Một số kỹ năng cơ bản tìm công thức tổng quát của dãy số trong bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán lớp 11 - Thpt

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 3
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MỘT SỐ KỸ NĂNG CƠ BẢN TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ TRONG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 11- THPT
Người thực hiện: Phạm Công Dũng
Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán
THANH HOÁ NĂM 2019
MỤC LỤC
Trang
Mục lục
1
1.Mở đầu .............................................
2
 1.1 Lý do chọn đề tài ...
2
 1.2 Mục đích nghiên cứu .
2
 1.3 Đối tượng nghiên cứu ....
2
 1.4 Phương pháp nghiên cứu .....
2
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm ....
2
 2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm .....
2
 2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm ... 
3
 2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề ..
3
 2.3.1 Kỹ năng cộng dồn vế các số hạng của dãy ..
3
 2.3.2 Kỹ năng sử dụng dãy số phụ. ..
5
 2.3.3. Kỹ năng sử dụng Quy nạp. .
14
 2.3.4. Kỹ năng sử dụng phép thế lượng giác. ..
16
 2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường ...
19
3. Kết luận, kiến nghị ..
20
 3.1 Kết luận ...
20
 3.2 Kiến nghị ..
20
Tài liệu tham khảo 
21
Danh mục các đề tài sáng kiến kinh nghiệm đã được hội đồng đánh giá xếp loại cấp phòng GD & ĐT, cấp Sở GD & ĐT và cấp cao hơn xếp loại từ C trở lên 
21
1.Mở đầu
1.1 Lý do chọn đề tài.
 Ông cha ta đã đúc kết: “Hiền tài là nguyên khí của quốc gia”. Bồi dưỡng học sinh giỏi là bước đi đầu tiên để đào tạo nhân tài cho đất nước, là nhiệm vụ quan trọng của mỗi nhà trường. Do đó hằng năm mỗi nhà trường đều có đội ngũ thầy cô giáo tham gia làm công tác bồi dưỡng học sinh giỏi, chất lượng mũi nhọn của mỗi nhà trường là tiêu chí quan trọng trong công tác thi đua giữa các trường THPT trên địa bàn tỉnh Thanh Hóa.
 Đối học sinh giỏi nói chung và học sinh giỏi môn toán nói riêng thì cần người học sinh phải có tố chất, tư duy lôgic và sáng tạo, có những kỹ năng cần thiết để xử lý những vấn đề về toán học . Hiện nay công tác bồi dưỡng học sinh giỏi cũng được nhà trường hết sức quan tâm. Trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi tại trường, gặp không ít khó khăn, đó là chất lượng đầu vào thấp, tỷ lệ học sinh đạt giải môn toán ở cấp hai hầu như không có. Trong kỳ thi học sinh giỏi lớp 11 của tỉnh Thanh Hóa cũng như các tỉnh khác có sự xuất hiện của bài toán dãy số với bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số, khiến cho học sinh lúng túng, chưa có kỹ năng giải toán. Mặt khác chuyên đề dãy số được trình bày rất hạn chế trong sách giáo khoa, với thời lượng ít, gây khó khăn cho học sinh khi tiếp cận vấn đề. Mặt khác tài liệu tham khảo về dãy số còn hạn chế, chỉ chú trọng về mặt phương pháp, chưa chỉ rõ bản chất thật sự của vấn đề, chưa chú trọng rèn luyện kỹ năng để tìm ra công thức tổng quát của dãy số. Do đó dẫn đến học sinh không nắm vũng các kỹ năng đó, dẫn đến không giải quyết bài toán được. Xuất phát từ thực trạng đó tôi đã mạnh dạn lựa chọn đề tài “ Một số kỹ năng cơ bản tìm công thức tổng quát của dãy số trong bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán lớp 11 - THPT”
1.2 Mục đích nghiên cứu :
 Mục đích nghiên cứu của đề tài để nâng cao chất lượng giảng dạy, nhất là chất lượng học sinh giỏi. Giúp các em học sinh có thể làm tốt bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp, cũng như kỳ thi THPT quốc gia sau này. Góp phần làm cho các em thấy cái hay, cái đẹp của môn toán, tạo động lực giúp các em học tốt hơn.
1.3. Đối tượng nghiên cứu .
 Đề tài nghiên cứu một số bài toán về dãy số, từ đó trang bị cho các em học sinh khá giỏi lớp 11 một số kỹ năng giải cơ bản khi tìm công thức tổng quát của dãy số trong chương trình môn toán bậc THPT. 
1.4. Phương pháp nghiên cứu
 - Phương pháp nghiên cứu lý thuyết.
 - Phương pháp điều tra tham dò khả năng làm bài tập của học sinh
 - Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin
 - Thống kê, tổng hợp, phân tích các dạng toán 
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
 Để thực hiện đề tài tác giả đã dựa trên những cơ sở lý thuyết cơ bản sau :
a) Phương pháp quy nạp toán học.
b) Cấp số cộng
- Dãy số là cấp số cộng với , trong đó là số không đổi gọi là công sai của cấp số cộng.
- Nếu dãy số là cấp số cộng thì 
- Nếu dãy số là cấp số cộng thì tổng 
c) Cấp số nhân
- Dãy số là cấp số nhân với , trong đó là số không đổi gọi là công bội của cấp số nhân.
- Nếu dãy số là cấp số nhân thì 
- Nếu dãy số là cấp số nhân với thì tổng 
d) Các công thức lượng giác và đẳng thức lượng giác
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
 Trường THPT Hậu Lộc 3 đóng trên địa bàn 6 xã vùng đồi phía tây bắc có huyện Hậu Lộc có điều kinh tế khó khăn và trình độ dân trí còn thấp, chất lượng đầu vào thấp nhất huyện, tỷ lệ học sinh khá giỏi ít. Thực trạng trong năm học 2017- 2018 bắt đầu thi học sinh giỏi khối 11 và trong đề thi thử THPT quốc gia xuất hiện một số bài toán về dãy số, khiến các em học lúng túng và không biết phải xử lý như thế nào. Nhất là những dãy số cho bởi công thức truy hồi, không thể tìm ra số hạng tổng quát được, những bài này thậm trí máy tính cầm tay cũng khó giải quyết. Trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi tôi thấy đây là phần mà các em sợ nhất, mà nó lại xuất hiện trong đề thi học sinh giỏi của tỉnh Thanh Hóa nói riêng và các kỳ thi học sinh giỏi các cấp lớp 11 nói chung . Hầu như qua các bài kiểm tra liên quan đến tìm số hạng tổng quát của dãy thì các em bỏ trống, hoặc nếu làm được chỉ những bài hết sức cơ bản. Những bài đòi hỏi tư duy và kỹ năng thì các em không xử lý được. Do đó cần tìm ra những biện pháp để giúp đỡ các em học sinh thoát khỏi nỗi sợ hải về dãy số, làm tròn trách nhiệm của mỗi người thầy cô giáo. Giúp các em tự tin hơn trong giải toán, làm cho các em đam mê học tập đạt hiệu quả cao.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
 Trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 11 về chuyên đề dãy số, tác giả đã tổng hợp được 4 kỹ năng cơ bản để giải bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số
2.3.1 Kỹ năng cộng dồn vế các số hạng của dãy 
Ví dụ 1. Cho dãy số xác định . 
Tìm số hạng tổng quát . [1]
Định hướng .
Đây là dãy số không phải là cấp số cộng và cấp số nhân thông thường. Ta thấy hệ số của các số hạng của và đều bằng nhau nên ta liên tưởng đến việc cộng dồn vế để triệt tiêu còn và .
Lời giải. Từ giả thiết đúng với mọi nên ta có
................
Cộng vế với vế ta được 
. Vậy .
Nhận xét. Nhờ cộng dồn vế mà ta đã xác định được số hạng tổng quát của dãy số một cách nhanh chóng.
Ví dụ 2. Cho dãy số xác định.
Tìm số hạng tổng quát .[1]
Định hướng .
Ta thấy hệ số của các số hạng của và đều bằng nhau nên ta liên tưởng đến việc cộng dồn vế để triệt tiêu còn và .
Lời giải. Từ giả thiết đúng với mọi nên ta có
................
Cộng vế với vế ta được 
Vậy . 
Ví dụ 3. Cho dãy số xác định . 
Tìm .[3]
Định hướng .
Ta thấy hệ số của các số hạng của , bằng nhau nhưng vai trò chưa như nhau do đó ta cần phải đưa về vai trò bình đẳng của , nên ta mũ và 
dùng kỹ năng cộng dồn vế thì bài toán được giải quyết.
Lời giải . Ta có 
...................................
. Suy ra:
. Vậy .
2.3.2 Kỹ năng sử dụng dãy số phụ.
 Lựa chọn một dãy số phụ sao cho dãy đó là một cấp số cộng hoặc một cấp số nhân. Để thực hiện điều này tác giả đã trang bị cho học sinh một số kỹ năng cơ bản để xây dựng một dãy số phụ như sau :
- Đồng nhất hệ số.
- Nâng lên lũy thừa, chia vế..
Ví dụ 1. Cho dãy số xác định. 
Tìm số hạng tổng quát .[1]
Định hướng 
Đây là dãy số không phải là cấp số cộng và cấp số nhân thông thường. Ta thấy hệ số của các số hạng của và khác nhau nên dùng kỹ năng cộng dồn vế thì không thể triệt tiêu các số hạng của dãy. Do đo cần lựa chọn một dãy số phụ để đưa về một cấp số nhân. Vậy làm sao để thiết kế một dãy số phụ ?
Từ hệ thức truy hồi ta cần tìm số sao cho .
Thật vậy , đồng nhất ta có .
Vậy ta có nên chỉ cần đặt , suy ra . Ta có là một cấp số nhân cơ bản. Bài toán được giải quyết.
Lời giải. Ta có (1)
Đặt thì (1) trở thành . Nên là một cấp số nhân với công bội và số hạng đầu . Ta có số hạng tổng quát . 
Do đó Vậy với .
Nhận xét. Nhờ thiết kế dãy số phụ mà bài toán được giải quyết nhanh chóng, cho lời giải đẹp. Ta có thể tổng quát hóa dãy số xác định
 (2.1) 
Ví dụ 2. Cho dãy số xác định .
 Tìm số hạng tổng quát .[1]
Định hướng 
Đây là dãy số không phải là cấp số cộng và cấp số nhân thông thường. Do đo cần lựa chọn một dãy số phụ để đưa về một cấp số cộng. 
Từ hệ thức truy hồi .
Ta cần tìm số sao cho .
Thật vậy 
Đồng nhất hệ số ta có 
Ta có nên chỉ cần đặt , suy ra . Ta có là một cấp số cộng cơ bản. Bài toán được giải quyết.
Lời giải. Ta có (1)
Đặt thì (1) trở thành . Nên là một cấp số cộng với công sai và số hạng đầu . 
Ta có số hạng tổng quát . Do đó 
Vậy với .
Nhận xét. Ta có thể tìm số hạng tổng quát của dãy số có dạng tổng quát xác định (2.2).
Trong đó là một đa thức bậc theo bằng cách đặt , với là đa thức bậc theo và có hệ số tự do bằng 0.
Ví dụ 3. Cho dãy số xác định. Tìm số hạng tổng quát .[1]
Định hướng 
Hệ số của các số hạng của và khác nhau .Do đo cần lựa chọn một dãy số phụ để đưa về một cấp số nhân. Từ hệ thức truy hồi .
Ta cần tìm số sao cho .
Thật vậy 
Đồng nhất hệ số ta có 
Ta có nên chỉ cần đặt , suy ra . Ta có là một cấp số nhân cơ bản. Bài toán được giải quyết.
Lời giải. Ta có (1)
Đặt thì (1) trở thành . Nên là một cấp số nhân với công bội và số hạng đầu . 
Ta có số hạng tổng quát . Do đó 
Vậy với .
Nhận xét. Ta có thể tìm số hạng tổng quát của dãy số có dạng tổng quát xác định (2.3). Trong đó và là một đa thức bậc theo bằng cách đặt , với là đa thức bậc theo .
Ví dụ 4. Cho dãy số xác định .
Tìm số hạng tổng quát .[1]
Định hướng 
Hệ số của các số hạng của và khác nhau .Do đo cần lựa chọn một dãy số phụ để đưa về một cấp số nhân. 
Từ hệ thức truy hồi .
Ta cần tìm số sao cho .
Thật vậy .
Đồng nhất hệ số ta có 
Ta có nên chỉ cần đặt , suy ra . Ta có là một cấp số nhân cơ bản. Bài toán được giải quyết.
Lời giải. Ta có (1)
Đặt thì (1) trở thành . Nên là một cấp số nhân với công bội và số hạng đầu . Ta có số hạng tổng quát . 
Do đó . Vậy với .
Nhận xét. Bằng cách làm hoàn toàn tương tự như trên ta có thể giải quyết nhanh bài toán . Ta có thể tìm số hạng tổng quát của dãy số có dạng tổng quát xác định , với . (2.4).
Ví dụ 5. Cho dãy số xác định .Tìm số hạng tổng quát và tính giới hạn . [2]
Định hướng 
Đây là đề thi học sinh giỏi lớp 11 tỉnh Thanh Hóa năm học 2018-2019. 
Nếu làm như ví dụ 4. :
Thật vậy ( vô lý ) nên sẽ không tìm được giá trị của . Điều này khiến học sinh lúng túng, theo như nhận xét trên thì đây là trường hợp nên không thể áp dụng cách làm giống ví dụ 4 được. Sử dụng kỹ năng chia hai vế từ hệ thức truy hồi cho ta được .
Ta có , suy ra . Ta có là một cấp số cộng cơ bản. Bài toán được giải quyết.
Lời giải. Ta có (1)
Đặt thì (1) trở thành . Nên là một cấp số cộng với công sai và số hạng đầu . Ta có . 
Do đó .Vậy với .
Ta có .
Vì . Ta có với .
Mà suy ra .
Vậy với và 
Nhận xét. Từ hệ thức truy hồi chỉ bằng động tác chia hai vế ta có thể đưa bài toán khó về bài toán cơ bản có thể giải quyết được . Ta có thể tìm số hạng tổng quát của dãy số có dạng tổng quát xác định
 (2.5), bằng cách chia cho .
Ví dụ 6. Cho dãy số xác định .
Tìm số hạng tổng quát . [1]
Định hướng 
Đây là một hệ thức truy hồi dạng phân số nên để đưa về bài toán cơ bản ta có thể chọn một dãy số nghịch đảo nhau.
Lời giải. 
Ta có 
Khi đó 
 (1) 
Đặt thì (1) trở thành . Nên là một cấp số nhân với công bội và số hạng đầu . 
Ta có số hạng tổng quát . Do đó .Vậy với .
Nhận xét. Ta có thể tìm số hạng tổng quát của dãy số có dạng tổng quát xác định (2.6), bằng cách đặt . 
Ví dụ 7. Cho dãy số xác định .
Tìm số hạng tổng quát .[3]
Định hướng 
Để giải bài toán này ta cần định hướng để học sinh đưa về dãy số có dạng (2.6).
Đặt thay vào hệ thức truy hồi ta được .
Để đưa về dạng (2.6) ta cần chọn sao cho , chẳng hạn chọn . Bài toán được giải quyết tương tự 
Lời giải. Đặt thay vào hệ thức truy hồi ta được .
 Ta chọn sao cho .
Khi đó đặt ta được dãy số xác định
Ta có 
Khi đó 
 (1)
 Đặt thì (1) trở thành . Nên là một cấp số nhân với công bội và số hạng đầu . 
Ta có số hạng tổng quát . 
Do đó .
Vậy với .
Nhận xét. Ta có thể tìm số hạng tổng quát của dãy số có dạng tổng quát xác định . (2.7) 
Bằng cách đặt , chọn đưa về dạng (2.6)
Ví dụ 8 . Cho dãy số xác định như sau 
Tính . [2 ]. 
Định hướng 
Đây là dãy số mà trong hệ thức truy hồi các số hạng có hệ số khác nhau. Do đo cần lựa chọn một dãy số phụ để đưa về một cấp số nhân. 
Giả sử , đồng nhất hệ số ta tìm được . Bài toán đến đây được giải quyết.
Lời giải. Giả sử .
Đồng nhất hệ số ta có hoặc
Trường hợp 1. Với ta có 
 Suy ra dãy là một cấp số nhân có công bội (1)
Trường hợp 2. Với ta có 
 Suy ra dãy là một cấp số nhân có công bội (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ 
Suy ra 
Nhận xét. Nhờ đồng nhất hệ số mà ta có thể giải quyết tốt bài toán trong đề thi học sinh giỏi lớp 11 tỉnh Thanh Hóa năm học 2017-2018. Ta có thể tìm số hạng tổng quát của dãy số có dạng tổng quát xác định
 . ( 2.8)
Bằng cách đồng nhất hệ số, chọn dãy số phụ.
Ví dụ 9. Cho dãy số xác định như sau 
Tìm số hạng tổng quát .[2].
Định hướng 
Đây là dãy số mà trong hệ thức truy hồi các số hạng có hệ số khác nhau .Do đó cần lựa chọn một dãy số phụ để đưa về một cấp số nhân. 
Giả sử , đồng nhất hệ số ta tìm được . Bài toán đến đây được giải quyết.
Lời giải. Giả sử .
Đồng nhất hệ số ta có . 
 Suy ra dãy là một cấp số nhân có công bội .
Do đó . (1)
Đặt thì (1) trở thành . Nên là một cấp số cộng với công sai và số hạng đầu . 
Ta có số hạng tổng quát . 
Do đó .Vậy với .
Ví dụ 10. Cho dãy số xác định bởi: .
Tìm số hạng tổng quát .[2].
Định hướng 
Ta thấy có sự xuất hiện của tương ứng với và tương ứng với nên tìm cách đưa chúng lại gần nhau, làm xuất hiện dãy số phụ.
Lời giải. Ta có: 
 (1)
Đặt.
(1) trở thành: (2)
Đặt .
(2) trở thành: là cấp số nhân có .
Từ đó ta có .
Ví dụ 11. Cho dãy số xác định . Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số và tính [2]. 
Định hướng 
Để mất dấu căn bậc hai trong công thức truy hồi ta có thể đặt dãy số phụ với
. Bài toán chuyển về dạng cơ bản và giải quyết được.
Lời giải. Đặt 
Ta có và hay 
Thay vào giả thiết, ta được: 
Suy ra: ( Do )
Hay 
Đặt . Ta có: là cấp số nhân với công bội 
Từ đó Suy ra: 
Do đó , khi đó .
Ví dụ 12. Cho dãy số xác định như sau 
Tìm số hạng tổng quát . [2].
Định hướng.
Từ công thức truy hồi có thể thực hiện phép chia 2 vế cho .
 ( Do ). Đây là dạng dãy số cơ bản.
Lời giải. Ta có ( Do ) (1)
Đặt thì (1) trở thành . Nên là một cấp số nhân với
công bội và số hạng đầu . Ta có số hạng tổng quát . Do đó .Vậy với .
Nhận xét. Chỉ cần động tác chia hai vế của công thức truy hồi cho ta có thể thiết kế dãy số phụ một cách nhanh chóng.
2.3.3 Kỹ năng sử dụng Quy nạp.
 Tính vài số hạng đầu, phán đoán công thức tổng quát, chứng minh bằng quy nạp.
Ví dụ 1. Cho dãy số xác định . 
Tìm số hạng tổng quát .[1 ].
Định hướng .
Việc thiết kế dãy số phụ để tạo thành một dãy mới là một cấp số cộng hay cấp số nhân là một việc làm khó khăn. Do đó ta cần chuyển hướng sang việc tính toán vài số hạng đầu. Chẳng hạn
; ; 
Đến đây là có thể phát hiện được quy luật của dãy số. Bài toán đã được giải quyết.
Lời giải. Ta có ; ; ;.., 
Ta chứng minh , . (1)
Với thì ( đúng).
Giả sử (1) đúng với tức là .
Ta cần chứng minh (1) đúng với tức là .
Thật vậy . Vậy với .
Nhận xét. Nhờ sử dụng quy nạp mà ta đã xác định được số hạng tổng quát của dãy số một cách nhanh chóng.
Ví dụ 2. Cho dãy số xác định. Tính .[1 ].
Định hướng .
Bài toán này có thể sử dụng dãy số phụ để giải,nhưng chứng ta hãy tính vài số hạng đầu xem có điều gì xảy ra không?
Lời giải 
Cách 1 ( Sử dụng quy nạp)
Phân tích:
Ta dự doán , (1)
Với thì ( đúng).
Giả sử (1) đúng với tức là .
Ta cần chứng minh (1) đúng với tức là .
Thật vậy ( điều phải chứng minh ).
Vậy với . Do đó 
Cách 2 ( sử dụng dãy số phụ )
 (2)
Đặt thì (2) trở thành . Nên là một cấp số nhân với công bội và số hạng đầu . 
Ta có số hạng tổng quát . Do đó 
Vậy với . Do đó 
Nhận xét. Cả hai cách làm điều có cái hay riêng của nó, giáo viên cần trang bị cho các em những kỹ năng cần thiết này, phát triển tư duy linh hoạt và sáng tạo.
Ví dụ 3 . Cho dãy số xác định như sau Tìm số hạng tổng quát .[2 ].
Định hướng.
Bài toán này giải bằng cách sử dụng dãy số phụ. Tuy nhiên bài này chúng ta cũng có thể nghĩ đến sử dụng quy nạp.
Lời giải. Ta có ; 
Ta dự doán , (1)
Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
Với thì ( đúng).
Giả sử (1) đúng với tức là .
Ta cần chứng minh (1) đúng với tức là .
Thật vậy 
 .Vậy , 
Nhận xét. Ta thấy nếu sử dụng quy nạp ngắn hơn nhưng lại khó khăn trong cách phán đoán công thức tổng quát, thậm chí không tìm ra.Còn sử dụng dãy số phụ tuy dài hơn nhưng sẽ thực hiện một cách trôi chảy
 2.3.4. Kỹ năng sử dụng phép thế lượng giác.
 Những dãy số có công thức truy hồi có dạng giống hoặc gần giống với công thức lượng giác thì ta liên tưởng đến kỹ năng sử dụng phép thế lượng giác để tìm ra số hạng tổng quát của dãy số.
Ví dụ 1. Cho dãy số xác định . Tìm số hạng tổng quát .[1 ].
Định hướng .
Từ công thức truy hồi ta thấy nó giống công thức nhân đôi của hàm số côsin , chính vì vậy ta liên hệ đến phép thế lượng giác.
Lời giải. Từ giả thiết ta có
; ; 
Ta dự đoán và chứng minh bằng quy nạp , (1)
Với thì ( đúng)
Giả sử (1) đúng với tức là .
Ta cần chứng minh (1) đúng với tức là .
Thật vậy . Vậy , . 
Nhận xét. Nhờ phép thế lượng giác mà ta đã xác định được số hạng tổng quát của dãy số một cách nhanh chóng, cho lời giải đẹp. Bài toán này nếu không dùng phép thế lượng giác thì rất khó khăn, thậm chí không giải được.
Ví dụ 2. Cho dãy số xác định . Tìm số hạng tổng quát .[1 ].
Định hướng .
Từ công thức truy hồi ta thấy nó giống công thức nhân ba của hàm số sin , chính vì vậy ta liên hệ đến phép thế lượng giác.
Lời giải. Ta có ; ; 
.Ta dự đoán , (1)
Sử dụng quy nạp chứng minh.
Với thì ( đúng)
Giả sử (1) đúng với tức là .
Ta cần chứng minh (1) đúng với tức là .
Thật vậy . 
Vậy , . 
Ví dụ 3. Cho dãy số xác định . Tìm số hạng tổng quát .[3 ].
Định hướng .
Từ công thức truy hồi ta thấy xuất hiện biểu thức ta có thể nghĩ đến công thức , chính vì vậy ta liên hệ đến phép thế lượng giác.
Lời giải. ; 
Ta dự đoán , . 
Chứng minh bằng quy nạp ta được , 
Hay , . Vậy , . 
Ví dụ 4. Cho dãy số xác định . Tìm số hạng tổng quát .[1 ].
Định hướng .
Xuất phát từ và công thức truy hồi có thể đặt thì . Bài toán đến đây sẽ được giải quyết.
Lời giải. Ta có 
Ta dự đoán , 
Chứng minh bằng quy nạp ta được , 
Vậy , . 
Nhận xét. Nhờ sử dụng lượng giác mà ta giải quyết tốt bài toán, cho lời giải ngắn gọn và súc tích. 
Ví dụ 5. Cho dãy số xác định. 
Tính .[4 ].
Định hướng . 
Nhìn vào công thức truy hồi ta thấy giống công thức cộng đối với tang
và ta cũng có . Bài toán đến đây đã xuất hiện hướng giải.
Lời giải. Ta có nên .
; .
Ta dự đoán , 
Bằng quy nạp ta chứng minh được , 
Vậy , . 
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
a) Đối với hoạt động giảng dạy của bản thân và đồng nghiệp
 Đề tài được bản thân áp dụng thành công ở lớp 11C1, đặc biệt là đối với học sinh khá giỏi tham gia đội tuyển môn toán 2017-2018 và 2018-2019, được đồng nghiệp đánh giá có ứng dụng thực tiễn cao trong công tác giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán bậc THPT. Vận dụng đề tài vào giảng dạy đã góp phần nâng cao chất lượng giờ dạy, tăng cường tính hứng thú cho người học. Đáp ứng yêu cầu đổi mới phương pháp dạy học, hội nhập quốc tế.
 Đề tài đã được các giáo viên trong tổ toán- tin, nhất là các giáo viên ôn đội tuyển học sinh giỏi và ôn thi THPT quốc gia, phần vận dụng cao về dãy số áp dụng giảng dạy ngay tại lớp mình phụ trách và đem lại kết quả tương đối khách quan. Qua phong trào đúc rút kinh nghiệp giúp bản thân và đồng nghiệp có thể trao dồi kiến thức và kỹ năng, học tập kinh nghiệm lẫn nhau để cùng tiến bộ. Từ đó ngày càng nâng cao chất lượng giáo