Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài toán Hình học Lớp 9

1. PHẦN MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài :
	- Toán học là một bộ môn khoa học tự nhiên mang tính logíc, tính trừu tượng cao. Đặc biệt là với hình học nó giúp cho học sinh khả năng tính toán, suy luận logíc và phát triển tư duy sáng tạo. Việc bồi dưỡng học sinh học toán không đơn thuần chỉ cung cấp cho các em một số kiến thức cơ bản thông qua việc làm bài tập hoặc làm càng nhiều bài tập khó, hay mà giáo viên phải biết rèn luyện khả năng và thói quen suy nghĩ tìm tòi lời giải của một bài toán trên cơ sở các kiến thức đã học.
	- Qua nhiều năm công tác và giảng dạy Toán 9 ở trường THCS tôi nhận thấy việc học toán nói chung và bồi dưỡng học sinh năng lực học toán nói riêng, muốn học sinh rèn luyện được tư duy sáng tạo trong việc học và giải toán thì việc cần làm ở mỗi người thầy, đó là giúp học sinh khai thác đề bài toán để từ một bài toán ta chỉ cần thêm bớt một số giả thiết hay kết luận ta sẽ có được bài toán phong phú hơn, vận dụng được nhiều kiến thức đã học nhằm phát huy nội lực trong giải toán nói riêng và học toán nói chung. Vì vậy tôi ra sức tìm tòi, giải và chắt lọc hệ thống lại một số các bài tập mà ta có thể khai thác được đề bài để học sinh có thể lĩnh hội được nhiều kiến thức trong cùng một bài toán. 
- Với mong muốn được góp một phần công sức nhỏ nhoi của mình trong việc bồi dưỡng năng lực học toán cho học sinh hiện nay và cũng nhằm rèn luyện khả năng sáng tạo trong học toán cho học sinh để các em có thể tự phát huy năng lực độc lập sáng tạo của mình, nhằm góp phần vào công tác chăm lo bồi dưỡng đội ngũ học sinh giỏi toán ngày một khả quan hơn. Tôi xin cung cấp và trao đổi cùng đồng nghiệp đề tài sang kiến: "Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài toán Hình học lớp 9 ". Đề tài này ta có thể bồi dưỡng năng lực học toán cho học sinh và cũng có thể dùng nó trong việc dạy chủ đề tự chọn toán 9 trong trường THCS hiện nay. Mong quý đồng nghiệp cùng tham khảo và góp ý. 
	1.2. Mục đích nghiên cứu
Đây là đề tài rộng và ẩn chứa nhiều thú vị bất ngờ thể hiện rõ vẻ đẹp của môn Hình học và đặc biệt nó giúp phát triển rất nhiều tư duy của học sinh, nếu vấn đề này tiếp tục được khai thác hàng năm và được sự quan tâm góp ý của các thầy cô thì chắc hẳn nó sẽ là kinh nghiệm quý dành cho việc dạy học sinh khá giỏi.Vì đây là đề tài rộng nên trong kinh nghiệm này chỉ trình bày một vài chủ đề của môn Hình lớp 9, chủ yếu là phần đường tròn do chương này gần gũi với học sinh và xuất hiện nhiều trong các kỳ thi. Chỉ có thể thấy được sự thú vị của những bài toán này trong thực tế giảng dạy, những bài toán cơ bản nhưng cũng có thể làm cho một số học sinh khá lúng túng do chưa nắm phương pháp giải dạng toán này. Khi đi sâu tìm tòi những bài toán cơ bản ấy không những học sinh nắm sâu kiến thức mà còn tìm được vẻ đẹp của môn Hình học. Vẻ đẹp đó được thể hiện qua những cách giải khác nhau, những cách kẻ đường phụ, những ý tưởng mà chỉ có thể ở môn Hình học mới có, làm được như vậy học sinh sẽ yêu thích môn Toán hơn. Đó là mục đích của bất kì giáo viên dạy ở môn nào cần khêu gợi được niềm vui, sự yêu thích của học sinh ở môn học đó. Nhưng mục đích lớn nhất trong việc dạy học là phát triển tư duy của học sinh và hình thành nhân cách cho học sinh. Qua mỗi bài toán học sinh có sự nhìn nhận đánh giá chính xác, sáng tạo và tự tin qua việc giải bài tập Hình đó là phẩm chất của con người mới.
 1.3. Đối tượng nghiên cứu
	 Học sinh cấp học THCS chủ yếu là học sinh khối 9 và ôn luyện thi vào 10, thi vào các trường chuyên, cũng như trong bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi các cấp. 
	1.4. Phương pháp nghiên cứu	
	Tìm hiểu thực tiễn giảng dạy, học tập, bồi dưỡng học sinh giỏi trong nhà trường.
	Tra cứu tài liệu, tham khảo nghiên cứu các tài liệu trên mạng.
	Thực nghiệm, đối chiếu so sánh.
	Nhận xét.
	1.5. Giới hạn phạm vi nghiên cứu.
	Phạm vi nghiên cứu học sinh trường THCS Nguyễn Tất Thành qua nhiều năm học. 
	Thời gian thực hiện trong các năm học từ năm học 2014 – 2015 đến năm học 2018-2019.
2. PHẦN NỘI DUNG
	2.1.Cơ sở lí luận 
Qua việc giảng dạy thực tế nhiều năm ở THCS tôi thấy hiện nay đa số học sinh sợ học môn Hình học. Tìm hiểu nguyên nhân tôi thấy có rất nhiều học sinh chưa thực sự hứng thú học tập bộ môn vì chưa có phương pháp học tập phù hợp với đặc thù bộ môn, sự hứng thú với môn Hình học là hầu như ít có. Có nhiều nguyên nhân, trong đó có thể xem xét những nguyên nhân cơ bản sau:
 	- Đặc thù của bộ môn Hình học là mọi suy luận đều có căn cứ, để có kĩ năng này học sinh không chỉ phải nắm vững các kiến thức cơ bản mà còn phải có kĩ năng trình bày suy luận một cách logic. Kĩ năng này đối với học sinh là tương đối khó, đặc biệt là học sinh lớp 9 các em mới được làm quen với chứng minh Hình học. Các em đang bắt đầu tập dượt suy luận có căn cứ và trình bày chứng minh Hình học hoàn chỉnh. Đứng trước một bài toán hình học học sinh thường không biết bắt đầu từ đâu, trình bày chứng minh như thế nào.
- Trong quá trình dạy toán nhiều giáo viên còn xem nhẹ hoặc chưa chú trọng việc nâng cao, mở rộng, phát triển các bài toán đơn giản ở SGK hoặc chưa đầu tư vào lĩnh vực này, vì thế chưa tạo được hứng thú cho học sinh qua việc phát triển vấn đề mới từ bài toán cơ bản. 
- Việc đưa ra một bài toán hoặc phát triển một bài toán cho phù hợp với từng đối tượng học sinh để có kết quả giáo dục tốt còn hiều hạn chế. 
- Học sinh THCS nói chung chưa có năng lực giải các bài toán khó, nhưng nếu được giáo viên định hướng về phương pháp hoặc kiến thức vận dụng, hoặc gợi ý về phạm vi tìm kiếm thì các em có thể giải quyết được vấn đề.
 	- Ngay cả với học sinh khá giỏi cũng còn e ngại với bộ môn Hình Học do thiếu sự tự tin và niềm đam mê.
	2.2. Thực trạng
2.2.1. Thuận lợi, khó khăn:
a) Thuận lợi:
	Tôi đã được trực tiếp giảng dạy môn Toán khối 9 được 25 năm, trong đó thời gian gần đây nhất là từ năm 2014 đến 2019 tại trường THCS Nguyễn Tất Thành, bồi dưỡng học sinh giỏi toán 9 và ôn tập, nâng cao kiến thức cho học sinh thi tuyển vào lớp 10, thi vào trường chuyên nên tôi thấy được sự cần thiết phải thực hiện đề tài "Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài toán Hình học lớp 9 ".
	Tôi được các đồng nghiệp có nhiều kinh nghiệm góp ý kiến trong giảng dạy, tham khảo các tài liệu liên quan trên mạng, ...
	Học sinh ở độ tuổi này luôn năng động sáng tạo, luôn thích khám phá học hỏi những điều mới lạ.
	Điều kiện kinh tế xã hội ngày càng phát triển. Từ đó sự quan tâm của các bậc phụ huynh học sinh ngày một nâng lên, luôn tạo điều kiện tốt nhất, trang bị đầy đủ cho con em mình các thiết bị và đồ dùng học tập.
	b) Khó khăn:
	Trong chương trình Toán THCS “Các bài toán về hình học” rất đa dạng, phong phú và trừu tượng, mỗi dạng toán có nhiều phương pháp giải khác nhau. Học sinh khi học toán đã khó, đối với Hình học lạ càng khó hơn bởi vì: Để làm bài toán Hình học thì học sinh phải vận dụng tất cả các định nghĩa, tính chất ..., mà mình đã được học một cách linh hoạt. Bên cạnh đó để giải một bài toán Hình học lớp trên thì học sinh phải nắm vững tất cả kiển thức, các bài toán cơ bản ở lớp dưới.
	Kinh tế từng gia đình không đồng đều, một số gia đình có điều kiện còn mải lo làm kinh tế, không có thời gian quan tâm đến việc học hành của con em mình, phó mặc cho con cái, chỉ biết cho con em mình tiền dẫn đến các em hư hỏng.
	Tác động xã hội đã làm một số học sinh không làm chủ được mình nên đã đua đòi, ham chơi, không chú tâm vào học tập mà dẫn thân vào các tệ nạn xã hội như chơi game, bi da, đánh bài ... 
	2.2.2. Thành công, hạn chế
	a) Thành công: 	
	Các bài tập Hình đều phát triển dựa trên những bài toán cơ bản trong sách giáo khoa và sách bài tập nên mục đích cần hướng đến là học sinh trung bình cần phải làm tốt những bài tập này. 
	b) Hạn chế: 
	Giải bài tập toán là lúc học sinh được thể hiện kĩ năng, tính sáng tạo, phát triển óc tư duy. Các bài tập Hình trong sách giáo khoa rất đa dạng nhưng làm sao để cho phần lớn các học sinh khá và trung bình nhớ lâu, hiểu vấn đề đó mới là quan trọng. 
	Do đặc điểm của môn Hình học khó, phải tư duy trừu tượng và kèm thêm việc vẽ hình phức tạp, khi giải một bài toán hình thì học sinh phải vận dụng tất cả các định nghĩa, định lí, tính chất, ... mà mình đã được học một cách linh hoạt. Nên giáo viên phải tạo cho học sinh kĩ năng vẽ hình và hướng dẫn học sinh tư duy dựa trên những bài toán cơ bản.
 2.2.3. Mặt mạnh, mặt yếu
	a) Mặt mạnh: 
	Giúp cho học sinh hiểu được một số bài toán phát triển từ bài toán cơ bản, nhưng quan trọng hơn giáo viên cần giúp cho học sinh hiểu được hướng phát triển một bài toán. Tại sao phải làm như vậy? Làm như thế đạt được mục đích gì? Qua đó giúp các em say mê môn Toán. Cho dù là học sinh giỏi hay học sinh trung bình khi nhìn một bài toán dưới nhiều góc độ thì học sinh đó sẽ tự tin hơn, thích thú hơn với môn học, yếu tố đó rất quan trọng trong quá trình tự học, nó giúp quá trình rèn luyện hình thành tư duy cho học sinh tốt hơn.	
	b) Mặt yếu: 
	Số học sinh hiểu được một số bài toán phát triển từ bài toán cơ bản là không nhiều vì đây là vấn đề khó cần sự kiên trì và cố gắng của cả học sinh và giáo viên mặc dù vậy tôi hướng đến 1/3 số học sinh đạt được điều này, có thể học sinh sẽ không tạo ra những dạng mà thầy đã làm vì vốn kinh nghiệm của học sinh còn rất hạn chế nên giáo viên cần phải động viên giúp các em tự tin hơn. Việc sáng tạo đó không những cần có kiến thức vô cùng chắc chắn mà học sinh cần có sự nhạy cảm của toán học. Điều này chỉ phù hợp với học sinh giỏi nên tôi chỉ áp dụng yêu cầu này trong quá trình dạy học sinh giỏi. 
	2.2.4. Các nguyên nhân, các yếu tố tác động 
 	a) Học sinh không giải toán được:
	- Học sinh chưa biết liên hệ giữa kiến thức cơ bản và kiến thức nâng cao.
	- Chưa có tính sáng tạo trong giải toán và khả năng vận dụng kiến thức chưa linh hoạt.
	b) Học sinh giải toán được:
	- Trình bày lời giải chưa chặt chẽ, mất nhiều thời gian.
	- Chưa sáng tạo trong vận dụng kiến thức.
	Số học sinh tự học tập thêm kiến thức, tham khảo tài liệu,để nâng cao kiến thức chưa nhiều, nên khả năng học môn Toán giữa các em trong lớp học không đồng đều. Bên cạnh đó một bộ phận không nhỏ học sinh còn yếu trong kỹ năng phân tích và vận dụng 
	Một số bộ phận phụ huynh học sinh không thể hướng dẫn con em mình giải các bài toán hình. Vì vậy chất lượng làm bài tập ở nhà còn thấp.
	2.2.5. Phân tích đánh giá các vấn đề về thực trạng mà đề tài đã đặt ra.
Trong hoạt động dạy và học Toán nói chung, đối với bộ môn hình học nói riêng thì vấn đề khai thác, nhìn nhận một bài toán cơ bản dưới nhiều góc độ khác nhau nhiều khi cho ta những kết quả khá thú vị. Ta biết rằng ở trường phổ thông, việc dạy toán học cho học sinh thực chất là việc dạy các hoạt động toán học cho họ. Cụ thể như khi truyền thụ cho học sinh một đơn vị kiến thức thì ngoài việc cho học sinh tiếp cận, nắm vững đơn vị kiến thức đó thì một việc không kém phần quan trọng là vận dụng đơn vị kiến thức đã học vào các hoạt động toán học. Đây là một hoạt động mà theo tôi, thông qua đó dạy cho học sinh phương pháp tự học - Một nhiệm vụ quan trọng của người giáo viên đứng lớp . Xuất phát từ quan điểm trên, vấn đề khai thác và cùng học sinh khai thác một bài toán cơ bản trong sách giáo khoa để từ đó xây dựng được một hệ thống bài tập từ cơ bản đến nâng cao đến bài toán khó là một hoạt động không thể thiếu đối với người giáo viên. Từ những bài toán chuẩn kiến thức, giáo viên không dừng ở việc giải toán. Việc khai thác một số bài toán hình học cơ bản trong SGK không những gớp phần rèn luyện tư duy cho HS khá giỏi mà còn tạo chất lượng, phù hợp với giờ học, gây hứng thú cho HS ở nhiều đối tượng khác nhau.
+ Để giải quyết vấn đề trên trong quá trình giảng dạy cần chú trong các bài toán ở SGK. Biết phát triển các bài toán đơn giản đã gặp để tăng vốn kinh nghiệm vừa phát triển năng lực tư duy toán học, vừa có điều kiện tăng khả năng nhìn nhận vấn đề mới từ cái đơn giản và từ đó hình thành phẩm chất sáng tạo khi giải toán sau này.
+ Việc phát triển một bài toán phù hợp với từng đối tượng học sinh là rất cần thiết và quan trọng, nó vừa đảm bảo tính vừa sức và là giải pháp có hiệu quả cao trong việc giải toán vì nó không tạo cho học sinh sự nhụt chí mà là động lực thúc đẩy giúp cho học sinh có sự tự tin trong quá trình học tập, bên cạnh đó còn hình thành cho các em sự yêu thích và đam mê bộ môn hơn.
+ Các em phải được tập suy luận từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp. 
+ Phát huy được khả năng sáng tạo, phát triển khả năng tự học, hình thành cho học sinh tư duy tích cực ,độc lập và kích thích tò mò ham tìm hiểu đem lại niềm vui cho các em.
2.3. Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề
	2.3.1. Mục tiêu của giải pháp, biện pháp :
	- Tìm tòi, tích lũy các đề toán ở nhiều dạng trên cơ sở vận dụng được các kiến thức cơ bản đã học.
	- Hướng dẫn học sinh tìm hiểu đề bài.
	- Giải hoặc hướng dẫn học sinh cách giải. 
	- Khai thác bài toán và giúp học sinh hướng giải bài toán đã được khai thác	
	- Trang bị cho các em các dạng toán cơ bản, thường gặp.
	 	- Đưa ra các bài tập tương tự, bài tập nâng cao.
 	- Kỹ năng nhận dạng và đề ra phương pháp giải thích hợp trong từng trường hợp cụ thể. Giúp học sinh có tư duy linh hoạt và sáng tạo.
	- Kiểm tra, đánh giá mức độ nhận thức của học sinh thông qua các bài kiểm tra. Qua đó kịp thời điều chỉnh về nội dung và phương pháp giảng dạy.
	- Tạo hứng thú, đam mê, yêu thích các dạng toán hình học, thông qua các bài toán có tính tư duy.
	2.3.2. Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp, biện pháp
 	Trong đề tài này tôi chỉ đưa ra một số bài toán có liên quan đến: ĐƯỜNG TRÒN VÀ TIẾP TUYẾN
	2.3.2.1. Dạng toán về đường tròn
Bài 1: Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau tại O. Trên a lấy điểm A và trên b lấy điểm B. Có bao nhiêu đường tròn đi qua ba điểm O, A, B?
Tìm hiểu đề bài
	Bài này liên quan đến sự xác định một đường tròn qua ba điểm O, A, B trong đó O là giao điểm của hai đường thẳng a, b và A và B là hai điểm bất kì thuộc a và b.
Hướng dẫn cách tìm lời giải
Lưu ý A và B có thể nằm về hai phía của O, ngoài ra A và B cũng có thể trùng với O hoặc khác O. Do đó hãy xét các trường hợp sau:
O khác A và B;
A trùng với O nhưng B khác O hoặc ngược lại;
Ba điểm O, B, A trùng nhau.
Cách giải:
 `- Trường hợp O khác A và B, như thế ba điểm O, A, B không thẳng hàng nên bao giờ cũng có và chỉ có một đường tròn đi qua ba điểm A, O, B.
 - Trường hợp A trùng với O nhưng B khác O (hoặc B trùng với O nhưng A khác O) thì có vô số đường tròn đi qua hai điểm O và B mà tâm của chúng nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng OB hoặc OA.
 - Trường hợp A và B trùng với O thì có vô số đường tròn qua O mà tâm là điểm tùy ý trong mặt phẳng.( cũng có thể cho rằng đường tròn đi qua ba điểm O, A, B bây giờ biến thành một điểm O)
Khai thác bài toán:
Với bài toán này ta có thể thêm câu hỏi sau: 
+) Tính bán kính của đường tròn qua O, A, B trong các trường hợp:
a) OAB vuông tại O với OA = m; OB = n. 
b) OAB vuông cân tại O với OA = OB = p 
c) OAB đều với cạnh bằng q
Cách giải: 
a) Nếu vuông tại O thì tâm đường tròn là trung điểm của cạnh huyền AB và bán kính bằng 
b) Nếu vuông cân tại O thì tâm đường tròn vẫn là trung điểm của AB nhưng bán kính bằng 
c) Nếu đều cạnh q thì tâm đường tròn là giao điểm G của ba đường trung tuyến của tam giác OBA và bán kính OG bằng 2/3 đường cao của tam giác đều tức là bằng .
Bài 2: Cho đường tròn tâm O và một điểm A bên trong đương tròn. Qua A hãy dựng dây BC sao cho
BC có độ dài nhỏ nhất
BC nhận A làm trung điểm
Tìm hiểu đề bài:
(Hình 2a)
Đây là bài toán dựng hình trong đương tròn (O). Yêu cầu phải dựng qua điểm A cho trước bên trong (O) một dây BC sao cho BC có độ dài nhỏ nhất, BC nhận A làm trung điểm.
Hướng dẫn cách tìm lời giải
a) Hãy thay “Dây BC có độ dài nhỏ nhất” bằng “ Khoảng cách OM từ tâm O đến dây là lớn nhất”, rồi nhận xét từ đó OM lớn nhất khi bằng OA suy ra cách dựng BC (hình 2a)
b) Do AB phải bằng AC nên nếu nối OA thì . Từ đó suy ra cách dựng BC (hình 7b)
Cách giải:
Gọi BC là một dây bất kì qua A cách tâm O một khoảng OM. Ta thấy rằng nếu BC có độ dài nhỏ nhất thì OM có độ dài lớn nhất.
Do nên OM lớn nhất khi OM = OA tức là khi M trùng với A.
Suy ra cách dựng sau đây: qua A dựng dây B1C1 vuông góc với OA. Dây B1C1 là dây có độ dài nhỏ nhất.
	Bài toán có một nghiệm hình
Giả sử BC là dây dựng được mà A là trung điểm của nó. Nối AO ta có 
Suy ra cách dựng sau đây: Nối A với tâm O và dựng đường thẳng vuông góc với OA tại A cắt (O) tại B và C. Dây BC là dây cần dựng.
 Bài toán có một nghiệm hình.
Khai thác bài toán:
Có thể đặt thêm câu hỏi sau:
Tìm trên đường tròn (O) một điểm S sao cho lớn nhất
Giải: Kéo dài SA cắt (O) tại T ta thấy rằng trong tam giác cân SOT có cạnh bên không đổi thì lớn nhất khi nhỏ nhất tức là dây ST nhỏ nhất ( hình 7c)
Như vậy bài toán quy về câu a ở trên: Dựng dây S1T1 có độ dài nhỏ nhất với ta được điểm S1 phải tìm
Bài 3: ( Bài tập 11 trang 104 SGK – Toán 9 tập 1)
Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB, dây CD không cắt đường kính AB. Gọi H và K theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ A và B đến CD. 
Chứng minh CH = DK (*) (Gợi ý kẻ OM ).
Cách giải
Ta có và (gt) nên AH// BK Tứ giác AHKB là hình thang.
Kẻ tại M MC = MD (1) ( ĐL quan hệ giữa vuông góc giữa đường kính và dây). 
Xét hình thang AHKB có OA =OB = R ; OM // AH // BK ()
OM là đường trung bình của hình thang (2)
Từ (1) và (2), ta có CH = DK
Đối với bài tập này ta có thể khai thác theo hai hướng như sau :
+ Hướng thứ nhất :
	Từ bài toán (*) nếu dây cung CD cắt đường kính AB thì kết luận CH = DK có còn đúng nữa không? Kết luận đó vẫn đúng và chúng ta có bài toán khó hơn bài toán (*) một chút như sau:
Bài 3a: Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây CD cắt đường kính AB tại G. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A và B trên CD. Chứng minh rằng CH = DK.
Hướng dẫn giải:
Để chứng minh CH = DK ta chứng minh CD và HK có chung trung điểm.
Qua O vẽ đường thẳng song song với AH và BK cắt CD tại I, cắt AK tại F.
Lập luận để có OI là đường trung trực của đoạn CD và FI là đường trung bình của tam giác AHK I là trung điểm của HK đpc/m.
Cũng bài toán trên nhưng chúng ta có thể phát triển dưới một dạng khác phức tạp hơn như sau:
Bài 3b: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AB. Chứng minh rằng hình chiếu vuông góc của các cạnh đối diện của tứ giác trên đường chéo CD bằng nhau. ( Cách giải hoàn toàn tương tự như bài trên)
Bài 3c: Gọi G là điểm thuộc đoạn thẳng AB (G không trùng với A và B). Lấy AB, AG và BG làm đường kính, dựng các đường tròn tâm O, O1, O2. Qua G vẽ cát tuyến cắt đường tròn (O) tại C và D, cắt (O1) tại H, cắt (O2) tại K. Chứng minh CH = DK.
Hướng dẫn giải:
Lập luận để có và Cách giải hoàn toàn tương tự như bài toán trên
+ Hướng thứ hai:
Bài 3d: Thêm vào bài tập trên câu b như sau: Chứng minh H và K ở bên ngoài đường tròn (O).
Cách giải ( dùng phương pháp phản chứng)
Giả sử chân đường vuông góc hạ từ A đến đường thẳng CD là H’. H’ là điểm nằm giữa hai điểm C và D.
Xét , ta có : 
Mà (theo giả sử) Tổng các góc trong của lớn hơn 1800 là điều vô lí. 
Vậy H’ phải nằm ngoài đường tròn(O) hay H nằm trong (O).
Chứng minh tương tự đối với điểm K.
Nhận xét: Từ việc vẽ ta có MH = MK ta dễ nhận thấy rằng : 
HK.OM = AB.MM’(với tại M’)
Bài 3e: Qua nhận xét trên ta có thể thêm vào bài trên câu c: 
Chứng minh .
Vẽ thêm ()
Ta có (MM’ là đường trung bình của hình thang CDD’C’)
Mặt khác HK.OM = SAHKB ( Vì OM là đường trung bình của hình thang AHBK, nên )
Từ đó (đpc/m)
Bài 3f: Đặc biệt khi CD không phải là một dây mà CD trở thành tiếp tuyến của (O) như hình vẽ bên ta vẫn có và ( lúc này M thuộc nửa đường tròn (O) nên AB = 2OM.
Do đó ta có HK.OM = 2OM.MM’ 
Dựa vào điều kiện một điểm thuộc đường tròn ta có 
 tiếp xúc với AB tại M’.
Bài 3g: Từ bài toán trên ta lại có bài toán quỹ tích:
a/ Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng CD khi C (hoặc D) chạy trên đường tròn (O).
b/ Tìm quỹ điểm H và K khi C ( hoặc D) chạy trên đường tròn O đường kính AB.
Từ bài toán trên chúng ta có thể phát biểu bài toán đảo như sau :
Bài 3h : Trên đường kính AB của đường tròn tâm (O) ta lấy hai điểm H và K sao cho AH