp khảo sát điều tra từ thực tế dạy và học.
- Tổng hợp, so sánh, đúc rút kinh nghiệm.
* Cách thực hiện:
- Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên cùng bộ môn.
- Liên hệ thực tế trong nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm qua quá trình giảng dạy.
- Thông qua việc giảng dạy trực tiếp các lớp khối 11,12 THPT ở những năm học qua.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1 CƠ SỞ LÝ LUẬN
 - Nhiệm vụ trung tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của thầy và hoạt động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài”. Giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ thông đặc biệt là bộ môn toán học rất cần thiết không thể thiếu trong đời sống của con người. Toán học là một môn học quan trọng và khó, kiến thức rộng, không ít học sinh ngại học môn này . 
 - Muốn học tốt môn toán các em phải nắm vững những tri thức khoa học ở môn toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng dạng bài tập. Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic và cách biến đổi. Giáo viên cần định hướng cho học sinh học và nghiên cứu môn toán học một cách có hệ thống trong chương trình học phổ thông, vận dụng lý thuyết vào làm bài tập, phân dạng các bài tập rồi tổng hợp các cách giải.
 - Do vậy, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đính giúp cho học sinh THPT vận dụng lý thuyết và tìm ra cách giải cũng như phương pháp giải nhanh nhất khi gặp phải những bài toán hình tọa độ trong không gian cũng như một số bài tập hình không gian trong chương trình môn toán lớp 11, 12 THPT.
 Khi gặp một số bài toán về hình không gian chúng ta có nhiều hướng tiếp cận để tư duy ra lời giải. Tuy nhiên với những bài toán hay và khó ở mức độ vận dụng và vận dụng cao thì lối tư duy theo hướng bó hẹp trong khuôn khổ kiến thức của chương hay kiến thức của SGK sẽ khiến học sinh khó khăn tìm ra hướng giải quyết hoặc làm cho các em “sa” vào lối trình bày tự luận sẽ mất rất nhiều thời gian thậm chi bỏ qua. Vì tính chất phân loại của đề thi hiện nay, bài toán về hình tọa độ trong không gian hoặc một số bài toán hình không gian nếu các em giải theo phương pháp truyền thống mà không có thêm khả năng linh loạt sử dụng cách giải toán trắc nghiệm khi làm bài thì sẽ khó và điều quan trọng là mất rất nhiều thời gian. Để giải quyết được những bài toán này, học sinh không chỉ nắm được lý thuyết cơ bản, cách giải mà phải biết kết hợp thành thạo linh hoạt trong suy luận có cả phương pháp loại trừ để tìm được đáp án đúng trong khoảng thời gian nhanh nhất. Tạo nên một sự liên kết chặt chẽ giữa các mặt kiến thức nhất là kiến thức giữa hình không gian và hình tọa độ, rồi giữa hình học và đại số sẽ giúp học sinh thấy được bản chất của vấn đề đang học, gây nên sự hứng thú tích cực trong học tập, làm cho các em chủ động hơn trong việc tiếp thu và lĩnh hội tri thức, giúp các em không ngừng tìm tòi thêm nhiều cách giải mới, khắc phục được tâm lý lo sợ khi gặp bài toán khó hoặc bất lực về mặt thời gian là mục tiêu quan trọng nhất trong hoạt động dạy học của mỗi giáo viên.
 Trong giới hạn của SKKN tôi sẽ hướng dẫn học sinh giải thành thạo bài tập hình tọa độ trong không gian bằng cách giải truyền thống đồng thời kết hợp sử dụng kỹ thuật làm bài trắc nghiệm có sự trợ giúp của máy tính cầm tay để các em có sự lựa chọn chính xác nhất trong một khoảng thời gian ngắn nhất giúp các em có đủ thời gian để hoàn thành bài thi của mình, một trong những thực trạng các em lo lắng thiếu thời gian làm bài khi đi thi.
2.2 THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI
 Qua việc khảo sát khảo sát rất nhiều nhóm học sinh trong trường THPT Nga Sơn cũng như các trường THPT trong địa bàn huyện Nga Sơn và trong quá trình kiểm tra khảo sát định kỳ học tập, trong quá trình luyện đề ôn thi THPTQG hai năm gần đây tôi nhận thấy học sinh khi làm bài tập các em chưa có kỹ thuật làm bài trắc nghiệm nên thường phải trình bày cách giải tự luận hoặc nghĩ bài này để chọn ra kết quả thì phải trình bày lời giải chi tiết thậm chí bỏ qua một số câu ở mức độ vận dụng, vận dụng cao vì nghĩ khó có đủ thời gian để hoàn thành. Điều đó làm cho các em vừa mất thời gian không cần thiết để trình bày ra lời giải chi tiết khi làm bài hoặc có những em không kịp làm bài phải chọn ngẫu nhiên đáp án mà không có suy luận . Lúc này vai trò của người giáo viên là rất quan trọng, phải hướng dẫn chỉ rõ cho học sinh phương pháp giải nhanh, nên giải như thế nào cho hợp lý đối với từng loại toán để được một đáp án đúng và suy luận có logic giúp các em học sinh có thêm tự tin để giải quyết được những bài toán này một cách nhanh nhất và đơn giản nhất. Đó là mục đích của đề tài “ HƯỚNG DẪN HỌC SINH LINH HOẠT TRONG VIỆC KẾT HỢP PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỰ LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM ĐỐI VỚI BÀI TẬP HÌNH TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN” mà tôi hướng đến.
2.3 GIẢI PHÁP THỰC HIỆN
 Qua nghiên cứu trao đổi và đúc rút kinh nghiệm từ thực tế và ý kiến của đồng nghiệp tôi mạnh dạn đưa ra một số dạng bài tập về hình tọa độ trong không gian thường gặp theo các mức độ và cách giải quyết vấn đề. Bên cạnh đó còn chú ý những lưu ý quan trọng khi làm bài thi trắc nghiệm nói chung.
 Đối với mỗi ví dụ, tôi hướng dẫn cho học sinh phương pháp làm cụ thể, đồng thời lấy các ví dụ có tính đặc trưng để học sinh nắm vững cách giải, những dạng bài tập có nhiều cách làm tôi đều giải mẫu một bài theo những cách làm đó để học sinh áp dụng làm tương tự các bài khác.
 Để minh họa cho những dạng này, tôi đều đưa ra những bài toán cơ bản nằm trong các Đề thi minh họa, đề thi THPTQG 2017 và 2018. Với mỗi bài toán như vậy tôi hướng dẫn cách giải quyết nhanh gọn và chính xác, có sự so sánh với cách trình bày bằng hình thức tự luận lâu nay sẽ không phải là cách giải quyết tối ưu cho mọi bài toán nữa và từ đó để học sinh có cách nhình nhận so sánh khái quát để định hướng tốt cho cách giải quyết các bài tập tương tự . 
2.3.1 Hệ thống kiến thức liên quan
 2.3.1.1 Khái niệm về hệ tọa độ trong không gian
Trong không gian cho hệ tọa độ Oxyz.
8. Hai véc tơ cùng phương 
 hoặc 
O
z
x
y
11. 	
 đồng phẳng 
13. M chia đoạn AB theo tỉ số k ≠ 1: 
14. M là trung điểm AB: 
15. G là trọng tâm tam giác ABC: 
16. Véctơ đơn vị : 
17. 
18. 
19. Công thức tính diện tích tam giác :
20. Công thức tính thể tích tứ diện ABCD: 
 21. Công thức tính thể tích hình hộp: 
 2.3.1.2 Phương trình của mặt phẳng, đường thẳng:
- Véctơ pháp tuyến của mp(a) là ≠ và có giá vuông góc với mp()
- Phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua M(xo ; yo ; zo) có véc tơ pháp tuyến
 = (A;B;C) là:
A(x – xo)+B(y – yo )+C(z – zo ) = 0
 Nếu (a) có PTTQ là Ax+By+Cz+D = 0 thì ta có véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng là = (A; B; C); 
- Phương trình mặt phẳng đi qua A(a,0,0) B(0,b,0) ; C(0,0,c) (a, b,c khác 0) có phương trình: 
- Phương trình ttham số của đường thẳng:
 Trong đó: M0(x0;y0;z0) là điểm thuộc đường thẳng và là véc tơ chỉ phương của đường thẳng (véc tơ có giá song song hoặc trùng với đường thẳng).
- Phương trình chính tắc của đuờng thẳng :
Trong đó: M0(x0; y0; z0) là điểm thuộc đường thẳng và là vtcp của đường thẳng ()
2.3.1.3 Một số công thức về góc, khoảng cách:
a. Góc:
- Góc giữa hai mặt phẳng:
Cho 2 mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt có hai véc tơ pháp tuyến là: . Góc giữa hai mặt phẳng được xác định bởi công thức: 
- Góc giữa hai đường thẳng:
Cho 2 đường thẳng d và d’ lần lượt có hai véc tơ chỉ phương là: . Góc giữa hai đường thẳng được xác định bởi công thức: 
- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
Cho đường thẳng d ; mặt phẳng (P) lần lượt có véc tơ chỉ phương và véc tơ pháp tuyến là: . Góc giữa hai đường thẳng d và mặt phẳng (P) được xác định bởi công thức: 
b. Khoảng cách: 
- Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng và đến một mặt phẳng:
 Cho điểm ; Đường thẳng d đi qua điểm A, có véc tơ chỉ phương 
 Khi đó khoảng cách từ điểm M đến mp(P) và khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d được tính theo công thức:
; 
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
Cho hai đường thẳng d và d’ chéo nhau lần lượt đi qua M, M’ và có véc tơ chỉ phương là . Khoảng cách giữa hai đường thẳng d và d’ được tính theo công thức: 
- Khoảng cách giữa hai yếu tố song song:
+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia.
+ Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
+ Khoảng cách từ giữa đường thẳng và mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng này đến mặt phẳng.
2.3.1.4 Vị trí tương đối trong không gian:
a. Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian
Cho 2 đường thẳng: 	 qua M, có VTCP 
	 và qua N, có VTCP 
Cách 1: Ta thực hiện theo sơ đồ sau:
Cách 2:
Xé hệ phương trình: 
Hệ có nghiệm duy nhất Û và cắt nhau
Hệ vô nghiệm Û và song song hoặc chéo nhau
Hệ vô số nghiệm Û và trùng nhau
Lưu ý: Chỉ sử dụng cách này khi cần xác định giao điểm của và .
Chú ý:
 song song 	Û 
 trùng 	Û 
 cắt 	Û 
 chéo 	Û 
b. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng trong không gian
Cho 2 mp và 
	Û	
	Û	
 cắt 	Û	
Đặc biệt: Û ( Hai véc tơ pháp tuyến vuông góc)
c. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
Cho đường thẳng: và mp 
Xé hệ phương trình: 
(*) có nghiệm duy nhất 	Û cắt 
(*) có vô nghiệm 	Û // 
(*) vô số nghiệm 	Û Ì 
d. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu
Cho mặt cầu có tâm , bán kính và đường thẳng .
Để xét vị trí tương đối giữa và ta tính rồi so sánh với bán kính .
 : không cắt 
 : tiếp xúc với . 
Tiếp điểm J là hình chiếu vuông góc của tâm I lên đường thẳng .
 : cắt tại hai điểm phân biệt A, B và 
e. Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu
Cho mặt cầu tâm bán kính R và mặt phẳng .
Nếu thì mp và mặt cầu không có điểm chung.
Nếu thì mặt phẳng và mặt cầu tiếp xúc nhau.Khi đó (P) gọi là tiếp diện của mặt cầu (S) và điểm chung gọi là tiếp điểm
Nếu thì mặt phẳng và mặt cầu cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn có và tâm H của đường tròn là hình chiếu của tâm I mặt cầu lên mặt phẳng .
2.3.2 Một số điểm cần lưu ý khi giải câu hỏi trắc nghiệm
Để giải tốt các câu hỏi trắc nghiệm trong quá trình giảng dạy cho học sinh tôi thường lưu ý các em thực hiện các điểm sau đây:
1. Cần đọc kỹ lý thuyết, nắm vững toàn bộ chương trình, thuộc kĩ các định nghĩa, các công thức, các tính chất, vì bài tập trắc nghiệm gồm nhiều câu hỏi( có 50 câu trong đề thi THPT QG), kiểm tra được nhiều kiến thức, bao quát cả chương trình dưới ba dạng:
- BIẾT: Nắm được, thuộc kĩ các định nghĩa, các tính chất, phân biệt được đúng hay sai của các câu nêu trong bài.
- HIỂU: Nắm vững kiến thức và áp dụng giải được các dạng bài tập đơn giản như các bài tập nhỏ ở lớp sau khi học xong lý thuyết
-VẬN DỤNG: Giải các bài tập có lí luận, tính toán phức tạp hơn, khó hơn cần đòi hỏi tư duy cao.
2. Một câu hỏi trắc nghiệm thường có 4 lựa chọn A, B, C, D, trong đó chỉ có một câu đúng, các câu khác đều sai thì ta chọn câu đúng. Nếu cả ba câu A, B, C dều đúng và câu D ghi “ Cả ba câu trên đều đúng” thì phải chọn câu D.
Học sinh cần đọc kĩ câu hỏi, vận dụng kiến thức đã học hoặc tính toán cụ thể, chính xác để chọn câu đúng. Nếu không thì dễ chọn phải câu sai, vì khi đặt câu hỏi trắc nghiệm, người viết thường đoán trước được các trường hợp sai sót của học sinh để viết vào 4 lựa chọn.
3. Đừng bỏ quá nhiều thời gian với một câu hỏi vì như thế sẽ không làm kịp các câu khác. Các câu hỏi trong bài đều có số điểm như nhau, nên học sinh cần giải được càng nhiều câu càng tốt. Phải phân phối thời gian hợp lý để giải đủ tất cả các câu.
4. Nên giải từ trên xuống, vì các câu hỏi thường xếp từ dễ đến khó dần. Gặp câu khó, phức tạp quá thì bỏ qua, ghi dấu (?) ở ngoài lề sau này nếu còn thời gian sẽ giải lại. Đừng tập trung giải câu khó vì mất nhiều thì giờ, hoặc giải không ra, sẽ mất bình tĩnh, mất tự tin, không giải tốt được các câu sau.
5. Khi đọc vào phần đề mỗi câu, không vội nhìn vào các đáp án trả lời ở dưới, mà tự mình tìm câu trả lời, nếu câu trả lời của mình có xuất hiện trong các đáp án thì chắc đó là câu trả lời đúng.
6. Biết chọn phương pháp giải một cách thong minh để có kết quả nhanh.
Ví dụ: Khi tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tâm giác ABC ta nên kiểm tra xem tam giác ABC có gì đặc biệt, nếu là tam giác vuông tại A thì tâm là trung điểm của BC
Khi không có gì đặc biệt thì mới giả theo phương pháp thuần túy.
7. Biết suy nghĩ để loại dần các câu chắc chắn sai và suy ra được câu đúng nhanh.
Ví dụ (Câu 20. MĐ 103.2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(3; -1; -2) và mặt phẳng . Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua M và song song với ?
A. B. 
C. D.
Phân tích: Do hai mặt phẳng song song với nhau nên mặt phẳng cần tìm có dạng phương trình: nên ta sẽ chắc chắn loại phương án A và D.Sau đó ta kiểm tra tọa độ của điểm M thỏa mãn phương trình nào sẽ có đấp án đúng là C.
8. Biết cách thử để chọn kết quả nhanh hơn là cách tính toán trực tiếp.
Ví dụ: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 4 điểm . Mặt cầu (S) đi qua 4 điểm có phương trình là:
A. B. 
C. D. 
Bằng cách thử trực tiếp ta dễ dàng chọn được đáp án đúng là đáp án C.
Bài toán này nếu trình bày theo cách giải thong thường thì sẽ tốn nhiều thời gian hơn.
9. Câu nào đã tính toán lựa chọn xong rồi thì thôi. Đừng thay đổi quyết định nhiều lần vì điều này làm giảm sự tự tin và tạo nên sự do dự không cần thiết.
10. Cuối cùng nên trả lời tất cả các câu, không bỏ sót câu nào. Nếu có vài câu không giải được không kịp giờ thì có thể chọn ngẫu nhiên một trong bốn câu A, B, C, D cho các câu đó.
2.3.3 Các dạng bài tập hình tọa độ trong không gian thường gặp 
2.3.3.1 Các dạng toán về mặt cầu
a. Bài toán xác định tâm và bán kính mặt cầu
- Phương trình mặt cầu (S) có tâm và bán kính R là:
 (1)
- Phương trình mặt cầu có dạng: (2)
 có tâm và bán kính 
b. Bài toán về viết phương trình mặt cầu
- Phương trình mặt cầu có tâm I và đi qua M, suy ra bán kính 
- Phương trình mặt cầu có đường kính AB:
 + Xác định tâm I là trung điểm của đoạn AB
 + Bán kính 
- Phương trình mặt cầu có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng 
 Suy ra bán kính 
- Phương trình của mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C và có tâm thuộc (P). Khi đó ta gọi phương trình của mặt cầu có dạng (1) hoặc (2) sau đó lập hệ phương trình tìm ẩn.
- Phương trình mặt của mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D. Cách giải tương tự dạng trên.
c. Bài toán xác định vị trí tương đối của mặt cầu với mặt phẳng (P)
Bước 1: Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu (S)
Bước 2: Tính khoảng cách từ I đến (P) :
Bước 3: So sánh và kết luận
+ Nếu d > R. Kết luận (S) và (P) không có điểm chung
+ Nếu d = R. Kết luận (P) tiếp xúc với (S) tại M(M là hình chiếu của I lên (P))
+ Nếu d < R. Kết luận (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính 
 và có tâm O là hình chiếu của I lên mp(P).
2.3.3.2 Các dạng toán về mặt phẳng và đường thẳng
a. Bài toán về phương trình mặt phẳng
Dạng 1: Biết mặt phẳng đi qua điểm và có véc tơ pháp tuyến 
Ta có phương trình: 
 * Ở dạng này lưu ý : Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng; Hai mặt phẳng song song. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng. Mặt phẳng tiếp diện với mặt cầu tâm I tại M
Dạng 2: Biết mặt phẳng đi qua một điểm (hoặc tìm được) và có véc tơ pháp tuyến (VTPT) vuông góc với cặp véc tơ không cùng phương.
Khi đó : 
* Ở dạng này lưu ý:
- Mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C khi đó chọn VTPT 
- Mặt phẳng chứa hai đường thẳng cho trước d và d’:
 + Nếu d//d’ thì chọn 
 + Nếu d cắt d’ thì chọn 
- Mặt phẳng đi qua điểm A và chứa đường thẳng d. Ta chọn 
- Mặt phẳng đi qua M và vuông góc với cả (P) và (Q). Ta chọn: 
- Mặt phẳng song song với đường d (hoặc chứa d) và vuông góc với mặt phẳng (Q). 
 Ta chọn: 
- Mặt phẳng chứa d và song song với d’. ta chọn điểm đi qua M thuộc d và có VTPT là 
Dạng 3: Mặt phẳng đặc biệt
- Mặt phẳng theo đoạn chắn: Phương trình mặt phẳng đi qua A(a,0,0) B(0,b,0) ; C(0,0,c) (a, b,c khác 0) có phương trình: 
- Mặt phẳng (P) song song với (Q): Ax + By +Cz + D = 0 và tiếp xúc với mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R. Khi đó: (P) có dạng: Ax + By +Cz + D’ = 0 và ta dùng điều kiện tiếp xúc với (S) để xác định D’.
b. Bài toán về ph