Sáng kiến kinh nghiệm Các phương pháp giải bài tập về số chính phương ở trường THCS

 PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG
 TRƯỜNG THCS ĐỒNG TĨNH
HỒ SƠ ĐỀ NGHỊ CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN CẤP 
 HUYỆN NĂM HỌC 2018-2019
 Tên sáng kiến: Các phương pháp giải bài tập về số chính phương 
 ở trường THCS.
 Tác giả sáng kiến: Khổng Thị Hồng Hoa.
 Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn.
 Đơn vị: Trường THCS Đồng Tĩnh, huyện Tam Dương, tỉnh Vĩnh Phúc.
 HỒ SƠ GỒM CÓ:
 1. Đơn đề nghị công nhận Sáng kiến cấp huyện.
 2. Báo cáo kết quả nghiên cứu, ứng dụng sáng kiến.
 3. Giấy chứng nhận Sáng kiến cấp trường.
 Tam Dương, năm 2019 PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG
 TRƯỜNG THCS ĐỒNG TĨNH
 BÁO CÁO KẾT QUẢ 
 NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
Tên sáng kiến: Các phương pháp giải bài tập về số chính 
phương ở trường THCS.
Tác giả sáng kiến: Khổng Thị Hồng Hoa.
 Tam Dương, năm 2019 dung số chính phương. Nội dung này học sinh đã được học ở lớp 6 nhưng kiến 
thức này sẽ gặp lại ở các lớp 7; 8; 9....Trong sách giáo khoa lớp 6 chỉ chú trọng 
các kiến thức cơ bản nhất, chưa phong phú và đa dạng. Bài tập còn ít và dễ do 
các yêu cầu về nội dung chương trình khung của Bộ giáo dục đào tạo đã đề ra. 
Chưa đáp ứng được yêu cầu học tập nâng cao tri thức, phát triển kĩ năng của 
những em học sinh có năng lực học tập khá, giỏi. 
 Trong kỳ thi giao lưu học sinh giỏi cấp huyện trong những năm gần đây, 
học sinh đội tuyển toán nhà trường, của huyện Tam Dương nói chung đa số 
không làm được bài toán số chính phương hoặc làm nhưng không lập luận chặt 
chẽ, do đó kết quả học sinh giỏi không cao.
 Với những lý do trên tôi đưa ra sáng kiến: "Các phương pháp giải bài 
tập về số chính phương ở trường THCS" để áp dụng vào giảng dạy cho đội 
tuyển học sinh giỏi toán của nhà trường, đồng thời làm tài liệu chung bồi dưỡng 
học sinh giỏi toán của huyện trong năm học 2018 - 2019 và những năm sau.
2. Tên sáng kiến: "Các phương pháp giải bài tập về số chính phương ở 
trường THCS"
3. Tác giả sáng kiến:
 - Họ và tên: Khổng Thị Hồng Hoa.
 - Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THCS Đồng Tĩnh - Tam Dương - Vĩnh 
Phúc.
 - Số điện thoại: 0385 921 891. 
 - Email: khongthihonghoa.c2dongtinh@vinhphuc.edu.vn 
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến:
 Giáo viên: Khổng Thị Hồng Hoa - Trường THCS Đồng Tĩnh, Tam 
Dương, Vĩnh Phúc.
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: 
 Sáng kiến được áp dụng trong lĩnh vực Giáo dục đào tạo, cụ thể là áp 
dụng trong bồi dưỡng học sinh đại trà và bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS.
 Sáng kiến đưa ra được hệ thống các phương pháp giải các bài toán về số 
chính phương trong chương trình toán THCS với nội dung phong phú, đa dạng 
với các mức độ từ dễ đến khó, phù hợp với các đối tượng học sinh.
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 
 Đối với học sinh THCS từ lớp 6 đến lớp 9: ngày 22 tháng 09 năm 2019. 
7. Mô tả bản chất của sáng kiến:
7.1.1 Cơ sở lý luận
 Toán học trung học cơ sở là cầu nối giữa sự phát triển của toán học ở tiểu 
học và toán học ở trung học phổ thông. Ở đây học sinh được tìm hiểu các kiến 
thức cơ bản như định nghĩa, định lý, tiên đề,trong các phân môn như số học, Năm học Số 8 – 10 6,5 – < 8 5 – < 6,5 2 – < 5 0 – < 2
 HS
 SL % SL % SL % SL % SL %
2017 – 2018 58 8 13.8 14 24,2 18 31 16 27,6 2 3,4
2018 – 2019 58 18 31 16 27,6 17 29 7 12,4 0 0
 Khảo sát về sự hứng thú của học sinh với dạng toán số chính phương của 
30 học sinh được chỉ ra cụ thể là:
 Tâm lý Thích học Bình thường Không thích
 Số HS SL % SL % SL %
 30 10 33 8 27 12 40
 Như vậy đa số học sinh còn chưa hứng thú với toán học trong đó là các 
dạng toán về số chính phương. 
 Với mong muốn được góp một phần sức trẻ của mình để thực hiện tốt 
nhiệm vụ trên. Tôi thiết nghĩ cần hình thành kĩ năng giải bài tập số học về số 
chính phương cho học sinh THCS. Vì để học tốt, dạy tốt môn toán không thể 
thiếu kĩ năng này và đây cũng chính là nền tảng để các em học tốt môn toán học. 
Chính vì thế tôi nghiên cứu và đưa ra đề tài “Các phương pháp giải bài tập về 
số chính phương ở trường THCS”. 
7.1.3 Giải pháp
 Sáng kiến đưa một số phương pháp giải các bài toán về số nguyên tố, cụ thể 
như sau: 
 Phương pháp 1. Chứng minh một số là số chính phương.
 Phương pháp 2. Chứng minh một số không là số chính phương.
 Phương pháp 3. Chứng minh số đó nằm giữa 2 số chính phương liên tiếp .
 Phương pháp 4. Chứng minh số đó chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ.
 Phương pháp 5. Tìm số n để các số (biểu thức) là số chính phương
 Các phương pháp này được sắp xếp từ dễ đến khó, mỗi phương pháp đều 
có những ví dụ minh họa cụ thể. Khi áp dụng giảng dạy cho học sinh ta tiến 
hành cung cấp cho học sinh các kiến thức cơ bản, liên quan giúp học sinh tự tin 
trong việc tiếp thu kiến thức và phương pháp mới. Đây là điều khá quan trọng 
trong việc dạy học nói chung, dạy học môn toán nói riêng. 
7.1.4. Một số lý thuyết cơ bản về số chính phương:
7.1.4.1 Định nghĩa: Để chứng minh số A là số chính phương, tùy từng bài toán ta lựa chọn phương 
pháp nào cho phù hợp. Sau đây là các phương pháp thường dùng.
Dựa vào định nghĩa
Bài 1: Chứng minh rằng mọi số nguyên x, y thì:
 A= (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chính phương.
Giải : Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4
 = ( x2 5xy  4y2 )(x2  5xy  6y2 )  y4 
Đặt x2  5xy 5y2  t (t  Z) thì
 A = (t  y2 )(t  y2 )  y4  t 2  y4  y4  t 2  (x2  5xy  5y2 )2
Vì x, y, z  Z nên x2  Z, 5xy  Z, 5y2  Z  x2  5xy  5y2 Z
Vậy A là số chính phương.
Bài 2: Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là số chính 
phương.
Giải : Gọi 4 số tự nhiên, liên tiếp đó là n, n+1, n+2, n+3 (n  N). 
Ta có: n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n . ( n + 3)(n + 1)(n + 2) + 1
 = ( n2  3n)(n2  3n  2) 1 (*)
Đặt n2 3n  t (t N) thì (*) = t(t + 2) + 1 = t2 + 2t + 1 = (t + 1)2
 = (n2 + 3n + 1)2
 Vì n  N nên n2 + 3n + 1  N. 
 Vậy n(n + 1)(n + 2)(+ 3) + 1 là số chính phương.
Bài 3: Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ...+ k(k + 1)(k + 2)
Chứng minh rằng 4S + 1 là số chính phương.
Giải : Ta có:
 1 1
 k(k + 1)(k + 2) = k (k + 1)(k + 2). 4= k(k + 1)(k + 2). (k  3)  (k 1)
 4 4
 = 1 k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - 1 k(k + 1)(k + 2)(k - 1)
 4 4
=> 4S =1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + . . . + k(k + 1)(k + 2)(k + 3) Vậy A là một số chính phương nhưng 
Bài 7: Cho số tự nhiên A gồm 100 chữ số 1, số tự nhiên B gồm 50 chữ số 2. 
Chứng minh rằng : A- B là một số chính phương.
 Giải:
 100 chữ số 9
 9 9 . . . 9 1 0 1 0 0  1
 Ta có A = 11 ......1  
 9 9
 100 chữ số 1
 2(1050 1)
 Tương tự B = 22..2 
 9
 50 chữ số 2
 100 50 100 50 50 2
 10 1 2(10 1) 10  2.10 1 10 1 2
 =>A – B        (33...3)
 9 9 9  3 
 50 chữ số 3
Cách 2:
 B = 22.2 = 2.11.....1
 50 chữ số 2 50 chữ số 1
 A = 11...1 = 11.. 100..0 + 11.1
 100 chữ số 50 chữ số 1 50 chữ số 0 50 chữ số 1
 = 11.11050 + 11.1
 50 chữ số 1 50 chữ số 1
 Đặt C = 111 =>9C = 99...9 
 50 chữ số 1 50 chữ số 9
 =>9C +1 = 999 +1
 50 chữ số 9
 =>9C+1= 1050
 Khi đó : A = C. (9C +1) +C =9C2 +2C; B = 2C
 A – B = 9C2 +2C -2C = 9C2 =(3C)2 = (333)2
 50 chữ số 3
Nhận xét: Như vậy khi giải bài toán về số chính phương mà tồn tại số có nhiều 
chữ số giống nhau ta có thể đặt C = 111 và chú ý rằng :
 n chữ số 1
 10n = 99..9 +1 = 9C +1. Sau đó ta thay vào biểu thức 
 n chữ số 9 2
 2  c  2
 Từ (1) và (2) => b =c1 Khi đó a=    d
  c1 
 Như vậy tính chất trên được chứng minh.
 Sau đây là một số bài toán ta có thể áp dụng tính chất trên 
Bài 1: Chứng minh rằng : Nếu x, y là các số tự nhiên thỏa mãn x2 +x = 2y2 +y 
thì : a, x-y và x+ y +1 là các số chính phương.
 b, x - y và 2x +2y +1 là các số chính phương.
Giải :
 a, Ta có x2 +x = 2y2+y.
  x2 – y2 +x –y = y2
  (x – y)(x+y+1)=y2 (1)
 Như vậy để chứng minh : x –y và x +y +1 là các số chính phương thì áp 
dụng tính chất đặc biệt trên ta sẽ chứng minh : (x-y: x+ y +1) = 1.
 - Thật vậy , gọi d = (x-y; x +y+ 1)
  x- y  d và x + y+1 )
  ( x+ y+1) –(x –y)  d
  2y +1 d
 Mặt khác từ (1) ta có y2 d=> y  d(3)
 Từ (2) và (3) suy ra 1 d hay d = 1.
 Vậy (x-y;x+y+1) = 1 thỏa mãn (1), theo tính chất 9 suy ra x- y và x +y +1 
là các số chính phương.
 b, Từ giả thiết ta có x2 +x = 2y2 +y.
  2(x2 –y2) +x – y = x2
  (x –y) (2x +2y +1) =x2
Chứng minh tương tự phần a ta được (x – y; 2x +2y +1) = 1
 áp dụng tính chất 9 suy ra x – y và 2x +2y +1 là các số chính phương.
 Bài tập áp dụng:
1. Chứng minh rằng:
Nếu x và y là các số tự nhiên thỏa mãn 2x2 +x = 3y2+ y thì:
 a, x –y và 2x +2y +1 là các số chính phương.
 b, x –y và 3x +3y +1 là các số chính phương.
2. Chứng minh rằng :
 Nếu x, y là các số tự nhiên thỏa mãn : 3x2 +x = 4x2 +y thì :
 a, x –y và 3x +3y +1 là các số chính phương.