Phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực dùng để bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán lớp 9 tại trường THCS Quang Trung – Thành phố Thanh Hóa

MỤC LỤC
 Trang
1.MỞ ĐẦU. 	1
1.1.Lí do chọn đề tài. 	1
1.2 Mục đích nghiên cứu.................................................................. 	2
1.3 Đối tượng nghiên cứu................................................................. 	2
1.4 Phương pháp nghiên cứu........................................................... 	2
1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm ............................ 2
2.NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.............................. 	2
2.1.Cơ sở lí luận của SKKN.... 	2
2.2.Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng SKKN... ..........................	5
2.3. Một số phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực.............	5
2.3.1. Phương pháp thế ..................................................................... 	5
2.3.2. Phương pháp cộng đại số ........................................................ 	7
2.3.3. Phương pháp đưa phương trình về dạng tích........................... 	8
2.3.4. Phương pháp đặt ẩn phụ................................................................	10
2.3.5. Phương pháp dùng bất đẳng thức............................................. 	12
Một số câu hệ phương trình không mẫu mực trong đề thi HSG 
toán 9 tỉnh Thanh Hóa ......................	13
2.4 Hiệu quả của SKKN đối với hoạt động giáo dục với bản thân, 
đồng nghiệp và nhà trường................................................................... 	15
3.KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ................................................................ 	15
3.1.Kết luận........................................................................................	15
3.2. Kiến nghị.......................................................................................	16
Mở đầu
	1.1. Lí do chọn đề tài.
	Phương trình, hệ phương trình là một nội dung rất quan trọng của bậc học phổ thông đặc biệt là ở cấp THCS, vì nó là nền tảng để giúp học sinh tiếp cận đến các nội dung khác trong chương trình toán học, vật lí học, hoá học... của bậc học này.
	Trong chương trình toán của bậc học phổ thông, từ lớp 9 học sinh được học về hệ phương trình, bắt đầu là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn. Cùng với đó học sinh được học hai quy tắc biến đổi tương đương một hệ phương trình là “Quy tắc thế”, “Quy tắc cộng đại số”. Lớp 8 và lớp 9 học sinh được học khá đầy đủ về phương trình một ẩn như: phương trình bậc nhất một ẩn, phương trình tích, phương trình chứa ẩn ở mẫu, phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, phương trình bậc hai, phương trình vô tỷ... Thông qua việc học các dạng phương trình trên học sinh được trang bị tương đối đầy đủ về các phương pháp giải các phương trình đại số, điều này đồng nghĩa với việc học sinh được trang bị các phương pháp giải hệ phương trình không phải là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.
	Các hệ phương trình mà cách giải tuỳ thuộc vào đặc điểm riêng của hệ, không có một đường lối chung cho việc giải các hệ đó, ta gọi các hệ dạng này là hệ phương trình không mẫu mực. Việc giải các hệ phương trình không mẫu mực đòi hỏi học sinh phải nắm rất vững các phương pháp biến đổi tương đương một hệ phương trình, các phép biến đổi tương đương một phương trình, đặc biệt học sinh phải rất tinh ý phát hiện ra những đặc điểm rất riêng của từng hệ từ đó có cách biến đổi hợp lí nhờ đó mới có thể giải được hệ.
	Trong nội dung chương trình toán lớp 8 và lớp 9 đã trang bị cho học sinh khá đầy đủ kiến thức về phương trình và hệ phương trình đại số cùng các phương pháp giải. Nhưng việc trang bị các phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực hầu như không được đề cập tới trong sách giáo khoa, kể cả hệ thống sách tham khảo hiện có dành cho học sinh trung học cơ sở.
	Việc giải được các hệ phương trình không mẫu mực đòi hỏi học sinh phải vận dụng rất khéo léo các kiến thức đã học để có được cách biến đổi hợp lí đối với riêng từng hệ phương trình đã cho, điều này đánh giá được trình độ kiến thức cũng như tư duy linh hoạt của học sinh.
	Chính vì vậy, trong nội dung các đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn toán 9, đề thi tuyển sinh vào trường THPT chuyên Lam Sơn của tỉnh Thanh Hóa, thường xuất hiện các câu hỏi yêu cầu học sinh phải giải các hệ phương trình không mẫu mực, với mục đích phân loại đối tượng học sinh. Không chỉ ở Thanh Hóa mà trong nội dung đề thi tuyển sinh vào khối THPT chuyên của trường Đại học Quốc gia, Đại học Sư phạm Hà Nội ở môn toán vòng 1, vòng 2 cũng luôn xuất hiện các câu hỏi giải hệ phương trình thuộc kiểu hệ phương trình không mẫu mực.
	Tài liệu tham khảo đối với các giáo viên phụ trách bồi dưỡng học sinh giỏi viết riêng cho chuyên đề giải hệ phương trình không mẫu mực không có, giáo viên dạy gặp rất nhiều khó khăn và lúng túng khi dạy đến chuyên đề này. 
	Vì vậy, khi dạy đến nội dung này giáo viên thường dạy lướt qua bằng một số ví dụ minh hoạ, chưa làm rõ được những đường lối chung để giải các hệ phương trình không mẫu mực.
	Chính vì những lí do mang tính lí luận và thực tiễn như trên mà tôi chọn “Phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực dùng để bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán lớp 9 tại trường THCS Quang Trung – Thành phố Thanh Hóa” làm đề tài sáng kiến kinh nghiệm của mình.
	1.2. Mục đích nghiên cứu.
	Sáng kiến kinh nghiệm này nhằm mục đích tập hợp, sắp xếp hệ thống các phương pháp thường được sử dụng để giải hệ phương trình không mẫu mực dùng bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 của cấp trung học cơ sở.
Nhiệm vụ cần đạt:
	- Chỉ ra được kiến thức về hệ phương trình có liên quan mà học sinh cần nắm vững trước khi tiếp cận với các phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực.
	- Đưa ra hệ thống các phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực có sự sắp xếp hợp lôgíc về mặt tư duy kiến thức bộ môn.
	- Xây dựng được hệ thống các bài tập phù hợp với đối tượng học sinh theo từng phương pháp cụ thể, nhằm giúp học sinh có được bài tập luyện tập khắc sâu kiến thức, giáo viên giảng dạy có được hệ thống bài tập minh hoạ phong phú cho từng phương pháp.
	1.3. Đối tượng nghiên cứu.
	Đối tượng nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm này là hệ thống các phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực, những điểm học sinh cần lưu ý khi tiến hành giải các hệ phương trình loại này.
	1.4. Phương pháp nghiên cứu.
	- Phương pháp duy vật biện chứng và duy vật lịch sử.
	- Phương pháp phân tích tổng hợp.
	- Phương pháp so sánh, đối chiếu, thống kê.
	- Phương pháp số liệu, hệ thống hoá  phỏng vấn, điều tra, khảo sát điều tra thực tế.
	1.5. Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm.
	Đưa ra hệ thống các phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực có sự sắp xếp hợp lôgíc về mặt tư duy kiến thức bộ môn.
	2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
	2.1. Cơ sở lí luận của kiến kinh nghiệm
	1. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Định nghĩa: 
(SGK – Toán 9 Tập 2)
	Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ có dạng:
trong đó a, b, c, a’, b’, c’ là các số cho trước,trong đó: và .
	Nghiệm của hệ phương trình là cặp số thoả mãn đồng thời hai phương trình (1) và (2) của hệ. 
	Giải hệ phương trình tức là tìm tất cả các nghiệm của hệ.
	Cách giải:
	Trong chương trình toán trung học cơ sở để giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn ta thường sử dụng hai phương pháp: 
	- Phương pháp thế nhờ sử dụng quy tắc thế;
	- Phương pháp cộng đại số nhờ sử dụng quy tắc cộng đại số.
	Để minh hoạ cho hai phương pháp này ta xét ví dụ sau:
	Ví dụ: Giải hệ phương trình: 
	Lời giải:
	Cách 1: (Sử dụng phương pháp thế)
	Vậy hệ có nghiệm duy nhất 
	Cách 2: (Sử dụng phương pháp cộng đại số) 
	Hệ phương trình đã cho tương đương với: 
	Vậy hệ có nghiệm duy nhất: 
	2. Hệ phương trình đối xứng loại một 
	Định nghĩa: 
	Một hệ phương trình hai ẩn x, y được gọi là hệ phương trình đối xứng loại một nếu mỗi phương trình của hệ đã cho đối xứng với hai ẩn x và y (nghĩa là mỗi phương trình của hệ không thay đổi khi ta đổi vai trò của x và y cho nhau).
	Tính chất: 
	Nếu (x0; y0) là một nghiệm của hệ thì (y0; x0) cũng là nghiệm của hệ.
	Cách giải thường dùng: 
	Đặt và , với điều kiện đưa hệ đã cho về hệ đơn giản hơn đã biết cách giải.
	Ví dụ:
	 Giải hệ phương trình:
	Lời giải:
Đặt: , khi đó hệ đã cho có dạng: Hoặc 
Ta chỉ nhận thỏa mãn điều kiện và do đó ta được nghiệm của hệ phương trình là: 
	3. Hệ phương trình đối xứng loại hai
	Định nghĩa: 
	Một hệ phương trình hai ẩn x, y được gọi là hệ phương trình đối xứng loại hai nếu trong hệ phương trình, khi đổi vai trò của x và y cho nhau thì phương trình này trở thành phương trình kia.
	Tính chất: Nếu (x0; y0) là một nghiệm của hệ thì (y0; x0) cũng là nghiệm của hệ.
	Cách giải thường dùng: Trừ các vế tương ứng của hai phương trình thì nhận được phương trình tích dạng 
Từ đó hệ đã cho tương đương với hai hệ đơn giản hơn có thể giải được.
	Ví dụ. Giải hệ phương trình: 
	ĐK: x, y 0.Hệ phương trình đã cho 
	Trừ vế với vế của hai phương trình ta được: 
	 2(x3 – y3) + xy(x - y) = 0 2(x - y)(x2 + xy + y2) + xy(x - y) = 0
 (x - y)(2x2 + 3xy + 2y2) = 0 (*)
	Vì 2x2 + 3xy +y2 = > 0 với x, y 0
	Nên (*) x – y = 0 x = y. Thay x = y vào phương trình đầu ta được 
 	 3x3 = 3 x3 = 1 x = 1 (TM ĐK)
	Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x ;y) = (1 ;1)
	4. Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai 
	Định nghĩa: Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai là hệ phương trình có dạng:
	Để giải hệ phương trình này ta phải xét hai trường hợp:
	- Tìm xem hệ PT có nghiệm x = y = 0 hay không bằng cách kiểm tra nghiệm.
	- Xét trường hợp hệ có nghiệm x khác 0 và y khác 0 và đăt x = ky ( hay y=kx), thay vào hệ để tìm cách loại y (hoặc x) và đưa đến phương trình bậc hai theo k, từ đó suy ra nghiệm x, y.
	2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng SKKN
	Để có kết quả đối chứng trước khi tiến hành áp dụng sáng kiến đối với học sinh đối với học sinh, tôi đã tiến hành cho 30 học sinh đội tuyển Toán lớp 9 trường THCS Quang Trung năm học 2017-2018 làm bài kiểm tra tiền thực nghiệm với nội dung đề bài như sau:
ĐỀ BÀI: Giải các hệ phương trình sau:
1.	 2. 
3. 	4. 
BẢNG THỐNG KÊ KẾT QUẢ TIỀN THỰC NGHIỆM
Điểm
0 – 2
3 - 4
5 – 6
7 – 8
9 – 10
Dưới trung bình
Trên trung bình
Số lượng
16
8
4
2
0
24
6
Tỉ lệ %
53%
27%
13%
7%
0%
80%
20%
	2.3. Một số phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực
	2.3.1. Phương pháp thế
	Ví dụ 1. 
Giải hệ phương trình sau: 
Lời giải: 
Giải hệ: 
Từ (1) Û 2x2 + (y - 5)x - y2 + y + 2 = 0
* Với: x = 2 - y, ta có hệ : 
*Với , ta có hệ: 
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm: (1;1) và 
	Nhận xét:
	- Ta có thể xem phương trình (1) của hệ là phương trình bậc 2 đối với ẩn x còn ẩn y là tham số và tiến hành giải như trên.
	-Ngoài ra Dùng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử biến đổi phương trình (1) về dạng tích.Việc phân tích đa thức vế trái của phương trình thứ nhất của hệ, giáo viên khi dạy nên hướng dẫn học sinh sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để tiến hành biến đổi vì đây là đa thức bậc hai đối với hai ẩn.
Ví dụ 2: Giải các hệ phương trình sau: 
Lời giải:Ta có:
 Hoặc Hoặc 
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm: 
	Nhận xét: Phương trình thứ nhất của hệ là phương trình bậc nhất hai ẩn nên ta có thể rút x theo y ( hoặc y theo x ) rồi thế vào phương trình còn lại của hệ, theo quy tắc thế ta nhận được một hệ mới tương đương. Trong hệ mới nhận được có một phương trình là phương trình một ẩn, nhờ đó ta đã giải được hệ.
	Trong lời giải trên, ta đã tính x theo y từ phương trình thứ nhất rồi thế vào phương trình thứ hai. Ta cũng có thể tính y theo x rồi thế vào phương trình thứ hai của hệ, tuy nhiên việc biến đổi hệ tiếp theo sẽ trở nên phức tạp vì xuất hiện phân số.
Ví dụ 3: Giải các hệ phương trình sau:
Lời giải:
Nhận thấy không thoả mãn phương trình (1) của hệ nên hệ không có nghiệm .
Khi từ phương trình (2) ta có thay vào phương trình (1) ta được: Hoặc 
 Hoặc 
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là: 
Nhận xét: Phương trình (2) của hệ là phương trình bậc nhất đối với ẩn y nên ta tiến hành tính ẩn y theo ẩn x rồi thế vào phương trình (1) của hệ. Tuy nhiên việc tính y theo x ta phải thực hiện phép chia cho x, nên cần nhận xét không là nghiệm của hệ để từ đó với ta có thể tính và hệ nhận được tương đương với hệ đã cho.
	2.3.2. Phương pháp cộng đại số:
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau:
Lời giải: Lấy phương trình thứ nhất trừ cho phương trình thứ hai ta được . Theo quy tắc cộng đại số, hệ đã cho tương đương với hệ phương trình sau:
 Hoặc 
Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm: 
Nhận xét: Tuy ở cả hai phương trình của hệ đều không có phương trình nào là phương trình bậc nhất đối với một ẩn, nhưng bằng việc sử dụng quy tắc cộng đại số trừ vế với vế hai phương trình của hệ ta được một phương trình là phương trình bậc nhất hai ẩn, nhờ đó ta đã giải được hệ.
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau 
HD giải: Để giải hệ phương trình trên ta có thể biến đổi nhờ quy tắc cộng đại số như sau: 
Nhận xét: 
Đến đây việc giải hệ ban đầu được đưa về việc giải 3 hệ phương trình đơn giản hơn. Cách biến đổi này khá đơn giản nên học sinh khá dễ tiếp thu, đặc biệt là học sinh lớp 9.
	2.3.3. Phương pháp đưa phương trình về dạng tích.
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình sau: 
Lời giải:
 Hoặc 
 hoặc hoặc hoặc 
Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm: 
Nhận xét: Trong hệ phương trình trên, phương trình thứ nhất chính là phương trình đẳng cấp bậc hai, tuy nhiên đối với học sinh lớp 9 không nên giải bằng cách đặt x = ky vì với cách giải này học sinh rất khó hiểu tại sao lại nghĩ ra cách đặt đó. Chính vì vậy, khi dạy giáo viên nên hướng dẫn học sinh hãy phân tích phương trình thứ nhất về dạng tích và biến đổi tiếp như cách giải trên.
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình sau 
Lời giải:
Cộng vế với vế hai phương trình của hệ ta được: 
Do đó ta có:
Giải hệ (a): 
Vì phương trình có nên vô nghiệm. Do vậy hệ (a) vô nghiệm.
Giải hệ (b): 
Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm: 
Nhận xét: Trong hệ trên chưa có phương trình nào của hệ có thể đưa ngay về dạng tích, tuy nhiên bằng việc cộng vế với vế hai phương trình của hệ theo quy tắc cộng đại số ta nhận được một hệ mới, trong hệ mới này có một phương trình đưa được về dạng tích.
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình: 
Giải: ĐK: Ta biến đổi phương trình (1) làm xuất hiện nhân tử chung 
Từ (3) & (2) ta có x=y=1. Từ (4) & (2) ta có 
Kết luận : Hệ có 3 nghiệm (1 ; 1) ; (2 ; 0) ; ( 8/3 ; -1/3)
	2.3.4. Phương pháp đặt ẩn phụ
* Điểm mấu chốt của phương pháp này là phải phát hiện ra ẩn phụ ngay trong từng phương trình của hệ hoặc sau một số phép biến đổi hệ đã cho.
* Thông thường việc biến đổi hệ chỉ xoay quanh việc cộng, trừ 2 phương trình của hệ theo vế hoặc chia cả hai vế của một phương trình hay cả hai phương trình của hệ cho một đại lượng khác 0 nào đó đã chỉ ra trong các phương trình, nhờ đó nhận ra việc phải chọn ẩn phụ như thế nào cho hợp lí.
Ví dụ 1:Giải hệ phương trình: 
Giải.
 Trường hợp 1: Xét y = 0, hệ đã cho trở thành vô lý
Trường hợp 2: Xét y ≠ 0, HPT Û 
Đặt , ta có hệ phương trình :
 Đặt , ta có hệ phương trình;
 hoặc (loại) 
 hoặc Û hoặc 
Hệ phương trình có hai nghiệm: 
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình sau: . 
Lời giải: Hệ phương trình đã cho tương đương với
Đặt 
 khi đó hệ phương trình trên trở thành: 
Giải hệ trên ta được hoặc .
Thế vào cách đặt ta được các nghiệm của hệ là:
; ; ; .
Nhận xét: Với hệ phương trình trên, việc biến đổi hệ để xuấn hiện bộ phận để đặt ẩn phụ khá dễ nhận ra việc phải sử dụng hằng đẳng thức nhờ phương trình thứ nhất của hệ.
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình sau: 
Lời giải: Đk: 
Đặt và 
suy ra : y = 4- u2 và x= 4-v2 thay vào hệ ta có :
 => 
Trừ từng vế các phương trình trong hệ ta được :
2(u2- v2) = (8-u-v).(v-u)=> (u-v).(u+v+8) = 0 => u= v vì u+v+8 >0 	
Khi đó: 11-2v2 = (4-v)2 => 3.v2 -8v + 5 =0
Đưa về dạng tích ta có v = 1 hoặc v = (thoả mãn )
+) Nếu v = 1 thì x = y =3(TM)	+) Nếu v = thì x = y = (TM)
Vậy nghiệm của hệ là (x ; y) = (3,3) hoặc (x ; y) = (,)
Ví dụ 4.
 Giải hệ phương trình sau: 
Lời giải: 
Dễ thấy x = y = 0 là một nghiệm của hệ.
Xét x ≠ 0 và y ≠ 0, hệ được biến đổi về dạng: 
Û.
Đặt , ta được hệ: .
Vậy hệ có 2 nghiệm là: ; .
Ví dụ 5. Giải hệ phương trình: 
Giải: Nhận thấy y=0 không thỏa mãn hệ. Với y khác không, chia cả hai vế của (1) và (2) cho y ta được: . Đặt ta được .
 Từ đây ta tìm được x và y.
	2.3.5. Phương pháp dùng bất đẳng thức
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau:
Giải: Điều kiện: 
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki, ta có:
Dấu “=” xảy ra (thỏa mãn phương trình 2)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y; z) = (3; 3; 3)
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau:
HD giải: 
Vì nên xảy ra hai trường hợp sau:
Với y = 0, khi đó x = y =z = 0
Vậy (x; y; z) = (0; 0; 0) là một nghiệm của hệ phương trình.
Với y > 0, khi đó x > 0, z > 0
nênhay
Theo bất đẳng thức Côsi ta có: 
hay
Tương tự từ phương trình thứ 3 của hệ 
Vậy 
Thay vào phương trình đầu ta được x = y = z =1 ( thỏa mãn)
Vậy nghiệm của hệ phương trình là: (0; 0; 0) ; (1; 1; 1)
MỘT SỐ CÂU HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC TRONG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 TỈNH THANH HÓA 
1) Giải hệ phương trình : (Năm học 2012 – 2013) 
HD giải: Điều kiện y 0.Đặt z = ta được hệ : Trừ vế với vế của hai phương trình trên ta đươc 
(vì x2 + xz + z2 +3 = (x + ) + > 0 với mọi x, z)
Thay x = z vào phương trình (1) của hệ ta được : x3 – 3x – 2 = 0 
(x+1)2(x - 2) = 0 x = -1 hoặc x = 2
Với nghiệm (x ; y ) của hệ là 
Với nghiệm (x ; y ) của hệ là 
Vậy nghiệm (x ; y ) của hệ là  và 
2) Giải hệ phương trình (Năm học 2013 – 2014)
HD giải: 
Ta có: =
= 
= xyz (x + y + z) = xyz ( vì x + y + z = 1). 
Dấu bằng xảy ra 
Vậy nghiệm của hệ phương trình là: 
3) Giải hệ phương trình (Năm học 2014 - 2015)
HD giải: 
Với x = y = 0 là nghiệm của hệ phương trình
Nhận thấy nếu x 0 thì y 0 và ngược lại
Xét x 0 ; y 0 hệ phương trình tương đương với
(2)
(1)
Thay (1) vào (2) ta được . 
Vậy hệ có nghiệm (x ; y) là (0 ; 0) ; (1 ; 1)
Bài tập: 
Giải các hệ phương trình sau :
( 2011 – 2012)	b) ( 2010 – 2011)
c) ( 2009 – 2010) d) ( 2008- 2009)
 e)( 2007- 2008)	f)(2016 – 2017)
	2.4. Hiệu quả của SKKN đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
Sau khi tiến hành triển khai nội dung của sáng kiến với chuyên đề “ Một số phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực” đối với 30 học sinh lớp 9 trong nhóm thực nghiệm (Đội tuyển Toán) tại trường THCS Quang Trung năm học 2017-2018, tôi tiến hành cho nhóm học sinh làm bài kiểm tra sau thực nghiệm với nội dung đề như sau:
Giải các hệ phương trình sau:
1)	2) 	3) 3) 4) 
BẢNG THỐNG KÊ KẾT QUẢ SAU THỰC NGHIỆM
Điểm
0 - 2
3 - 4
5 – 6
7 – 8
9 – 10
Dưới trung bình
Trên trung bình
Số lượng
0
6