Sáng kiến kinh nghiệm Biện pháp khắc phục những sai lầm phổ biến của học sinh trong giải toán Số học - Đại số THCS

	PHẦN A– ĐẶT VẤN ĐỀ:
I/ Lý do chọn đề tài:
	Toán học là một môn khoa học đòi hỏi sự sáng tạo và tìm tòi không ngừng. Tuy được coi là một môn học khó nhưng những khó khăn, bí ẩn đặt ra của bài toán là một động lực thúc đẩy người học toán càng học thì càng say mê, hứng thú và không ngừng tư duy để giải quyết vấn đề đặt ra. 
	Giáo dục hiện nay ở nước ta vẫn chưa hoàn toàn thoát khỏi cách dạy và học theo kiểu đọc- chép. Cùng với những qui định trong khuôn khổ chương trình và thời lượng tiết học quá ít để vừa tải lí thuyết, vừa làm bài tập...Chính những điều này đã tạo ra những áp lực không nhỏ cho cả giáo viên và học sinh. Giáo viên buộc phải đưa ra những công thức, định lí cho học sinh mà ít có thời gian và cơ hội để phân tích cặn kẽ bản chất của vấn đề, chỉ ra những trường hợp khác của công thức hoặc tính chất mà học sinh có thể mắc những sai lầm khi gặp phải vấn đề đó. Học sinh cũng học một cách máy móc, chấp nhận và tuân theo những cái có sẵn, rập khuông những công thức, định lí đưa ra mà ít chịu tư duy, tìm tòi, chứng minh vấn đề. Từ đó, trong quá trình làm học, học sinh đã tự suy ra những công thức hoặc tính chất tương tự cái đã học mà không biết là mình đã mắc sai lầm do không hiểu hoặc không nắm vững bản chất của công thức, định lí đó.
	Toán học là một môn học có tính logic cao. Nó giống như một chuỗi những mắc xích. Nếu học sinh có sự hiểu nhầm, đánh đồng giữa các công thức đúng với công thức sai mà không được phát hiện, sửa sai kịp thời thì những kiến thức sai đó sẽ đi theo các em trong suốt quá trình học toán, kể cả lên cấp III. Đó gọi là “hỏng kiến thức cơ bản”. Giống như những mắc xích lỗi trong chuỗi xích, sẽ gây ra rất nhiều khó khăn trong quá trình học toán dẫn đến sự chán nản, bỏ cuộc và ngày càng tụt dốc của các em.
	Trong quá trình giải toán, việc học sinh mắc những sai lầm là điều bình thường, khó tránh khỏi. Trong đề tài này, tôi không đề cập đến những sai sót của học sinh trong quá trình tính toán mà chủ yếu là đi sâu vào phân tích những hiểu nhầm phổ biến của học sinh THCS đối với những công thức, định lí, tính chất đã học và cách áp dụng sai kiến thức của các em trong các bài giải toán Số học- Đại số. Từ đó đưa ra cách khắc phục cho những sai lầm đó.
Tôi hi vọng đề tài này sẽ giúp ích cho các em học sinh ở trường THCS phát hiện được những sai lầm trong tư duy của mình với những gì đã, đang và sắp được học. Qua đó các em có thể tránh né được những sai lầm phổ biến khi giải toán. Giúp các em học tập môn toán có hiệu quả cao bằng những kiến thức vững vàng, thể hiện trong những bài tập, bài kiểm tra, bài thi hạn chế tối đa sai sót, đạt được điểm cao.
II/ Phạm vi nguyên cứu của đề tài:
	1. Ph¹m vi cña ®Ò tµi: chương trình toán học THCS, môn Số học –Đại số
	2. Đối tượng nghiên cứu và phục vụ của đề tài: học sinh cấp THCS
	3. Môc ®Ých của đề tài: 
	a) KiÕn thøc.
	- Qua đề tài, học sinh phát hiện ra được những sai lầm trong tư duy của mình đối với những vấn đề đã học. Hiểu được bản chất, nguyên nhân sau của những vấn đề đó. Tiếp thu, hiểu lại một lần nữa theo hướng đúng.
	b) Kü n¨ng:
	- HS cã kü n¨ng thực hiện giải lại bài toán theo hướng đúng sau khi hiểu vấn đề. Kỹ năng tư duy, ghi nhớ lâu những công thức, định lí đã được phân tích trong đề tài và tự phân tích những cái sai, cái đúng của những vấn đề khác sau này nếu gặp phải.
	c) Th¸i ®é:
	- Rèn luyện tính cẩn thận trong tư duy, ghi nhớ và tính toán. Kích thích sự say mê sáng tạo trong học toán.
III/ Phương pháp nghiên cứu
	- Tham khảo tài liệu SGK và SBT 6,7, 8, 9. Thu thập một số tài liệu toán học THCS.
	- Phân tích, tổng kết kinh nghiệm trong quá trình dạy . 
	- Kiểm tra kết quả: Dự giờ, kiểm tra chất lượng HS, nghiên cứu hồ sơ giảng dạy, điều tra trực tiếp thông qua các giờ học.
	PHẦN B- GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I/ Nội dung cơ bản của đề tài:
Trong đề tài này, tôi chỉ nêu lên những sai lầm có tính phổ biến, đặc trưng nhất, hay gặp nhất trong môn Số học- Đại số ở học sinh. Mỗi sai lầm đều có chỉ ra sự khác nhau giữa công thức, định lí, tính chất đúng với sự tư duy sai của học sinh đối với vấn đề đó. Kèm theo những ví dụ minh họa bằng cách giải sai mà học sinh hay giải, từ đó phân tích kĩ nguyên nhân sai lầm về mặt lí luận, kĩ năng tính toán để học sinh rút kinh nghiệm. Đúc kết lại công thức, định lý đúng để học sinh ghi nhớ. Đề tài gồm có 2 chương:
- Chương 1: Các sai lầm phổ biến học sinh khi giải toán Số học – Đại số:
Sai lầm trong các công thức phân phối của phép nhân đối với phép cộng.
Sai lầm trong rút gọn phân thức
Sai lầm trong các công thức lũy thừa
Sai lầm trong các công thức tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau.
Sai lầm khi giải các phương trình, bất phương trình có điều kiện, chứa căn bậc hai, chứa trị tuyệt đối.
Sai lầm trong phép khai phương một tích, một thương
Sai lầm khi ứng dụng định lí Vi-et.
-Chương 2: Bài tập củng cố hướng dẫn học sinh làm bài tập, khắc phục những khó khăn, sai lầm hay gặp.
*CHƯƠNG 1: 
CÁC SAI LẦM PHỔ BIẾN CỦA HỌC SINH KHI GIẢI TOÁN SỐ HỌC- ĐẠI SÔ 	VÀ HƯỚNG KHẮC PHỤC
1) Sai lầm trong các công thức phân phối của phép nhân đối với phép cộng:
	a) Thực trạng: học sinh khi được học về công thức phân phối của phép nhân đối với phép cộng thường hay tự suy ra công thức tương tự cho phân phối của phép chia đối với phép cộng. 
	b) Ví dụ: 
- Ví dụ 1.1: Tính 
	* Cách giải sai: 
	* Phân tích: ta thấy ngay là học sinh đã tự suy từ công thức: a.( b + c )= a.b + a.c ra công thức tương tự: a:( b + c )= a:b + a:c mà không hiểu được sự khác nhau giữa phép nhân và phép chia. Phép chia với công thức trên không thể thực hiện được phép phân phối đối với phép cộng, công thức đúng là: a:( b + c )= Với sự hiểu nhầm này, học sinh đã giải bài toán theo kiểu phân phối “để giúp giải nhanh hơn” mà không biết mình đã mắc sai lầm.
	* Cách giải đúng: 
	c) Ghi nhớ: a:( b + c ) a:b + a:c 
2) Sai lầm trong rút gọn phân thức
	a) Thực trạng: Trong quá trình tính toán các phân thức trong đó tử và mẫu có chứa nhiều phép cộng, trừ. Học sinh thường hay rút gọn chéo các số đứng ở tử và mẫu với nhau trong khi tử và mẫu vẫn còn chứa các phép cộng, trừ không thể rút gọn được.
	b) Ví dụ:
- Ví dụ 2.1:	Rút gọn ( bài tập 17d SGK lớp 6, tập 2, trang 15)
	* Cách giải sai: 
	* Cách giải đúng: 
- Ví dụ 2.2:	 	Rút gọn ( bài tập 27f SBT lớp 6, tập 2, trang 7)
	* Cách giải sai: 
	* Cách giải đúng: 
- Ví dụ 2.3:	So sánh: và ( bài tập 154SBT lớp 6, tập 2, trang 27)
	* Cách giải sai: 
	; . Suy ra A< B
	* Cách giải đúng:
Vì < nên A < B
	* Phân tích: Đây là sai lầm thường gặp nhất ở học sinh, khi thấy số giống nhau ở tử và mẫu thì học sinh cứ rút gọn “thoải mái” và “giải quyết” bài toán rất nhanh bằng các phép rút gọn đó
 Trong cả ba bài giải trên ta thấy học sinh đều sai ở chỗ: rút gọn tùy tiện các số giống nhau có ở tử và mẫu mà không để ý rằng các số đó vẫn còn bị ràng buộc bởi các phép cộng và trừ nên không thể rút chéo với nhau được. Học sinh không nắm được qui tắc cơ bản: ta chỉ được rút gọn các số ở tử và mẫu nếu tất cả chúng đều ở dạng nhân tử, tức là các phép cộng, trừ ở tử và mẫu phải được thu hết về phép nhân mới rút gọn trên dưới được.
	c) Ghi nhớ: Muốn rút gọn phân thức, ta tiến hành đặt thừa số chung ở tử, ở mẫu (nếu có). Sau khi tử và mẫu đã ở dạng tích thì ta mới có thể rút được các thừa số giống nhau(nếu có).
3) Sai lầm trong các công thức lũy thừa:
	a) Thực trạng: Học sinh hay có sự nhầm lẫn giữa các công thức lũy thừa sau đây:
Sai
Đúng
Không ghép được công thức 
Không ghép được công thức 
	b) Ví dụ: 
-Ví dụ 3.1: 	 	Tính ( bài tập 37 SGK lớp 7, tập 1, trang 22)
	* Cách giải sai: 
	* Cách giải đúng:
- Ví dụ 3.2:	Tính ( bài tập 34 SGK lớp 7, tập 1, trang 22)	
	* Cách giải sai:
	* Cách giải đúng:
4) Sai lầm trong các công thức tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau
	a) Thực trạng: Học sinh hay có sự nhầm lẫn giữa các công thức tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau sau đây:	
Sai
Đúng
Đổi chỗ hai trung tỉ
Đổi chỗ hai ngoại tỉ
	b) Ví dụ: 
- Ví dụ 4.1:	Tìm x và y biết: (bài tập 62SGK lớp 7 tập 1, trang 31)
	* Cách giải sai: 
	* Cách giải đúng:
- Ví dụ 4.2:	Tìm a, b,c biết ( bài tập 82 SBT lớp 7 tập 1, trang 22)
	* Cách giải sai: 
	* Cách giải đúng:
5) Sai lầm khi giải các phương trình, bất phương trình có điều kiện, chứa căn bậc hai, chứa trị tuyệt đối.
	a) Thực trạng: khi giải các phương trình, bất phương trình, học sinh thường mắc phải các vi phạm về quy tắc biến đổi phương trình, bất phương trình. Do vội vàng, vô ý nên học sinh thường quên các điều kiện cần thiết để phương trình, bất phương trình có nghĩa. Hoặc đặt thừa các điều kiện dẫn đến những sai lầm, thậm chí sai đến mức không giải tiếp được nữa.
	b) Ví dụ:
-Ví dụ 5.1:	Tìm x, biết: ( bài tập 34 SBT lớp 9, tập 1, trang 8)
	*Cách giải sai:	
	*Phân tích: 
	Học sinh đã không chú ý đến tính chất của căn bậc hai là: luôn mang giá trị không âm. Ở đây, vế phải của phương trình đã bị âm nên phương trình đã bị vô nghiệm ngay từ đầu. Sai lầm thứ hai của học sinh trong bài giải này là đã bình phương hai vế trong khi có một vế âm.
	*Cách giải đúng:
Vì với nên vô nghiệm.
	* Chú ý: với A
-Ví dụ 5.2:	Tìm x, biết: 
	*Cách giải sai:	
	* Phân tích: Sai lầm ở chỗ: không đặt điều kiện cho biểu thức trong căn bậc hai và bình phương hai vế trong khi vế phải bị âm.
	*Cách giải đúng:	
	 (ĐK: )
Với ta có: VT, VP <0 nên bất phương tình thỏa mãn với .
	* Chú ý: Chỉ được bình phương hai vế của một bất phương trình khi biết chắc dấu của hai vế đều không âm hoặc đều âm
-Ví dụ 5.3:	Tìm x, biết: ( bài tập 43 SBT lớp 9, tập 1, trang 10)
	*Cách giải sai:
	* Phân tích: sai lầm thứ nhất là không đặt điều kiện nào cho bài toán. Ở đây có hai loại điều kiện là điều kiện cho căn bậc hai và điều kiện cho mẫu. Vì không đặt điều kiện nên học sinh không thấy được sẽ bị loại, tức là bài toán vô nghiệm.
	* Cách giải đúng:
	 (ĐK: )
 So sánh với điều kiện ta thấy không thỏa mãn nên không tìm được x thỏa mãn yêu cầu bài toán.
- Ví dụ 5.4:	Tìm x:	 
	* Cách giải sai:
	 (ĐK: )
Hai nghiệm trên đều thỏa mãn điều kiện nên phương trình có hai nghiệm.
	* Phân tích: Sai lầm ở chỗ khi viết , học sinh đã bình phương 2 vế của phương trình này mà không để ý đến dấu của vế phải là chưa biết, nên ta phải đặt điều kiện cho vế phải không âm trước khi bình phương 2 vế.
	* Cách giải đúng:
	 (ĐK: )
	 ;ĐK: 
 nên không thỏa mãn ĐK . 
x = 7 thỏa mãn cả hai điều kiện. Vậy phương trình chỉ có một nghiệm x = 7
	* Chú ý: 	
- Ví dụ 5.5:	Tìm x: 
	* Cách giải sai: 
	* Phân tích: Sai lầm ở chỗ học sinh đã rút gọn nhân tử chung ( ) ở hai vế của phương trình. Việc này đã làm mất nghiệm của phương trình đó. Nếu thử lại với x = -1, ta thấy đó cũng là một nghiệm của phương trình. Học sinh hay nhầm lẫn công thức sai sau đây: 
	* Cách giải đúng: 
Vậy phương trình có hai nghiêm x = -1 hoặc x=3
	* Chú ý:	 
 - Ví dụ 5.5: 	Tìm x: 
	*Cách giải sai: 
	* Phân tích: Sai lầm ở chỗ khi viết , học sinh lại bình phương hai vế khi chưa biết dấu của vế phải. Tính chất dấu của trị tuyệt đối giống của căn bậc hai, tức là đều mang giá trị không âm nên ta phải đặt điều kiện cho vế phải trước khi bình phương 2 vế.
	*Cách giải sai: 
	 (ĐK: )
So sánh với điều kiện ta thấy không thỏa mãn nên phương trình vô nghiệm.
	* Chú ý:	
	c) Ghi nhớ: Trong quá trình giải các phương trình, bất phương trình có điều kiện, học sinh cần phải nhớ đặt đầy đủ và đúng tất cả mọi điều kiện cần thiết của bài toán (điều kiện cho căn bậc hai, mẫu thức). Khi giải bất phương trình, phương trình chứa dấu căn, trị tuyệt đối, nếu cần phải bình phương 2 vế thì học sinh phải biết chắc hai vế có cùng dấu hay chưa. Nếu chưa thì phải đặt điều kiện cho một trong hai vế không âm rồi mới bình phương.
6) Sai lầm trong phép khai phương một tích, một thương
	a) Thực trạng: Học sinh thường rất cẩu thả trong các phép khai phương một tích hoặc một thương do không nắm kỹ qui tắc khai phương. Từ sự khai phương sai se dẫn đến rất nhiều hệ lụy trong các bài toán liên quan như: rút gọn biểu thức, giải phương trình..
	b) Ví dụ:
- Ví dụ 6.1:	Tìm x: 
	*Cách giải sai:
	 ( vô nghiệm)
Vậy phương trình có môt nghiệm x = 2
	*Phân tích: sai lầm ở chỗ học sinh đã không đặt điều kiện cho , sau khi đặt điều kiện cho, ta sẽ thấy được điều kiện tiếp theo cho , từ đó mới cho phép khai phương tích . Vậy học sinh không chú ý đến điều kiện khi . 
	* Cách giải đúng: 
 ĐK: 
x = 2 thỏa mãn điều kiện trên nên phương trình trên có một nghiệm x = 2
- Ví dụ 6.2:	Rút gọn biểu thức: 
	*Cách giải sai:
	* Phân tích: sai lầm ở chỗ học sinh đã khai phương thương = mà không đặt điều kiện cho . Học sinh không nắm kỹ điều kiện để khai phương một thương: khi 
	*Cách giải sai:
	Điều kiện:
	c) Ghi nhớ: 	1) khi . 
	 2) khi 
7) Sai lầm khi ứng dụng định lí Vi-et
	a) Thực trạng: phần lớn học sinh rất hay quên đặt điều kiện cho một phương trình bậc hai có nghiệm trước khi sử dụng định lý Vi-et. Điều này làm ảnh hưởng đến kết quả của bài toán sau khi tìm ra tham số m, ta không loại bớt được một số trường hợp của m làm cho phương trình vô nghiệm
	b) Ví dụ:
-Ví dụ 7.1:	Cho phương trình sau : . Tìm m để : = 6 với x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình trên. 
( bài tập 71 SBT lớp 9, tập 2, trang 49)
	*Cách giải sai:
	Áp dụng định lí Vi-et ta có:
Vậy với m = 0 hoặc m= -3 thì phương trình trên có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện = 6
	* Phân tích: sai lầm ở chỗ học sinh không chú ý đặt điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm mà áp dụng thẳng định lí Vi-et để tìm m. Việc quên điều kiện đó đã làm cho kết quả bài toán sai khi không loại bớt được một giá trị của m làm phương tình trên vô nghiệm.
Đôi khi học sinh còn có sự hiểu nhầm ở chỗ: trong đề bài có nhắc đến cụm từ “với x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình trên”, học sinh cứ nghĩ là với cách nói này thì phương trình đã cho có nghiệm rồi nên không cần đặt cho nữa.
	*Cách giải đúng:
	Điều kiện để phương trình trên có hai nghiệm là:
	Áp dụng định lí Vi-et ta có:
Vậy với m = 0 thỏa mãn điều kiện để phương trình có nghiệm nên m = 0 là giá trị cần tìm.
	c) Ghi nhớ: Đối với những phương trình chưa khẳng định là đã có hai nghiệm rồi thì học sinh nhớ phải đặt điều kiện cho phương trình có nghiệm trước khi áp dụng Vi-et.
	*CHƯƠNG 2:	BÀI TẬP CỦNG CỐ
1) Bài tập về các công thức phân phối của phép nhân đối với phép cộng:
	Bài 1: 
	Bài 2: 
Bài 3: 
Bài 4: 
Bài 5: 
Bài 6: 
Bài 7: 
2) Bài tập về rút gọn phân thức
Giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa:
	Bài 1: Rút gọn: 
	Bài 2: Rút gọn: 
	Bài 3: Rút gọn: 
	Bài 4: Rút gọn: 
	Bài 5: Rút gọn: 
	Bài 6: Rút gọn: 
	Bài 7: Rút gọn: 
	Bài 8: Rút gọn: 
3) Bài tập về các công thức lũy thừa
	Bài 1: Tính: 
	Bài 2: Tính: 
	Bài 3: Tính: 
	Bài 4: Tính: 
	Bài 5: Tìm x biết: 
	Bài 6: Tìm x biết: 
	Bài 7: Tìm x biết: 
	Bài 8: Tìm x biết: 
4) Bài tập về các công thức tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau.
	Bài 1: Lập tất cả các tỉ lệ thức có được từ đẳng thức tích sau: 5,2.5 = 3.12
	Bài 2: Lập tất cả các tỉ lệ thức có được từ tỉ lệ thức sau:
	Bài 3: Tìm x và y biết: 
	Bài 4: Tìm x và y biết: 
	Bài 5: Tìm x và y biết: 
	Bài 6: Tìm x, y và z biết: 
	Bài 7: Biết . Tính a, b, c
5) Bài tập về giải các phương trình, bất phương trình có điều kiện, chứa căn bậc hai, chứa trị tuyệt đối.
	Bài 1: Giải phương trình: 
	Bài 2: Giải phương trình: 	
Bài 3: Giải phương trình: 
	Bài 4: Giải phương trình: 
	Bài 5: Giải phương trình: 
	Bài 6: Giải phương trình: 
	Bài 7: Giải bất phương trình: 
6) Bài tập về phép khai phương một tích, một thương
	Bài 1: Cho các biểu thức và 
	a) Tìm điều kiện của x để A có nghĩa? B có nghĩa?
	b) Khi nào thì A = B
	Bài 2: Cho các biểu thức và 
	a) Tìm điều kiện của x để A có nghĩa? B có nghĩa?
	b) Khi nào thì A = B
	Bài 3: Rút gọn: (a<0)
	Bài 4: Rút gọn: (y>0)
7) Bài tập về ứng dụng định lí Vi-et.
	Bài 1: Cho phương trình: . Tính: theo m với x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình.
	Bài 2: Cho phương trình . Tính giá trị của m biết phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thỏa x1 - x2 = 4
	Bài 3: Cho phương trình . Tính ; theo m, với x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình
	Bài 4: Cho phương trình . Tìm m để phương trình có hai nghiệm và nghiệm này gấp 4 lần nghiệm kia
TÀI LIỆU THAM KHẢO :
1/ Sách giáo khoa, phần số học, đại số lớp 6, 7, 8, 9- Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam- Năm 2011
2/ Sách bài tập, phần số học, đại số 6, 7, 8, 9- - Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam- Năm 2011
3/ Sách giáo viên 6, 7, 8, 9- - Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam- Năm 2011
	PHẦN C - KẾT LUẬN:
 Những sai lầm được nêu trong đề tài chỉ là một phần nhỏ trong rất nhiều lỗi tư duy sai của học sinh THCS nói chung trong môn toán. Để có thể khắc phục được những sai lầm đó, cần có sự kết hợp nhuần nhuyễn giữa giáo viên và học sinh. Giáo viên cần chủ động hơn nữa trong các tiết dạy lý thuyết, ôn tập, luyện tập có thể đưa ra hết được những dạng bài tập mà học sinh hay mắc lỗi sai. Chỉ cho học sinh thấy được những lỗ hổng trong tư duy của mình để từ đó học sinh rút kinh nghiệm qua từng bài tập. Đối với học sinh, cần phải chú ý, tích cực chủ động hơn trong học tập, mạnh dạn hỏi những chỗ chưa hiểu để có thể phát hiện kịp thời những sai lầm, tránh mắc khỏi khi gặp lần sau.
 Đề tài này mới và bản thân tôi vẫn chưa có nhiều kinh nghiệm trong dạy toán THCS, thời gian nghiên cứu đề tài tương đối ngắn nên khó tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được sự chỉ dẫn và góp ý từ các thầy cô, quí vị phụ huynh và các em học sinh. Xin chân thành cảm ơn!
	 Đà Nẵng, ngày 02 tháng 1 năm 2016
	 	Tác giả
	 Phan Thị Cẩm Thúy