Rèn luyện kĩ năng giải nhanh các bài toán cực trị trong cơ học Vật lý 10

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT THỌ XUÂN 4
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI NHANH CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG CƠ HỌC VẬT LÝ 10
Người thực hiện: Lê Thị Hoa
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Vật lý
THANH HOÁ NĂM 2019
 MỤC LỤC
Nội dung
Trang
1.Mở đầu
1
 1.1 Lý do chọn đề tài.
1
1.2.Mục đích nghiên cứu. 
1
1.3. Đối tượng nghiên cứu. 
1
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
1
2. Nội dung.
2
2.1. Cơ sở lý luận.
2
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
2
2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
3
 2.3.1. Vận dụng công thức cộng vận tốc và định lí hàm số sin, cosin trong tìm cực trị chuyển động.
3
 2.3.1.1. Lý thuyết.
3
2.3.1.2. Bài tập vận dụng.
4
2.3.1.3. Kết luận và các bước giải một bài toán cực trị khi sử dụng công thức cộng vận tốc kết hợp các công thức lượng giác.
10
2.3.2 . Vận dụng bất đẳng thức Cauchy giải bài toán cực trị cơ học.
10
2.3.2.1. Bất đẳng thức Cauchy. 
10
 2.3.2.2 Bài tập vận dụng.
10
2.3.2.3. Kết luậnvà các bước để giải một bài toán cực trị sử dụng bất đẳng thức Cauchy . 
11
2.3.3.1. Bất đẳng thức Bunhiacopxki 
12
2.3.3.2. Bài tập vận dụng 
12
2.3.3.3. Kết luận và các bước giải một bài toán cực trị sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki
15
2.3.4. Vận dụng tam thức bậc hai. 
15
2.3.4.1. Tam thức bậc hai. 
15
2.3.4.2. Bài tập vận dụng.
15
2.3.4.3. Kết luận và các bước giải một bài toán cực trị sử dụng tam thức bậc hai.
16
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
16
3. Kết luận và kiến nghị
17
Tài liệu tham khảo
19
Danh mục sáng kiến kinh nghiệm được hội đồng giáo dục xếp loại
20
1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài
Vật lí là môn khoa học cơ bản nghiên cứu các quy luật về sự vận động của tự nhiên và nó có mối liên hệ mật thiết với các ngành khoa học khác, đặc biệt là toán học. Các lí thuyết vật lí là bất biến khi biểu diễn dưới dạng các quan hệ toán học và sự xuất hiện của toán học trong vật lí cũng thường phức tạp hơn trong các ngành khoa học khác.Trong chương trình trung học phổ thông việc sử dụng toán học vào giải các bài toán vật lí là điều không thể thiếu. Nhưng việc lựa chọn phương pháp nào với bài toán khó như bài toán cực trị trong cơ học 
vật lí 10 luôn là vấn đề khó.
Cực trị trong cơ học là phần khó trong dạy học chương trình phổ thông cũng như ôn luyện hoc sinh giỏi. Các em rất ngại khi làm phần bài tập này. trong khi giải quyết bài toán về cực trị trong cơ học, học sinh thường lúng túng khi gặp các bài toán này vì đây là một dạng bài toán yêu cầu trình độ tư duy cao, học sinh phải có vốn kiến thức toán học vững chắc hơn thế nữa dạng bài này thường xuất hiện đơn lẻ, không có tính hệ thống, không có một phương pháp giải cụ thể nào.
 Nhằm giúp cho học sinh hiểu rõ bản chất hơn các hiện tượng vật lí, có cách nhìn tổng quát về các bài toán cực trị điển hình trong vật lí 10 cũng như có phương pháp lựa chọn, định hướng phương pháp giải, các bước giải cụ thể phù hợp với dạng bài đó nên tôi đã thực hiện đề tài : “Rèn luyện kĩ năng giải nhanh các bài toán cực trị trong cơ học vật lí 10”.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Đề tài“ Rèn luyện kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị trong cơ học vật lí 10” nhằm giúp các em hiểu, cũng như biết các bước làm khi sử dụng từng phương pháp giải các bài toán cực trị trong cơ học vật lý 10: sử dụng bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức Bunhiacopxki, tam thức bậc hai, công thức cộng vận tốc kết hợp với sử dụng định lí hàm số sin, cosin trong tam giác. Để từ đó các em có nhìn tổng quát và biết cách nhận diện xử lý tốt các bài toán cực trị trong cơ học vật lí 10. 
1.3. Đối tượng nghiên cứu 
 Hệ thống các bài toán cực trị trong cơ học vật lí 10. 
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Trong quá trình làm sáng kiến kinh nghiệm tôi đã sử dụng phương pháp:
PP nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết; PP điều tra khảo sát thực tế, thực nghiệm sư phạm.
2. Nội dung
2.1. Cơ sở lý luận
 Bài toán cực trị là bài toán khảo sát giá trị cực đại, cực tiểu của một đại lượng vật lí nào đó, các dạng bài tập xác định khoảng cách, thời gian hay vận tốc lớn nhất hay nhỏ nhất của các vật trong chương trình vât lí 10. Muốn có một phương pháp giải nhanh gọn, dễ hiểu trước hết ta sẽ đi tìm hiểu: công thức toán học đặc biệt như bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức Bunhiacopxki, tam thức bậc hai, định lí hàm số sin, cosin trong tam giác và công thức cộng vận tốc. 
1. Bất đẳng thức Cauchy:
 ( a, b dương).
( a, b, c dương).
Dấu bằng xảy ra khi các số bằng nhau.
Khi tích hai số không đổi, tổng nhỏ nhất khi hai số bằng nhau.
Khi tổng hai số không đổi, tích hai số lớn nhất khi hai số bằng nhau.
2. Bất đẳng thức Bunhiacôpski:
 Dấu bằng xảy ra khi 
3. Tam thức bậc hai:
 + Nếu a > 0 thì ymin tại đỉnh pa rabol.
 + Nếu a < 0 thì ymax tại đỉnh parabol.
 Tọa độ đỉnh:; ( ).
4. Định lý hàm Sin, cos trong tam giác. 
B
C
A
 + Định lý hàm Sin:Cho ∆ ABC bất kỳ ta có:
 + Định lý hàm Cos :
	Cho bất kỳ ta có:
 + Hàm số lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt:
Ví dụ: với 
 .
5. Tính tương đối của vận tốc.
 	Vận tốc của cùng một vật trong các hệ quy chiếu khác nhau thì khác nhau.
 - Công thức cộng vận tốc
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
	Trước khi áp dụng sáng kiến với các em học sinh lớp 10, đặc biệt với các em học sinh giỏi: hầu như các em không làm được và không định hướng cách làm với các bài toán cực trị lớp 10. Trong thực tế chưa có một hệ thống phương pháp nào về dạng toán cực trị trong cơ học 10, các bài toán này thường khó khi gặp các bài tập này các em ngại làm. Và giáo viên không dạy hệ thống các phương pháp và thường bỏ qua các dạng toán này.
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
 	Để làm tốt các bài toán về cực trị trong cơ học 10 tôi làm sáng kiến : “Rèn luyện kĩ năng giải nhanh các bài toán cực trị trong cơ học vật lí 10 ”. Trong đó nêu lên các phương pháp sau: sử dụng bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức Bunhiacopxki, tam thức bậc hai, công thức cộng vận tốc kết hợp với sử dụng định lí hàm số sin, cosin trong tam giác. 
 	Muốn có một phương pháp giải nhanh gọn, dễ hiểu trước hết ta sẽ đi tìm hiểu hệ thống các bài tập điển hình về cực trị trong chương trình vật lí 10, qua đó rút ra được phương hướng chọn phương pháp giải và các bước để sử dụng phương pháp đó nhanh nhất, hiệu quả nhất.
2.3.1. Vận dụng công thức cộng vận tốc và định lí hàm số sin, cosin trong tìm cực trị chuyển động 
2.3.1. 1. Lý thuyết
2.3.1.1.1. Tính tương đối của toạ độ
 	Đối với các hệ quy chiếu khác nhau thì toạ độ khác nhau.
2.3.1.1.2. Tính tương đối của vận tốc
 	Vận tốc của cùng một vật trong các hệ quy chiếu khác nhau thì khác nhau.
 - Công thức cộng vận tốc
 : vận tốc vật 1 đối với vật 3( vận tốc tuyệt đối)
 : vận tốc vật 1 đối với vật 2(vận tốc tương đối)
 : vận tốc vật 2 đối với vật 3(vận tốc kéo theo)
 	Hệ quả:
- Nếu cùng phương ,cùng chiều thì độ lớn: 
- Nếu cùng phương, ngược chiều thì độ lớn: 
- Nếu vuông góc với nhau thì độ lớn: 
- Nếu tạo với nhau một góc thì độ lớn: 
2.3.1.1.3. Kiến thức toán học:
 + Định lí Pitago: 
(H-1)
B
C
A
	Cho ∆ABC vuông tại A. Ta có: 
 + Hàm số lượng giác của góc nhọn:	 
	Theo (H-1):
 (1)
 + Định lý hàm Sin:
(H-2)
B
C
A
	Cho ∆ ABC bất kỳ ta có:
 (2)
 + Định lý hàm Cos :
	Cho bất kỳ ta có:
	 (3) 
 + Hàm số lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt:
Ví dụ: với 
 .
 2.3.1.2 Bài tậpvận dụng
Bài 1. Hai xe chuyển động trên hai đường vuông góc với nhau, xe A đi về hướng tây với tốc độ 50km/h, xe B đi về hướng Nam với tốc độ 30km/h. Vào một thời điểm nào đó xe A và B còn cách giao điểm của hai đường lần lượt 4,4km và 4km và đang tiến về phía giao điểm. Tìm khoảng cách ngắn nhất giũa hai xe.
Giải.
 Xét chuyển động tương đối của vật 1 so với vật 2, ta có:
Đoạn BH vuông góc với đường thẳng chứa véc tơ vận tốc chính là khoảng cách ngắn nhất giữa hai xe dmin= BH
 tan 
V1
A
B
V2
dmin= BH = BI. sin = (BO - OI) sin = (BO - OA.tan).sin = 1,166(km)
Bài 2. Từ hai bến A, B trên cùng 1 bờ sông có hai ca nô cùng khởi hành. Khi nước sông không chảy do sức đẩy của động cơ chiếc ca nô từ A chạy song song với bờ theo chiều từ A® B có V1 = 24km/h. Còn chiếc ca nô chạy từ B vuông góc với bờ có vận tốc 18km/h. Quãng đường AB là 1km. Hỏi khoảng cách nhỏ nhất giữa hai ca nô trong quá trình chuyển động là bao nhiêu nếu nước chảy từ A ® B với V3 = 6km/h (sức đẩy của các động cơ không đổi). [1]
Giải
Theo đề bài ta có hình vẽ.	 	
Do dòng nước chảy từ từ A ®B với 
vận tốc là 6km/h nên khi canô 1 chuyển động
xuôi dòng vận tốc của nó là :	 	 
 = 24 + 6 = 30km/h	
- Canô 1 xuất phát từ B nhưng do bị nước 	
đẩy ta có hướng của vận tốc như hình vẽ. 
Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông BV3 ta được :
 = = 182 + 62 = 6km/h
Ta áp dụng tính tương đối của vận tốc cho bài toán này. Canô 1 đi từ A®B với vận tốc Vx nhưng ta tưởng tượng rằng coi như canô 1 đứng yên và điểm B chuyển động với vận tốc V với V = Vx còn hướng của V ngược chiều với Vx. Do đó canô 2 mặc dù chuyển động theo hướng nhưng khi chọn mốc là canô1 thì hướng chuyển động của canô lúc này là V21 hợp với AB góc a. Từ đây dễ dàng suy ra khoảng cách nhỏ nhất giữa 2 canô có độ lớn bằng độ dài của đoạn AH ^V21 
Ta sẽ tính AH trong tam giác vuông AHB
Có Sina = Þ AH = AB Sina (1)
Mặt khác xét trong tam giácvuông BV2V21
Có :V= V2 = 182 + (30 – 6)2 = 900
Þ V21 = 30km/h
Và Sin= (2)
Thế (2) vào (1) ta được AH = AB.sina = 1.0,6 = 0,6(km)
Vậy khoảng cách nhỏ nhất của 2 canô trong quá trình chuyển động trên là
0,6km.
Nhận xét: Bài này cũng giống bài 1 tìm khoảng cách nhỏ nhất giữa 2 vật trong quá trình chuyển động. Tuy nhiên cách giải hoàn toàn khác nhau. Về bản chất thì cùng giống nhau về hiện tượng đó khoảng cách của 2 vật bị thay đổi theo thời gian. Đối với bài 1 ta lập biểu thức d (khoảng cách của 2 vật) là 1 hàm của thời gian t sau đó từ d = f(t) ta tìm được giá trị nhỏ nhất. Còn bài 2 ta cũng có thể giải theo bài 1 nhưng ở đây tôi đưa ra cách giải này để học sinh tham khảo. Cách giải bài này là một sự kết hợp giữa tính tương đối của vận tốc và hình học. Đó là vật 1 chuyển động nhưng ta coi là đứng yên do đó vật 2 sẽ chuyển động so với vật, 1 còn khoảng cách ngắn nhất giữa hai 2 vật thì dựa vào hình học phải là đoạn thẳng vuông góc với hướng chuyển động của vật 2.
Bài 3. Hai vật chuyển động trên hai đường đường thẳng vuông góc với nhau với tốc độ không đổi có giá trị lần lượt v1= 30km/h, v2= 20km/h. Tại thời điểm khoàng cách giữa hai vật nhỏ nhất thì vật 1 cách giao điểm s1=500m. Hỏi lúc đó vật 2 cách giao điểm trên đoạn s2 bằng bao nhiêu. [2]
Giải:
Xét chuyển động tương đối của vật 1 so với vật 2, ta có:
-Tại A cách O đoạn s1=500m dựng véc tơ và véc tơ -, và . Kẻ đường AB vuông góc với đường thẳng chứa véc tơ ( Theo đề bài đây là khoảng cách ngắn nhất dmin= AB)
 tan=
BO = 
Bài 4. Hai vật chuyển động thẳng đều trên hai đường thẳng tạo với nhau một góc =300 với tốc độ và đang hướng về phía giao điểm, tại thời điểm khoảng cách giữa hai vật nhỏ nhất thì vật 1 cách giao điểm một đoạn d1= 30m. Hỏi vật 2 cách giao điểm một đoạn bao nhiêu? [3]
Giải:
Xét chuyển động tương đối của vật 1 so 2 ta có
BA , dmin = AB
Vì nên chứng minh được
Hạ đường AH
AH = AO.sin300 = d1.sin300 =15 (m)
HO = d1.cos300 = 45 (m)
BH =BO=d2= 90(m)
Bài 5. Có hai vật M1 và M2 lúc đầu cách nhau một khoảng l =2m (Hình vẽ), cùng lúc hai vật chuyển động thẳng đều M1 chạy về B với tốc độ 
v1=10m/s, M2 chạy về C với tốc độ v2=5m/s . Tính khoảng cách ngắn nhất giữa hai vật và thời gian để đạt được khoảng cách này. Biết góc tạo bởi hai đường . [4]
Giải:
Xét chuyển động tương đối của vật 1 so vật 2, ta có:
dmin = AH = AB.sin
v21=
- Áp dụng định lí hàm sin, ta có:
0,5( m)
BH= 0,138(s)
Bài 6.
Ở một đoạn sông thẳng có dòng nước chảy với vận tốc vo, một người từ vị trí A ở bờ sông bên này muốn chèo thuyền tới B ở bờ sông bên kia. Cho AC; CB = a. Tính vận tốc nhỏ nhất của thuyền so với nước mà người này phải chèo để có thể tới B. [5]
Giải:
Ta có . Ta biểu diễn các véc tơ vận tốc trên hình vẽ
Vì vo không đổi nên v12 nhỏ nhất khi 
 V12= vo.sin= 
*/ Nhận xét:
Các bài toán trên hoàn toàn có thể giải theo cách thiết lập phương trình, rồi sau đó lí luận theo hàm bậc hai về mặt toán học, tuy nhiên lời giải khá dài hơn
Bài 7.
Một ô tô chuyển động thẳng đều với vận tốc v1 = 54km/h. Một hành khách cách ô tô đoạn a = 400m và cách đường đoạn d = 80m, muốn đón ô tô. Hỏi người ấy phải chạy theo hướng nào, với vận tốc nhỏ nhất là bao nhiêu để đón được ô tô? 
Giải:
Xét chuyển động tương đối của vật 2 so vật 1, ta có:
Để 2 gặp được 1 thì phải luôn có hướng AB.
Véc tơ vận tốc có ngọn luôn nằm trên đường 
Xy // AB. khi xy , tức là AB.
Tính chất đồng dạng của tam giác: DAB và AHD , ta có:
A
C
B
H
* Nhận xét : Ở bài toán này học sinh phải lập được biểu thức tính vận tốc của người chạy để đón ô tô. Sau đó dựa vào biểu thức để tìm giá trị nhỏ nhất của vận tốc.
Bài 8. Hai tàu A và B ban đầu cách nhau một khoảng l. Chúng chuyển động cùng một lúc với các vận tốc có độ lớn lần lượt là v1, v2. Tàu A chuyển động theo hướng AC tạo với AB góc (hình vẽ).
Hỏi tàu B phải đi theo hướng nào để có thể gặp tàu A. 
Sau bao lâu kể từ 
A
M
B
H
-
lúc chúng ở các vị trí A và B thì hai tàu gặp nhau?
Muốn hai tàu gặp nhau ở H (BH vuông góc với ) thì các độ lớn vận tốc v1, v2 phải thỏa mản điều kiện gì?
Giải:
a. Tàu B chuyển động với vận tốc hợp với góc.
- Hai tàu gặp nhau tại M. Ta có AM = v1.t, BM = v2.t
- Trong tam giác ABM: 
+ 
	 sin = (1)
- Tàu B phải chạy theo hướng hợp với một góc thỏa mãn (1)
- Cos = cos[1800 – (] = - cos( = 
- Gọi vận tốc của tàu B đối với tàu A là . Tại thời điểm ban đầu cùng phương chiều với . Theo công thức cộng vận tốc:
=> 
=> 
=()+()
=(+(
= ( ( theo (1) )
=> v21 = 
Vậy thời gian để tàu B chuyển động đến gặp tàu A là: 
	t = 
b. Để 2 tàu gặp nhau ở H thì: 
Theo (1) ta có: 
Bài 9:Hai vật chuyển động từ A và B cùng hướng về điểm O với cùng vận tốc . Biết 
 AO = 20km; BO = 30km; Góc . Hãy xác định khoảng cách ngắn nhất giữa chúng trong quá chuyển động? [7]
g
a
b
A
A’
O
B
B’
Giải:
Xét tại thời điểm t : Vật A ở A’
 Vật B ở B’
Khoảng cách d = A’B’ 
Ta có: 
 với 
Nhận xét: dmin 
2.3.1.3. Kết luận và các bước giải một bài toán cực trị khi sử dụng công thức cộng vận tốc kết hợp các công thức lượng giác
 	Phương pháp vận dụng công thức cộng vận tốc kết hợp các công thức lượng giác là một cách giải quyết vấn đề khá nhanh gọn đối với bài toán chuyển động thay cho cách làm lập phương trình chuyển động thông thường. Phương pháp này có nét đặc trưng chính hình thành các bước giải cụ thể như sau : 
Bước 1 : Tính vận tốc tương đối của các vật với nhau qua biểu thức vectơ cộng vận tốc.
Bước 2 : Dựa vào phương chiều của các vecto vận tốc thành phần để xác định độ lớn của 
Bước 3. Tìm sự phụ thuộc đại lượng tìm cực trị với độ lớn v12 . 
2.3.2. Vận dụng bất đẳng thức Cauchy giải bài toán cực trị cơ học
2.3.2.1. lý thuyết về bất đẳng thức Cauchy 
 a + b ³ 2 Với a,b ³ 0 
 Dấu “=” xảy ra khi a=b 
 a1 + a2 + ....+ an ³ n Với a1,a2, .....,an ³ 0 
 Dấu “=” xảy ra khi a1=a2= .....=an 
2.3.2.2. Bài tập vận dụng
a
Bài 1. Một vật khối lượng m1 chuyển động với vận tốc đến va chạm với vật m2 đang đứng yên. Sau va chạm vật m1 chuyển động với vận tốc ,vật m2 chuyển động với vận tốc . Hãy xác định tỉ số để góc lệch α giữa và đạt giá trị cực đại. [8] 
Giải: Do hệ kín và va chạm là đàn hồi nên: 
Áp dụng định luật bảo toàn động lượng ta có : 
 (1)
Động năng hệ vật bảo toàn : 
 (2) Gọi . 
Từ (1) và (2) ta có: (3)
 (4)
 Từ (3) và (4) suy ra: 
Để aMax thì (cosa)min .Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho vế trái (5): 
 => (cosa)min khi:=> với m1>m2 
Vậy với m1>m2 thì góc lệch α đạt giá trị cực đại . 
Bài 2. Trên đoạn đường thẳng AB dài s=200m, một chiếc xe khởi hành từ A chuyển động nhanh dần đều với gia tốc a1 =1m/s2 sau đó chuyển động chậm dần đều với gia tốc có độ lớn a2 =2m/s2 và dừng lại ở B .Tính thời gian ngắn nhất để xe đi từ A đến B.
 Giải.
Gọi s1 ,s2 là quãng đường xe đi trong hai giai đoạn ứng với gia tốc a1, a2
 t1,, t2 là thời gian xe đi trong hai giai đoạn ứng với gia tốc s1, s2
ta có ;
tổng giời gian xe đi 
t= .
Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có
Để thời gian xe đi là ngắn nhất thì
Mặt khác s1 + s2 =200(2) suy ra s1= 66,67m, s2 = 33,33m
Vậy t = 15,63 s
2.3.2.3. Kết luậnvà các bước để giải một bài toán cực trị sử dụng bất đẳng thức Cauchy 
Bất đẳng thức Cauchy thường được áp dụng đối với các bài toán phần cơ học. Với các bài tập vận dụng trên ta rút ra được phương pháp chung để định hướng chọn và các bước giải một bài toán cực trị sử dụng bất đẳng thức Cauchy như sau: 
Bước 1: Đại lượng cần tìm giá trị cực trị có thể biến đổi để đưa về dạng phân số trong đó hoặc tử số (hoặc mẫu số) là một hàm chứa biến, thành phần còn lại là hằng số. 
Bước 2: Xét dấu hiệu nhận biết các điều kiện của hàm chứa biến có thỏa mãn điều kiện sử dụng bất đẳng thức Cauchy hay không. 
Đó là điều kiện các số hạng là không âm a1,a2, .....,an ³ 0 và tích của chúng là không đổi a1.a2......an = const 
Bước 3: Áp dụng bất đẳng thức để tìm ra giá trị cực đại ,cực tiểu của bài toán. 
Bước 4: Tìm điều kiện để dấu ‘=’ của bất đẳng thức xảy ra. 
2.3.3. Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki 
2.3.3.1. Lý thuyết vê bất đẳng thức Bunhiacopxki 
(ax+by) ≤ (a +b )(x +y ) 
Dấu “=” xảy ra khi : = 
(ax+by+cz) ≤ (a +b+c)(x +y +z) 
Dấu “=” xảy ra khi : = = 
2.3.3.2. Bài tập vận dụng 
a
M
m
Bài 1. Cho cơ hệ như hình vẽ:
Cho biết: Hệ số ma sát giữa M và sàn là k2.
 Hệ số ma sát giữa M và m là k1.
Tác dụng một lực lên M theo phương hợp với phương ngang một góc . Hãy tìm Fmin để m thoát khỏi M.Tính góc tương ứng? [8]
 Giải:
+ Xét vật m: (1).
O
y
a
x
 Chiếu lên Ox: Fms21= ma 
Chiếu lên Oy: N1 – P1 = 0 N1 = P1 
 Fms21= k1.N1 = k1.mg
 . Khi vật bắt đầu trượt thì thì a1 = k1g.
+ Xét vật M: .
Chiếu lên trục Ox: 
Chiếu lên Oy: 
Ta có: 
Khi vật trượt 
Nhận xét: Fmin ymax . Theo bất đẳng thức Bunhia Côpski:
.
Vậy 
Lúc đó: 
Bài 2. Người ta quấn một sợi dây không giãn và khối lượng không đáng kể quanh một khối trụ khối lượng m. Hỏi phải kéo dây bằng một lực Fmin, dưới góc α bằng bao nhiêu để khối trụ quay tại chỗ. Cho biết hệ số ma sát giữa khối trụ và sàn là k. 
a
·
O
y
x
 Giải : Các lực tác dụng được biểu trên hình 
Do khối trụ không chuyển động tịnh tiến nên 
tổng hình chiếu các lực trên phương 0x, 0y bằng 0
Tức là: 
 Trong đó : Fms =k.N 
Từ hệ phương trình trên ta có : 
=> F đạt min khi y đạt max 
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có : 
Dấu ‘=’ xảy ra khi 
Vậy khi 
Bài 3. Kéo một vật lên đều trên mặt phẳng nghiêng có góc nghiêng α, hệ số ma sát k. Hỏi góc β giữa vec tơ lực kéo và mặt nghiêng là bao nhiêu để lực kéo là cực tiểu.[5]
Giải: Áp dụng định luật II Newton ta có : 
 (1)
Chiếu (1) lên Ox: 
 (2)
Chiếu (1) lên Oy: (3)
β
α
y
x
O
Từ (2) và (3) ta có : 
Nhận xét: Trong biểu thức của F : tử số là không đổi, mẫu số thay đổi. 
F đạt min khi mẫu số đạt max. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có : 
Dấu ‘=’ xảy ra khi 
Khi đó 
Vậy: Để vật chuyển động đều với lực kéo cực tiểu thì góc hợp bởi vec tơ lực kéo và mặt nghiêng thỏa mãn: 
Bài 4. Hai ôtô cùng chuyển động từ A và B hướng tới điểm O trên hai đường thẳng hợp nhau một góc α=300 với vận tốc v2 = .Hãy xác định khoảng cách nhỏ nhất giữa hai ôtô. Cho biết lúc đầu chúng cách O những khoảng cách d1=60km, d2=40km. 
·
A
A'
B'
B
g
α
O
β
Giải : 
Áp dụng hệ thức trong tam gi