Hướng dẫn học sinh phân tích, tìm lời giải cho một số dạng toán lập số thường gặp nhằm nâng cao chất lượng bồi dưỡng học sinh giỏi, ôn thi THPT quốc gia cho học sinh trường THPT Như Thanh 2

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
TRƯỜNG THPT NHƯ THANH 2
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
TÊN ĐỀ TÀI 
HƯỚNG DẪN HỌC SINH PHÂN TÍCH, TÌM LỜI GIẢI CHO MỘT SỐ DẠNG TOÁN LẬP SỐ THƯỜNG GẶPNHẰM NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI, ÔN THI THPT QUỐC GIA CHO HỌC SINH TRƯỜNG THPT NHƯ THANH 2
 Người thực hiện: Lê Văn Trung 
 Chức vụ: Giáo viên
 SKKN thuộc lĩnh vực: Toán
THANH HOÁ NĂM 2019
 MỤC LỤC
Nội dung
Trang
PHẦN 1. MỞ ĐẦU	
2
1.1. Lý do chọn đề tài	
2
1.2. Mục đích nghiên cứu	
3
1.3. Đối tượng nghiên cứu	
3
1.4. Phương pháp nghiên cứu	
3
PHẦN 2. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM	
4
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 	
4
2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm	
5
2.3.Các giải pháp thực hiện.................................................................... 
5
 Dạng 1:Từ các chữ số của tập hợp A lập được bao nhiêu số tự nhiên có k chữ số mà một vài chữ số có điều kiện.................	..........
5
 Dạng 2: Lập số tự nhiên có k chữ số mà bắt buộc có mặt chữ số 
8
 Dạng 3: Lập số tự nhiên có k chữ số mà bắt buộc hai chữ số a, b đứng cạnh nhau( hoặc hai chữ số a, b không đứng cạnh nhau)........
10
 Dạng 4: Lập số tự nhiên có n chữ số mà chữ số a có mặt k lần........
11
 Dạng 5: Lập số tự nhiên liên quan đến tổng các chữ số................... 
13
 Dạng 6: Lập số tự nhiên liên quan đến giả thiết so sánh số hoặc so sánh các chữ số................................................................................. 
14
2.4.Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường...............................................
15
PHẦN 3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
20
3.1. Kết luận	
20
3.2. Kiến nghị	
20
TÀI LIỆU THAM KHẢO	
21
PHẦN 1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài 
 Trong giảng dạy phần đại số tổ hợp thì bài toán " Tìm số các số tự nhiên lập được thỏa mãn điều kiện cho trước" (sau đây tôi gọi tắt là bài toán lập số) là một bài toán cơ bản giúp học sinh tiếp cận với các quy tắc của đại số tổ hợp. Từ đó, giúp các em có thể liên hệ bài toán lập số để giải quyết các bài toán tổ hợp phức tạp hơn.
 Tuy nhiên, khi giải bài toán lập số học sinh vẫn cảm thấy lúng túng, nhầm lẫn cách chọn các chữ số và thường phải giải nhiều lần mới trùng được đáp án. Với cách làm như vậy thì việc tiếp cận với hình thức thi trắc nghiệm môn toán trong kì thi THPTQG sẽ không đạt được hiệu quả cao. Bởi lẽ, các em không có đủ thời gian để giải một bài toán nhiều lần mới chọn được phương án.
 Từ khi Bộ giáo dục công bố thi trắc nghiệm môn toán trong kì thi THPTQG nhiều học sinh đã tìm kiếm các kĩ năng sử dụng MTCT với hi vọng giải quyết được phần nhiều nội dung của đề thi. Song thực tế cho thấy, chỉ những học sinh có khả năng làm tự luận tốt mới có đủ tư duy để sử dụng MTCT kiểm tra, dò tìm phương án của bài thi trắc nghiệm. Và cũng chỉ những học sinh làm bài tự luận tốt, nắm chắc kiến thức cơ bản mới có khả năng đạt điểm cao môn toán. MTCT chỉ hỗ trợ các em tốc độ làm bài và giải một số bài toán ở mức điểm trung bình.
 Thực tế ra đề thi của Bộ giáo dục cũng cho thấy, mặc dù đề bám sát chương trình cơ bản song vẫn hạn chế đến mức tối đa việc sử dung MTCT để chọn được trực tiếp phương án. Rất nhiều phần kiến thức học sinh phải sử dụng kiến thức cơ bản biến đổi bài toán một vài bước rồi mới sử dụng được MTCT để đưa ra kết quả. Phần "đại số tổ hợp" là một trong những phần kiến thức như thế.
 Với thời lượng phân phối chương trình là 6 tiết cho hai bài: Quy tắc đếm, Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp thì giáo viên chỉ đủ thời gian giúp học sinh tiếp cận với lí thuyết, chưa dành được nhiều thời gian để luyện tập các quy tắc, càng không thể có thời gian trình bày một cách tường minh bài toán lập số. Vì vậy, học sinh gặp rất nhiều khó khăn khi giải bài toán này.
 Bài toán lập số là một trong những bài toán thường xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh và thi THPT quốc gia. Do đó, nhu cầu học của học sinh trong phần này rất cao. Song các tài liệu tham khảo khi viết về chủ đề này lại chỉ nêu ra các ví dụ và lời giải cho các bài tập cụ thể, chưa phân dạng bài toán, chưa phân tích giúp học sinh tìm lời giải cho các bài toán đó.
 Từ những lí do trên cùng với kinh nghiệm giảng dạy của bản thân trong những năm qua, tôi quyết định chọn đề tài :" Hướng dẫn học sinh phân tích, tìm lời giải cho một số dạng toán lập số thường gặp"- chương II- Đại số và giải tích 11. Qua chuyên đề này, tôi không có tham vọng phân tích tường minh cách giải các bài toán cơ bản của đại số tổ hợp mà chỉ giúp học sinh phân tích tìm lời giải cho một số dạng toán lập số cơ bản. Tôi tin rằng, qua chuyên đề này các em học sinh sẽ nắm vững hơn kiến thức cơ bản của Đại số tổ hợp, học được cách phân tích để tìm lời giải cho các bài toán lập số, áp dụng cách suy luận đó vào việc giải các bài toán tổ hợp khác. Từ đó, giúp các em nâng cao khả năng tự học.
 1.2. Mục đích nghiên cứu
Từ thực tế giảng dạy, tôi nghiên cứu đề tài nhằm:
Giúp học sinh biết cách giải một số dạng toán lập số thường gặp trong 
chương trình toán THPT.
Giúp học sinh hiểu cách phân tích để tìm lời giải cho một số bài toán lập 
số.
Nâng cao hiệu quả công tác giảng dạy.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
 Nghiên cứu cách giải các bài toán lập số thường gặp trong chương trình Đại số và giải tích 11và chương trình toán học phổ thông. Từ đó, tôi tổng kết thành một số dạng toán thường gặp về lập số.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết.
Phương pháp điều tra khảo sát thực tế.
PHẦN 2. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 
2.1.1.Quy tắc cộng
Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo một trong k phương án A1, A2, ..., Ak
 Có n1 cách thực hiện phương án A1
 Có n2 cách thực hiện phương án A2
 ...
 Có nk cách thực hiện phương án Ak
Trong đó, các cách thực hiện phương án Ai không trùng với bất kì cách thực hiện nào của phương án Aj. Khi đó, công việc có thể được hoàn thành bởi n1 + n2 + ... + nk cách.
2.1.2.Quy tắc nhân
Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp
 Có m cách thực hiện hành động thứ nhất
 Ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ 2
Khi đó, công việc có thể được hoàn thành bởi m.n cách.
Chú ý:Quy tắc nhân có thể mở rộng cho nhiều hành động liên tiếp
2.1.3.Hoán vị
Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n1). Mỗi cách sắp xếp n phần tử của A theo một thứ tự ta được một hoán vị của A. Số các hoán vị của n phần tử là Pn = n! = n (n-1)(n-2)...2.1.
Nhận xét: Hai hoán vị của n phần tử chỉ khác nhau ở thứ tự sắp xếp.
2.1.4.Chỉnh hợp
Cho tập hợp A gồm n phần tử và số nguyên k (1kn). Khi lấy ra k phần tử khác nhau của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự, ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A( gọi tắt là một chỉnh hợp chập k của A).
Số các chỉnh hợp chập k của A là (*)
Chú ý: Quy ước 0! =1 khi đó công thức(*) đúng với mọi số nguyên k thỏa mãn 0kn.
2.1.5. Tổ hợp
Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n1). Mỗi tập con gồm k phần tử của A gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.
Số các tổ hợp chập k của n phần tử là ( )
2.1.6. Nhận dạng các quy tắc trong giải toán
Hoán vị : Mỗi hoán vị là một sắp thứ tự hết cho n phần tử của tập hợp A.
Chỉnh hợp : Mỗi chỉnh hợp là một sắp thứ tự cho k phần tử là tập con của tập hợp A .
Tổ hợp: Không yêu cầu sắp thứ tự, tức là khi thay đổi thứ tự các phần tử 
trong một. 
tổ hợp thì không tạo thành một tổ hợp mới.
Chú ý: Kí hiệu số phần tử của tập hợp A, B lần lượt là n(A), n(B). 
 - Nếu thì n(AB) = n(A) + n(B)
 - Nếu thì n(AB) = n(A) + n(B) - 
2.2.Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Kết quả khảo sát thực tế khi chưa áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này trên lớp 11A1 trường THPT Như Thanh II năm học 2017- 2018 cho thấy:
 29% học sinh chỉ áp dụng được các quy tắc đếm trong bài toán lập số ở mức độ nhận biết. 
 51 % áp dụng được quy tắc đếm trong bài toán lập số ở mức độ thông hiểu
 Chỉ khoảng 19% học sinh có thể nhận dạng được các quy tắc để giải các bài toán ở mức độ vận dụng điểm 8 trong các bài kiểm tra.
Nguyên nhân :
Quan sát các nhóm học sinh giải bài tập và kết quả các bài kiểm tra cho thấy :
- Học sinh không nhận dạng đúng các quy tắc đếm, quy tắc hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp. 
- Học sinh chưa hiểu cách phân chia trường hợp trong các bài toán phải xét nhiều trường hợp.
- Học sinh chưa phân biệt được các phương án trùng khi lấy hợp các trường hợp có phương án trùng nhau.
Thời gian phân phối giảng dạy cho phần này chỉ là 6 tiết. Với thời lượng đó, sách giáo khoa chỉ trình bày lý thuyết cơ bản và lời giải một số ví dụ đơn giản nhất, giáo viên cũng chưa đủ thời gian để lí giải cặn kẽ các quy tắc áp dụng trong bài toán cụ thể nên hiệu quả của việc vận dụng không cao.
Từ thực trạng trên, khi giảng dạy phần này tôi đã thực hiện:
- Phân chia các bài toán lập số thành một số dạng thường gặp 
- Trong mỗi dạng tôi nêu cách giải, phân tích cặn kẽ các ví dụ điển hình từ dễ đến khó để học sinh dễ tiếp cận quy tắc, hiểu bản chất bài toán. 
- Cuối cùng là phần bài tập tự luyện. 
Các bài tập trong sáng kiến kinh nghiệm được lấy từ các đề thi học sinh giỏi, các sách tham khảo và do tác giả tự biên soạn.
2.3.Các giải pháp thực hiện 
Cụ thể, tôi phân chia các bài toán lập số thành một số dạng thường gặp sau
Dạng 1: Từ các chữ số của tập hợp A lập được bao nhiêu số tự nhiên có k chữ số mà một vài chữ số có điều kiện .	
Khi gặp dạng toán này học sinh phải phân tích trả lời các câu hỏi sau	
Câu hỏi
Trả lời
* Số cần lập có bao nhiêu chữ số?
* Các chữ số của tập A có chữ 
số 0 không?
* Các chữ số có yêu cầu khác nhau không?
*Những chữ số nào có điều kiện?
* Nếu số tự nhiên có k chữ số, số đó có dạng ( ) nếu chưa có câu trả lời thì phải xét các trường hợp thỏa mãn bài toán 
* Nếu có thì a1 
* Nếu có thì không được chọn lặp.
* Nếu có nhiều chữ số có điều kiện thì chữ số nào có nhiều điều kiện được ưu tiên chọn trước ( Có thể phải chia nhiều trường hợp)
Sau khi trả lời đủ các câu hỏi trên, học sinh giải bài toán này theo các bước 
Bước 1: Gọi số cần lập có dạng ( Nêu điều kiện các chữ số)
Bước 2: Tiến hành chọn các chữ số 
Bước 3 : Kết quả bài toán được tính bằng quy tắc nhân
Ví dụ 1: Từ các chữ số 0,1,2,3 lập được bao nhiêu số tự nhiên mà trong mỗi số lập được có các chữ số khác nhau.
* Phân tích
Câu hỏi
Trả lời
* Số cần lập có bao nhiêu chữ số?
* Các chữ số của tập A có chữ 
số 0 không?
* Các chữ số có yêu cầu khác nhau không?
*Những chữ số nào có điều kiện?
*Chưa xác định nên phải xét các trường hợp xảy ra
*Có nên chữ số đứng đầu 
* Có nên không được chọn lặp
* Chữ số đứng đầu a 
Lưu ý: Từ đây ta quy ước với số cần lập có từ hai chữ số trở lên chữ số đứng đầu là chữ số ở hàng cao nhất trong số tự nhiên đó.
Bài giải
- Trường hợp 1: Số lập được có 1 chữ số, có 4 số 0,1,2,3
- Trường hợp 2: Số lập được có hai chữ số dạng ( a0, ab) 
Có 3 cách chọn a, 3 cách chọn b. Trường hợp này có 3.3 = 9 (số) 
- Trường hợp 3: Số lập được có ba chữ số dạng ( a0, a, b, c khác nhau ) 
Có 3 cách chọn a, 3 cách chọn b, 2 cách chọn c.
Trường hợp này có 3.3.2 = 18 (số) 
- Trường hợp 4: Số lập được có bốn chữ số dạng ( a0, a, b, c, d đôi một khác nhau). Có 3 cách chọn a, 3 cách chọn b, 2 cách chọn c, 1 cách chọn d 
Trường hợp này có 3.3.2.1 = 18 (số) 
Vậy số các số thỏa mãn bài toán là 4 +9 + 18 + 18 = 49 ( số) 
Ví dụ 2: Từ các chữ số của tập hợp , lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm 5 chữ số đôi một khác nhau.
* Phân tích
Câu hỏi
Trả lời
* Số cần lập có bao nhiêu chữ số?
* Các chữ số của tập A có chữ 
số 0 không?
* Các chữ số có yêu cầu khác nhau không?
*Những chữ số nào có điều kiện?
*Có 5 chữ số dạng 
*Có nên 
* Có nên không được chọn lặp
* a1, a5 đều có 1 điều kiện 
- Nếu chọn a1 trước: khi a1 lẻ thì a5 có 2 cách chọn, khi a1 chẵn thì a5 có 3 cách chọn. Như vậy bài toán phải chia 2 trường hợp
- Nếu chọn a5 trước thì a1 luôn có 5 cách chọn nên không phải chia trường hợp
Bài giải 
Gọi số cần lập có dạng ( , a5 lẻ, ai aj) 
a5 có 3 cách chọn a5 
a1 có 5 cách chọn a1A\
Có cách chọn bộ số 
Vậy tất cả có 3 . 5. = 900( số)
Ví dụ 3: Từ các chữ số của tập hợp , lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau.
* Phân tích
Câu hỏi
Trả lời
* Số cần lập có bao nhiêu chữ số?
* Các chữ số của tập A có chữ 
số 0 không?
* Các chữ số có yêu cầu khác nhau không?
*Những chữ số nào có điều kiện?
*Có 5 chữ số dạng 
*Có nên 
* Có nên không được chọn lặp
* a1, a5 đều có 1 điều kiện , a5 chẵn 
- Nếu chọn a1 trước: khi a1 lẻ thì a5 có 3 cách chọn, khi a1 chẵn thì a5 có 2 cách chọn. Do đó, bài toán phải chia 2 trường hợp
- Nếu chọn a5 trước: khi a5 = 0 thì a1 có 5 cách chọn, khi thì a1 có 4 cách chọn
Tức là trong bài toán này việc chọn chữ số a1 hay a5 trước đều phải xét 2 trường hợp
Bài giải 
Gọi số cần lập có dạng ( , a5 chẵn, ai aj)
- Trường hợp 1: a5 = 0
a5 có 1 cách chọn 
a1 có 5 cách chọn a1A\
Có cách chọn bộ số 
Trường hợp này có 1 . 5. = 120( số)
-Trường hợp 2: 
Có 2 cách chọn a5: a5 
Có 4 cách chọn a1
Có cách chọn bộ số 
Trường hợp này có 2 . 4. = 192( số)
Vậy số các số thỏa mãn bài toán là 120 + 192 = 312(số)
Ví dụ 4: Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số trong đó các chữ số cách đều chữ số đứng giữa thì giống nhau[2]
* Phân tích
Câu hỏi
Trả lời
* Số cần lập có bao nhiêu chữ số?
* Các chữ số của tập A có chữ 
số 0 không?
* Các chữ số có yêu cầu khác nhau không?
*Những chữ số nào có điều kiện?
*Có 5 chữ số dạng 
*Có nên 
* Không nên được chọn lặp
* ; a2 = a4; a1=a5 nên số cần lập có dạng 
Bài giải Đặt 
Vì số cần lập có 5 chữ số trong đó các chữ số cách đều chữ số đứng giữa thì giống nhau nên số đó có dạng ( ; ai A)
Có 9 cách chọn a1, a1 A\
Có 10 cách chọn a2, a2 A
Có 10 cách chọn a3 , a3 A
Vậy số các số thỏa mãn bài toán là 9 .10.10 = 900( số)
Bài tập tự luyện
Bài 1: Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 
a) Có 4 chữ số đôi một khác nhau
b) Có 4 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5
Bài 2: Có bao nhiêu biển số xe nếu mỗi biển số gồm 3 chữ số trong các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9.
Dạng 2: Lập số tự nhiên có k chữ số mà bắt buộc có mặt chữ số 
Phương pháp: Số cần lập có dạng 
* Nếu trong các chữ số đã cho không có chữ số 0, để lập được số thỏa mãn bài toán ta thực hiện các bước liên tiếp:
Bước 1: Có k vị trí đặt chữ số 
Bước 2: Chọn chữ số cho k-1 vị trí còn lại trong số cần lập 
Bước 3: Kết quả của bài toán bằng kết quả bước 1 nhân kết quả bước 2
* Nếu trong các chữ số đã cho có chữ số 0, ta xét hai trường hợp xảy ra
Trường hợp 1 (chỉ xét khi 0) : a1 = 
Có 1 cách chọn a1
Chọn k-1 chữ số còn lại 
Kết quả của trường hợp 1
Trường hợp 2: a1 ao
Chọn chữ số a1
Có k-1 vị trí đặt chữ số a0
Chọn k-2 chữ số còn lại 
Kết quả của trường hợp 2
Kết quả bài toán = Kết quả trường hợp 1 + kết quả trường hợp 2
Ví dụ 1: Với các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6 ta lập được các số mà mỗi số có 5 chữ số đôi một khác nhau. Hỏi:
a) Có bao nhiêu số trong đó phải có mặt chữ số 2
b) Có bao nhiêu số trong đó phải có mặt chữ số 1 và 6
Bài giải 
Đặt 
Số cần lập có dạng ( aiA, aiaj )
a)
Có 5 vị trí đặt chữ số 2
Có cách chọn và sắp thứ tự bộ 4 chữ số còn lại 
Vậy số các số thỏa mãn bài toán là 5. = 600(số) 
b)
Có cách chọn vị trí để đăt hai chữ số 1 và 6
Có cách chọn bộ 3 chữ số còn lại 
Vậy số các số thỏa mãn bài toán là .= 480(số) 
Ví dụ 2: Có bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số khác nhau trong đó bắt buộc có mặt chữ số 1
* Phân tích
Câu hỏi
Trả lời
* Số cần lập có bao nhiêu chữ số?
* Các chữ số của tập A có chữ 
số 0 không?
* Các chữ số có yêu cầu khác nhau không?
*Những chữ số nào có điều kiện?
*Có 4 chữ số dạng 
*Có nên 
* Có nên không được chọn lặp
* ; a4 và chữ số 1
Bài giải Đặt 
Gọi số cần tìm có dạng ( , a4 chẵn)
Trường hợp 1: a4 = 0
Có 1 cách chọn a4
Có 3 cách chọn vị trí để đặt chữ số 1
Có cách chọn bộ hai số còn lại
Trường hợp này có 1 . 3. = 168(số) 
Trường hợp 2: a4 0 ; a1 = 1
Có 4 cách chọn a4
Có 1 cách chọn a1 
Có cách chọn bộ hai số còn lại
Trường hợp này có 1 . 4. = 224(số) 
Trường hợp 3: a4 0 ; a1 1Có 4 cách chọn a4
Có 2 cách chọn vị trí để đặt chữ số 1
Có 7 cách chọn a1
Có 7 cách chọn chữ số còn lại
Trường hợp này có 4.2.7.7 = 392 (số) 
Vậy số các số thỏa mãn bài toán là 168 + 224 + 392 = 784 ( số )
Nhận xét: Để giải dạng 2 ta vẫn tiếp tục các hệ thống phân tích tìm lời giải của dạng 1 nhưng phải xử lí thêm tính chất đặc trưng của dạng 2 là " bắt buộc có mặt chữ số " trong số cần lập. 
Bài tập tự luyện 
Bài 1: Cho 8 chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 4.
Bài 2: Từ 3 chữ số 2; 3; 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số, trong đó có mặt đủ 3 chữ số trên.
Dạng 3: Lập số tự nhiên có k chữ số mà bắt buộc hai chữ số a, b đứng cạnh nhau( hoặc hai chữ số a, b không đứng cạnh nhau)
Phương Pháp: 
Bước 1:
Xem hai chữ số a, b đứng cạnh nhau là một chữ số đặc biệt X.
Bài toán trở thành lập số tự nhiên có k-1 chữ số trong đó bắt buộc có mặt 
chữ số X ( trở về bài toán ở dạng 2).
Bước 2: 
Số hoán vị của hai chữ số a, b là 2!
Do đó, kết quả bài toán bằng (Kq bước 1) x 2!
Chú ý: 
Đối với bài toán: Lập số tự nhiên có k chữ số mà bắt buộc hai chữ số a, b không đứng cạnh nhau, ta giải theo phương pháp tìm phần bù.
Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có k chữ số bất kỳ.
 B là tập hợp các số tự nhiên có k chữ số trong đó bắt buộc hai chữ số a,b đứng cạnh nhau.
Kết quả của bài toán bằng n(A) - n(B)
Ví dụ 1: Cho 7 chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 7; 9. Hỏi lập được bao nhiêu số có 7 chữ số đôi một khác nhau mà 
a) Hai chữ số chẵn đứng cạnh nhau
b) Hai chữ số chẵn không đứng cạnh nhau
Bài giải
a)
Xem hai chữ số 2;4 đứng cạnh nhau tạo thành một chữ số đặc biệt X
Khi đó từ các chữ số 1; X; 3; 5; 7; 9 ta tìm số các số có 6 chữ số khác nhau dạng bắt buộc có mặt chữ số X. Tất cả có 6! (số)
Mặt khác hai chữ số 2 và 4 trong X có 2! hoán vị 
Vậy số các số thỏa mãn bài toán là 6!.2!= 1440 (số).
b)
Số các số có 7 chữ số khác nhau lập được từ tập hợp A là 7! (số)
Vậy số các số có 7 chữ số khác nhau lập được từ tập A mà hai chữ số
chẵn không đứng cạnh nhau là 7! - 1440 = 3600 (số).
Chú ý : Dạng 3 có thể mở rộng cho trường hợp yêu cầu nhiều chữ số đứng cạnh nhau. 
Nhận xét: Thực chất dạng 3 là sự kết hợp của dạng 1 và dạng 2
Bài tập tự luyện 
Bài 1: Có bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số khác nhau mà hai chữ số 1;2 đứng cạnh nhau và hai chữ số 3;4 đứng cạnh nhau.
Bài 2: Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau trong đó hai chữ số 1và 2 không đứng cạnh nhau. 
Dạng 4: Lập số tự nhiên có n chữ số mà chữ số a có mặt k lần ( k < n )
Phương pháp:
Bước 1: Chọn k vị trí trong n vị trí để đặt k chữ số a, có cách chọn. 
( lưu ý trường hợp có chữ số 0)
Bước 2: Chọn các chữ số còn lại 
Bước 3: Kết quả bài toán bằng (Kết quả bước 1) nhân (Kết quả bước 2)
Ví dụ 1: Cho tập hợp . Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số, trong đó chữ số 1 có mặt ba lần các chữ số còn lại có mặt đúng một lần.
Bài giải
Đặt 
Số cần lập có dạng (a10)
Trường hợp 1: a1 = 1
Có 1 cách chọn a1
Có cách chọn vị trí cho 2 chữ số 1 còn lại
Có 5! cách chọn và sắp thứ tự cho 5 chữ số của 5 vị trí còn lại 
Trường hợp này có 1.. 5! = 2520 (số)
Trường hợp 2: 
Có 4 cách chọn a1 : a1	
Có cách chọn vị trí cho 3 chữ số 1 trong 7 vị trí còn lại
Có 4! cách chọn và sắp thứ tự cho 4 chữ số vào 4 vị trí còn lại
Trường hợp này có 4.. 4! = 3360(số)
Vậy số các số thỏa mãn bài toán là 2520 + 3360 = 5880(số)
Bình luận 1: Bài toán có thể giải bằng nhiều cách, sau đây là một cách giải tương đối ngắn gọn 
Bài toán thực chất là lập số tự nhiên có 8 chữ số dạng (a10)
trong đó có mặt tất cả các chữ số 0, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5
 Có 7 cách chọn a1: a1
 Có 7! cách chọn và sắp thứ tự cho 7 chữ số 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5
Tất cả có 7.7! ( số ) 
Nhưng khi sắp thứ tự cho 3 chữ số 1 giống nhau ta không thu được một số mới . Do đó, số các số lập được là (số)
Bình luận 2: Học si