Rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức toán học để giải quyết một số bài toán có nội dung thực tiễn trong chương trình Toán 11

1. MỞ ĐẦU
 1.1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
 - Toán học có liên hệ mật thiết với thực tiễn và có ứng dụng rộng rãi trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ cũng như trong sản xuất và đời sống. Với vai trò đặc biệt, Toán học trở nên thiết yếu đối với mọi ngành khoa học, góp phần làm cho đời sống xã hội ngày càng hiện đại và văn minh hơn. Bởi vậy, việc rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn là điều cần thiết đối với sự phát triển của xã hội và phù hợp với mục tiêu của giáo dục Toán học. 
 - Với vị trí đặc biệt của môn Toán là môn học công cụ; cung cấp kiến thức, kỹ năng, phương pháp, góp phần xây dựng nền tảng văn hóa phổ thông của con người lao động mới làm chủ tập thể, việc thực hiện nguyên lí giáo dục ''Học đi đôi với hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, nhà trường gắn liền với xã hội'' cần phải quán triệt trong mọi trường hợp để hình thành mối liên hệ qua lại giữa kỷ thuật lao động sản xuất, cuộc sống và Toán học.
 - Những ứng dụng của Toán học vào thực tiễn trong Chương trình và sách giáo khoa, cũng như trong thực tế dạy học Toán chưa được quan tâm một cách đúng mức và thường xuyên. Trong các sách giáo khoa môn Toán và các tài liệu tham khảo về Toán thường chỉ tập trung chú ý những vấn đề, những bài toán trong nội bộ Toán học; số lượng ví dụ, bài tập Toán có nội dung liên môn và thực tế trong các sách giáo khoa Đại số và Giải tích THPT để học sinh học và rèn luyện còn rất ít. Một vấn đề quan trọng nữa là trong thực tế dạy Toán ở trường phổ thông, các giáo viên không thường xuyên rèn luyện cho học sinh thực hiện những ứng dụng của Toán học vào thực tiễn mà theo Nguyễn Cảnh Toàn đó là kiểu dạy Toán ''xa rời cuộc sống đời thường'' cần phải thay đổi.
 - Với việc thay đổi từ thi tự luận sang trắc nghiệm thì các bài tập có liên hệ thực tế đã được đưa vào đề thi. Đặc biệt năm học 2017 - 2018 trong đề thi có cả kiến thức 11.
 Vì những lí do trên tôi chọn đề tài nghiên cứu của sáng kiến là: ''Rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Toán học để giải quyết một số bài toán có nội dung thực tiễn trong chương trình TOÁN 11". 
 1.2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU.
 Nghiên cứu cơ sở lý luận và thực tiễn của vấn đề rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Toán học để giải quyết một số bài toán có nội dung thực tiễn; đề xuất các quan điểm xây dựng Hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn trong dạy học Toán 11 ở trường THPT, đồng thời đưa ra những gợi ý, lưu ý về phương pháp dạy học Hệ thống bài tập đó.
 1.3. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
 Sáng kiến có nhiệm vụ giải đáp những câu hỏi khoa học sau đây:
- Vai trò và ý nghĩa của việc rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Toán học để giải quyết các bài toán có nội dung thực tiễn?
- Tình hình việc rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn trong giảng dạy Toán hiện nay ở trường phổ thông như thế nào?
- Những chủ đề nào có tiềm năng khai thác nhằm rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Toán học để giải quyết một số bài toán có nội dung thực tiễn trong môn Toán ở trường Trung học phổ thông?
- Nghiên cứu việc xây dựng một Hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn, nhằm đáp ứng yêu cầu rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Toán học để giải quyết một số bài toán có nội dung thực tiễn.
- Thực nghiệm sư phạm để minh họa tính khả thi và hiệu quả của việc lựa chọn Hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn.
 1.4. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC 
 Trên cơ sở tôn trọng Chương trình, sách giáo khoa Đại số và giải tích 11 hiện hành, nếu thiết kế được một Hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn, đề xuất được những quan điểm, những gợi ý hợp lý về cách lựa chọn nội dung và phương pháp dạy học, thì sẽ nâng cao chất lượng dạy học môn Toán, thực hiện tốt mục tiêu giáo dục Toán học ở trường Trung học phổ thông.
 1.5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
 - Nghiên cứu lý luận;
 - Điều tra thực tế;
 - Thực nghiệm sư phạm. 
 2. NỘI DUNG 
 Chương 1
MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
 2.1. Vai trò của việc rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn 
- Rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn là phù hợp với xu hướng phát triển chung của thế giới và thực tiễn Việt Nam 
- Rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng Toán học vào thực tiễn là một yêu cầu có tính nguyên tắc góp phần phản ánh được tinh thần và sự phát triển theo hướng ứng dụng của toán học hiện đại
 Để thực hiện Nguyên tắc kết hợp lí luận với thực tiễn trong việc dạy học Toán, cần:
 + Đảm bảo cho học sinh nắm vững kiến thức Toán học để có thể vận dụng chúng vào thực tiễn;
 + Chú trọng nêu các ứng dụng của Toán học vào thực tiễn;
 + Chú trọng đến các kiến thức Toán học có nhiều ứng dụng trong thực tiễn;
 + Chú trọng rèn luyện cho học sinh có những kỹ năng toán học vững chắc;
 + Chú trọng công tác thực hành toán học trong nội khóa cũng như ngoại khóa . 
 Nhiều công trình nghiên cứu đã chỉ ra rằng, giảng dạy Toán học không nên xa rời với thực tiễn. "Loại bỏ ứng dụng ra khỏi Toán học cũng có nghĩa là đi tìm một thực thể sống chỉ còn bộ xương, không có tí thịt, dây thần kinh hoặc mạch máu nào".
- Rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng Toán học vào thực tiễn đáp ứng yêu cầu mục tiêu bộ môn Toán và có tác dụng tích cực trong việc dạy học Toán 
 + Tăng cường rèn luyện năng lực ứng dụng Toán học vào thực tiễn là một mục tiêu, một nhiệm vụ quan trọng của việc dạy học Toán ở trường phổ thông
 + Rèn luyện năng lực vận dụng Toán học vào thực tiễn góp phần tích cực hóa trong việc lĩnh hội kiến thức 
+ Rèn luyện năng lực vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn, giúp học sinh có kỹ năng thực hành các kỹ năng Toán học và làm quen dần các tình huống thực tiễn
 2.2. Vấn đề bài toán có nội dung thực tế trong Chương trình và Sách giáo khoa phổ thông
- Một số nội dung quan trọng trong phương hướng cải cách nội dung và phương pháp dạy học Toán 
+ Chương trình và Sách giáo khoa phải thể hiện được tinh thần của toán học hiện đại
+ Chương trình, sách giáo khoa Toán phải quán triệt tinh thần giáo dục kĩ thuật tổng hợp, chuẩn bị cho học sinh có ý thức và kỹ năng liên hệ học với hành, có tiềm lực để trở thành người công nhân lành nghề, người quản lí kinh tế tốt
- Tình hình bài toán có nội dung thực tế trong Chương trình và Sách giáo khoa Đại số và Giải tích cũng như Hình học 11
- Trong Đại số và Giải tích 11 không có bài toán nào có nội dung thực tế; 
- Trong Đại số và Giải tích 11, Cải cách giáo dục (1999) của Ngô Thúc Lanh (chủ biên) không có bài toán nào có nội dung thực tế;
- Trong Đại số và Giải tích 11, Ban Khoa học Tự nhiên, thí điểm (1997) của nhóm tác giả Phan Đức Chính - Trần Văn Hạo - Ngô Xuân Sơn không có bài toán nào có nội dung thực tế; 
 +) Trong quá trình đánh giá thông qua các kỳ thi, chẳng hạn Kỳ thi tốt nghiệp THPT hay tuyển sinh vào các trường Đại học và Cao đẳng những năm trước, hầu như các ứng dụng Toán học vào thực tiễn đều không được đề cập đến (chẳng hạn, trong các cuốn giới thiệu đề thi vào các trường đại học ...)
 +) Trong thực tế giảng dạy Toán ở trường phổ thông, các thầy, cô giáo cũng 
không thường xuyên rèn luyện cho học sinh thực hiện những ứng dụng Toán học vào thực tiễn.
 Tôi cho rằng có thể do những nguyên nhân chính sau đây:
 Thứ nhất, do ảnh hưởng trực tiếp của sách giáo khoa và tài liệu tham khảo: Số 
lượng bài tập mang nội dung thuần túy Toán học cũng như kiến thức dành cho mỗi tiết học là khá nhiều đã khiến nhiều giáo viên vất vả trong việc hoàn thành kế hoạch bài giảng; số lượng bài toán, chất lượng và quy mô bài toán ứng dụng vào thực tiễn rất ít ở các chủ đề môn Toán trong giảng dạy; một lý do nữa là do khả năng liên hệ kiến thức 
Toán học vào thực tiễn của của giáo viên Toán còn gặp nhiều khó khăn.
 Thứ hai, do yêu cầu vận dụng Toán học vào thực tế không được đặt ra 
một cách thường xuyên và cụ thể trong quá trình đánh giá (tức là trong các đề thi không có những nội dung như vậy). Mặt khác, lối dạy phục vụ thi cử (chỉ chú ý những gì để học sinh đi thi) như hiện nay cũng là một nguyên nhân góp phần tạo nên tình trạng này.
 Ngoài ra có thể kể đến một nguyên nhân khác nữa: trong Chương trình và quá
trình đào tạo ở các trường đại học và cao đẳng Sư phạm, tình hình "ứng dụng" (trong giáo trình, trong đánh giá, trong dạy học,...) cũng xảy ra tương tự. Do đó ảnh hưởng trực tiếp đến tiềm năng dạy các vấn đề ứng dụng Toán học của các thầy giáo, cô giáo. 
 Như vậy, việc tăng cường rèn luyện cho học sinh ứng dụng Toán học vào
thực tiễn đã được coi là một trong những quan điểm chỉ đạo xuyên suốt toàn bộ quá trình dạy học Toán ở phổ thông, được nhấn mạnh trong Dự thảo Chương trình Cải cách giáo dục môn Toán. Tuy nhiên, trên thực tế (sách giáo khoa, thực tế dạy học, trong đánh giá, ...) quan điểm này vẫn chưa được quán triệt một cách toàn diện và cân đối - theo Nguyễn Cảnh Toàn - đó là kiểu dạy Toán "xa rời cuộc sống đời thường'' cần phải thay đổi.
Chương 2
NGHIÊN CỨU VIỆC XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP 
CÓ NỘI DUNG THỰC TIỄN TRONG DẠY HỌC TOÁN 
Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
 2.3. Những quan điểm về vấn đề xây dựng Hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn
 Trong Mục này, Sáng kiến sẽ đưa ra những Quan điểm cho việc xây dựng và sử dụng Hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn trong giảng dạy Toán ở trường THPT - với chủ ý làm đậm nét hơn nữa các ứng dụng của Toán học vào thực tiễn. Những Quan điểm sáng kiến đưa ra sẽ nhằm vào tính mục đích, tính khả thi, tính hiệu quả của việc xây dựng Hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn trong giảng dạy Toán ở trường Trung 
học phổ thông.
 - Mục đích của Hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn được xác định dựa trên cơ sở những mục đích chung của giáo dục Toán học, có chú ý đến những đặc điểm cụ thể của Hệ thống. Mục đích của Hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn liên quan chặt chẽ, phụ thuộc và phục vụ cho việc thực hiện các mục đích dạy học Toán ở nhà trường. Mục đích của Hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn với ý nghĩa ứng dụng rõ rệt, thông qua quá trình rèn luyện cho học sinh khả năng và ý thức sẵn sàng ứng dụng Toán học vào thực tiễn, đồng thời góp phần tích cực để thực hiện tốt và toàn diện các nhiệm vụ dạy học Toán ở trường THPT.
 - Tính khả thi của Hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn được hiểu là khả năng thực hiện được (xây dựng được, sử dụng được) Hệ thống bài tập này trong thực tế dạy học ở trường THPT hiện nay. Tính khả thi của việc xây dựng và sử dụng Hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn phụ thuộc vào rất nhiều yếu tố: Chương trình, sách giáo khoa, kế hoạch dạy học và quỹ thời gian thực hiện, trình độ nhận thức chung của học sinh, khả năng và trình độ thực hiện của giáo viên, sự tương hợp giữa các nội dung thực tiễn chứa đựng trong các bài tập, ... Một giải pháp khả thi là giải pháp thoả mãn một cách đầy đủ và hài hoà các yếu tố trên.
 - Tính hiệu quả của việc xây dựng hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn trong dạy học Toán được hiểu là sự tiến bộ vững chắc, mức độ thành thạo trong việc giải các bài tập có nội dung thực tiễn của học sinh, hình thành và phát triển ở họ thói quen và hứng thú vận dụng kiến thức Toán học vào các tình huống trong học tập, lao động sản xuất và trong đời sống. Tính hiệu quả phụ thuộc vào hệ thống bài tập (nội dung, mức độ, số lượng, ...) cũng như các biện pháp sử dụng hệ thống bài tập này trong thực tế giảng dạy ở trường THPT.
 Mô hình toán học của nhiều hiện tượng trong thực tế được thể hiện dưới dạng hàm số cho bằng công thức (mô hình đại số hay mô hình giải tích) và đồ thị (mô hình đồ thị hay mô hình hình học). Ba bước quan trọng trong quá trình mô hình hóa đó là: 
 Bước 1: Lập mô hình toán học, bước trừu tượng hóa, hình thức hóa.
 Bước 2: Khảo sát các bài toán do mô hình toán học đưa lại. Trong hai
Bước 1 và 2, nhiều khi phải sử dụng mô hình hình học (vẽ sơ đồ, đồ thị, giải phương 
trình bằng đồ thị).
 Bước 3: Đối chiếu kết quả khảo sát toán học ở Bước 2 với các hiện tượng và
tình huống thực tế (chẳng hạn, đối chiếu xem nghiệm của phương trình tìm được có thoả mãn bài toán đã cho không và trả lời).
 Một trong những đặc điểm nổi bật của các khoa học là sự gia tăng vai trò của Toán học, hay nói cách khác, là sự "Toán học hóa" các khoa học khác một cách sâu sắc và rộng rãi. Toán học không phải chỉ là một lĩnh vực nhất định của tri thức mà còn là một phương pháp, là một dạng nhất định của nhận thức khoa học, nó góp phần xây dựng chính xác các khoa học. Trong thực tế Toán học hóa các khoa học chỉ ra rằng, phương pháp toán học hóa các kiến thức khoa học tăng cường mối quan hệ lẫn nhau và tính thống nhất của tri thức khoa học hiện đại đang được phân chia mạnh mẽ, làm phong phú và sâu sắc thêm những dạng phản ánh thực tiễn. Vì thế, sự toán học hóa các khoa học giúp hiểu đúng hơn tự nhiên xã hội và góp phần thúc đẩy nhanh tiến bộ khoa học kỹ thuật .
 2.4. Một phương án xây dựng Hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn
 Những Quan điểm và tiềm năng của một số Chủ đề trong việc rèn luyện cho
học sinh năng lực toán học hóa các tình huống thực tiễn sẽ là cơ sở quan trọng của việc xây dựng Hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn.
 Hệ thống bài tập, theo, là một tập hợp các bài tập được xây dựng có định
hướng, có liên hệ với nhau bởi ba quan hệ chủ yếu: Quan hệ mục tiêu đào tạo, quan hệ nội dung Toán học, quan hệ trình độ phát triển tư duy. Theo quan niệm đó, Hệ thống các bài tập có nội dung thực tiễn gồm những bài tập nhằm chủ ý rèn luyện cho học sinh ý thức và khả năng sẵn sàng ứng dụng Toán học vào thực tế.
 Thành phần quan trọng trong Hệ thống bài tập này là những Bài toán ở những
Chủ đề có nhiều tiềm năng trong việc khai thác các bài toán có nội dung thực tiễn (Cấp số cộng, cấp số nhân, đạo hàm, lãi suất ngân hàng, ...). sáng kiến chú ý khai thác triệt để các lợi thế này, một mặt nhằm thể hiện sự phong phú và đa dạng của các bài toán, mặt khác thể hiện vai trò quan trọng của Toán học trong thực tiễn. Ngoài thành phần quan trọng đó ra, còn có một số Bài toán ở các Chủ đề khác. 
 Cả hai thành phần trên có tác dụng hỗ trợ nhau tạo thành Hệ thống bài tập có 
nội dung thực tiễn của Chương trình Đại số và giải tích 11, góp phần tích cực trong việc rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn. Những Chủ đề có nhiều tiềm năng sẽ khai thác được nhiều bài tập có nội dung phong phú và đa dạng; đặc biệt, kiến tạo được các bài toán ở những mức độ khác nhau, phù hợp cho dạy học sinh đại trà cũng như bồi dưỡng học sinh khá, giỏi. Những Bài toán ở những Chủ đề giàu tiềm năng này kết hợp với các Bài toán ở các Chủ đề khác, làm cho Hệ thống bài tập thêm phong phú, đa dạng; ứng dụng được trong nhiều trường hợp và mức độ khác nhau của quá trình nhận thức. Hệ thống bài tập gồm các bài được thiết kế theo các Chủ đề kiến thức của Chương trình Đại số và Giải tích 11.
 Sự phân tích, bình luận sau mỗi chủ đề kiến thức của lời giải Hệ thống bài tập 
sẽ chỉ rõ Bài toán được sử dụng vào lúc nào, lớp nào, chương mục nào là phù hợp
HỆ THỐNG BÀI TẬP CÓ NỘI DUNG THỰC TIỄN
2.4.1. Chủ đề cấp số cộng
 Thông qua việc dạy học kiến thức này, ta có thể cho học sinh giải những bài 
toán thực tiễn khá hấp dẫn và mang nhiều ý nghĩa:
Bài toán 1: (Bảng lương thỏa thuận)
Khi ký hợp đồng dài hạn ( năm) với các kỹ sư được tuyển dụng. Công ty liên doanh A đề xuất hai phương án trả lương để người lao động chọn, cụ thể là:
Phương án 1: Người lao động sẽ nhận 36 triệu đồng cho năm làm việc đầu tiên và kể từ năm thứ hai, mức lương sẽ được tăng thêm 3 triệu đồng mỗi năm 
Phương án 2: Người lao động sẽ nhận được nhận 7 triệu đồng cho quý đầu tiên và kể từ quý làm việc thứ hai mức lương sẽ tăng thêm 500.000 đồng mỗi quý .
Nếu bạn là người lao động bạn sẽ chọn phương án nào?
Vấn đề đặt ra:
Chọn 1 trong hai phương án để nhận lương. Ta thấy việc người lao động chọn một 
trong hai phương án nhận lương phải căn cứ vào số tiền mà họ đuợc nhận trong 10 năm.
Phương án giải quyết (Đề nghị):
Ta nhận thấy cả hai phương án số tiền nhận được sau 1 năm (1 quý) đều tuân theo một 
quy luật nhất định :
Phương án 1: Đó là cấp số cộng với số hạng đầu triệu và công sai triệu
Phương án 2: Đó là cấp số cộng với số hạng đầu triệu và công sai triệu
Vậy theo phương án 1: Tổng số tiền người lao động nhận được là:
 triệu.
Theo phương án 2: Tổng số tiền mà người lao động nhận được là
 triệu
Vậy nếu nguời lao động chọn phương án 2 để nhận lương thì số tiền lương sẽ cao hơn. Từ bài toán này mà người ta có câu chuyện như sau:
Anh A vừa tốt nghiệp trường đại học kinh tế chuyên ngành Maketting, khi đến phỏng vấn tại công ty X người quản lý nhân sự sau khi hỏi những câu hỏi liên quan và cuôí cùng đưa ra 2 phương án nhận lương như trên, suy nghĩ một hồi anh ta chọn phương án 1. Khi đó người quản lý chẳng nói gì chỉ đưa cho anh ta xem 2 bảng lương tính theo hai phương án trên và sau đó quyết định không nhận A vào công ty.
2.4.2. Chủ đề cấp số nhân
Bài toán 1: (Trò chơi ô vuông bàn cờ) 
Để chuẩn bị một trò chơi, giáo viên thành hai đội công bố luật chơi và yêu cầu học sinh chuẩn bị thóc để chơi. Luật chơi như sau:
Giáo viên có một bàn cờ vua gồm 64 ô vuông, đội nào bốc thăm đi trước sẽ đặt một hạt thóc vào ô thứ nhất, đội kia sẽ đặt 2 hạt ở ô thứ 2. Cứ tiếp tục như vậy 2 đôi sẽ thay phiên nhau và số hạt thóc đặt ở ô sau cứ gấp đôi ô trước đó. Đội nào hết thóc trước khi đến ô cuối cùng thì sẽ thua cuộc.
Vấn đề đặt ra:
Để thắng trong trò chơi này thì mỗi đội phải chuẩn bị đủ số thóc để chơi. Do đó vấn đề ở đây là mỗi nhóm cần phải xác định lượng thóc cần chuẩn bị để chơi đến cùng trò chơi này. Do đó các em cần quan tâm đến qui luật của trò chơi.
Các Phương án giải quyết:
a. Phương án 1: Chuẩn bị lượng thóc để đặt vào 64 ô
Số hạt thóc mà giáo viên đặt vào mỗi ô của bàn cờ tuân theo một cấp số nhân với công bội là 
Số hạt thóc mà học sinh cần chuẩn bị chính là tổng số hạt thóc cần dùng để đặt vào 64 ô của bàn cờ.
Theo công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân ta có: (hạt)
Lúc đó học sinh có thể ước lượng về khối lượng thóc học sinh cần mang đi. Để làm điều này học sinh cân thử 1 lượng thóc nhất định và suy ra khối lượng của hạt
Giả sử 100 hạt nặng 20g thì khối lượng thóc cần chuẩn bị là:
 tỉ tấn
Làm theo phương án này vừa thừa thóc mặt khác lại không chuẩn bị được do số thóc quá lớn.
b. Phương án 2 : Tính lượng thóc chuẩn bị cho cả hai trường hợp đi trước hoặc đi sau. Sau đó chuẩn bị lượng thóc ở trường hợp nhiều hơn.
Trường hợp 1: Nhóm học sinh đi trước:
Khi đó số thóc học sinh đặt vào ô vuông bàn cờ trong mỗi lần đi lần lượt là: 1,4,16, 
Ta thấy dãy số trên lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu và công bội 
q = 4 và ô cuối cùng mà nhóm này đặt thóc chính là ô 63 của bàn cờ.
Do vậy số thóc học sinh cần chuẩn bị chính là tổng của số hạng đầu tiên 
của cấp só nhân trên. hạt thóc
Khối lượng thóc tương ứng là: tỉ tấn 
Trường hợp 2: Nhóm học sinh đi sau. Khi đó số thóc học sinh đặt vào các ô vuông bàn cờ trong mỗi lượt đi lần lượt là: 2, 8, 32,
Dãy số trên cũng là cấp số nhân với số hạng đầu , công bội q = 4 vầ ô cuối cùng mà nhóm học sinh này bỏ thóc vào là ô vuông 64 của bàn cờ.
Do đó số thóc học sinh cần chuẩn bị chính là tổng của 32 số hạng đầu tiên của cấp số 
nhân trên: Ta có: hạt
Khí đó khối lượng thóc tương ứng là: tỉ tấn
Vậy học sinh phải chuẩn bị 2460 tỉ tấn thóc để tham gia trò chơi. Ta thấy rằng số thóc này quá lớn nên cũng như phương án 1 thì học sinh không thể nào chuẩn bị đủ lượng thóc để chơi trò chơi này.
Bài toán 2: (Xây dựng tòa tháp)
Người ta dự định xây dựng 1 tòa tháp 11 tầng tại một ngôi chùa nọ, theo cấu trúc diện tích của mặt sàn tầng trên bằng nửa diện tích mặt sàn tầng dưới, biết diện tích mặt đáy tháp là 12,28m2. Hãy giúp các bậc thầy nhà chùa ước lượng số gạch hoa cần dùng để lát nền nhà. Để cho đồng bộ các nhà sư yêu cầu nền nhà phải lát gạch hoa cỡ 30x30cm.
Vấn đề đặt ra:
Tính số lượng gạch hoa cần dùng để lát nền nhà. Mà số lượng gạch ấy lại phụ thuộc vào tổng diện tích mặt sàn của 11 tầng tháp. Do vậy vấn đề ở đây là phải tính được tổng diện tích sàn nhà của 11 tầng tháp. 
Phương án giải quyết (Đề nghị):