Một số biện pháp giúp học sinh lớp 8 khắc phục những khó khăn, sai lầm thường gặp khi học về phương trình và bất phương trình ở trường THCS thị trấn, huyện Lang Chánh, tỉnh Thanh Hóa

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LANG CHÁNH
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
TÊN ĐỀ TÀI:
MỘT SỐ BIỆN PHÁP GIÚP HỌC SINH LỚP 8 KHẮC PHỤC NHỮNG KHÓ KHĂN, SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI HỌC VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH 
Ở TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN, HUYỆN LANG CHÁNH, 
TỈNH THANH HÓA
Người thực hiện: Lê Xuân Thi
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THCS Thị Trấn
SKKN thuộc môn: Toán
THANH HOÁ NĂM 2017
MỤC LỤC
Nội dung
Trang
I. MỞ ĐẦU
1
1. Lí do chọn đề tài.
1
2. Mục đích nghiên cứu.
2
3. Đối tượng nghiên cứu.
2
4. Phương pháp nghiên cứu.
2
II. NỘI DUNG.
3
1. Cơ sở lí luận.
3
2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
4
3. Các biện pháp sư phạm giúp học sinh khắc phục những khó khăn và sai lầm thường gặp khi học về phương trình và bất phương trình. 
5
3.1. Biện pháp thứ nhất: Chỉ ra, hệ thống hóa những khó khăn, sai lầm thường gặp của học sinh và phân tích nguyên nhân dẫn đến sai lầm khi học về phương trình và bất phương trình.
5
3.1. Biện pháp thứ hai: Tăng cường các hoạt động sư phạm để trang bị đầy đủ, chính xác các khái niệm, định lý về phương trình và bất phương trình.
10
3.3. Biện pháp thứ ba: Giáo viên cần kiến tạo các tình huống dễ dẩn đến sai lầm để học sinh được thử thách và rèn luyện thường xuyên qua những sai lầm đó.
15
3.3. Biện pháp thứ tư: Theo dõi diễn biến các giai đoạn có thể dẫn đến sai lầm của học sinh khi học phương trình và bất phương trình.
16
3.5. Biện pháp thứ năm: Yêu cầu học sinh thực hiện đầy đủ trình tự giải một bài toán trong khi giải phương trình, bất phương trình.
17
4. Kết quả đạt được khi áp dụng các biện pháp sư phạm giúp học sinh khắc phục khó khăn và sai lầm khi học phương trình và bất phương trình.
18
III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ:
19
1. Kết luận:
19
2. Kiến nghị:
20
Tài liệu tham khảo
21
Phụ lục
22
I. MỞ ĐẦU
Lí do chọn đề tài.
Toán học là một môn khoa học quan trọng và có rất nhiều ứng dụng trong thực tế cuộc sống cũng như trong các ngành nghề khác nhau. Toán học giúp chúng ta trong việc rèn luyện phương pháp suy luận, phương pháp học tập, phương pháp giải quyết các vấn đề, giúp chúng ta rèn luyện trí thông minh sáng tạo, tư duy logic, khái quát hóa, trừu tượng hóa, khả năng phân tích và tổng hợp. Nó còn giúp chúng ta rèn luyện nhiều đức tính quý báu khác như cần cù, nhẫn nại, tự lực tự cường, ý chí vượt khó, tính chính xác. Dù bạn phục vụ ngành nào, trong công tác nào thì kiến thức và phương pháp toán cũng rất cần cho bạn. Đó chính là lý do chương trình giáo dục hiện nay luôn xem Toán học là một trong các môn học chính, không thể thay thế.
Tuy nhiên, từ thực tiễn cho thấy chất lượng dạy học Toán còn chưa tốt, thể hiện ở năng lực giải toán của học sinh còn hạn chế do học sinh vi phạm nhiều sai lầm về kiến thức, phương pháp toán học. Trong đó, một trong những nguyên nhân quan trọng là giáo viên còn chưa chú ý một cách đúng mức việc phát hiện, tìm ra nguyên nhân và sửa chữa các sai lầm cho học sinh ngay trong các giờ học Toán để từ đó học sinh nhận thức được sai lầm, tìm ra nguyên nhân và những biện pháp sửa chữa kịp thời, hạn chế các sai lầm này, nhằm rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh đồng thời nâng cao hiệu quả dạy học toán ở trường THCS.
Trong chương trình Toán THCS, đặc biệt là lớp 8, khái niệm phương trình và bất phương trình là những khái niệm rất quan trọng. Phương trình và bất phương trình là một trong những nội dung cơ bản xuyên suốt toàn bộ chương trình. Nội dung này liên quan mật thiết với những nội dung khác trong chương trình như phân tích đa thức thành nhân tử, phân thức đại số, hàm số, những phép biến đổi đồng nhất ngoài ra còn phục vụ cho việc giải quyết nhiều bài toán hình học như đo độ dài, diện tích, thể tích và giải quyết nhiều bài toán thực tế thông qua việc giải bài toán bằng cách lập phương trình Bên cạnh đó, phương trình và bất phương trình còn là nội dung quan trọng để học sinh giải các bài tập ở các môn học khác như Vật lí, Hóa học, Sinh học, Địa lí ... Học sinh học tốt nội dung phương trình và bất phương trình sẽ giúp các em học tốt các môn học khác.
Thực trạng dạy học phương trình và bất phương trình ở trường THCS hiện nay cho thấy tình trạng khá phổ biến là học sinh chỉ chú ý học thuộc các định nghĩa, khái niệm, định lí một cách máy móc, hình thức mà xem nhẹ việc nắm vững ngữ nghĩa và cú pháp của các khái niệm, định lí, công thức đó, đồng thời khả năng vận dụng vào giải các bài tập còn rất hạn chế. Do đó làm cho học sinh lúng túng, gặp nhiều khó khăn và phạm nhiều sai lầm khi giải toán nói chung và giải phương trình và bất phương trình nói riêng.
Vì vậy, nếu hệ thống hoá được các khó khăn và sai lầm thường gặp ở học sinh THCS khi học phương trình và bất phương trình từ đó đề xuất các biện pháp sư phạm giúp học sinh khắc phục các khó khăn và sửa chữa các sai lầm này sẽ góp phần nâng cao hiệu quả dạy học phương trình và bất phương trình nói riêng và hiệu quả dạy học toán ở trường THCS nói chung. Chính vì vậy tôi đã lựa chọn đề tài “Một số biện pháp giúp học sinh lớp 8 khắc phục những khó khăn, sai lầm thường gặp khi học về Phương trình và Bất phương trình trường THCS Thị Trấn, huyện Lang Chánh, tỉnh Thanh Hóa” làm đề tài nghiên cứu của mình.
Mục đích nghiên cứu.
- Tìm hiểu thực trạng việc dạy học toán nói chung và dạy học phương trình và bất phương trình của học sinh lớp 8 ở trường THCS Thị Trấn năm học 2015 – 2016 nói riêng.
- Từ kết quả nghiên cứu đưa ra kinh nghiệm và biện pháp giúp học sinh khắc phục những khó khăn và sai lầm thường gặp khi học “ Phương trình và Bất phương trình”.
Đối tượng nghiên cứu.
Những khó khăn và sai lầm thường gặp của học sinh lớp 8 khi học phương trình và bất phương trình trường THCS Thị Trấn.
Phương pháp nghiên cứu.
4.1. Phương pháp nghiên cứu tài liệu:
- Tham khảo các loại tài liệu liên quan để phát hiện, phân loại những sai lầm học sinh thường mắc phải, từ đó tìm hiểu các biện pháp để khắc phục.
4.2. Phương pháp quan sát sư phạm:
+ Dự giờ của các đồng nghiệp để tìm hiểu và rút kinh nghiệm.
+ Phân tích kết quả học tập của học sinh, kết quả các bài kiểm tra, vở bài tập của học sinh.
4.3. Phương pháp điều tra
+ Điều tra, tìm hiểu qua các đồng nghiệp về những sai lầm của học sinh khi học về phương trình và bất phương trình.
4.4. Phương pháp nghiên cứu sản phẩm hoạt động sư phạm.
+ Nghiên cứu giáo án của giáo viên.
+ Nghiên cứu khả năng tiếp nhận của học sinh sau một quá trình học tập.
4.5. Phương pháp thực nghiệm sư phạm:
+ Áp dụng vào thực tế dạy học các biện pháp khắc phục khó khăn và sai lầm thường gặp ở học sinh khi học phương trình và bất phương trình. Thu nhận và đánh giá kết quả đạt được. 
II. NỘI DUNG.
Cơ sở lí luận.
Toán học là một là một môn khoa học có vị trí và vai trò quan trọng trong nhà trường phổ thông, nó có phạm trù rộng lớn, có quan hệ mật thiết với các môn học khác như Vật lí, Hoá học, Triết học, Tâm lí học có thể nói học tốt môn Toán sẽ tạo điều kiện để học tốt các môn học khác. Ngoài ra nó còn giúp học sinh hình thành các phẩm chất đạo đức, thế giới quan, niềm tin, lý tưởng, quan điểm sống cho người học chẳng hạn để hình thành thế giới quan đúng đắn và niềm tin, cần làm cho học sinh thấy được nguồn gốc thực tiễn của Toán học như các khái niệm toán học ra đời từ thực tiễn: Số tự nhiên ra đời do nhu cầu của phép đếm, số nguyên ra đời do nhu cầu biểu diễn các đại lượng theo hai hướng ngược chiều nhau.... Cần làm cho học sinh thấy được chân lí của Toán học là thực tiễn, nó phản ánh thực tiễn, giải quyết các vấn đề của thực tiễn như giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Bên cạnh đó, môn học này còn hình thành cho học sinh các kỹ năng tính toán, đo đạc, ước lượng, dự đoán. tạo điều kiện cần có để hình thành người lao động trong thời kỳ công nghiệp hoá hiện đại hoá. 
“Dạy học toán là dạy hoạt động Toán học, hoạt động Toán học chủ yếu của học sinh là hoạt động giải bài tập” [1]. Các bài toán là phương tiện có hiệu quả trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy và rèn luyện kỹ năng. Trình độ học toán của học sinh sẽ được thể hiện rõ nét qua chất lượng giải các bài tập toán. Vì thế tổ chức có hiệu quả việc dạy giải toán có vai trò quyết định đến chất lượng dạy học toán.
Để nâng cao chất lượng giải các bài tập toán, giáo viên cần đặt ra yêu cầu rèn luyện cho học sinh tính cẩn thận, nhanh trí, kỹ năng tính toán hợp lí và hạn chế những sai lầm có thể mắc phải. Tuy nhiên trong thực tế không ít giáo viên đã coi nhẹ vấn đề này, mà cho rằng học sinh chỉ cần nắm khái niệm, quy tắc, định lí; chỉ cần biết đường lối, phương hướng làm bài toán là chính, còn việc tính toán cụ thể chỉ là vấn đề đơn giản, không có gì khó cả nên không cần rèn luyện hoặc khi nào có điều kiện sẽ rèn luyện sau, chưa uốn nắn kịp thời những sai lầm của học sinh, do vậy khi học sinh giải các bài toán tuy biết đường lối nhưng lại tính toán sai, dẫn tới tình trạng sai lầm nối tiếp sai lầm. Điều này có tác hại không nhỏ đối với học sinh trong học tập cũng như trong cuộc sống. Theo G. Polia phát biểu “ Con người phải biết học ở những sai lầm và thiếu sót của mình” [2]. Còn A.A Stoliar thì nhấn mạnh rằng “Không được tiếc thời gian để phân tích trong giờ học các sai lầm của học sinh”. Còn theo J.A.Komen Sky– được xem là ông tổ của ngành sư phạm cho rằng: “Bất kỳ một sai lầm nào cũng có thể làm cho học sinh kém đi nếu như giáo viên không chú ý ngay đến sai lầm đó và hướng dẫn học sinh tự nhận ra và sửa chữa, khắc phục sai lầm” [3]. Những sai lầm của học sinh trong giải toán đều có thể khắc phục được.
Việc phát hiện và chỉ ra cho học sinh thấy được những sai lầm của mình hoặc của bạn mắc phải không chỉ giúp học sinh nắm vững kiến thức hơn mà còn không mắc các sai lầm khi giải toán, đồng thời giúp hình thành nhân cách cho học sinh. Đặc biệt là khi học sinh học về phương trình và bất phương trình học sinh thường gặp khó khăn và hay mắc nhiều sai lầm vì đây là một vấn đề khó và trừu tượng đối với học sinh, chính vì vậy càng cần thiết phải giúp học sinh khắc phục những khó khăn và sai lầm thường gặp. Phát hiện và sửa chữa kịp thời những sai lầm mà học sinh mắc phải trong quá trình giải phương trình và bất phương trình giúp các em ghi nhớ và khắc sâu kiến thức ngay tại lớp, đồng thời khi học ở nhà cũng hạn chế được việc giải sai các bài tập.
Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Qua quá trính trực tiếp giảng dạy và tham gia dự giờ, góp ý, rút kinh nghiệm cùng với sự giúp đỡ của các đồng nghiệp, tổ chuyên môn tôi nhận thấy việc giải bài tập về phương trình và bất phương trình của học sinh thường mắc rất nhiều sai lầm, mà những sai lầm đó học sinh có thể tự khắc phục được nếu như chúng được hệ thống hoá lại.
Thực tế khảo sát qua các bài kiểm tra và vở bài tập của học sinh có tới hơn 75% học sinh khối lớp 8 (năm học 2015 – 2016 ) mắc phải phải những sai lầm khi giải các bài toán về phương trình và bất phương trình.
Tổng số HS được khảo sát
Thống kê từ bài kiểm tra
Thống kê từ vở bài tập
Số lượng
Tỉ lệ (%)
Số lượng
Tỉ lệ (%)
Số học sinh mắc sai lầm
46
35
76,1
38
82,6
Số học sinh không làm được bài nào hoặc không có vở bài tập
46
1
2,2
2
4,3
Kết quả khảo sát học sinh lớp 8 cuối năm học 2015 – 2016 về giải phương trình và bất phương trình có 46 em tham gia khảo sát.
Xếp loại
Số lượng và tỉ lệ
Số lượng (Học sinh)
Tỉ lệ (%)
Giỏi
1
2,2
Khá
6
13,0
Trung bình
13
28,3
Yếu
10
21,7
Kém
16
34,8
Từ kết quả khảo sát cho thấy học sinh phần lớn học sinh được khảo sát đều mắc sai lầm, có rất ít học sinh (7 học sinh) không mắc sai lầm trong quá trình giải bài tập về phương trình và bất phương trình. Điều đó đã ảnh hưởng rất lớn đến chất lượng dạy và học môn Toán nói riêng và chất lượng giáo dục đại trà nói chung.
Qua quá trình tìm hiểu tôi thấy rằng giáo viên Toán ở các nhà trường đều được đào tạo chuẩn và trên chuẩn, có năng lực và trình độ sư phạm, tuy nhiên chỉ một số các giáo viên chỉ ra cho học sinh thấy sai lầm trong khi học về phần phương trình và bất phương trình chủ yếu là chỉ ra sai lầm về kiến thức không chỉ ra sai lầm về kỹ năng và tư duy, hoặc có chỉ ra sai lầm nhưng không phân tích và chỉ rõ nguyên nhân sai lầm của học sinh, không hệ thống hóa các sai lầm mà học sinh thường gặp. Vì vậy học sinh chỉ có thể không mắc sai lầm ở chính bài toán được thầy cô hướng dẫn, còn khi giải các bài toán khác học sinh vẫn mắc sai lầm tương tự hoặc mắc thêm các sai lầm mới.
Khi được phân công giảng dạy lớp 8 tại trường THCS Thị Trấn, tôi nhận thấy học sinh thường hay mắc những sai lầm khi giải phương trình và bất phương trình, nhưng nếu được hệ thống hoá, chỉ rõ nguyên nhân sai lầm và nêu cách khắc phục thì có thể hạn chế được những sai lầm của học sinh. Vì vậy tôi tiến hành một số biện pháp khắc phục những khó khăn và sai lầm thường gặp đối với học sinh khi học về phương trình và hệ phương trình.
Các biện pháp sư phạm giúp học sinh khắc phục những khó khăn và sai lầm thường gặp khi học về phương trình và bất phương trình. 
Ở lớp 8 các em được làm quen với khái niệm phương trình, phương trình tương đương, các phép biến đổi tương đươc đương và giải phương trình bậc nhất một ẩn, phương trình tích, phương trình chứa ẩn ở mẫu, cuối lớp 8 các em được học về bất phương trình và giải bất phương trình, giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối... học tốt phần phương trình và bất phương trình ở lớp 8, sẽ giúp các em học tốt phương trình, hệ phương trình khi lên lớp 9. Để học sinh học tốt phần phương trình, bất phương trình và khắc phục những khó khăn, hạn chế được các sai lầm thường gặp, giáo viên đã tiến hành các biện pháp sau:
3.1. Biện pháp thứ nhất: Chỉ ra, hệ thống hóa những khó khăn và sai lầm thường gặp của học sinh và phân tích nguyên nhân dẫn đến sai lầm khi học về phương trình và bất phương trình.
Trong quá trình giảng dạy giáo viên cần kịp thời phát hiện những khó khăn và sai lầm của học sinh, đồng thời chỉ rõ những sai lầm này, phân tích sai lầm và tìm ra nguyên nhân sai lầm, hệ thống hóa những sai lầm ấy để học sinh không lặp lại sai lầm lần sau.
3.1.1 Những khó khăn và sai lầm thường gặp của học sinh khi học về Phương trình và Bất phương trình.
Qua điều tra thực tế tại trường cũng như tham khảo các bạn đồng nghiệp về những khó khăn và sai lầm thường gặp ở học sinh lớp 8 khi học phương trình và bất phương trình, tôi nhận thấy học sinh thường gặp những khó khăn và sai lầm sau:
3.1.1.1 Những khó khăn và sai lầm về kiến thức. 
Đó là các kiến thức về điều kiện xác định của phương trình; về phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, về phương trình và bất phương trình tương đương, .
Ví dụ 1: Giải phương trình: (1)
•Lời giải có sai lầm: (1)	
•Phân tích sai lầm: Có thể thấy ngay x = 2 cũng là nghiệm của phương trình (1), sai lầm là học sinh chia hai vế của phương trình cho x - 2. Nên nhớ rằng muốn chia hai vế cho một biểu thức thì biểu thức đó phải chắc chắn khác 0. Ở đây nên áp dụng tính chất ab = cb b(a-c)=0.
•Lời giải đúng: (1) 
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = 
Ví dụ 2 Giải bất phương trình 3x + 5 < 5x - 7. (SGK – tr44)
•Lời giải sai : Ta có: 3x + 5 < 5x - 7 
3x - 5x < -5 - 7 
-2x < 12 
-2x : (-2) <-12 : (-2) 
x < 6. 
Vậy bất phương trình đã cho có một nghiệm x < 6.
•Phân tích sai lầm: 
Không đổi chiều bất phương trình khi chia cho số âm.
Kết luận nghiệm sai.
•Lời giải đúng: Ta có: 
3x + 5 < 5x - 7 
3x - 5x < -5 - 7 
-2x < 12 
-2x : (-2) > -12 : (-2) 
x > 6. 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là : 
3.1.1.2 Những khó khăn và sai lầm về kỹ năng: 
Đó là những kỹ năng vận dụng định nghĩa, định lí, công thức, phương pháp; kỹ năng biến đổi tương đương; kỹ năng tính toán.
Ví dụ 3: Giải phương trình: (x – 1) – (2x – 1) = 9 – x (3) ( SGK-tr14)
•Lời giải sai: (x – 1) – (2x – 1) = 9 – x
 x – 1 – 2x – 1 = 9 – x 
 x – 2x – x = 9 – 2 	 
 –2x = 7 	 
 x = 7 – 2 = 5 	 
•Phân tích sai lầm: 
 Thực hiện bỏ dấu ngoặc sai: không đổi dấu hạng tử trong dấu ngoặc
Thực hiện chuyển vế sai: không đổi dấu hạng tử khi đã chuyển vế.
Tìm nghiệm sai: Lấy tích trừ đi thừa số.
•Lời giải đúng: (3) x – 1 – 2x + 1 = 9 – x 
 	 x – 2x + x = 9 
 	 0x = 9 
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Ví dụ 4: Giải phương trình: (4) (ví dụ 4 Sgk-tr12)
•Lời giải sai: 	 
•Phân tích Sai lầm:
Sai lầm ở trên là cách đưa dấu trừ của phân thức lên tử thức chưa đúng.
•Lời giải đúng: 
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = 
3.1.1.3. Những khó khăn và sai lầm về tư duy.
Về ngữ nghĩa, cú pháp của các kí hiệu hình thức; về chiến thuật, chiến lược giải phương trình và bất phương trình.
Ví dụ 5: Giải phương trình (5) (BT 52b -Sgk-tr33)
•Lời giải sai: ĐKXĐ: x 2 ; x 0
(5) 
 x(x + 2) – 1(x – 2) = 2 (5’) 
 x2 + 2x – x + 2 = 2 
 x2 + x = 0
 x(x + 1) = 0
Vậy S = 
•Phân tích sai lầm: 
Dùng ký hiệu “” không chính xác. Khi khử mẫu ta chỉ thu được phương trình là hệ quả của phương trình đã cho, nên ta dùng ký hiệu “” hay nói cách khác tập nghiệm của phương trình (5’) chưa chắc là tập nghiệm của phương trình (5). 
Kết luận thừa nghiệm, cần kiểm tra các nghiệm tìm được với điều kiện rồi mới kết luận.
•Lời giải đúng: ĐKXĐ: x 2 ; x 0
(4) 
 x(x + 2) – 1(x – 2) = 2 (5’)
 x2 + 2x – x + 2 = 2 
 x2 + x = 0
(Không thỏa mãn)
 x(x + 1) = 0
(Thỏa mãn)
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = 
	 3.1.2. Những nguyên nhân dẫn đến sai lầm của học sinh khi học về phương trình và bất phương trình.
Qua thực tế khảo sát cho thấy một trong những nguyên nhân dẫn đến việc học sinh thường hay mắc sai lầm khi giải phương trình và bất phương trình là do trong quá trình giảng dạy giáo viên chưa chỉ ra cho học sinh thấy những sai lầm của bản thân học sinh hoặc có chỉ ra nhưng không hệ thống hoá được các sai lầm thường gặp của các em. Đồng thời cũng chưa chỉ ra được nguyên nhân sai lầm trong quá trình học về phương trình và bất phương trình của học sinh để học sinh khắc phục. Các sai lầm của học sinh chủ yếu do 4 nguyên nhân sau:
3.1.2.1. Nguyên nhân thứ nhất: Hiểu chưa đầy đủ và chưa chính xác các thuộc tính của các khái niệm toán học về phương trình, bất phương trình.
Chúng ta biết rằng: Khái niệm là một trong các sản phẩm của tư duy toán học. Mỗi khái niệm đều có nội hàm và ngoại diên. Tập hợp các dấu hiệu đặc trưng cho bản chất của các đối tượng được phản ánh trong khái niệm chính là nội hàm của khái niệm. Tập hợp các đối tượng có chứa các dấu hiệu trên chính là ngoại diên của khái niệm. Việc không nắm vững nội hàm và ngoại diên của một khái niệm sẽ dẫn học sinh tới sự hiểu không trọn vẹn, thậm chí sai lệch bản chất khái niệm. Từ đó các sai lầm khi giải toán sẽ xuất hiện. Mặt khác nhiều khái niệm trong toán học là mở rộng hoặc thu hẹp của một khái niệm có trước đó. Việc học sinh không nắm vững khái niệm này sẽ dẫn tới việc không hiểu và không thể có biểu tượng về khái niệm khác.
Nhiều khi người ta hay nói tới sự mất gốc của học sinh về kiến thức thì trước hết cần hiểu rằng: đó là sự mất gốc về các khái niệm. Học sinh hiểu chưa đầy đủ về khái niệm hai phương trình tương đương, nên khi giải phương trình có những phép biến đổi không tương đương nhưng học sinh vẫn dùng kí hiệu “” 
Từ việc không nắm vững các thuộc tính của khái niệm, học sinh có thể bị dẫn tới các sai lầm trong lời giải. Nếu giáo viên không có các biện pháp kịp thời thì sẽ dẫn đến những sai lầm nghiêm trọng hơn của học sinh trong quá trình giải toán.
3.1.2.2. Nguyên nhân thứ hai: Không nắm vững định lí về biến đổi tương đương các phương trình, bất phương trình..
Trong quá trình giải bài tập học sinh không nắm vững các qui tắc biến đổi tương đương các phương trình hoặc bất phương trình làm mất nghiệm hoặc xuất hiện nghiệm ngoại lai nên dẫn tới sai lầm khi giải phương trình và bất phương trình.
Ví dụ khi giải phương trình tích: (ở ví dụ 1). Học sinh biến đổi tương đương bằng cách chia cả hai vế cho x – 2, như vậy đã làm mất nghiệm của phương trình và đây không phải là phép biến đổi tương đương. 
Tóm lại việc không nắm vững định lí sẽ dẫn học sinh tới nhiều sai lầm trong khi học toán và giải toán.
3.1.2.3. Nguyên nhân thứ ba: Thiếu các kiến thức cần thiết về logic khi