Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức trong chương trình Đại số lớp 9

MỤC LỤC
MỤC LỤC...... 1
1. MỞ ĐẦU.... 2
1.1. Lý do chọn đề tài .... 2
1.2. Mục đích nghiên cứu ....... 2
1.3. Đối tượng nghiên cứu .......... 2
1.4. Phương pháp nghiên cứu ......... 2
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ....... 3
2.1. Cơ sở lý luận ......... 3
2.2.Thực trạng vấn đề ........... 3
2.3. Giải pháp và tổ chức thực hiện ........ 4 
2.3.1. Nội dung ....... 4
2.3.2. Một số kiến thức về bất đẳng thức..... 4
2.3.3. Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức ...... 5
2.3.4. Một số ứng dụng của bất đẳng thức ......... 14
2.4. Hiệu quả của SKKN .......... 17
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ .... 18
TÀI LIỆU THAM KHẢO ...... 19
1. MỞ ĐẦU:
1.1. Lý do chọn đề tài: 
	Trong chương trình toán học THCS, bất đẳng thức đóng một vai trò quan trọng.Theo Ăngghen thì toán học nghiên cứu những mối quan hệ số lượng và hình dạng không gian của thế giới khách quan. Quan hệ lớn hơn hoặc nhỏ hơn giữa hai số, giữa hai đại lượng là một quan hệ số lượng rất cơ bản, điều đó nói lên vai trò của bất đẳng thức.Trong chương trình toán học trung học cơ sở, bất đẳng thức là một trong những kiến thức cơ bản, xuyên suốt toàn bộ chương trình thể hiện ở chỗ: Ngay bậc tiểu học, học sinh đã làm quen với bất đẳng thức một cách không tường minh. Lên THCS học sinh được học thêm các kiến thức về bất đẳng thức và các phương pháp chứng minh chúng.Trong chương trình toán học trung học cơ sở bất đẳng thức được đưa vào rất ít, song trong các kỳ thi học sinh giỏi toán và thi cấp 3 thì những bài toán về bất đẳng thức lại là những bài toán khó đối với học sinh. Có thể nói chứng minh bất đẳng thức là phần gây cho học sinh nhiều lúng túng và bối rối.
	Tuy nhiên các phương pháp chứng minh bất đẳng thức lại rất đa dạng, phong phú và độc đáo, chủ yếu dựa vào đặc thù của từng bất đẳng thức, điều đó không gây cho học sinh sự nhàm chán. Mặt khác, nhờ việc chứng minh một bất đẳng thức đơn giản mà có thể pháp hiện ra được nhiều bất đẳng thức hay và đẹp. Do đó, bất đẳng thức cũng tạo cho học sinh nhiều điều ngạc nhiên và thú vị, giúp học sinh đến thích thú các bài toán bất đẳng thức nói riêng và say mê toán học nói chung. Vì thế việc luyên tập về chứng minh bất đẳng thức là cần thiết.
Với các lý do trên, tôi chọn đề tài “ Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức trong chương trình đại số lớp 9”
1.2. Mục đích nghiên cứu: 
Thông qua đề tài tôi muốn trao đổi thêm về các phương pháp giảng dạy bất đẳng thức để có hiệu quả giảng dạy cao nhất.
Giúp cho học sinh có hướng suy nghĩ tìm tòi lời giải trong bài toán chứng minh bất đẳng thức nhằm dần hình thành khả năng phân tích, tổng hợp kiến thức, giúp phát triển tư duy và rèn kỹ năng tự học cho học sinh.
1.3. Đối tượng nghiên cứu: Học sinh khối 9 môn đại số 9 
	1.4. Phương pháp nghiên cứu: Phương pháp xây dựng cơ sở lý thuyết, Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, Phương pháp thu thập thông tin, Phương pháp thống kê xử lí tài liệu.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
2.1. Cơ sở lí luận:
	Xuất phát từ nhu cầu thực tiễn nhằm nâng cao mặt bằng dân trí, đồng thời tạo điều kiện thuận lợi góp phần hình thành và phát triển các yếu tố cơ bản về phẩm chất và năng lực của người lao động mới. Tạo nguồn lực đáp ứng kịp thời sự phát triển của đất nước, đồng thời đưa nền giáo dục của nước nhà lên một vị trí mới hoà nhập với xu thế phát triển giáo dục của thế giới. Bộ giáo dục và đào tạo đã thực hiện đổi mới có tính chất đồng bộ về mục tiêu, nội dung, phương pháp, cách thức tổ chức kiểm tra đánh giá trong quá trình dạy học, thể hiện qua việc đổi mới chương trình, sách giáo khoa. Nhưng để thực hiện tốt công tác này thì vấn đề đổi mới phương pháp dạy và học là hết sức quan trọng, điều này đã được NQ-TW4 khoá VII và NQ-TW2 khoá VIII khẳng định và chỉ rõ :
	“Đổi mới mạnh mẽ phương pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp tư duy sáng tạo của người học. Từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến và phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, đảm bảo điều kiện, thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh”
	Những năm gần đây định hướng đổi mới phương pháp đã được thống nhất theo tư tưởng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh dưới sự tổ chức hướng dẫn của giáo viên.Do vậy vai trò giảng dạy của giáo viên lúc này rất quan trọng. Giáo viên là người hướng dẫn, phân tích giúp học sinh tìm ra cách giải. 
 	Vì vậy làm thế nào để định hướng cho học sinh có thể chứng minh một bài toán bất đẳng thức và tìm GTLN và GTNN. Mặt khác còn rèn luyện cho học sinh đức tính tự lập, sáng tạo, làm việc có kế hoạch và có hứng thú học tập.
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng SKKN: 
a. Thuận lợi
	- Hiện nay đời sống kinh tế được nâng cao rõ rệt, phần lớn các bậc phụ huynh đều quan tâm đến việc học hành của con em mình. Đa số các bậc phụ huynh nhận thức được tầm quan trọng của việc học môn Toán.
	- Được sự quan tâm của các cấp uỷ Đảng và chính quyền địa phương, đặc biệt là Ban giám hiệu nhà trường nên hoạt động dạy và học toán trong nhà trường diễn ra thuận lợi, đạt kết quả cao. Giáo viên được trang bị đầy đủ phương tiện phục vụ dạy học như : máy vi tính, máy chiếu đa năng, camera vật thể,...
	- Học sinh có đầy đủ sách giáo khoa, sách tham khảo.... Học sinh trung học cơ sở đa phần sử dụng được Internet để cập nhật tri thức.
b. Khó khăn
Qua tìm hiểu, khảo sát tình hình thực tế tôi thấy rằng :
- Việc tìm ra lời giải cho một bài toán CM bất đẳng thức là khá khó khăn cho học sinh,mặc dù trong quá trình giảng dạy giáo viên đã cố gắng hướng dẫn, rèn luyện các kỹ năng cần thiết. Do vậy một vấn đề cần thiết là định hướng kiến thức.
- Các bài toán bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN xuất hiện nhiều trong thi vào cấp 3, thi học sinh giỏi. Tuy nhiên cả giáo viên và học sinh rất nhiều khó khăn
2.3. Giải pháp và tổ chức thực hiện:
2.3.1. Nội dung:
Khi gặp bài toán chứng minh bất đẳng thức thì có rất nhiều cách giải khác nhau. Trong đề tài này tôi lựa chọn và đưa ra một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức đó là những phương pháp sau:
- Phương pháp dùng định nghĩa và biến đổi tương đương.
- Phương pháp chứng minh phản chứng
- Phương pháp làm trội, làm giảm
- Phương pháp sử dụng các bất đẳng thức đã biết
Ngoài ra còn có một số bài toán chứng minh bất đẳng thức mà phải kết hợp nhiều phương pháp khác nhau.
2.3.2. Một số kiến thức về bất đẳng thức.
a. Một số định nghĩa:
Định nghĩa 1:
- Số thực a gọi là lớn hơn số thực b, ký hiệu a > b, nếu a - b là một số dương tức là a - b >0. Khi đó ta cũng ký hiệu bba-b>0.
- Nếu a>b hoặc a=b Ta viết ta có 
Định nghĩa 2:
Các mệnh đề “a>b”, “”,””,”” được gọi là các bất đẳng thức.
- Trong bất đẳng thức a>b ( Hoặc ,,) a gọi là vế trái, b được gọi là vế phải của bất đẳng thức.
- Các bất đẳng thức “a>b”, “c>d” (Hoặc “ab”, “c<d” gọi là hai bất đẳng thức trái chiều.
- Xét hai bất đẳng thức “a>b”, “c>d”. Nếu ta có “a>b” “c>d” ta nói bất đẳng thức “c>d”là hệ quả của bất đẳng thức “a>b”,
Nếu “a>b Ta nói hai bất đẳng thức “a>b” và “c>d” là hai bất đẳng thức tương đương.
b. Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức.
Với 
Tính chất 1: ( a>b và b>c) a>c
Tính chất 2: a>ba+c>b+c. Hệ quả a>b+c
Tính chất 3:
Chú ý: Không có quy tắc trừ hai vế bất đẳng thức cùng chiều
Tính chất 4: a>b 
Tính chất 5: 
Chú ý: Không có quy tắc chia hai vế bất đẳng thức cùng chiều
Tính chất 6: a>b>0
Tính chất 7: 
2.3.3. Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
Phép lập luận nhằm chứng tỏ một bất đẳng thức nào đó là đúng gọi là phép chứng minh bất đẳng thức ấy. Phương pháp chứng minh bất đẳng thức rất đa dạng, chủ yếu phụ thuộc vào đặc thù của từng bất đẳng thức. Sau đây là một số phương pháp để chứng minh bất đẳng thức.
a.Phương pháp sử dụng định nghĩa và phép biến đổi tương đương.
Hai bất đẳng thức gọi là tương đương nếu bất đẳng thức này đúng thì bất đẳng thức kia đúng và ngược lại.
Phép biến đổi được gọi là tương đương nếu nó biến đổi một bất đẳng thức thành bất đẳng thức tương đương với nó.
Chứng minh bất đẳng thức bằng định nghĩa là: Nếu chứng minh đề A>B ta đưa về chứng minh mệnh đề A-B>0. Ta cần chứng minh đó là một mệnh đề đúng.
Chứng minh bất đẳng thức bằng phép biến đổi tương đương là biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh thành một bất đẳng thức tương đương mà đã biết đúng hoặc đã được chứng minh là đúng, hoặc biến đổi những bất đẳng thức đúng đã biết thành bất đẳng thức cần chứng minh.
Bài toán 1: . Chứng minh rằng: 
Giải : Xét: 2(
 = (
	 = ++
 2( 
 Dấu “=” xảy ra khi a=b=c
Nhận xét: Từ bài toán trên bằng cách tương tự ta cũng chứng minh được:
Hay tổng quát: , 
Bài toán 2: Cho và .Chứng minh rằng: 
	 (2)
Giải: (2) 
	 (2’)
Vì 
Nhận thấy (2’) đúng a,b,c thỏa mãn
 Vậy (2) đúng . Dấu “=” xảy ra khi: 
Bài toán 3: Cho a,b,c Chứng minh rằng: 
a. (4)
b. 
Giải: a. (4) 
 ( 4’)
Vì a,b và ( 4’) đúng khi( 4)đúng
Dấu “=” xảy ra khi a=b
b. Áp dụng câu a. Ta có: 
 a,b,c 
Dấu “=” xảy ra khi a=b=c
Chú ý: Từ a,b ta có bài toán tổng quát sau:
Cho (n thì: 
Mặt khác, ta cón có: (n thì: 
Ta có thể chứng minh bất đẳng thức trên bằng cách áp dụng câu a, cho hai số một, cho đến n số; hoặc chứng minh bằng phương pháp quy nạp ( sẽ được đề cập ở phần sau) hoặc sử dụng phương pháp chứng minh dựa vào các bất đẳng thức đã biết.
Bài tập:
1. Chứng minh rằng với 5 số a,b,c,d,e bất kỳ bao giờ ta cũng có:
Hãy mở rộng với số mũ là 4, 8, 16
2. a. Cho a, b>0. Chứng minh rằng: 
b. Hãy tổng quát bài toán.
b. Phương pháp chứng minh phản chứng:
Phương pháp chứng minh phản chứng là phương pháp mà: Để chứng minh bất đẳng thức A>B, ta giả sử A và suy ra điều vô lý . Vậy ta có A>B
	Điều vô lý có thể là điều trái với giả thiết , là điều trái với điều đúng hoặc có thể điều vô lý là do chỉ ra hai điều trái ngược , mâu thuẩn với nhau.
 	Sau đây là một số bài toán chứng minh bất đẳng thức bằng phản chứng
Bài toán 4. Cho các số thỏa mãn hệ thức:
 Chứng minh rằng ít nhất một trong hai bất đẳng thức sau đây là đúng: ; ;
Giải: Giả sử cả hai bất đẳng thức trên đều sai, tức là:
; 
 theo giả thiết 
Nên 
Điều này vô lý với vậy ít nhất một trong hai bất đẳng thức trên là đúng
Nhận xét: Từ bài toán trên ta có thể mở rộng để được bài toán sau: 
1. Cho các số thỏa mãn 
Chứng minh rằng ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là đúng:
 ; ;
2. Tổng quát: Cho các số () Thỏa mãn:
 Chứng minh rằng ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là đúng ()
Bài toán 5. Cho a,b,c Chứng minh có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau đây là sai:; ; 
Giải: Giả sử tất cả các bất đẳng thức trên đều đúng tức là:
; ; 
 (6’)
Mà ta có: 
 (6’’)
Nhận thấy (6’) và (6’’) Mâu thuẫn với nhau.
Vậy có ít nhất một trong các bất đẳng thức trên là sai
Chú ý: Bằng cách tương tự ta cũng chứng minh được bài toán: 
Cho a,b,c Chứng minh có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau đây là sai:; ; 
Có thể mở rộng bài toán trên để được bài toán mới cũng chứng minh tương tự :
a,b,c . Chứng minh có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau đây là sai:; ; 
Hơn nữa ta còn có: Cho có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai:; ; .....; 
Bài toán 6. Nếu thì ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm: (1)
 (2)
Giải: Giả sử cả hai phương trình trên đều vô nghiệm ta có:
Từ (1) 
Từ (2) 
Theo giả thiết 
Nên ta có: 
(vô lý).Vậy có ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm.
Nhận xét: Từ bài toán trên ta có bài toán tổng quát sau:
Cho Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm: và 
Bằng cách chứng minh tương tự ta hoàn toàn có thể chứng minh được bài toán này.
Bài tập: 
1. Cho Chứng minh rằng có ít nhất một trong 3 số a(1-b); b(1-c); c(1-a) không vượt quá .
2. Cho a,b,c >0 và abc=1 . Chứng minh: a+b+c.Hãy tổng quát bài toán
c. Phương pháp làm trội, làm giảm.
 Phương pháp làm trội, làm giảm ( Hay còn gọi là phương pháp ước lượng hoặc đánh giá phần tử đại diện) là phương pháp dùng các tính chất của bất đẳng thức để đưa bất đẳng thức cần chứng minh về dạng tính được tổng hữu hạn.
Phương pháp tính tổng hữu hạn: Giả sử tính tổng: .
Ta biểu diễn số hạng tổng quát về hiệu của hai số hạng liên tiếp nhau Khi đó:
* Phương pháp làm giảm, làm trội: là phương pháp để chứng minh:
Ta sử dụng các bất đẳng thức phụ: () mà và sau ra .Sau đây là một số bài toán:
Bài toán 7: Cho a>0; b>0; c>0; d>0 Chứng minh rằng:
a. 
b. 
Giải: 
a.Với a>0; b>0; c>0; d>0 ta luôn có:
Cộng vế với vế của các bất đẳng thức kép trên ta có
Hay 
b. Với a>0; b>0; c>0; d>0 ta luôn có:
Cộng vế với vế của các bất đẳng thức kép trên ta có: 
Nhận xét: Từ bài toán ở câu b, có thể mở rộng được bài toán sau:
 Cho () (n) Chứng minh rằng:
Bài toán này được chứng minh tương tự bài toán trên.
Bài toán 8 : Chứng minh rằng: (
Giải: Ta có (
 ; ; ... ; 
Từ đó ta có: 
Chú ý: Từ bài toán suy ra: 
Từ đó mở rộng bài toán sau đây: .Chứng minh: 
Nhận xét: Bài toán trên đã đưa về dạng tính được tổng hữu hạn của bất đẳng thức cần chứng minh.
d. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức đã biết
* Sử dụng bất đẳng thức Cauchy ( Côsi)
Cho là các số không âm. Ta luôn có:
. Dấu “=” xảy ra khi 
Đây chính là bất đẳng thức Côsi
Bài toán 9. Chứng minh: a. Với mọi a, b>0 ta có: 
 b. Với mọi a, b>0 ta có: 
Giải: a. áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
 và 
Dấu “=” xảy ra khi 
b. áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
 và 
Dấu “=” xảy ra khi 
Nhận xét: Bằng cách làm tương tự như vậy ta cũng có: 
 () thì:(
Dấu “=” xảy ra khi 
Từ câu a , suy ra: và 
Đó là các dạng suy biến của bất đẳng thức Côsi.
Bài toán 10. Cho a, b,c>0 Chứng minh rằng: 
a. 
b. 
Giải: 
a. 
Đúng ( theo bài 14)
b. 
 VT = 
 = 
 = ( Theo câu a)
Vậy: 
* Sử dụng bất đẳng thức Bunnhiacôpxki.
Cho 2n số thực , Ta luôn có:
Dấu “=” xảy ra khi hoặc 
(Quy ước: Nếu mẫu bằng 0 thì tử bằng 0)
Bất đẳng thức trên gọi là bất đẳng thức Bunnhiacôpxki
Bài toán 11. a, b,c>0 Chứng minh rằng: 
a. 
b. 
Giải:a.Áp dụng bất đẳng thức Bunnhiacôpxki cho 2 bội số:
 và Ta có: 
 a, b,c>0 
b. Áp dụng bất đẳng thức Bunnhiacôpxki cho 2 bội số:
 và Ta có: 
Ta có: 
Mặt khác: 
Dấu “=” xảy ra khi 
2.3.4. Một số ứng dụng của bất đẳng thức
a) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Ví dụ 1: Xét các số x, y , z thỏa mãn và Tìm giá trị nhỏ nhất của: ; ;;
Giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunnhiacôpxki ta có: 
 Nên A
Dấu “=” xảy ra khi 
Vậy: minA
Tiếp tục ta có: 
 Dấu “=” xảy ra khi 
Vậy: minB
Ta có: 
 =
 = 
Dấu “=” xảy ra khi 
Vậy: minC
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: 
Giải: Tập xác định D=R
Xét y -1=0y=1 ta có x= -1
Xét y Vì phương trình (*) có nghiệm x nên hay
Kết hợp các điều kiện ta có Maxy=2 khi 
 Miny= khi x=3
b) Giaỉ phương trình,bất phương trình và hệ phương trình:
Ví dụ 3:Giaỉ phương trình: 4+=2
Giải: Điều kiện 
Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:
 Dấu “=” xảy ra khi x=3
 Dấu “=” xảy ra khi y=7
 Dấu “=” xảy ra khi z=14
Vậy: 
Dấu “=” xảy ra khi x=3, y=7, z=14
Tức là phương trình: Có nghiệm duy nhất x=3, y=7, z=14
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình: 
Giải: Giả thiết là nghiệm của hệ phương trình thì 
Từ (1) và (2) 
Theo bất đẳng thức Côsi ta có: 
 Vô lý. Vậy giả thiết hệ có nghiệm là sai. Do đó hệ vô nghiệm.
Ví dụ 4: Giải bất phương trình: 
Giải: Theo bất đẳng thức Bunnhiacopxki ta có:
Do đó bất phương trình :
 Vậy nghiệm của phương trình x=5
2.4. Hiệu quả của SKKN:
Qua việc hướng dẫn học sinh làm bài tập cho thấy phần kiến thức về đề tài là phần kiến thức mở do giáo viên đưa vào cuối các giờ luyện tập, hoặc giờ tự chọn nên nội dung đối với học sinh còn phức tạp, khó hình dung. Vì vậy cần đưa kiến thức cho học sinh làm từ dễ đến khó, kết hợp ôn tập, giao bài tập về nhà, kiểm tra học sinh ...
Sau khi hướng dẫn nội dung chuyên đề cần chỉ cho học sinh những kiến thức cần thiết, đồng thời rèn luyện những kỹ năng lam bài tập cho học sinh. Cần đưa nội dung vào giờ dạy cho phù hợp, tránh dồn ép học sinh tiếp nhận kiến thức một cách thụ động mà kết quả không mong muốn. Sau khi áp dụng các kết quả trên vào giảng dạy tôi đã tập hợp kết quả của các em như sau.
Số lượng HS
Điểm giỏi
Điểm khá
Điểm TB
Điểm yếu
Điểm kém
30
5 (16,7%)
8 (26,6%)
12 (40 %)
5 (16,7%)
0
Nhìn vào bảng trên ta có thể thấy học sinh đã xác định được loại toán và cách làm, nhiều em học sinh đã làm được các bài tập về bất đẳng thức và có hứng thú hơn khi học toán. Qua đó tạo cho học sinh sự chủ động, tự tin, say mê, yêu thích môn học.
Các bài tập về bất đẳng thức là tương đối khó đối với học sinh, nhưng khi hướng dẫn xong cho học sinh xong đề tài học sinh sẽ thấy rằng việc làm bài tập về bất đẳng thức sẽ dễ hơn. Đồng thời đứng trước bài toán khó cho dù ở dạng bài tập nào học sinh cũng có hướng suy nghĩ và tập lập luận, các em sẽ có tự tin hơn. 
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ:
	3.1. Kết luận:
	Trên đây là những việc tôi đã làm trong những năm gần đây và năm học vừa qua đã thu được những kết quả nhất định. Để có được những kết quả nhất định ấy là do có sự hỗ trợ, thống nhất của các đồng chí trong nhóm, tổ chuyên môn và sự ủng hộ nhiệt thành của Ban giám hiệu nhà trường. Để vận dụng phương pháp này có hiệu quả, vào đầu năm học giáo viên cần lưu ý học sinh về phương pháp học tập bộ môn, chú trọng phương pháp chứng minh bất đẳng thức.
Khi giảng dạy các bài tập chứng minh hình học, giáo viên chú trọng hướng dẫn học sinh cách suy nghĩ tìm tòi lời giải cho một bài toán, định hướng cho học sinh cách vẽ đường phụ hợp lí; thường xuyên ra hệ thống bài tập có vẽ nhiều loại đường phụ khác nhau, có hướng dẫn cụ thể để học sinh luyện tập thêm ở nhà, giáo viên kiểm tra, sữa chữa, uốn nắn kịp thời những sai sót. Về phía học sinh, các em phải tuân theo sự chỉ dẫn của giáo viên, chú ý nắm bắt vấn đề để vận dụng có hiệu quả, thường xuyên rèn luyện để hình thành kĩ năng vẽ đường phụ giúp ích cho việc giải qyết các bài toán. Và tất nhiên trong khuôn khổ của sáng kiến không tránh khỏi những khiếm khuyết, thiếu sót, kính mong các đồng chí đồng nghiệp chỉ bảo, góp ý, đánh giá để tôi rút kinh nghiệm và bổ sung. 
	3.2. Kiến nghị:
Đề nghị nhà trường và Phòng giáo dục thường xuyên tổ chức các lớp học, các buổi hội thảo báo cáo điển hình những sáng kiến kinh nghiệm được giải nhiều hơn nữa để giáo viên học tập rút kinh nghiệm và áp dụng vào thực tế giảng dạy. Đồng thời, tăng cường hỗ trợ tài liệu, đồ dùng dạy học đặc biệt là đồ dùng công nghệ thông tin. 	
	Tôi xin chân thành cảm ơn.
XÁC NHẬN 
CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 31 tháng 3 năm 2017
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.
Lê Thị Hồng
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Sách giáo khoa Toán lớp 6, 7, 8, 9
	Tác giả : 	Phan Đức Chính (tổng chủ biên)
	Tôn Thân (chủ biên)
	Vũ Hữu Bình - Trần Phương Dung - Ngô Hữu Dũng
	Lê Văn Hồng - Nguyễn Hữu Thảo.
[2]. Sách giáo viên Toán 6, 7, 8, 9
	Tác giả :	Phan Đức Chính (tổng chủ biên)
	Tôn Thân (chủ biên)
[3]. Sách bài tập Toán lớp 6, 7, 8, 9
	Tác giả :	Tôn Thân (chủ biên)
	Vũ Hữu Bình - Trần Đình Châu - Trần Kiều
[4]. Dạy - học toán THCS theo hướng đổi mới
[5]. Tài liệu bồi dưỡng thương xuyên cho giáo viên trung học cơ sở chu kỳ III(2004 - 2007) môn Toán.
[6]. Tài liệu dạy học theo chủ đề tự chọn ở trường THCS.
[7]. Luật giáo dục năm 2005