Phát triển tư duy hàm trong bài toán giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp hàm số

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
TRƯỜNG PT NGUYỄN MỘNG TUÂN
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
(Font Times New Roman, cỡ 15, CapsLock)
PHÁT TRIỂN TƯ DUY HÀM 
TRONG BÀI TOÁN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ 
BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
Người thực hiện	: Lê Thị Thu Huyền
Chức vụ 	: Giáo viên
SKKN thuộc môn	: Toán
THANH HOÁ, NĂM 2019
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài:
Phương trình vô tỷ là một chuyên đề quan trọng trong chương trình toán THPT. Mặc dù là một chuyên đề nằm ở chương trình lớp 10 nhưng có một số bài toán khi sử dụng kiến thức hàm số của lớp 12, việc giải quyết bài toán trở nên đơn giản hơn nhiều. Chính vì vậy trong rất nhiều phương pháp giải phương trình vô tỷ thì phương pháp hàm số là một trong những ứng dụng quan trọng mà học sinh phải nắm được. Ở đây tôi không có tham vọng trình bày được hết các phương pháp giải phương trình vô tỷ, mà trong phạm vi đề tài này tôi muốn làm sáng tỏ hơn việc giải quyết các phương trình vô tỷ bằng phương pháp hàm số. 
Khái niệm hàm là một trong những khái niệm cơ bản nhất của toán học , nó giữ vị trí trung tâm của chương trình Toán THPT ,toàn bộ việc giảng dạy toán ở nhà trường phổ thông đều xoay quanh khái niệm này .
 Liên hệ với khái niệm hàm là Tư duy hàm ,một loại hình tư duy được hàng loạt các công trình nghiên cứu đánh giá cao và kiến nghị phải được phát triển mạnh mẽ trong hoạt động giảng dạy các bộ môn trong nhà trường đặc biệt là môn toán .Ngày nay trong chương trình môn toán ở trường phổ thông khái niệm hàm đã ,đang được thể hiện rõ vai trò chủ đạo của mình trong việc ứng dụng và xây dựng các khái niệm khác .Trong các kỳ thi cấp quốc gia ngoài các câu hỏi liên quan trực tiếp đến hàm số ta thường thấy có những câu hỏi mà học sinh thường phải vận dụng tư duy hàm số như là một công cụ đắc lực để giải toán như: Giải phương trình, bất phương trình ,tìm cực trị ,.....Các câu hỏi này cũng thường gây khó khăn cho cả thày và trò trong các giờ lên lớp . Trong các giờ giảng các em thường bị động trong nghe giảng và rất lúng túng vận dụng vào việc giải toán. Nguyên nhân là do các em chưa hiểu được bản chất của vấn đề ,chưa có kỹ năng và kinh nghiệm trong việc vận dụng hàm số vào giải toán , việc bồi dưỡng năng lực tư duy hàm cho học sinh thông qua các bài toán là một điều rất cần thiết .Muốn làm tốt được điều đó người thầy không chỉ có phương pháp truyền thụ tốt mà còn phải có kiến thức vừa chuyên ,vừa sâu,dẫn dắt học sinh tìm hiểu một cách logíc bản chất của toán học.
Qua nhiều năm đứng trên bục giảng, nhiều năm học được nhà trường phân công dạy các lớp mũi nhọn, ôn thi đại học, bồi dưỡng học sinh giỏi, khi dạy tới chuyên đề này, tôi luôn băn khoăn làm thế nào để cho bài dạy của mình đạt kết quả cao nhất, các em chủ động trong việc chiếm lĩnh kiến thức .Thầy đóng vai trò là người điều khiến để các em tìm đến đích của lời giải. Chính vì lẽ đó Tôi đã đầu tư thời gian nghiên cứu chuyên đề này. 
1.2. Mục đích nghiên cứu: 
Một mặt là giúp học sinh hiểu được bản chất của vấn đề, các em không còn lúng túng trong việc giải các bài toán liên quan đến hàm số, rèn luyện cho các em kỹ năng giải các bài toán có liên quan đến hàm số, đặc biệt là việc giải phương trình chứa căn. Hơn nữa tạo ra cho các em hứng thú trong giải toán nói chung và liên quan đến Hàm số nói riêng. Mặt khác sau khi nghiên cứu tôi sẽ có một phương pháp giảng dạy có hiệu quả cao trong các giờ lên lớp.
. Đối tượng nghiên cứu:
Để thực hiện đề tài này tôi áp dụng với đối tượng học sinh lớp 12 được trang bị cả kiến thức về phương trình vô tỷ và kiến thức về ứng dụng của đạo hàm trong việc xét tính đơn điệu của hàm số.
. Phương pháp nghiên cứu: 
Phương pháp nghiên cứu tài liệu, tổng hợp kiến thức và thử nghiệm trên từng nhóm đối tượng học sinh.
. Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm:
Đề tài đã giúp học sinh phối hợp kiến thức xuyên suốt chương trình toán THPT, tạo ra một phương pháp giải rất tốt cho phương trình vô tỷ. 
2. NỘI DUNG ĐỀ TÀI
2.1. Cơ sở lý luận 
1. HS y = f(x) đồng biến trên (a, b) với mọi x (a, b).
2. HS y = f(x) nghịch biến trên (a, b) với mọi x (a, b).
3. HS y = f(x) đồng biến trên thì Min f(x) = f(a); Max f(x) = f(b)
4. HS y = f(x) nghịch biến trên thì Min f(x) = f(b); Max f(x) = f(a).
Chú ý: 
F Nghiệm của phương trình f(x) = g(x) là hoành độ giao điểm của đồ thị hs y = f(x) với đồ thị hs y = g(x).
F Nếu hàm số,(a, b) mà f(x) liên tục tại a và b thì .
F Bất phương trình đúng Min f(x) 
F Bất phương trình đúng Max f(x) 
F BPT có nghiệmmax f(x) 
F BPT có nghiệm Max f(x) 
 Nếu hàm số y=f(x) đơn điệu trên (a; b) thì phương trình f(x)= k nếu có nghiệm x=x0 thì x=x0 là nghiệm duy nhất 
 Nếu hàm số y=f(x) đơn điệu trên (a; b),u(x),v(x) là các hàm số nhận giá trị thuộc D thì ta có : 
 Nếu f(x) là hàm số đồng biến ( nghịch biến ) thì y = đồng biến (nghịch biến ), với f(x) >0 là nghịch biến ( đbiến), y=-f(x) nghịch biến (đồng biến )
 Tổng các hàm đồng biến ( nghịch biến ) trên D là đồng biến (nghịch biến ) trên D
 Tích của hai hàm số dương đồng biến (nghịch biến) trên D là một hàm đồng biến (nghịch biến ) trên D
 Phương trình f(x) = m có nghiệm khi và chỉ khi m thuộc tập giá trị của hàm số y = f(x) và số nghiệm phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) với đường thẳng y = m.Nếu trên tập D hàm số y=f(x) đạt GTLN là L,GTNN là n thì phương trình f(x)=m có nghiệm khi khi 
 Để sử dụng phương pháp hàm số vào giải phương trình,ta cần thực hiện:
Tìm tập xác định của phương trình.Biến đổi phương trình (nếu cần) để đặt f(x) bằng một biểu thức nào đó.
 Tính đạo hàm f(x), rồi dựa vào tính đồng biến (nbiến) của hàm số để kết luận nghiệm của phương trình.
 Để học sinh có kiến thức vững để giải các bài toán dạng này yêu cầu học sinh nắm vững một số kiến thức cơ bản sau:
Phương trình f(x) = m có nghiệm khi và chỉ khi m thuộc tập giá trị của hàm số 
y = f(x) và số nghiệm phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) với đường thẳng y = m
 Để giải các bài toán Tìm giá trị của tham số để phương trình (hoặc bất phương trình) có nghiệm ta thực hiện các bước sau 
 - Biến đổi phương trình về dạng f(x) =g(m) 
- Tìm tập xác định của hàm số f(x) 
- Tính f’(x) 
- Lập bảng biến thiên của hàm số trên miền D. 
Tìm 
 Đối với những phương trình có những biểu thức phức tạp ,ta có thể đặt ẩn phụ thích hợp ,từ điều kiện ràng buộc của x ta tìm điều kiện của t ( với bài toán chứa tham số ta cần đặt điều kiện nghiêm ngặt cho ẩn phụ,ta thường dùng là đánh giá bằng bất đẳng thức,hoặc đôi khi phải khảo sát hàm ) để có thể tìm được điều kiên chính xác của biến mới t)
 Sau đó đưa phương trình đã cho về phương trình theo t và lại sử dụng phương pháp hàm số như trên 
2.2. Các giải pháp:
VD1: Giải phương trình : (1)
 Nhận xét Quan sát vế trái của phương trình (1), ta thấy khi x tăng thì giá trị của biểu thức trong căn cũng tăng .Từ đó ta thấy vế trái là hàm đồng biến ,vế phải bằng 4 là hàm hằng ,đây là điều kiện thích hợp để sử dụng tính đơn điệu 
Lg: Đk: , 
Đặt f(x)= 
 f’(x)= >0 x 
Nên hàm số đồng biến trên . Mà f(1)=4 nên x=1 là nghiệm .
VD 2 : Giải phương trình : 
Nhận xét :
Bài toán này gây khó khăn cho ta từ bước đặt điều kiện 
Đk:
Đặt f(x) =, 
 f’(x)=
 Nên hàm số đồng biến ,f(1)= nên x=1 là nghiệm 
VD3 : Giải phương trình:
 Đk:Viết lại phương trình dưới dạng như sau: 
Nhận thấy >0 >5
hơn nữa hàm g(x)=, h(x) = dương đồng biến với x>5 mà f(7) =4 nên x=7 là nghiệm .
VD 4 : Giải phương trình ( ĐH Ngoại thương 2000)
Lg: Đặt f(x) =,.
Ta có 
Vậy f(x) đồng biến với ,f(-1) =0 nên x=-1 là nghiệm 
VD5: Giải phương trình : (3)
Lg:Trước khi vận dụng phương pháp hàm số ,ta xét cách giải sau của Thầy :
 Nguyễn Tất Thu Gv THPT Lê Quý Đôn –Biên Hoà đồng Nai 
 (Đăng trên báo toán học và tuổi trẻ với chủ đề :Giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp đánh giá)
Viết lại phương trình dưới dạng 
Nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm thoả mãn 3x.(2x+1)<0 hay . Nhận thấy nếu 3x= -(2x+1) thì hai vế của phương trình bằng nhau .Vậy là nghiệm của phương trình .Hơn nữa ta thấy nghiệm 
Ta chứng minh là nghiệm duy nhất .
 Với nên ta có 
hay suy ra phương trình vô nghiệm trên khoảng .
 Với làm tương tự như trên ta thấy phương trình vô nghiệm trên Vậy nghiệm của phương trình là 
Cách giải trên sử dụng phương pháp đoán nghiệm và chứng minh nghiệm duy nhất 
Ta xét cách giải khác sau bằng phương pháp hàm số 
 Viết lại phương trình dưới dạng: 
Xét hàm số f(t)= hàm số luôn đồng biến 
Do đó (3)f(3x)=f 3x=-2x-1 x=
Bình luận : Qua hai cách giải trên chắc các thầy cô đều đồng ý với tôi là cách giải thứ hai hay và tự nhiên hơn rất nhiều so với cách giải đầu .Tôi đã kiểm nghiệm phương trình này trên hai lớp ôn thi đại học và không có học sinh nào giải theo cách giải của thày Thu vì nó thiếu sự tự nhiên không có ‘ Manh mối ’ để tìm lời giải . Đây là bài toán khó đối với học sinh,các em rất khó khăn trong việc sử dụng các phương Pháp khác để giải phương trình này .Vì vậy việc bồi dưỡng cho học sinh năng lực tư duy hàm là một việc làm rất cần thiết của người thày .Từ đó hình thành ở học sinh Tư duy linh hoạt trong giải toán ,để học sinh có đủ ‘sức đề kháng’ trước các bài toán lạ.
VD6 :Giải phương trình :(1)
Lg:Biến đổi (1) (*)
Xét hàm số f(t)= ;f’(t)=hàm số đồng biến trên 
 (*) f(2x3-3x+1)=f(x2+2)2x3-3x+1= x2+2(2x+1)(x2-x-1)=0 
VD7: Giải phương trình 
Lg: Ta có (*)
Xét hàm số f(t) = dễ thấy hàm số f(t) đồng biến trên 
nên (*) f(2x2)=f(x+1) 2x2=x+1x=1 hoặc x=
VD8: Giải phương trình 
Lg: Biến đổi phương trình tương đương với 
 (*)
Xét hàm số f(t)=t3+t dễ thấy f(t) đồng biến nên 
(*)f()=f(2x) (1)
Nếu |x|>1 thì ||=|x||| > (1) vô nghiệm 
Nếu đặt x=cost phương trình trở thành 
 4cos3t-3cost = cos3t = chọn các nghiệm trong khoảng ta có nghiệm từ đó suy ra các ngiệm của phương trình là :
Bình Luận: Bài toán trên được giải dựa vào tính chất sau của hàm số : f(t) đơn điệu thì f(t1)=f(t2) t1=t2 . Tuy nhiên mỗi bài toán trước khi áp dụng được tính chất trên vào giải phương trình thì người giải toán cần phải biến đổi ,lột bỏ được cái nguỵ trang của bài toán ,đưa về dạng thích hợp có lợi cho việc sử dụng công cụ giải toán .Muốn làm tốt được điều đó người thầy phải thường xuyên chú trọng việc bồi dưỡng tư duy hàm cho học sinh 
VD9: Giải phương trình 
Lg: xét f(x)= 
Nếu Vì vậy đều không là nghiệm. 
Nếu 
Vậy f(x) đồng biến khi ,f(1)=0
Nên x=1 là nghiệm duy nhất của phương trình 
VD10 : Giải phương trình: 
x
-¥
 0
x0 
1
+¥
f ¢
 -
0
+
f
¦(x0)
Đặt với Þ 
Ta có: . Nhìn 
bảng biến thiên suy ra: Þ Phương trình có nghiệm duy nhất x = 3
VD 11 : Giải phương trình sau: 	 (1)
Lg: Xét phương trình 
Tập xác định: D = R. Đặt f(x) = 
Ta có: 
Suyra hàm số f(x) đồng biến trên tập M=
Ta thấy f(-1)=0 Þ x=-1 là một nghiệm của (1). Ta có: 
Ta có bảng biến thiên của hàm số f(x):
x
 -∞ -1 +∞ 
f’(x)
 ÷ú ÷ú ÷ú 
F(x)
 +∞
 0 3 
 -∞ -3 
Từ bảng biến thiên ta thấy f(x) = 0 Û x = -1.vậy phương trình đã cho có duy nhất 1 nghiệm 
Bình luận: Nhiều phương trình vô tỷ được giải nhờ vào việc đặt ẩn phụ thích hợp sau đó đưa về hệ phương trình ,từ đó vận dụng hàm số để giải .
 VD12: Giải phương trình : 
 Lg: Đặt y = 
Ta có 
Xét hàm số f(t)=t3+t, f’(t)=3t2+1>0 hàm số đồng biến .nên ta có y=x+1
Bình Luận: Một trong những ứng dụng mạnh và lý thú của hàm số là vận dụng vào việc tìm Đk của tham số để phương trình có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trước.Đây cũng là một trong những dạng toán quen thuộc mà học sinh hay gặp. 
VD 13 ( ĐH KA-08): Tìm m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt 
Lg: Đặt f(x) = ,
	Nhận thấy hai số hạng của f’(x) cùng dấu với nhau nên f’(x) =0 khi 6-2x=2x hay x=2
 Bảng biến thiên : 
 x 0 2 6
 f’(x) + 0 -
 f(x) 
 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình có hai nghiệm thực phân biệt khi 
Bình luận Đây là bài toán khó về ứng dụng của hàm số trong việc giải phương trinh.Việc tính đạo hàm đã gây nhiều khó khăn cho học sinh,nhưng việc xét dấu của dạo hàm còn phức tạp hơn .Mặt khác bài toán đòi hỏi học sinh phải có kiến thức và kỹ năng vững vàng mới giải được .Đây là câu khó khăn nhất của đ Khối A năm 2008. Ta xét thêm một số ví dụ khác .
VD 14 : Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt dương
 =m
Lg: Đặt y= ta có 
 Lại có g(x) nghịch biến với x>0 ; g(3)=1 nên x=3 là nghiệm duy nhất 
 mà 
vì vậy ta có bảng biến thiên sau 
X
 0 3 + 
y’
 - 0 +
y
+ + 
 Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình có hai nghiệm dương phân biệt m>
 Bình Luận : Bài toán trên khó khăn cho học sinh không chỉ ở công đoạn tính đạo hàm mà còn gây khó khăn cả trong việc giải phương trình y’ =0 và xét dấu của đạo hàm .Để giải được phương trình y’=0 và xét được dấu đạo hàm ở bài toán trên có sự phục vụ rất lớn của đạo hàm .Ta có thể tiếp cận bài toán trên theo cáh khác như sau :
,
 Lại có theo bất đẳng thức Bunhiacopki
Dấu = xảy ra khi Từ 
Theo bất đẳng thức cô si ta có Dấu bằng khi x=3
từ đó ta có 
Lập bảng biến thiên ta được kết quả như trên 
Bình Luận :Cách giải này giúp học sinh không phải tính đạo hàm và xét dấu của đạo hàm nhưng lại gặp khó khăn trong việc lựa chọn điểm rơi trong bất dẳng thức Cô si và Bunhia .Để luyện tập học sinh có thể làm bài tập tương tự :
Tìm m để phương trình sau có đúng một nghiệm dương =m
Nhận xét :Khi sử dụng tính đơn điệu của hàm số vào giải phương trình, học sinh cũng hay mắc sai lầm trong việc kết luận về tổng,tích hai hàm đồng biến... Ta xét thêm một ví dụ khác 
VD15: Tìm m để phương trình sau có nghiệm 
Lg: Đk : 
Viết lại phương trình dưới dạng: 
()( ) =m
Xét hàm số f(x) =()( )
Ta có h(x) = >0 và đồng biến trên 
 g(x)= 
có g’(x) = >0 với nên hàm số đồng biến trên , hơn nữa g(x) >0 với 
vì vậy f(x) =h(x)g(x) đồng biến trên .vì vậy phương trình có nghiệm khi 
	Bình Luận:Khi hướng dẫn học sinh vận dụng tính chất của hàm số vào giải phương trình người thầy cũng cần lưu ý học sinh:Khi xét trên tập D thì tích của hai hàm đồng biến (Nghịch biến )chưa chắc là hàm đồng biến (nghịch biến) chỉ có tích của hai hàm đồng biến (nghịch biến ) dương mới là hàm số đồng biến (nghịch biến ).
 VD16: Tìm m để phương trình sau có nghiệm 
 (1)
Lg: Điều kiện 
Phương trình 
 (2) Vì 
Nên ta đặt Với 
Khi đó (2) trở thành: (3)
(1) có nghiệm(3) có nghiệm t có 
Bình luận : Giáo viên nên giải thích tại sao ta đặt ? 
xuất phát từ vấn đề lượng giác hoá: ta đặt 	
 tiếp tục đặt 
VD 17 Tìm m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt
Nhận xét: Bài toán trên có thể giải bằng phương pháp thông thường là đặt ẩn phụ t = sau đó chuyển về bài toán tìm điều kiện của tham số đẻ phương trình có nghiệm thoả mãn diều kiện cho trước .Tuy nhiên cách đặt ẩn phụ đó thường phải quy về giải bằng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai.Định lý này trong chương trình sách giáo khoa mới đã giảm tải .Vì vậy phương pháp hàm số là sự lựa chọn thích hợp nhất cho dạng toán này
Lg: Đặt f(x)= 
Mà >0 nên f’(x)=07-2x=0x=
Bảng biến thiên 
 x -1 7/2 8
 f’(x) + 0 -
 f(x) 3 3 
 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy 
Bình luận :
- Qua bài toán trên ta thấy việc xét được dấu của đạo hàm là mộ t khâu quan trọng trong ứng dụng của hàm số ,đòi hỏi người giải toán phải rất linh hoạt trong biến đổi .
 - Ngoài cách trên học sinh còn có thể đề cập đến phương pháp lượng giác hoá như sau: Đk: :Nhận xét đặt 
Phương trình (1) trở thành 3sinu+3cosu+9sinucosu=m
Đặt t=sinu+cosu suy ra t2=1+2sinucosu 
Bài toán quy về tìm m để phương trình 9t2 +6t -9=2m có hai nghiệm thực 
Xét hàm số f(x)= 9t2 +6t -9 trên D= ,f’(t)=18t+6>0 trên 
Minf(t)=f(1)=6,Maxf(t)=f()=9+.Từ đó suy ra phương trình có nghiệm khi 
 Một số bài toán phải sau quá trình biến đổi như đặt ẩn phụ thích hợp mới sử dụng được phương pháp hàm số . Ta xét ví dụ sau :
VD18 :( ĐHKA-07) Cho phương trình . (1)
Tìm m để phương trình sau có nghiệm 
Lg: Đk (1) 
Đặt t=>0,vì 
Bài toán trở thành tìm m đẻ hệ phương trình sau có nghiệm 
Ta có f’(t)=-6t+2, f’(t)=0 t=
Bảng biến thiên 
 t 0 1
 f’(t) + -
 f(t) 0 -1 
 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình có nghiệm khi 
 Bình luận :- Đối với các bài toán có chứa tham số :Khi đặt ẩn phụ ta phải chọn điều kiện nghiêm ngặt cho ẩn phụ .Khi đó ta mới xét được một hàm số xác định trên một miền xác định . Từ đó tìm được điều kiện cho tham số thoả mãn yêu cầu đã cho của đề bài 
 -Việc lựa chon ẩn phụ như trên cũng không bắt buộc ,ta có thể đặt như sau:
 Đặt t=, tuy nhiên lúc đó điều kịên của ẩn phu sẽ thay đổi theo 
 Từ đó ta lại được một hàm số mới vớí tập xác định tương ứng .
 - Một số phương trình sau khi đặt ẩn phụ thì việc tìm được điều kiện chuẩn cho ẩn phụ đôi khi lại phải dùng đến việc khảo sát hàm số .Ta xét bài toán sau: 
VD19: Tìm giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng 2nghiệm dương
 ( ĐH GTVT-2001) (1)
Lg: Đặt t=, t’(x)=
 Bảng biến thiên
 x 0 2 
 t’(x) - 0 +
 t(x) 1 
 (1) f(t) =t2+t-5=m Nhận thấy với mỗi t thì phương trình (1) có 2nghiệm x>0.Bài toán quy về Tìm m để phương trình t2+t-5=m có nghiệm t
Ta có f’(t)=2t+1>0 t nên hàm số đồng biến .Ta có bảng biến thiên
 t 1 
 f’(t) +
 f(t) -3
Từ bảng biến thiên ta có 
VD 20 ( ĐH A-06):Chứng minh rằng với mọi tham số m dương thì 
 phương trình sau luôn có hai nghiệm thực phân biệt (1)
Lg: Do m>0 nên x (1) 
Ycầu bài toán quy về chứng minh phương trình (*) có nghiệm trong 
Xét f(x)= với x>2, f’(x)=3x2+12x>0 
Bảng biến thiên 
 x 2 
 f’(x) +
 f(x) 0 
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy với m>0 (1) luôn có 1 nghiệm x>2 .
VD21 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm 
 (*)
Lg: , Đk 
 =x2-6x+9 , Xét hàm số 
Bảng biến thiên 
 x -3 4 
 f’(x) - 0 +
 4 
 f(x) 3 
Bình luận: Với cách làm như trên có thể giải quyết nhiều câu hỏi khác nhau của bài toán. Như tìm điều kiện của m để pt có 1 nghiệm ,vô nghiệm ,2 nghiệm ...
VD 22 : Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt 
 (ĐHKB-06) (*)
Lg: (*) 
Nếu x=0 thì m=0
 Nếu m = 
 Nên g(x) luôn đồng biến .Ta có bảng biến thiên sau 
 x -1/2 0 
 g’(x) + +
 g(x) 9/2 
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình có hai nghiệm khi 
2.3. Hiệu quả:
Cụ thể ở các lớp khối 12 sau khi áp dụng sáng kiến này vào giảng dạy thì số HS hiểu và có kỹ năng giải được cơ bản các dạng toán nói trên, kết quả qua các bài kiểm tra thử như sau :
Năm học
Lớp
Tổng số
Điểm 8 trở lên
Điểm từ 5 đến 8
Điểm dưới 5
Số lượng
Tỷ lệ
Số lượng
Tỷ lệ
Số lượng
Tỷ lệ
2017-2018
12A1
38
7
18 %
20
53 %
11
29 %
2018-2019
12A1
39
11
28 %
22
57 %
6
15 %
 Như vậy tôi thấy phương pháp có hiệu quả tương đối. Đặc biệt đối với nhóm học sinh khá khi được tiếp cận đề tài này các em thể hện sự hào hứng rõ rệt trong học tập. Theo tôi khi dạy phần toán giải phương trình vô tỉ giáo viên cần chỉ rõ các dạng toán và cách giải tương ứng để học sinh nắm được bài tốt hơn.
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận:
Trên đây là những giải pháp mà tôi đúc rút được trong suốt quá trình giảng dạy tại trường PT Nguyễn Mộng Tuân.
Phương trình vô tỉ là một nội dung quan trọng trong chương trình môn toán lớp 10 nói riêng và bậc THPT nói chung. Nhưng đối với học sinh lại là một mảng tương đối khó, đây cũng là phần nhiều thầy cô giáo quan tâm. 
Đề tài của tôi đã được kiểm nghiệm trong các năm học giảng dạy lớp 12, được học sinh đồng tình và đạt được kết quả, nâng cao khả năng giải phương trình vô tỉ. Sau khi học sinh được trang bị kiến thức về ứng dụng của đạo hàm để xét tính đơn điệu của hàm số, giáo viên cho học sinh áp dụng để giải quyết một loạt các bài tập phương trình vô tỷ mà với phạm vi kiến thức lớp 10 các em gặp khó khăn. Các em hứng thú học tập hơn, ở những lớp có hướng dẫn kỹ các em học sinh với mức học trung bình khá trở lên đã có kỹ năng giải các bài tập. Học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt
Mặc dù cố gắng tìm tòi, nghiên cứu song chắc chắn còn có nhiều thiếu sót và hạn chế. Tôi rất mong được sự quan tâm của tất cả các đồng nghiệp bổ sung và góp ý cho tôi. Tôi xin chân thành cảm ơn.
 3.2. Kiến nghị và đề xuất: 
- Đề nghị các cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh và giáo viên có nhiều hơn nữa tài liệu sách tham khảo đổi mới và phòng thư viện để nghiên cứu học tập nâng ca