Sáng kiến kinh nghiệm Dùng bất đẳng thức để giải phương trình và hệ phương trình

MỤC LỤC
I.MỞ ĐẦU.................................................................................................. 2
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM......................................... 4 
2.1.Cơ sở lý luận......................................................................................... 4
2.2. Thực trạng vấn đề................................................................................ 4
2.3.Qúa trình thực hiện............................................................................... 4
2.3.1. Kiến thức cơ bản.............................................................................. 4
2.3.2.Dùng bất đẳng thức để giải phương trình.......................................... 5
2.3.3.Dùng bất đẳng thức để giải hệ phương trình..................................... 10
2.4.Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.................................................... 17
III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ.............................................................. 19
I.MỞ ĐẦU
1.1. Lý do do chọn đề tài.
 Thực tiễn dạy học nói chung và dạy toán nói riêng, đòi hỏi người thầy phải thực sự là người dẫn dắt , định hướng và khơi dậy trong học sinh niềm đam mê, hứng thú học tập và khám phá để các em tự tìm tòi, tự phát hiện ra vấn đề và tự giải quyết vấn đề. Trong việc học toán học, cần tìm ra được phương pháp, nắm bắt được quy luật và bản chất của một vấn đề, đặc biệt là giải bài tập về phương trình và hệ phương trình. Học sinh chưa có phương pháp tổng quát hoặc chưa chọn lựa được phương pháp tối ưu để giải quyết các bài tập ở các thể loại khác nhau theo tư duy hệ thống,khái quát, lôgic và khoa học.
 Là giáo viên dạy toán nhiều năm tôi nhận thấy cần phải tập hợp lại thành một chuyên đề , để dạy cho học sinh sử dụng dạng toán một cách có hệ thống nhằm cho học sinh hiểu rõ và sử dụng dạng toán một cách chính xác, linh hoạt khơi dậy tính tích cực, chủ động , tự giác học tập của học sinh nhằm giúp học sinh có thể giải một số bài toán nhanh gọn và tiết kiệm được thời gian.
 Căn cứ vào thực tế trên, yêu cầu của việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi, học sinh ôn thi vào các trường Đại học, cao đẳng, tốt nghiệp THPT. Đặc biệt là việc phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo của học sinh trong hoạt động học tập. Với các lý do trên, tôi đã tiến hành khảo sát, triển khai thực hiện đề tài :
" Dùng bất đẳng thức để giải phương trình và hệ phương trình".
1.2. Mục đích nghiên cứu.
 Mục đích là để nâng cao trình độ chuyên môn phục vụ giảng dạy môn toán nói chung và bồi dưỡng học sinh giỏi, học sinh ôn thi Đại học, cao đẳng,tốt nghiệp THPT về lĩnh vực phương trình và hệ phương trình.
 Nghiên cứu để tìm ra các tính chất đặc trưng của một số phương trình và hệ phương trình để giải nó bằng phương pháp dùng bất đẳng thức, nhằm phát triển tư duy toán học . Từ cụ thể đến tổng quát và từ tổng quát đến cụ thể .
 Học sinh nắm được cách giải phương trình và hệ phương trình bằng phương pháp bất đẳng thức.
1.3. Đối tương nghiên cứu. 
 Các dạng toán giải phương trình , hệ phương trình và các bất đẳng thức trong chương trình trung học phổ thông.
1.4.Phương pháp nghiên cứu .
 Điều tra khảo sát thực tế để nắm bắt được chất lượng giảng dạy môn toán ở trường trung học phổ thông nhất là trong lĩnh vực giải phương trình, hệ phương trình và bồi dưỡng học sinh giỏi. 
 Điều tra sự phát triển tư duy toán học qua quá trình học toán của một số học sinh khá, giỏi về môn toán .
 Đọc và nghiên cứu kỹ sách giáo khoa, sách bài tập và các tài liệu tham khảo về môn toán.
 Thực hành thử nghiệm qua học sinh khá, giỏi .
 Kết quả thực nghiệm tại trường trung tâm GDTX Nông Cống năm học 2015-2016 như sau:
Học sinh khối
Số học sinh khá, giỏi
Số học sinh làm được nhanh dựa vào tính chất đặc trưng của phương trình và hệ phương trình
10
30
22
11
20
15
12
25
20
Tổng
75
57
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
2.1. Cơ sở lý luận.
 Một trong những trọng tâm của đổi mới chương trình và sách giáo khoa giáo dục phổ thông là tập trung vào đổi mới phương pháp dạy học, thực hiện việc dạy học dựa vào hoạt động tích cực, chủ động của học sinh với sự tổ chức và hướng dẫn của giáo viên nhằm phát triển tư duy độc lập, sáng tạo góp phần hình thành phương pháp và nhu cầu tự học, bồi dưỡng hứng thú học tập, tạo niềm tin và niềm vui trong học tập cho học sinh. Tiếp tục tận dụng các ưu điểm của phương pháp truyền thống và dần dần làm quen với phương pháp dạy học mới .
 Khi giải một bài toán , học sinh thường cố gắng tìm ra một phương pháp tối ưu, ngắn gọn, chặt chẽ, chính xác nhất trong nhiều cách giải bài toán đó.
Với cách học như vậy sẽ giúp các em tích lũy được nhiều kinh nghiệm giải toán và giải toán sáng tạo. Để bổ sung cho học sinh phương pháp giải phương trình và hệ phương trình tôi giới thiệu đề tài :
" Dùng bất đẳng thức để giải phương trình và hệ phương trình".
2.2.Thực trạng vấn đề.
 * Thuận lợi: 
 Đa số học sinh đều thích học môn toán, các em học toán để chuẩn bị cho các kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông, Đại học, cao đẳng và thi học sinh giỏi. Ngoài ra, được sự động viên quan tâm giúp đỡ của ban giám đốc trung tâm cũng như đồng nghiệp đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi thực hiện đề tài này.
 * Khó khăn: 
 Học sinh khối giáo dục thường xuyên nói chung và học sinh trung tâm GDTX Nông Cống nói riêng,đa số học sinh có chất lượng đầu vào rất thấp, tư duy hệ thống lôgic và khái quát của các em học sinh rất hạn chế. Mặt khác, học sinh chủ yếu là con em nông thôn, gia đình ở xa trường,điều kiện kinh tế khó khăn, ngoài thời gian học ở trường thì các em còn phải làm giúp gia đình vì thế cũng có phần khó khăn cho việc lĩnh hội kiến thức các bộ môn đặc biệt là bộ môn toán, trong đó có phần phương trình và hệ phương trình.
2.3 Qúa trình thực hiện.
2.3.1.Các kiến thức cơ bản. 
 1. dấu " " xảy ra khi 
 2. dấu " " xảy ra khi 
 3. Bất đẳng thức Côsi(AM-GM):
Với n số thực dương ta có:
 dấu "="xảy ra khi 
 4. Bất đẳng thức Cauchy-Swarchz:
 Với ta có:
 5. Bất đẳng thức Bunhiakôpxki(BCS):
 Với 2 bộ số thực bất kỳ : 
 Ta có:
 Dấu "=" xảy ra khi .
 6. Bất đẳng thức Minkopsky:
 Cho hai dãy số thực dương:
 ta có:
 Dấu "=" xảy ra khi 
Có rất nhiều tài liệu đã chứng minh bất đẳng thức này, ở đây tôi xin không trình bầy chứng minh. 
2.3.2.Dùng bất đẳng thức để giải phương trình.
 Kỹ thuật dùng bất đẳng thức để giải phương trình thường phong phú và đa dạng. Khi giải dạng toán bằng phương pháp này, cần quan sát và có kỹ năng nhận biết các cặp số, có kiến thức về bất đẳng thức vững vàng, một tư duy sắc bén để từ đó có thể vận dụng một cách linh hoạt trong khi giải toán.
 Ta cùng đến với một số bài toán lý thú sau:
Bài 1: Giải phương trình: .
 Nếu học sinh nhìn bài toán dưới góc độ của một phương trình vô tỉ cơ bản và giải bài toán này bằng cách nâng lên lũy thừa thì bài toán quá phức tạp và khó giải.Do đó, tôi đã dẫn dắt học sinh bằng cách quan sát, sử dụng điều kiện hợp lý bất đẳng thức Cauchy kết hợp với biến đổi tương đương chúng ta tìm ra lời giải ngắn gọn và chính xác .
 Lời giải:
 Điều kiện có nghĩa: Vì nên .
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương ta có:
 ,vì nên thỏa mãn.
Vậy phương trình có nghiệm .
Bài 2: Giải phương trình: 
 Đây là bài toán cơ bản đối với học sinh. Học sinh có thể giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ. Nhưng ở đây, tôi muốn giới thiệu thêm cho học sinh phương pháp bất đẳng thức Bunhiacôpxki và bất đẳng thức Côsi để giải dạng toán này.
Cách thiết kế những bài toán như vậy sẽ kiểm tra được nhiều luồng kiến thức của học sinh.
Lời giải
 TXĐ: .
Cách 1: Áp dụng đẳng thức Bunhiacôpxki, ta có :
 (1)
 Mặt khác: (2)
 Từ (1) và(2), đẳng thức xảy ra khi :
 (thỏa mãn )
 Vậy phương trình trên có nghiệm duy nhất là x=6. 
Cách 2: Áp dụng đẳng thức Côsi cho 2 số không âm, ta có :
 (1)
 Mặt khác ta có: (2)
 Từ (1) và(2) dấu "=" xảy ra khi 
vậy phương trình có nghiệm duy nhất .
Bài 3:Giải phương trình: .
 Nhận xét : Nhận biết hai bộ số và 
 Để dùng bất đẳng thức Bunhiacôpski đánh giá vế trái là một kỹ thuật hay và khó. Bài toán này nếu giải theo cách khác sẽ phức tạp và gặp khó khăn.
Lời giải
 TXĐ= 
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski, ta có:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
 (loại)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=5.
Bài 4: Giải phương trình: 
Lời giải.
 TXĐ:D= [-1;1].
Áp dụng đẳng thức Cauchy , ta có:
 (1)
Tương tự: 
 (2)
Cộng vế theo vế của (1) và (2) ta có:
Dấu "=" xảy ra khi
Vậy phương trình có nghiệm là: .
Bài 5: Giải phương trình: 
 Quan sát phương trình ta thấy bậc của phương trình quá cao, nếu học sinh giải bằng phương pháp nâng lũy thừa hoặc đặt ẩn phụ thì bài toán sẽ gây không ít khó khăn và khó về đích một cách an toàn, chính xác.Do đó tôi đã hướng dẫn học sinh áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz sẽ cho ta lời giải ngắn gọn, chính xác và tiết kiệm được thời gian.
 Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:
Dấu "="xảy ra khi .
Lời giải
 TXĐ:D= 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho hai số không âm , ta có:
 (1)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ở trên, ta có:
 (2)
 Từ (1) và (2) dấu "=" xảy ra khi
 .
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Bài 6: Giải phương trình: 
Lời giải
 TXĐ: 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy -Schwarz ta có 
Dấu đẳng thức xay ra khi và chỉ khi
 ( do )
Vậy phương trình có nghiệm là .
Bài 7: Giải phương trình:
 Nhận xét: Nếu học sinh nhìn bài toán ở góc độ phương trình có dạng
 thì quá trình gải bài toán sẽ gặp phương trình bậc cao, gây khó khăn và bài toán trở nên phức tạp. Do đó, tôi đã hướng dẫn học sinh bằng cách quan sát biểu thức trong căn và vế phải, ta thấy đó là các tam thức bậc hai, nên áp dụng các biểu thức dương để giải dạng toán này.
Lời giải
 Ta có: 
 Suy ra: 
Mặt khác, 
Từ (1) và (2) đẳng thức xảy ra khi x=-1 (thỏa mãn(*))
Vậy phương trình có nghiệm là 
Bài 8: Giải phương trình: 
 Nhận xét: Nhìn ở góc độ nào đó thì học sinh quan sát thấy bài 8 có dạng giống bài 7. Nhưng thực tế bài 8 có lời giải tinh tế hơn nhiều do vế phải là nhị thức bậc nhất.
Lời giải.
 Ta có 
Kết hợp ta có dấu"=" xảy ra khi và chỉ khi
 (Thỏa mãn)
 Vậy phương trình có nghiệm là .
Bài tập vận dụng.
Giải các phương trình sau:
1. 
2. .
3. . 
4. . 
5. . 
6. . 
7. .
8. .
9. .
10. 
2.3.3.Dùng bất đẳng thức để giải hệ phương thình.
 Giải hệ phương trình bằng phương pháp bất đẳng thức cũng rất đa dạng và phong phú. Nó giúp chúng ta có thể giải bài toán một cách ngắn gọn, tinh tế và giảm tải được kỹ thuật tính toán.
Bài 1: Giải hệ phương trình:
Nhận xét: Đứng ở góc độ nào đó, thì đây là hệ phương trình đối xứng loại 2,bài toán có thể giải theo phương pháp chung đó. Nhưng ở đây, tôi muốn hướng dẫn cho học sinh sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz để lời giải độc đáo và sáng tạo hơn.
Lời giải
 Cộng vế với vế hai phương trình của hệ đã cho, ta có:
 (1)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz , ta có:
 (2)
 (3)
Kết hợp(1),(2),(3) dấu "=" xảy ra khi 
Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là:
Bài 2: Giải hệ phương trình:
 Nếu học sinh nhìn bài toán ở góc độ hệ phương trình đối xứng loại 2 và giải bài toán theo phương pháp đó, tuy nhiên lời giải sẽ dài và không tiết kiệm được thời gian. ở đây, tôi sẽ hướng dẫn cho học sinh giải theo hai cách để học sinh tích lũy thêm được các phương pháp giải hệ phương trình. Qua đó giúp học sinh thấy được tính tối ưu của phương pháp bất đẳng thức.
Lời giải.
Cách 1: 
 Đặt 
Khi đó ta có hệ phương trình sau:
Vậy hệ phương trình có nghiệm là: 
Cách 2: Trước hết ta có bất đẳng thức sau đây.
Dấu '=' xảy ra khi .
Chứng minh: Xét véc tơ 
Khi đó 
Ta có: 
Dấu"'=" xảy ra khi cùng hướng
Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:
Dấu "=" xảy ra khi
Vậy hệ phương trình có nghiệm là:
 .
Bài 3: Giải hệ phương trình:
Lời giải
Cách1:
 Điều kiện: . 
Từ phương trình (2) của hệ ta có
Thay vào phương trình (1) ta được hệ mới:
 Đặt 
Khi đó ta có hệ phương trình
Vậy hệ phương trình trên có nghiệm là: 
Cách 2:Ta có đánh giá quen thuộc sau đây
Dấu "=" xảy ra khi a=b.
Do đó từ (1) ta có.
Dấu "=" xảy ra khi: 
Vậy hệ phương trình có nghiệm là : .
Bài 4: Giải hệ phương trình (Đại học khối A-2014)
 Nếu học sinh quan sát phương trình (1) và nhìn vào đặc điểm của biến y thì có thể nghĩ ngay đến phương pháp đặt ẩn phụ , nhưng cách giải này khá dài và mất nhiều thời gian.Nếu quan sát phương trình (1) một cách tinh tế hơn thì ta có thể dùng bất đẳng thức Côsi hoặc bất đẳng thức Bunhiacopski để phân tích phương trình (1).
 Sau đây tôi xin trình bày lời giải bài toán bằng 2 cách để học sinh rút ra phương pháp tối ưu khi giải toán .
Lời giải.
 Điều kiện: 
Cách 1: Đặt 
Phương trình (1) 
Ta có 
Thế (*) vào (2) ta được :
 (Vô nghiệm)
Vậy hệ phương trình có nghiệm là: .
Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được :
Dấu "=" xảy ra khi:
Thế vào phương trình (2) ta được:
Vì nên 
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất .
Bài 5: Giải hệ phương trình 
 Đối với bài toán này khi quan sát phương trình (2) của hệ ta thấy x và y có vai trò như nhau hay có tính đối xứng. Do đó ,tôi đã hướng dẫn học sinh dùng bất đẳng thức để gải quyết dạng toán này .
Lời giải
 ĐK: 
Ta có 
Dấu "=" xảy ra khi 
Thay vào phương trình (1) ta được:
 . ĐK: 
Vậy hệ phương trình có nghiệm là: 
Bài 6:Giải hệ phương trình: 
 Quan sát phương trình (1) của hệ ta thấy các biểu thức trong căn là các phương trình đẳng cấp bậc 2 đối với x và y. Do đó tôi đã hướng dẫn học sinh dùng bất đẳng thức phụ sau để giải quyết dạng toán này.
 (Xin không trình bầy chứng minh bất đẳng thức phụ này)
Dấu "=" xảy ra khi .
Lời giải
 ĐK: 
Ta có 
Dấu "=" xảy ra khi 
Thay vào (2) ta được 
Đến đây dùng phương pháp hàm số ta được:
 (vô nghiệm)
Vậy hệ đã cho vô nghiệm.
Bài 7 : Giải hệ phương trình:
Lời giải.
 ĐK: 
Nếu thì vô lý
Nếu thì vô lý
Vậy . Khi đó ta có phương trình :
 .
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm 
Nhận xét:Bài toán này có thể giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ hoăc phương pháp hệ đối xứng loại 2.Nhưng ở đây tôi đẵ hướng dẫn học sinh bằng sự đánh giá giữa hai ẩn, ta tìm được là then chốt của bài toán, ý tưởng này được sử dụng rộng trong các bài toán chứa ẩn có vai trò như nhau.
Bài 8: Giải hệ phương trình:
Lời giải.
 ĐK: 
 Và 
 Vậy 
Đẳng thức xảy ra khi x=0;y=0
Vậy hệ phương trình có nghiệm .
Nhận xét.Qủa thật bài toán trên có lời giải bất ngờ và đơn giản, chỉ cần sử dụng điều kiện của bài toán như một nhận xét là tìm được lời giải.Bài toán này không khó, có thể giải theo cách khác nhưng dài và không đẹp. Vì vậy, trước khi giải hệ phương trình vô tỉ nên quan tâm đến điều kiện của ẩn số.
Bài tập vận dụng.
Giải các hệ phương trình sau:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
 6. 
 7. 
 8. .
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.
 Đã hình thành cho học sinh một số kỹ năng " Dùng bất đẳng thức để giải phương trình và hệ phương trình". Giúp học sinh nhìn nhận một dạng toán dưới nhiều phương pháp giải khác nhau và lựa chọn phương pháp tối ưu nhất trong quá trình vận dụng linh hoạt các kĩ thuật giải.
 Ôn tập, cũng cố và đào sâu các kiến thức giúp học sinh hình thành thói quen suy nghĩ, định hướng tìm tòi lời giải trước một bài toán. Từ đó giúp học sinh có thói quen giải toán theo một trình tự khoa học.
 Giúp học sinh phân loại được các dạng bài tập và phương pháp, kỹ năng giải cho từng loại bài tập đó, tạo cho các em hình thành thói quen khám phá, khai thác tìm tòi lời giải cho một bài toán . Từ đó phát huy được tính tích cực, độc lập suy nghĩ trong quá trình giải toán một cách lôgic và hiệu quả.
 Xây dựng được một hệ thống phương pháp và kỹ năng giúp cho học sinh và đồng nghiệp có một tư liệu tham khảo cho hoạt dộng dạy học toán học với việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi và học sinh dự các kỳ thi Đại học, cao đẳng, tốt nghiệp THPT Quốc Gia.
 Kết quả cho thấy đa số học sinh biết ứng dụng và giải được các bài toán về phương trình và hệ phương trình .
III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1.Kết luận.
 Phương trình, hệ phương trình không chính tắc là một dạng toán khó, đa dạng, thường được dùng trong các kỳ thi học sinh giỏi,Đại học, cao đẳng và tốt nghiệp THPT.
 Sáng kiến kinh nghiệm góp phần thiết thực vào việc ôn thi đại học, cao đẳng, tốt nghiệp THPT của học sinh. Nó giúp học sinh thấy được cách giải quyết vấn đề nhanh chóng và hiệu quả khi nắm được phương pháp.
 Sử dụng bất đẳng thức và tính chất của nó vào giải phương trình, hệ phương trình là một ứng dụng lớn . Sự phân chia như trên chỉ là ý tưởng của tôi, còn nhiều phần chưa nêu hết.Tôi rất mong được hội đồng chuyên môn nhà trường góp ý, bổ sung để đề tài có thể triển khai áp dụng rộng rải vào việc giảng dạy cho học sinh khối 12 chuẩn bị thi Đại học, cao đẳng, tốt nghiệp THPT .
 Trong quá trình biên soạn đề tài tôi đã có nhiều cố gắng,tuy nhiên cũng không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong được sự góp ý chân thành của đồng nghiệp và hội đồng chuyên môn nhà trường để đề tài được hoàn thiện hơn.
3.2. Kiến nghị.
 * Với nhà trường:
 Cần khuyến khích động viên mỗi giáo viên thực hiện và áp dụng những sáng kiến kinh nghiệm hay để đẩy mạnh phong trào chuyên môn cũng như phương pháp giảng dạy hay trong nhà trường.
 * Với sở giáo dục và đào tạo: 
 Đề nghị được sự quan tâm đầu tư, mở nhiều chuyên đề bồi dưỡng có liên quan đến môn toán. Đặc biệt bồi dưỡng giáo viên ôn thi học sinh giỏi để nâng cao trình độ, phương pháp, năng lực sư phạm cho giáo viên.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Xác nhận của thủ trưởng đơn vị. Thanh Hóa, ngày....tháng....năm 2016
 Tôi xin cam đoan đây là sáng kiến kinh 
 nghiệm của mình viết, không sao chép 
 nội dung của người khác. 
 Người viết	
 Lê Thị Minh
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Báo toán học tuổi trẻ.
2. Bộ GD&ĐT các đề thi Đại học, thi tốt nghiệp THPT môn toán. 
3. Bộ sách giáo khoa môn toán nhà xuất bản giáo dục.
4. Bộ sách bài tập môn toán nhà xuất bản giáo dục.
5. www. Vn.math.com. 
6. www.violet.vn, các đề thi, kiểm tra thử của các trường THPT.
7. Phan Đức Chính, các bài giảng luyện thi môn toán -nhà xuất bản GD-1999.
8. Phan Huy Khải , giới thiệu các dạng toán luyện thi Đại học-nhà xuất bản HN-2000.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG TRUNG TÂM GDTX NÔNG CỐNG
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI: DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI 
PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH.
 Người thực hiện:Lê Thị Minh
 Chức vụ: Giáo viên
 SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán
THA