Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh giải bài tập hình học theo định hướng phát triển năng lực

MỤC LỤC
I. Cơ sở đề xuất giải pháp
1. Sự cần thiết hình thành giải pháp
Truyền thụ kiến thức toán học và rèn luyện kỹ năng cho học sinh là nhiệm vụ chủ yếu của người giáo viên dạy toán. Qua các giờ lên lớp và qua cả các tiếp xúc hàng ngày, người giáo viên dạy toán phải truyền thụ nghiêm túc, chính xác những kiến thức cho học sinh, đồng thời phải cho các em thấy rõ những hiểu biết đó rất cần thiết cho cuộc sống hiện tại, hướng dẫn các em biết vận dụng chúng vào cuộc sống. Muốn như thế việc giảng dạy của giáo viên phải gắn liền với thực tế, phải rèn luyện cho học sinh nắm vững kiến thức, biết suy luận, biết diễn đạt, có những kỹ năng giải toán cần thiết.
 2.Tổng quan các vấn đề liên quan đến giải pháp
Trong quá trình giải bài toán hình học ở trường THCS, học sinh gặp rất nhiều khó khăn, nhất là đối với học sinh khối 7 đang làm quen với bài toán chứng minh hình học. Trong quá trình vận dụng kiến thức mới và cũ (các định nghĩa, tính chất, định lý, nhận xét, hệ quả...) để chứng minh, tính toán... học sinh đa phần còn bỡ ngỡ, khó trình bày, khó vận dụng. Chính vì lẽ đó việc hướng dẫn các em làm quen và giải thành thạo các bài toán hình đòi hỏi thời gian (trên lớp, ở nhà); với học sinh người thầy cần chủ động và định hướng, yêu cầu với học sinh, giúp các em học môn hình học hiệu quả hơn.
Xuất phát từ những lý do trên và qua nghiên cứu tìm hiểu tôi chọn chuyên đề: “Hướng dẫn học sinh giải bài tập hình học theo định hướng phát triển năng lực”.
3. Mục tiêu của giải pháp
	Với chuyên đề: “Hướng dẫn học sinh giải bài tập hình học theo định hướng phát triển năng lực”, GV cần hướng dẫn HS hình thành và có thói quen sử dụng phương pháp phân tích đi lên để lập sơ đồ chứng minh dẫn đến tìm ra lời giải của bài toán khi chứng minh một bài toán hình, từ đó sẽ làm cho học sinh hứng thú, yêu thích môn hình và kết quả học tập sẽ cao hơn.
 4. Các căn cứ đề xuất giải pháp 
4.1.Căn cứ lý luận:
Truyền thụ kiến thức và rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo giải toán cho học sinh là hai mặt của một vấn đề không thể tách rời trong quá trình giảng dạy của giáo viên, truyền thụ kiến thức cơ bản vững chắc là cơ sở cho việc rèn luyện kỹ năng thực hành và kỹ năng thực hành là làm cho những hiểu biết đã tiếp thu được sống lại trong thực tế, là để củng cố bổ sung và mở rộng những kiến thức đã học.
Việc rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo cho mỗi bài phải thể hiện dưới nhiều khía cạnh khác nhau. Hướng dẫn cho học sinh biết suy nghĩ đúng đắn, biết phân tích các mệnh đề toán học một cách chặt chẽ, biết diễn đạt vấn đề mình hiểu một cách ngắn gọn, rõ ràng, biết vận dụng kiến thức để giải bài tập một cách linh hoạt, sáng tạo hay nắm được đặc điểm, bí quyết để giải các bài tập khác nhau đều nhằm mục đích chung là nâng cao trình độ suy luận và khả năng thực hành của học sinh. Những vấn đề đó không thể truyền thụ cho học sinh trong một vài tiết mà trong suốt quá trình giảng dạy và phải được lặp lại nhiều lần mới có thể biến thành kỹ xảo, thói quen trong học sinh được.
	Trong chương trình toán học ở bậc tiểu học, học sinh đã bước đầu được làm quen với môn hình học thông qua điểm, đoạn thẳng... và một số hình đơn giản, lên đến bậc THCS các em được học môn hình học với quan niệm hiện nay về dạy hình học ở trường phổ thông trên phạm vi toàn thế giới: “Từ bỏ con đường tiên đề hoá, gắn hình học với thực tế, trình bày theo chủ đề, suy luận chặt chẽ ”.
 	Tính chất nổi bật của hình học 6; Hình học 7 (chương 1) là trực quan đây là giai đoạn xây dựng cơ sở ban đầu của hình học phẳng, chuẩn bị cho việc chứng minh suy diễn trong các chương sau:
	Ở Hình học 7; hình học 8; hình học 9 các em được học trên cơ sở các định nghĩa, tính chất, định lý, hệ quả... và đặc biệt ở hình học 7 các em đã được làm quen với việc chứng minh định lý, giải các bài toán hình học thông qua các phương pháp đặc trưng của bộ môn đó là phương pháp phân tích và tổng hợp. Do đó đối với học sinh lớp 7 việc giải các bài toán hình học quả là còn rất nhiều bỡ ngỡ và khó khăn.
	Việc giải các bài toán hình học bằng phương pháp chứng minh, phương pháp suy luận đối với học sinh trung học cơ sở là một công cụ tốt để rèn luyện và phát triển trí thông minh, khả năng tư duy độc lập, sáng tạo, nền móng vững chắc cho học sinh phát triển năng lực học toán.
	Một trong các phương pháp chứng minh hình có hiệu quả cao là phương pháp phân tích đi lên. Nếu giáo viên kiên trì làm tốt phương pháp này, cùng học sinh tháo gỡ từng vướng mắc trong khi lập sơ đồ chứng minh, cùng các em giải các bài tập từ dễ đến khó thì tôi tin rằng sẽ làm cho các em hứng thú với môn hình và kết quả sẽ cao hơn.
	Có thể nói trong khi giải bài tập bằng phương pháp phân tích đi lên thì việc lập được sơ đồ chứng minh là đã thành công được một nửa, phần việc còn lại là bằng phương pháp tổng hợp sắp xếp các bước theo một trình tự logic, trong đó mỗi bước lại có các căn cứ, luận chứng.
	Sơ đồ chứng minh bằng phương pháp phân tích đi lên có thể được khái quát như sau:
	 (1) (2) (3) (n)
	Cần chứng minh vấn đề A A1 A2 ... An
	Trong mỗi bước suy luận (1), (2), (3), ...(n) đều được suy luận ra từ cơ sở luận chứng trước nó, cụ thể có được A đúng thì phải có A1 đúng, để có A1 đúng thì phải có A2 đúng... đến An là một điều đã biết, đã được chứng minh là đúng hoặc đã có từ giả thiết.
4.2.Căn cứ thực tiễn:
	Môn toán nói chung và đặc biệt là phân môn hình học là một lĩnh vực mà không ít học sinh còn e ngại. Nguyên nhân của sự tồn tại này là gì? Có thể do khi mới tiếp xúc với môn hình học các em còn chưa hiểu hết bản chất đặc trưng của bộ môn này, không có một phương pháp học tập phù hợp nên các em rất “sợ” phân môn hình. Ngoài ra nếu giáo viên không kịp thời nắm bắt được các điểm yếu của học sinh thì sẽ như một mắt xích bị đứt trong cả đoạn xích, học sinh càng học sẽ càng “không hiểu gì cả” và càng thờ ơ với bộ môn hình học.
Trong thực tế giảng dạy, chúng tôi nhận thấy rằng phần lớn học sinh rất sợ học hình học, bởi vậy chất lượng học tập hình của các em rất yếu. Qua kinh nghiệm của bản thân và một số đồng nghiệp chúng tôi rút ra được một số nguyên nhân sau:
- Học sinh chưa có những khái niệm cơ bản, rõ ràng, không nắm được bản chất, chưa hiểu tường tận các định nghĩa, tính chất, định lý, hệ quả...
- Học sinh không vận dụng được các định nghĩa, tính chất, định lý, hệ quả... một cách linh hoạt, đúng lúc, đúng chỗ.
- Một số em có thể do tâm lý ngại học hoặc sợ môn hình nên càng làm cho bài toán từ dễ trở thành khó. Học sinh chưa biết nghĩ từ đâu? nghĩ như thế nào? cách trình bày, lập luận ra sao ở một bài toán hình?
- Trong sách giáo khoa (SGK) bài toán mẫu còn ít, hướng dẫn gợi ý không đầy đủ nên khó tiếp thu. Hơn nữa khối lượng kiến thức, bài tập trong SGK khá nhiều đôi khi thầy và trò không làm hết trong thời gian qui định. Vì vậy giúp học sinh hiểu, biết làm các bài tập hình học là rất quan trọng, đó cũng là mục đích của việc giảng dạy.
 5. Phương pháp thực hiện
Phân tích, tổng hợp, nêu vấn đề. Học sinh làm trung tâm, chủ đạo là người thầy
	6. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
	- Lớp 7, 8, 9 Trường THCS Võ Trường Toản
	II. Quá trình hình thành và nội dung giải pháp
	1. Quá trình hình thành
 Những yêu cầu đối với giáo viên và học sinh 
 	1.1. Đối với học sinh:	
	- Nắm chắc kiến thức cơ bản bao gồm các định nghĩa, định lý, tính chất, nhận xét, hệ quả...có liên quan đến bài học, bài toán kể cả những kiến thức không liên quan trước đó đã được học.
 	- Chuẩn bị bài học ở nhà (giải các bài toán hôm trước giáo viên cho về nhà). Nếu không làm được tối thiểu phải đọc trước, thuộc nội dung bài toán.
 	 - Ghi chép bài cẩn thận có vở ghi riêng, đồ dùng học tập đầy đủ: Thước kẻ, compa, bút chì, vở nháp.
 	 - Đứng trước một bài toán hình học yêu cầu các em phải thực hiện đúng các bước sau:
	+ Đọc kỹ đề bài, hiểu từng câu, từng chữ của đề bài, nắm được các dữ kiện đã cho, điều phải chứng minh của bài toán.
	+ Vẽ hình, ghi giả thiết, kết luận đúng, chính xác, rõ ràng, không thừa, không sai, ghi đầy đủ các ký hiệu cần thiết lên hình vẽ theo ý tưởng của mình.
	+ Có thói quen sử dụng “Phương pháp phân tích đi lên” để lập sơ đồ chứng minh dẫn đến tìm ra lời giải của một bài toán hình học; có thể lập sơ đồ ra giấy nháp hoặc nhờ thành sơ đồ trong tư duy.
 	+ Căn cứ vào sơ đồ chứng minh, bằng những căn cứ, những lập luận đưa ra những khẳng định đúng, bằng phương pháp tổng hợp để trình bày lời giải một bài toán hình, lời giải một bài toán hình phải đảm bảo lôgic, chặt chẽ, ăn khớp với hình vẽ, chính xác, khoa học.
	1.2. Đối với giáo viên:
 - Soạn giảng kỹ nội dung bài định chữa - về phương pháp giải - phương pháp trình bày - có bao nhiêu cách giải có thể có, mở rộng hướng bài toán như thế nào. Định hướng những kiến thức có liên quan, có thể hệ thống để học sinh được rõ.
 - Việc giải được nhiều bài tập ở lớp phải có mức độ tuỳ theo từng bài, tuỳ theo trình độ của học sinh và thói quen làm việc của học sinh trên lớp. Nếu các em không quen cách làm việc khẩn trương trên lớp thì đưa ra nhiều bài tập giải không đến nơi, đến chốn sẽ có ảnh hưởng không tốt đến học sinh.
- Trong giờ luyện tập, việc phân tích đề bài tập để giúp các em tìm hiểu đề bài chu đáo, hình dung được một chương trình để giải bài toán đó làm cho tất cả các em đều hiểu bài và làm bài nhanh hơn.
 - Một phần lớn các kết quả hay của bài toán ở lớp có thể mất đi nếu học sinh không có thời gian để xem xét lại, không nghiên cứu và phân tích lại cách giải đã tìm ra của bài toán. Vì thế giáo viên cần yêu cầu học sinh phân phối thì giờ làm việc ở nhà hợp lý để học sinh có thì giờ nghiên cứu lại bài tập đã chữa tại lớp và học sinh có thể tự làm lại được những bài tập đó.
 - Bài tập phải được lựa chọn hợp lý với trình độ học sinh, không dễ quá và chuẩn bị sẵn những câu hỏi gợi ý, khêu gợi được trí tò mò của học sinh để gây cho học sinh hứng thú trong việc suy nghĩ độc lập. Nếu không sẽ có tác dụng ngược lại, như một nhà toán học đã nói: “Nếu như người thầy dùng tất cả thì giờ cho học sinh làm những bài tập tầm thường thì sẽ làm cho học sinh mất hết hứng thú, là trở ngại cho việc phát triển trí tuệ của học sinh”.
	Giáo viên trong giảng dạy cần:
 - Chú trọng việc chuẩn bị bảng phụ, bút dạ... để tiết học có thể tiến hành được nhanh hơn, chú trọng việc sử dụng phấn màu trong giảng dạy hình học, đặc biệt trên hình vẽ giúp học sinh dễ nhìn, dễ phân tích đi lên từ hình vẽ để lập sơ đồ chứng minh, sử dụng phấn màu trong việc chữa bài làm của học sinh trên bảng để cả lớp dễ nhận ra nhưng sai sót cùng sửa chữa.
- Tăng cường hoạt động cá nhân, hoạt động cặp đôi, hoạt động nhóm nhất là đối với học sinh lớp 7, lớp 8, có thể dùng điểm số để kích thích các em thi đua giữa các nhóm, làm cho các em hứng thú hơn với tiết học, làm cho các em say sưa với môn hình học hơn và kết quả môn toán nó chung chắc chắn sẽ cao hơn.
2. Nội dung giải pháp 
	Sau đây, tôi xin đưa ra việc hướng dẫn học sinh giải một số bài toán hình theo phương pháp phân tích đi lên nhằm phát triển năng lực tư duy và rèn luyện kỹ năng giải bài toán hình cho học sinh:
Bài số 1: (Bài 43 SGK Toán 7 tập I, Trang 125)
Cho góc xOy khác góc bẹt. Lấy các điểm A, B thuộc tia Ox sao cho OA<OB. Lấy các điểm C, D thuộc tia Oy sao cho OC = OA, OD = OB. Gọi E là giao điểm của AD và BC. Chứng minh rằng:
a, AD = BC.
b, EAB = ECD
c, OE là tia phân giác của góc xOy?
Giải
 1800 (A, B €Ox) 
	GT OC = OA (OA < OB)
 OD = OB (C, D €Oy)
 AD BC = 
 a, AD = BC
 KL	b, EAB = ECD
 c, OE là phân giác của 
 Lập sơ đồ chứng minh
a, Cần chứng minh: 
AD = BC
OD = OB(gt); chung;OA = OC(gt)
b, Cần chứng minh:
EAB = ECD
B = D ; AB = CD ; A2 = C2
;OB = OD(gt); 
(đã c/m ở phần a); OA = OC (gt) 
 (đã c/m ở phần a)
c, Cần chứng minh:
OE là tia phân giác của góc xOy
AOE = COE
AOE = COE
OA = OC(gt); OE chung; AE = CE
 EAB = ECD
 (đã c/m ở phần b)
	Chứng minh
a, Xét có:
OD = OB (gt)
 chung 
OA = OC (gt) (c.g.c)
 AD = BC ( hai cạnh tương ứng) (đpcm)
b, Xét EAB và ECD 
vì (c/m ở phần a)
 ( hai góc tương ứng) (1)
 ( hai góc tương ứng) 
Ta lại có:
 OB = OD (gt)
 OA = OC (gt)
Mà AB = OB - OA
 CD = OD - OC
 AB = CD (2)
Mặt khác: A1 = C1 ( c/m trên)
Mà A1 + A2 = C1 + C2( = 1800)
 A2 = C2 (3)
Từ (1), (2) và (3) 
 EAB = ECD ( g.c.g)
C,
Vì EAB = ECD ( c/m ở phần b)
 AE = CE ( hai cạnh tương ứng)
Xét AOE và COE có:
 OA = OC (gt)
 OE cạnh chung 
 AE = CE ( c/m trên)
 AOE = COE (c.c.c)
 AOE = COE ( hai góc tương ứng)
 OE là tia phân giác của góc xOy(đpcm)
Bài số 2: 
Cho cân tại A. Trên cạnh DE, lấy điểm B và C sao cho 
Chứng minh cân.
Kẻ BM vuông góc AB tại B (). Kẻ CN vuông góc AC tại C () 
Chứng minh: AM= AN.
Gọi H là giao điểm của BM và CN, K là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh: ba điểm A, H, K thẳng hàng.
Giả sử AB = 6cm, BH = 8cm. Tính BK?
Giải
GT
cân tại A; ; ; ,
;; 
 K là trung điểm của BC
AB = 6cm, BH = 8cm 
KL
 cân
AM= AN
Ba điểm A, H, K thẳng hàng
BK=?
Lập sơ đồ chứng minh
a, Cần chứng minh:
cân
AB = AC hoặc .
AD = AE; ; BD = CE(gt)
 (cân tại A)
b, Cần chứng minh:
AM= AN
AB=AC; ; ,vuông
 (vì )
c, Cần chứng minh:
A, H, K thẳng hàng
AK là tia phân AK là tia phân
 Giác của giác của 
 (ch-cgv)
AB=AC;KB=KC;AH chung AB=AC; AH chung
d, Cần tính
BK= ?
 () ( hai góc kề bù)
Chứng minh:
a,Xét và , có:
AD = AE(cân tại A)
cân tại A (cân tại A)
BD = CE (gt)
 (c.g.c)
 AB=AC ( hai cạnh tương ứng)
 cân ( định nghĩa tam giác cân)
b, vuông tại B.
 vuông tại C.
Xét vuông tại B và vuông tại C, có:
AB=AC (cmt)
 (vì )
(Cgv – gnk)
AM= AN ( hai cạnh tương ứng)
d)Xét và ,có:
KA=KB ( K là trung điểm của AB)
AB=AC ( cmt)
AK là cạnh chung.
 ( c.c.c)
 (hai góc tương ứng)
Mà tia AK nằm giữa hai tia AB và AC
 tia AK là tia phân giác của (1) 
Xét vuông tại B và vuông tại C, có:
AH là cạnh chung
AB=AC (cmt)
 (ch-gn)
 (hai góc tương ứng)
Mà tia AH nằm giữa hai tia AB và AC
 tia AH là tia phân giác của (2)
Từ (1) và (2) .
Vậy 3 điểm A, H, K thẳng hàng.
d, vận dụng định lý Py-ta-go tính được AH=10cm
Ta có:
Mà ( hai góc kề bù) 
(dhnb hai đường thẳng vuông góc)
AB.BH=BK.AH
Mà AB= 8cm; AH=10cm; BH=6cm
BK=4,8cm
Bài số 3: (Bài 47- SGK Toán 8 tập I- Trang 93)
Cho hình bên, trong đó ABCD là hình bình hành.
a, Chứng minh rằng AHCK là hình bình hành
b, Gọi O là trung điểm của HK. Chứng minh rằng ba điểm A, O, C thẳng hàng.
Giải
 ABCD là hình bình hành
 GT AH BD = 
 CK BD = 
	O là trung điểm của HK
 KL a, AHCK là hình bình hành 
 b, A, O, C thẳng hàng
Lập sơ đồ chứng minh
a, Cần chứng minh:
AHCK là hình bình hành
AH // CK ; AH = CK
	AH BD(gt); AHD = CKB
	CK BD(gt) 	 
 AD = BC; 
AD// BC; AD = BC
ABCD là hình bình hành(gt)
b, Cần chứng minh:
A, O , C thẳng hàng
O là trung điểm của AC
O là trung điểm của HK(gt) 
AHCK là hình bình hành
 (đã c/m ở phần a)
Chứng minh:
a, Ta có:
AH BD(gt) 
CK BD(gt) AH // CK 
(quan hệ giữa tính vuông góc - tính song song)
Mặt khác: AHCK là hình bình hành (gt)
 AD = BC (1) (tính chất hình bình hành)
AD// BC (Tính chất hình bình hành)
 (so le trong) (2)
Từ (1) & (2) AHD = CKB
( Cạnh huyền - góc nhọn)
 AH = CK (hai cạnh tương ứng)
Tứ giác AHCK có: AH // CK ; AH = CK
 AHCK là hình bình hành
( Dấu hiệu nhận biết hình bình hành) (đpcm)
b, Vì AHCK là hình bình hành( c/m ở phần a)
 AH, CK là 2 đường chéo của hình bình hành AHCK.
Mà O là trung điểm của đường chéo HK (gt)
 O là trung điểm của đường chéo AC (tính chất đường chéo của hình bình hành)
AC HK = 
 Do đó 3 điểm A, O, C thẳng hàng (đpcm)
Bài số 4: (Bài 49- SGK Toán 8 tập I-Trang 93)
Cho hình bình hành ABCD. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của CD, AB. Đường chéo BD cắt AI, CK theo thứ tự ở M, N. Chứng minh rằng:
a, AI // CK
b, DM = MN = NB
Giải
 ABCD là hình bình hành
 GT I € CD \ DI = IC;
 K€AB \ AK = KB
 BD AI = 
 BD CK = 
 KL a, AI // CK
 b, DM = MN = NB
Lập sơ đồ chứng minh
a, Cần chứng minh:
AI // CK
AKCI là hình bình hành
AK // CI ; AK = CI
AB//CD ; AB = CD; 
 AK = 1/2AB (gt) 
ABCD là hình bình hành IC = 1/2CD (gt)
(gt) 
 ABCD là hình bình hành (gt)
b, Cần chứng minh:
DM = MN = NB
DM = MN
IC = ID(gt)
 IM // CN
(c/m ở phần a)
t/c đường trung bình của DCN 
MN = NB
AK = KB (gt);
KN // AM
(c/m ở phần a)
t/c đường trung bình của BAM 
Chứng minh
a, Vì ABCD là hình bình hành (gt)
 AB // CD (đ/n hình bình hành)
 AK // IC (*) (t/c hình bình hành)
Mà DI = IC = (gt)
AK = KB = 
 AK = IC (**). Từ (*) và (**)
 AKCI là hình bình hành (Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
 AI // CK
b, Xột DCN có IC = ID(gt)
IM // CN vì AI // CK (cm phần a)
 IM là đường trung bình của DCN
 DM = MN ( Định lý đường trung bình của tam giác) (1)
Xột BAM có: AK = KB (gt); 
KN // AM vì AI // CK (c/m ở phần a) 
 KN là đường trung bình củaBAM 
 MN = NB ( Định lý đường trung bình của tam giác) (2)
Từ (1) & (2) DM = MN = NB
(đpcm)
Bài số 5 (Bài 39 - SGK Toán 8 tập II- trang 79)
Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.
a, Chứng minh rằng: OA.OD = OB.OC
b, Đường thẳng qua O vuông góc với AB và CD theo thứ tự tại H và K.
Chứng minh rằng: 
Giải
 ABCD là hình thang
 GT OK CD = 
 BD AC = 
 OH AB = 
 KL a, OA.OD = OB.OC
 b, 
Lập sơ đồ chứng minh
a, Cần chứng minh:
OA.OD = OB.OC
~ 
A1 = C1; B1 = D1
AB//CD
ABCD là hình thang(gt)
b, Cần chứng minh:
 ~ ~ 
 (c/m ở phần a) 
 A1 = C1(c/m ở phầna) 
 và OHA = OKC
 OH AB(gt); OK CD(gt)
Chứng minh:
a, Vì ABCD là hình thang
Có AB // CD(gt)
 A1 = C1; B1 = D1 (so le trong)
 ~ (g.g)
 OA.OD = OB.OC (đpcm)
b, Vì OK AB = (gt) OHA = 900
 Vì OK CD = (gt) OKC = 900
Xét và có:
A1 = C1 (c/m ở phần a) 
 OHA = OKC (=900)
 ~ (g.g)
 (1)
Mà ~ (c/m ở phần a) 
 (2)
Từ (1) & (2) ( đpcm)
Bài số 6 (Bài 13- SGK Toán 9 tập I - Trang 106)
Cho đường tròn (O) có các dây AB và CD bằng nhau, các tia AB và CD cắt nhau tại điểm E nằm bên ngoài đường tròn. Gọi H và K theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. chứng minh rằng:
 a, EH = EK b, EA = EC.
Giải:
 (O); A, B, C, D (O)
 GT AB = CD
 AB CD = 
 AH = HB; CK = KD
 KL a, EH = EK
 b, EA = EC
Lập sơ đồ chứng minh
a, Cần chứng minh:
EH = EK
OEH = OEK
OHE = OKE = 900, OH=OK; OE chung
 AB = CD (gt)
b, Cần chứng minh:
EA = EC
AH + EH = CK + EK
 AH=CK; EH = EK (c/m ở phần a)
 AB =CD(gt) AH =1/2AB ;CK =1/2CD
 (gt) (gt)
Cần chứng minh:
a, Kẻ OH, OK
Ta có: AH = HB (gt)
 CK = KD (gt)
nên OHAB; OKCD
(quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây)
Vì AB = CD (gt) nên OH = OK
( liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây)
Xét OEK và OEK có:
OHE = OKE = 900 ( c/m trên)
OH = OK ( c/m trên)
OE cạnh chung
 OEK = OEK(cạnh huyền - cạnh góc vuông)
 EH = EK (2 cạnh tương ứng) (đpcm)
b,Vì AB = CD (gt)
Mà AH = HB (gt) AH = 
 CK = KD (gt) CK = 
 AH = CK (1)
Mặt khác: EH = EK (c/m ở phần a) (2)
Cộng vế với vế của (1) và (2)
 AH + EH = CK + EK
 EA = EC (đpcm)
Bài số 7 (Bài 30 - SGK Toán 9 tập I - Trang 116) 
Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, nó cắt Ax và By theo thứ tự ở C và D. Chứng minh rằng:
a, COD = 900 
b, CD = AC + BD
c, Tích AC. BD không đổi khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn.
Giải:
 (O; AB/2); 
 GT Ax AB A 
 By AB B
 M (O; AB/2)
	OM CD M
	CD Ax = 
	CD By = 
 KL a, COD = 900
 b, CD = AC + BD
 c, AC.BD = cosnt khi M di chuyển AB.
Lập sơ đồ chứng minh
a, Cần chứng minh:
COD = 900
OC OD
 = 900
AC, DC là các tiếp tuyến (gt)
 BD, DC là các tiếp tuyến (gt).
b, Cần chứng minh:
CD = AC + BD
CD = CM + DM
CM = AC; DM = DB
CA, CM là 2 tiếp tuyến của
(O; AB/2) cắt nhau tại C (gt)
DB, DM là 2 tiếp tuyến của
(O; AB/2) cắt nhau tại D (gt)
c, Cần chứng minh:
AC.BD = cosnt
CM.MD = cosnt 
(do AC = CM; BD = MD)
CM. MD = OM2 = AB/2
COD vuông tại O (c/m ở phần a)
OM CD (gt)
Chứng minh
a, CD Ax = 
 (tính chất 2 tiếp tuyến cát nhau)
Tương tự: CD By = 
 (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
b, Vì CA, CM là 2 tiếp tuyến của (O; AB/2) cắt nhau tại C (gt)
 CM = AC (1)
Vì DB, DM là 2 tiếp tuyến của (O; AB/2)