Hướng dân học sinh một vài phương pháp giải bài toán về số chính phương trong chương trình khối 8 THCS

HƯỚNG DÂN HỌC SINH MỘT VÀI PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG TRONG CHƯƠNG TRÌNH KHỐI 8 THCS
MỤC LỤC
Phần mục
Trang
1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài
1.2. Mục đích nghiên cứu
1.3. Đối tượng nghiên cứu
1.4. Phương pháp nghiên cứu
1
1
2
2
3
2. Nội dung của sáng kiến
2.1. Cở sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.4. Hiêu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động
 giáo dục, với bản thân, động nghiệp và nhà trường
3
3
4
5
16
3. Kết luận, kiến nghị
3.1. Kết luận
3.2. Kiến nghị
17
17
18
1. Mở đầu
1.1. Lý do chọn đề tài
Trong công cuộc công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước đang đặt ra những yêu cầu to lớn về chất lượng nguồn lực con người. Đó là sự phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẫm mỹ. Từ đó, cho thấy giáo dục đạo đức là một trong những điểm chủ yếu, cốt lõi xuyên suốt và giữ vị trí chủ đạo trong toàn bộ quá trình phát triển nhân cách, đào tạo con người trong nhà trường. Song song với việc giáo dục đạo đức thì việc giảng dạy kiến thức cho học sinh cũng không thể thiếu. Toán học là một trong những môn học chiếm vị trí quan trọng, bởi một học sinh học giỏi toán thì các môn học khác sẽ tiếp cận rất nhanh. 
Người thầy muốn học sinh của mình học giỏi toán, tự giác trong học tập, biết cách tổ chức công việc của mình một cách độc lập, không bị thụ động áp đặt, cần phải rèn cho học sinh kỹ năng, độc lập suy nghĩ một cách sâu sắc, nắm vững kiến thức, hiểu rõ vấn đề. Muốn vậy, đòi hỏi người thầy lao động sáng tạo, tâm huyết, biết tìm ra nhiều phương pháp, các dạng toán hay để truyền đạt cho học sinh hiểu một cách cặn kẽ, thấu đáo, vận dụng linh hoạt kiến thức trong nhiều tình huống khác nhau, khơi dậy niềm đam mê học toán. 
	Đối với học sinh lớp 6 đều biết định nghĩa về số chính phương, nhưng thực tế cho thấy những bài toán về số chính phương các em gặp phải trong các sách bồi dưỡng, sách nâng cao không đơn giản chút nào. Bởi để giải những bài toán đó các em không chỉ dựa vào định nghĩa mà còn phải dựa vào nhiều tính chất của số chính phương, mà các tính chất này khi học lên các lớp 7, 8, 9 các em sẽ có cách nhìn sâu sắc hơn. Từ những định hướng trên đây, trong giảng dạy Toán ngoài việc giúp học sinh nắm chắc những kiến thức cơ bản, thì việc phát huy tính tích cực của học sinh trong việc mở rộng kiến thức, vận dụng các kiến thức có liên quan là việc rất cần thiết, đặc biệt là cho công tác bồi dưỡng học sinh giỏi. 
Bản thân là một giáo viên dạy Toán ở trường THCS, tôi luôn tự cố gắng, tự nghiên cứu để tìm ra những phương pháp giảng dạy sao cho có hiệu quả nhất nhằm giúp học sinh phát huy tư duy, tính sáng tạo của bản thân và rèn luyện kỹ năng cho học sinh. Tôi cũng đã bắt nhịp được với tinh thần giảng dạy đổi mới đó. 
Trong quá trình giảng dạy, điều mà tôi trăn trở và tâm đắc nhất là dạy học về số chính phương. Để giải quyết vấn đề đó tôi đã tìm tòi tài liệu và những kinh nghiệm của bản thân để giảng dạy được tốt hơn .
Đề tài: "Hướng dẫn học sinh một vài phương pháp giải bài toán về số chính phương trong chương trình khối 8 THCS". Xin giới thiệu với đồng nghiệp và hội đồng khoa học nhằm nâng cao chất lượng học tập của học sinh giúp cải thiện kết quả qua các kì thi.
 	1.2. Mục đích nghiên cứu
Là một giáo viên trẻ trong trường THCS, được trực tiếp tham gia giảng dạy và được nhà trường phân công nhiệm vụ bồi dưỡng học sinh giỏi Toán khối 8, tôi luôn băn khoăn, suy nghĩ lựa chọn những chuyên đề Toán phù hợp với nội dung chương trình, đồng thời phát triển tối đa năng lực tư duy của học sinh, bồi dưỡng khả năng tự học của học sinh.
	Qua quá trình giảng dạy kết hợp với nghiên cứu tài liệu, tôi xin trình bày những kinh nghiệm mà tôi tích luỹ được khi dạy học sinh phần kiến thức “các bài toán liên quan đến số chính phương” với mục đích giúp học sinh nắm được các bài toán và cách giải cơ bản, qua đó củng cố và sau đó là nâng cao và phát triển các kiến thức cơ bản học trong chương trình. Giúp học sinh phát triển năng lực tư duy, tích cực, chủ động, sáng tạo trong học tập, bồi dưỡng năng lực tự học cho các em.
1.3. Đối tượng nghiên cứu 
	Trong quá trình dạy học trên lớp tôi phát hiện có một số em học sinh thể hiện khả năng nhận thức nhanh nhạy, thông minh. Các em giải quyết được hầu hết các bài toán trong sách giáo khoa, đồng thời nếu được hướng dẫn các em có thể làm được rất nhiều bài trong Sách bài tập. Một số bài toán các em giải quyết theo nhiều phương án, có những phương án rất thông minh nằm ngoài dự đoán của tôi. Trong quá trình dạy học thì một quan điểm mà tôi rất tâm đắc đó là “Đưa học sinh vào vùng phát triển gần nhất”, tức là đặt ra một yêu cầu cao hơn mà nếu học sinh cố gắng nỗ lực và được sự hướng dẫn của giáo viên (mức độ có thể nhiều ít khác nhau) thì học sinh sẽ đạt được. Qua đó tri thức của học sinh phát triển ở một tầm cao hơn, năng lực tư duy phát triển hơn. Ngoài ra tôi muốn trao đổi với các bạn đồng nghiệp để rút kinh nghiệm và hoàn thiện hơn về nội dung và phương pháp áp dụng của chủ đề "Hướng dẫn học sinh một vài phương pháp giải bài toán về số chính phương trong chương trỡnh khối 8 THCS".
1.4. Phương pháp nghiên cứu
	Tham khảo các tài liệu liên quan đến công tác soạn giảng nhằm phát huy tính tích cực của học sinh như: Một số vấn đề đổi mới phương pháp dạy học ở THCS môn Toán do Bộ GD & ĐT ban hành. Thiết kế bài soạn, sách giáo viên, sách giáo khoa, sách bài tập.
Ngoài ra tôi nghiên cứu thêm các tài liệu của bộ môn như “Toán nâng cao và các chuyên đề”, “Nâng cao và phát triển Toán”...
Đúc rút từ việc tham gia các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi do Phòng GD&ĐT tổ chức.
	Thực tế công tác giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi của bản thân và học hỏi đồng nghiệp.
	2. Nội dung của sáng kiến
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Học sinh THCS nói chung thường ít tự mình tìm tòi tài liệu cho mình để học, đa số học sinh còn thụ động tiếp thu kiến thức từ giáo viên. Vậy làm thế nào để học sinh hứng thú với học tập đặc biệt là các chuyên đề như chứng minh số chính phương, tìm số chính phương, ...
Với học sinh lớp 8 thì việc giải bài toán về "số chính phương" gặp rất nhiều khó khăn. Chính vì vậy chúng ta cần:
- Giúp học sinh hiểu về số chính phương cũng đơn giản dễ dàng chứ không phải là cái gì xa vời khó khăn cả.
- Giúp học sinh có các thao tác tư duy, so sánh, khái quát hoá, trừu tượng hoá, tương tự hoáđể từ đó biết trình bày bài toán tốt nhất.
- Giúp học sinh kĩ năng thực hành, vận dụng kiến thức cơ bản để vận dụng giải toán một cách thành thạo.
- Ngoài ra còn rèn luyện cho học sinh những đức tính cẩn thận, sáng tạo, chủ động trong giải toán.
 	Vì vậy mét sè vÊn ®Ò träng t©m cần thiết cho giải bài toán về số chính phương:
- Một số kiến thức cơ bản về số chính phương.
- Phương pháp giải bài toán về số chính phương.
- Một số dạng toán về bài toán về số chính phương.
- Một số bài toán có liên quan đến số chính phương.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
- Thực trạng
Trên thực tế giảng dạy nhiều năm qua, các bài toán về số chính phương ít được đề cập đến nhưng là một trong những chuyên đề trong cấu trúc đề thi học sinh giỏi của phòng GD&ĐT nên một số năm bồi dưỡng học sinh giỏi các lớp 6, 7, 8 của trường, tôi thấy các em thường tỏ ra lúng túng khi gặp về các bài toán về số chính phương. Các em chỉ làm được một số bài tập ở dạng đơn giản, còn những bài tập ở dạng phức tạp thì các em trình bày lủng củng, các kết luận không có căn cứ và trình bày lời giải không khoa học.
Mặt khác qua trao đổi với đồng nghiệp trường bạn và qua việc theo dõi, trao đổi với học sinh tôi thấy rằng học sinh hay ngại làm bài toán về số chính phương vì nó lằng nhằng liên quan nhiều kiến thức. Những bài toán về số chính phương học sinh bình thường hay khá giỏi đều hay nhầm lẫn. Bên cạnh đó tài liệu để học thường ít, chưa có thành các chuyên đề.
Qua đó học sinh ta hay ngại học về số chính phương, còn những học sinh siêng năng hơn thì chưa có nhiều tài liệu để học.
- Kết quả của thực trạng:
Để đánh giá khả năng giải toán của học sinh, tôi tiến hành kiểm tra 30 em học sinh lớp 8 ở trường trong đợt bồi dưỡng học sinh giỏi với thời gian làm bài 30 phút:
Đề bài:
Bài 1( 5đ ): Tìm số chính phương có bốn chữ số và chia hết cho 33
Bài 2: Chứng minh rằng: M = là số chính phương.
Kết quả cụ thể là
Số HS
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu, Kém
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
30
1
3,3
3
10
10
33,3
16
53,4
Qua bài kiểm tra tôi thấy nhiều học sinh không làm được bài 2 hoặc một số em giải dài dòng, phức tạp song lại không đầy đủ. Vì vậy, việc xây dựng chuyên đề về số chính phương để áp dụng vào giảng dạy bồi dưỡng cho học sinh khá giỏi là rất cần thiết và được triển khai ngay.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1. Các kiến thức cơ bản về số chính phương
* Định nghĩa: Số chính phương là số bằng bình phương của một số tự nhiên.
* Tính chất: 
1) Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9; không thể có chữ tận cùng bằng 2, 3, 7, 8.
2) Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn.
3) Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n+1. Không có số chính phương nào có dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 (n N).
4) Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n +1. Không có số chính phương nào có dạng 3n + 2 ( n N ).
5) Số chính phương tận cùng bằng 1, 4 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.
Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2.
Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ.
6) Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4.
Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9
Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25
Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16
Bài tập về số chính phương
Phương pháp: Để chứng minh một số N là một số chính phương ta có thể biến đổi số đó thành bình phương của một số tự nhiên bằng cách dựa vào cách biểu diễn số tự nhiên trong hệ thập phân
N = = an.10n-1 + an-1.10n-2 + ...+ a2.102 + a1
Cách phân tích như vậy gọi là phương pháp cấu tạo số
Đặc biệt = a . = a . 
Bài tập: Chứng minh các số sau đây là số chính phương
a) A = 
b) B = 
c) C = 
d) D = 22419
e) E = 
f) F = x 15 + 1
Giải: Với loại bài tập này tuy không khó nhưng tôi phân tích để các em hiểu bản chất bài toán sử dụng phương pháp cấu tạo số 
 = ta có thể chứng minh một cách dễ dàng
a) A = = 
 = 
 = 
 = = 
 	Vì số chính phương là bình phương của một số tự nhiên nên ta phải chứng minh 10n + 2 chia hết cho 3
Do đó A = = mà 10n - 1 = 
Suy ra A = = = 
Vậy A là số chính phương
	Từ tích của n chữ số 4 tôi có thể đưa về tích của n chữ số 1 bằng cách 
 = 4. 
Tương tự các câu sau học sinh tự làm
b) B = = 
 = +8
 = 
 = = . 
Vì số chính phương là bình phương của một số tự nhiên nên ta phải chứng minh 10n + 8 chia hết cho 3
Do đó B = = mà 10n - 1 = 
Suy ra A = = = 
Vậy B là số chính phương
c) C = = 4.
 = +8
 = 
 = = . 
Vì số chính phương là bình phương của một số tự nhiên nên ta phải chứng minh 2.10n + 7 chia hết cho 3
Do đó B = = mà 10n - 1 = 
Suy ra A = = = 
Vậy B là số chính phương
e) E = = 
 = 
 	 = 
 = 
 = = . Tương tự chứng minh giống câu a.
Vì số chính phương là bình phương của một số tự nhiên nên ta phải chứng minh 10n + 2 chia hết cho 3
Do đó E = = mà 10n - 1 = 
Suy ra E = = = 
Vậy E là số chính phương
f) F = x 15 + 1 = 
 = 
 = 
 = = . 
Vì số chính phương là bình phương của một số tự nhiên nên ta phải chứng minh 101995 + 2 chia hết cho 3
Do đó F = = mà 101995 - 1 = 
Suy ra F = = = 
Vậy F là số chính phương
Sau khi đưa ra bài tập trên nhằm giúp HS khắc sâu một số chính phương là số bằng bình phương của một số tự nhiên. Bằng cách biến đổi n chữ số 1, n chữ số 4(câu a) hay số cụ thể hơn 1995 chữ số 1 (câu F). Tôi đã cho HS thấy được các câu trên có chung một cách biến đổi. Từ bài toán nhìn thấy phức tạp nhưng khi hiểu được thì trở nên đơn giản. Từ bài toán trên HS đã có một chút kiến thức làm nền tảng cho các bài tập khác. Từ đó tôi đưa ra 3 giải pháp là 3 dạng toán cơ bản về số chính phương.
2.3.2. Các dạng cơ bản về số chính phương
Dạng 1: Chứng minh một số là số chính phương
Dạng 2: Tìm số chính phương
Dạng 3: Tìm một số biểu thức thõa mãn là một số chính phương
Mỗi dạng toán có cách giải riêng, từ đó giúp các em học sinh dễ học và hiểu sâu sắc về dạng toán đó. Để làm được điều đó một cách thành thạo, nhuần nhuyễn, thành đường mòn ta cần hướng dẫn học sinh cách giải tổng quát của từng dạng rồi đưa ra các bài tập minh họa và bài tập vận dụng.
(Tuy nhiên việc phân chia dạng chỉ có tính chất tương đối)
Dạng 1: Chứng minh số chính phương
Phương pháp 1 : Dựa vào định nghĩa 
Ta biết rằng, số chính phương là bình phương của một số tự nhiên. Dựa vào định nghĩa này, ta có thể định hướng giải quyết các bài toán
Bài 1: Cho số tự nhiên A = , B = 
Chứng minh rằng A - B là số chính phương
(Bài 395 -Trang 93 - Nâng cao và phát triển Toán 6 - Vũ Hữu Bình)
Giải: Khi đã hiểu được về số chính phương thì HS dễ dàng theo phương pháp cấu tạo số để biến đổi A và B
Ta có: A = = 
 = .1050 + 
 = 
 = 
 = 
B = = 2. = 
Do đó A - B = = 
Chứng minh tương tự như bài tập 1 thì A - B là số chính phương
GV lưu ý cho học sinh tích của có bao nhiêu chữ số (từ 1 đến 9) ta cũng biến đổi được để đưa được về hằng đẳng thức bình phương của một tổng
Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì 
 A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chính phương.
Với kiến thức của lớp 8 HS nghĩ thực hiện phép nhân đa thức với đa thức bằng cách nhóm thừa số 1 với thừa số 4, thừa số 1 với thừa số 4
Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4
 = (x + y)(x + 4y)(x + 2y)(x + 3y) + y4
 = (x2 + 5xy + 4y2)( x2 + 5xy + 6y2) + y4 
Đặt x2 + 5xy + 5y2 = t ( t Z) thì
 A = (t - y2)( t + y2) + y4 = t2 –y4 + y4 = t2 = (x2 + 5xy + 5y2)2 
Vì x, y, z Z nên x2 Z, 5xy Z, 5y2 Z x2 + 5xy + 5y2 Z
Vậy A là số chính phương.
	Tôi đã chỉ cho HS cách nhóm các thừa số để nhằm xuất hiện các số hạng chung ở 2 thừa số, còn 2 số hạng không chung bằng trung bình cộng
Bài tập củng cố
Bài 3: Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là số chính phương (Bài 84 – trang 26 – Toán BDHS Lớp 8 – Vũ Hữu Bình, Tôn Thân, Đỗ Quang Thiều).
Gọi 4 số tự nhiên, liên tiêp đó là n, n + 1, n+ 2, n + 3 (n N). 
Ta có: n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n.(n + 3(n + 1)(n + 2) + 1 
 = (n2 + 3n)( n2 + 3n + 2) + 1 (*)
Đặt n2 + 3n = t (t N) thì (*) = t( t + 2 ) + 1 = t2 + 2t + 1 = ( t + 1 )2 
 = (n2 + 3n + 1)2
Vì n N nên n2 + 3n + 1 N. 
Vậy n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 là số chính phương.
Còn đối với dãy số cộng thì ta chứng minh là số chính phương như thế nào ta chuyển sang bài tập 4
Bài 4: Cho dãy số 49; 4489; 444889; 44448889; 
 Dãy số trên được xây dựng bằng cách thêm số 48 vào giữa số đứng trước nó. Chứng minh rằng tất cả các số của dãy trên đều là số chính phương.
Giải: Vì dãy số trên được xây dựng bằng cách thêm số 48 vào giữa số đứng trước nó. Ta biến đổi từ dãy số tổng quát như sau: 
Ta có = 
 = 
 = 4. . 10n + 8. + 1 
 = 
 = = 
Ta thấy: 2.10n +1 = có tổng các chữ số chia hết cho 3 nên nó chia hết cho 3.
 Do đó Z hay các số có dạng 4448889 là số chính phương.
Lưu ý: Khi làm với một dãy số bao giờ cũng biến đổi từ dãy số tổng quát để tìm ra quy luật chung cho các dãy số còn lại 
Bài tập củng cố:
Bài 5: Cho A = , n N* 
So sánh tổng các chữ số của A2 và tổng các chữ số của A
Bài 6: Cho m N*, A = , B = , C = 
Chứng minh rằng A + B +C + 8 là số chính phương 
Dạng 2: Tìm số chính phương
Ví dụ 1: Tìm số chính phương có bốn chữ số, được viết bởi các chữ số 3, 6,8,8.
Tôi có thể định hướng cho HS bằng câu hỏi: Số chính phương không có tận cùng là các chữ số nào ?
Số chính phương không thể tận cùng bằng 2, 3, 7, 8
Giải: Gọi n2 là số chính phương phải tìm.
Số chính phương không thể tận cùng bằng 3, 8. Do đó n2 phải tận cùng bằng 6.
Số tận cùng bằng 86 thì chia hết cho 2, không chia hết cho 4 nên không là số chính phương. Vậy n2 có tận cùng bằng 36.
Số chính phương phải tìm là 8836 = 942
	 Bài tập củng cố:
Bài 1: Tìm số chính phương có bốn chữ số, được viết bởi các chữ số 0, 2,3,4.
Bài 2: Tìm số chính phương có bốn chữ số, được viết bởi các chữ số 7, 4,2,0.
Bài 3: Tìm số chính phương có bốn chữ số, được viết bởi các chữ số 0, 2,3,5.
(Bài 381, 382, 383 trang 92, 93 - Nâng cao và phát triển Toán 6 - Vũ Hữu Bình)
Đáp số: 
Bài 1: 2304 = 482
 Bài 2: 2704 = 522
 Bài 3: 3025 = 552
Ví dụ 2: Tìm số chính phương có ba chữ số chia hết cho 56
Giải: Gọi số chính phương là a = n2 (100 
Vì a chia hết cho 56 nên a = 56.k(2 )
Hay n2 = 22 .14.k mà n2 là số chính phương
 n B(14) = 
Suy ra n2 . Trong hai số 196, 784 có 784 có ba chữ số chia hết cho 56
Vậy số chính phương phải tìm là 784 
Ví dụ 3: Tìm số chính phương có 4 chữ số chia hết cho 147 và có tận cùng là 9 
Giải: Gọi số chính phương là a (1000 
 	Vì a chia hết cho 147 nên a = 147.k(kN)
Hay a = 3.72 .k ().
 	Theo giả thiết a có tận cùng là 9 nên tận cùng của k là 7 
Như vậy k chỉ có thể 17, 27,37,47,57,67
Mặt khác 147 = 3.7.7 k = 3.n2(n là số tự nhiên)
Trong các số trên chỉ có hai số 27 và 57 chia hết cho 3 nên k chỉ có thể là 27 hoặc 57
Nếu k = 27 thì a = 147 .27 = 3969 = 632 (thỏa mãn)
Nếu k = 57 thì a = 147 .57 = 8379 (không là số chính phương, loại)
Vậy số chính phương phải tìm là 3969 
 	Tôi phân tích chỉ cho HS thấy sự khác nhau của ba ví dụ trong một dạng
- Ví dụ 1 HS phải thuộc số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9; không thể có chữ tận cùng bằng 2, 3, 7, 8 và tính chất về chia hết. 
- Ví dụ 2, ví dụ 3 thuộc phép chia hết: Cho hai số tự nhiên a và b (b 0), nếu có số tự nhiên x sao cho b.x = a thì ta nói a chia hết cho b. Ngoài ra kết hợp với phép thử để loại những số không thỏa mãn 
Bài tập củng cố:
Bài 1: Tìm số chính phương có 4 chữ số biết rằng 2 chữ số đầu giống nhau, 2 chữ số cuối giống nhau.
(Ví dụ 97 - Trang 92 Nâng cao và phát triển Toán 6 - Vũ Hữu Bình)
Gọi số chính phương phải tìm là = n2 với a, b N, 1 ≤ a ≤ 9; 0 ≤ b ≤ 9
Ta có n2 = = 1100a + 11b = 11.(100a+b) = 11.(99a+a+b) (1)
Nhận xét thấy 11.(99a+a+b) 1199a + a + b 11 a + b 11
Mà 1 ≤ a ≤ 9 ; 0 ≤ b ≤ 9 nên 1 ≤ a+b ≤ 18 a+b = 11
Thay a + b = 11 vào (1) được n2 = 112(9a + 1) do đó 9a + 1 là số chính phương.
Bằng phép thử với a = 1; 2; ; 9 ta có
+) a = 1 thì n2 = 112(9.1+1) = 112.10 (loại)
+) a = 2 thì n2 = 112(9.2+1) = 112.19 (loại)
+) a = 3 thì n2 = 112(9.3+1) = 112.28 (loại)
Làm tương tự với a = 4, 5..., 9 thấy chỉ có a = 7 
thì n2 = 112(9.7+1) = 112.82 (thỏa mãn) b = 4
Số cần tìm là 7744
Bài 2: Tìm một số có 4 chữ số vừa là số chính phương vừa là một lập phương.
Gọi số chính phương đó là . Vì abcd vừa là số chính phương vừa là một lập phương nên đặt = x2 = y3 ( x, y N)
Vì y3 = x2 nên y cũng là một số chính phương .
Ta có 1000 ≤ ≤ 9999 10 ≤ y ≤ 21 và y chính phương y = 16
 	Số cần tìm là 4096
Dạng 3 : Tìm một số để biểu thức thỏa mãn là một số chính phương
Bài 1: Tìm số tự nhiên n có 2 chữ số, biết rằng 2 số 2n+1 và 3n+1 đồng thời là 2 số chính phương 
(Bài 388 trang 93 - Nâng cao và phát triển Toán 6 - Vũ Hữu Bình)
Giải : Vì n là số tự nhiên có 2 chữ số nên 10 ≤ n < 100 
 do đó 21 ≤ 2n+1 < 201 
 	Mặt khác 2n+1 là số chính phương lẻ, nên 2n+1 chỉ có thể nhận một trong các giá trị :25; 49; 81; 121; 169. 
Với 2n + 1 = 25 2n = 24 n = 12. Khi đố 3n + 1 = 3.12+1 = 37
Với 2n + 1 = 49 2n = 48 n = 24. Khi đó 3n + 1 = 3.24 + 1 = 73
Với 2n + 1 = 81 2n = 80 n = 40. Khi đó 3n + 1 = 3.40 + 1 = 121
Với 2n + 1 = 121 2n = 120 n = 60. Khi đó 3n + 1 = 3.60 + 1 = 181
Với 2n + 1 = 169 2n = 168 n = 84. Khi đó 3n + 1 = 3.84 + 1 = 253
Trong các số trên chỉ có số 121=112 là một số chính phương. 
 Vậy số tự nhiên có 2 chữ số cần tìm là n = 40. 
Bài 2: Tìm số tự nhiên n biết rằng n + 20 là một số chính phương và n - 69 cũng là một số chính phương.
Giải: Vì n + 20, n – 69 là số chính phương 
 đặt n + 20 = a2 ; n – 69 = b2 (a, b ÎN và a > b)