Hướng dẫn học sinh khá giỏi lớp 9 sử dụng định lý Vi - Ét giải bài toán cực trị và bài toán về số nghiệm của phương trình quy về bậc hai

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
PHÒNG GD&ĐT THANH HÓA
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHÁ GIỎI LỚP 9 SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ VI-ÉT GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ VÀ BÀI TOÁN VỀ SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI 
Người thực hiện: Hoàng Minh Hạnh
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THCS Đông Hải
SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán
THANH HOÁ NĂM 2017
MỤC LỤC
 Trang
1. Mở đầu
1
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2
 2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
2
 2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
2
 2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
3
 Phần I: Sử dụng định lý Vi-et cho các bài toán về 
 biểu thức nghiệm của phương trình bậc hai 
4
 Phần II: Sử dụng định lý Vi-et để giải bài toán về số nghiệm của phương trình quy về bậc hai 
9
3. Kết luận và kiến nghị 
19
	 1. MỞ ĐẦU	
1.1.Lý do chọn đề tài
 Trong các môn học ở bậc tiểu học, trung học cơ sở hay trung học phổ thông, môn toán là một môn học khó nhưng cũng rất hấp dẫn và lý thú. Việc học toán có ý nghĩa rất lớn đối với học sinh. Nó giúp các em từng bước phát triển năng lực tư duy khoa học; hình thành kĩ năng ứng dụng toán học vào thực tiễn cũng như vào việc học tập các môn học khác.
Ở trường THCS, trong dạy học toán, cùng với việc hình thành cho học sinh một hệ thống vững chắc các khái niệm, các định lý thì việc dạy học giải các bài toán có tầm quan trọng đặc biệt và là một trong các vấn đề trung tâm của phương pháp dạy học toán ở trường phổ thông. Đối với học sinh THCS có thể coi giải toán là một hình thức chủ yếu của việc học toán. 
	Trong chương trình toán THCS ²Định lý Vi-ét ” là một phần kiến thức vô cùng quan trọng. Định lý Vi-ét và các ứng dụng của nó có vai trò như một chiếc "chìa khoá" mở ra hướng giải quyết cho nhiều bài toán khác nhau, từ những bài toán cơ bản đến các bài toán nâng cao như: bài toán về nghiệm của phương trình quy về bậc hai, toán chứng minh bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN của biểu thức... Điều này cho thấy, phạm vi ứng dụng của định lý Vi-ét trong giải toán là rất đa dạng và phong phú. Và để giải được các dạng toán này đòi hỏi học sinh phải có tư duy sáng tạo, biết kết hợp kiến thức cũ với kiến thức mới một các có logic và hệ thống.
	Là một giáo viên giảng dạy Toán bậc THCS, bản thân tôi lại được nhà trường trực tiếp giao trách nhiệm bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi Toán tham dự kì thi các cấp thành phố và cấp Tỉnh, tôi cũng rất trăn trở làm sao để các em làm tốt các dạng toán này đồng thời giúp các em có tư duy sáng tạo trong quá trình khai thác ứng dụng của định lý Vi-ét. Và cao hơn là giúp các em tìm tòi, phát hiện, tạo hứng thú trong quá trình học bộ môn Toán
	Xuất phát từ thực tế và những lý do được ở trên tôi đã lựa chọn đề tài nghiên cứu: “Hướng dẫn học sinh khá giỏi lớp 9 sử dụng định lý Vi-et giải bài toán tìm cực trị và bài toán về số nghiệm của của phương trình quy về bậc hai ” 
1.2. Mục đích nghiên cứu
	- Giúp học sinh nắm vững kiến thức về định lí Vi-et, biết phân tích các điều kiện đề bài cho, xác định rõ yêu cầu, có sự phân loại và định hướng rõ ràng đối với mỗi bài toán có liên quan, từ đó có hướng giải đúng, có thế tự tin giải bài tập nhanh hơn, có hiệu quả cao.Trên cơ sở đó giúp học sinh phát triển năng khiếu của bản thân thông qua việc tìm hiểu ứng định lý Vi-ét ở mức độ cao hơn.
	- Mở ra cho các em những góc nhìn mới mẻ về định lý Vi-ét, đáp ứng nguyện vọng trong việc nâng cao kiến thức, khám phá kiến thức mới, kích thích sự tìm tòi sáng tạo , từ đó tạo ra niềm say mê yêu thích đối với toán học nhiều hơn. 
	- Góp phần nâng cao chất lượng bộ môn toán, đặc biệt là nâng cao chất lượng học sinh khá giỏi.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
	Học sinh khá giỏi lớp 9A, 9C trường Trung học cơ sở Đông Hải - Thành phố Thanh Hóa - Tỉnh Thanh Hóa 
1.4. Phương pháp nghiên cứu
	- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Đọc các tài liệu, phân tích tổng hợp các vấn đề lý luận về việc dạy toán ứng dụng định lý Vi-ét.
	- Phương pháp pháp thực nghiệm sư phạm: Tiến hành dạy thực nghiệm để kiểm tra kết quả áp dụng đề tài
	- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Rút ra những bài học cho bản thân và đồng nghiệp để giảng dạy tốt hơn.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:
 Định lý Vi-ét và các ứng dụng của nó rất phong phú và đa dạng. Có nhiều cách vận dụng định lý tùy thuộc vào đặc thù của mỗi bài toán. Điều này tương đối khó đối với học sinh THCS. Để vận dụng tốt nội dung này không chỉ đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức và có kỹ năng giải toán nhất định mà còn hỏi các em phải trải qua các thao tác của tư duy như: phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự hoá, đặc biệt hoá, khái quát hóa.. Thông qua đó các em biết tìm ra phương pháp giải quyết vấn đề; có kĩ năng phát hiện những kiến thức liên quan với nhau, nhìn nhận một vấn đề ở nhiều khía cạnh; Có khả năng khai thác một vấn đề mới từ những vấn đề đã quen biết...Điều này giúp phát huy tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo cho học sinh góp phần xây dựng rèn luyên các em trở thành những con người năng động sáng tạo thích ứng với sự thay đổi cuả hoàn cảnh và sự phát triển của xã hội...
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nhiệm:
 Tại trường THCS Đông Hải, ở lớp 9A và 9C do tôi giảng dạy thì những bài toán cơ bản về ứng dụng của định lý Vi-ét như: tính tổng và tích các nghiệm của phương trình bậc hai, nhẩm nghiệm, tìm hai số khi biết tổng và tích, xét dấu nghiệm của phương trình bậc hai các em đã biết cách làm. Còn những bài toán ở mức độ vận dụng và vận dụng cao liên quan đến một số bài toán chứa tham số về số nghiệm của phương trình quy về bậc hai, chứng minh bất đẳng thức hoặc tìm cực trị thì các em đều không thể biết cách vận dụng định lý Vi-et để làm. 
 Trong quá trình giảng dạy học sinh lớp 9, bản thân tôi nhận thấy đây là dạng toán khó mà trong các tài liệu tham khảo cũng chỉ đưa ra bài tập và giải mà không nêu được phương pháp rõ ràng cho dạng toán. Do đó học sinh không biết phương pháp suy luận để vận dụng kiến thức đã học 
 Trước vấn đề trên tôi thấy cần thiết phải có một cách tiếp cận mới về ứng dụng của định lý Viet giải một số bài toán nâng cao để giúp học sinh có thêm kiến thức, nâng cao kỹ năng trong giải toán vận dụng định lý Vi-et, bồi dưỡng tư duy sáng tạo của các em. 
2.3. Giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề
 Để phát huy hiệu quả phát triển tư duy sáng tạo của học sinh đòi hỏi người giáo viên cần có nhiều cố gắng tìm tòi nghiên cứu đầu tư. Vì vậy trong quá trình giảng dạy tôi đã áp dụng giải pháp sau đây:
+) Bước đầu tạo sự hứng thú cho các em bằng các bài toán vận dụng cơ bản. Từ các kiến thức cơ bản đó khai thác, xây dựng và hệ thống những dạng bài toán vận dụng mới với nhận dạng rõ ràng giúp học sinh độc lập suy nghĩ và sáng tạo trong cách giải ( khái quát hoá kiến thức mới ) khi sử dụng kiến thức đã học . Muốn vậy, tôi đã cho học sinh lật đi lật lại vấn đề, tìm ra những khía cạnh sâu sắc của nội dung để học sinh hiểu đúng và nắm chắc kiến thức. Và để đạt được điều này, tôi đã chuẩn bị nhiều câu hỏi chủ đạo có tính định hướng, giao công việc cụ thể để HS phát hiện tìm tòi ra lời giải và đã vận dụng những kiến thức nào trong lời giải đó.
+) Sau khi phân loại và hướng dẫn các ví dụ, ở cuối mỗi phần, tôi sẽ giao bài tập để các em luyện tập củng cố kiến thức. Và cuối cùng là kiểm tra kiến thức và đánh giá kỹ năng vận dụng 
 Sau đây tôi xin trình bày nội dung đề tài “Hướng dẫn học sinh khá giỏi lớp 9 sử dụng định lý Vi-ét để giải bài toán tìm cực trị và bài toán về số nghiệm của của phương trình quy về bậc hai ” 
PHẦN I: SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ VI-ÉT ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN 
 CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM CỰC TRỊ 
Kiến thức vận dụng:
1/ Định lý Vi-ét đảo: (Tìm 2 số biết tổng và tích ) 
 Nếu 2 số u và v có tổng u + v = S và tích u.v = P thì u và v là 2 nghiệm của
 phương trình bậc hai : 
2/ Điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm
 Phương trình bậc hai: ax + bx + c = 0 ( a 0 ) có nghiệm 
 Trong phần này tôi sẽ vận dụng định lý Vi-ét đảo để chứng minh bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN mà các biểu thức có tính đối xứng, (có thể đưa về dạng chứa tổng và chứa tích của hai biến) có điều kiện ràng buộc là đẳng thức cũng có tính chất đối xứng. 
 Tôi đưa ra phương pháp giải toán như sau: 
Đặt vế chứa biến của bất đẳng thức hoặc biểu thức cần tìm cực trị là A 
- Biểu diễn tổng hai biến và tích hai biến theo A 
- Sử dụng định lý Vi-ét đảo: hai biến đó là nghiệm của phương trình bậc hai với tham số A
- Để tồn tại hai biến đó thì phương trình bậc hai (tham số A) phải có nghiệm. Từ đó tìm được miền giá trị của A
 Cách làm này đã tạo được rất nhiều hứng thú với các em vì đã giải quyết được một số bài toán chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị mà lâu nay các em vẫn rất e ngại bằng một công cụ đơn giản, quen thuộc, đó là định lý Vi-ét đảo.	
Ví dụ 1: Cho a, b thỏa mãn: a + b =1. Chứng minh: 
Hướng dẫn: 
 Đặt A = . Vì a + b =1 nên 
Ta có nên a, b là nghiệm của pt: (1)
Để tồn tại a, b thì pt (1) phải có nghiệm 
Dấu "=" xảy ra khi pt (1) có nghiệm kép X1 = X2 = nên 
Nhận xét: Đặt A = và biết a + b =1 thì việc tìm tích ab theo A là rất đơn giản. Từ đó xác định phương trình bậc hai nhận a, b làm nghiệm và tìm điều kiện để phương trình này có nghiệm là công việc tương đối dễ dàng với học sinh khá. Để giải bài toán này theo phương pháp khác đòi hỏi học sinh phải nắm được các tính chất của bất đẳng thức và một số bất đẳng thức phụ và phải biết cách áp dụng. Điều này đối với học sinh khá cũng không phải dễ. 
Ví dụ 2: Cho các số thực x , y , z khác 0 và thoả mãn điều kiện 
 x + y + z = xyz ; x2 = yz Chứng minh rằng : x2 ³ 3
Hướng dẫn:
 Gợi ý HS tìm y + z và yz theo biến x và sử dụng định lý Vi-et đảo để tìm điều kiện tồn tại y và z
y; z là nghiệm của phương trình: (1)
Để tồn tại y, z thì pt (1) phải có nghiệm 
 Vì nên (đpcm)
Nhận xét: Cách làm trên khá đơn giản, dễ hiểu, học sinh không phải sử dụng đến kiến thức về bất đẳng thức
Ví dụ 3: Cho a, b dương có a + b =1. Tìm GTNN của 
Hướng dẫn:
 Ta có: ( vì a + b =1)
 Nếu M = 0 thì 0 = 3 vô lý nên M ≠ 0. do đó 
 Ta có: nên a,b là nghiệm của pt: (1)
Để tồn tại a, b thì pt (1) phải có nghiệm mà a, b dương nên M >0. Do đó 
. 
Vậy khi pt (1) có nghiệm kép X1 = X2 = nên 
 Nhận xét: 
 - Việc giải bài toán trên bằng cách sử dụng hệ quả bất đẳng thức Cosi là không khó. Nhưng đối với các em, việc vận dụng bất đẳng thức phụ vào giải toán lại là khó. Cách làm này đã giúp các em tháo gỡ được khó khăn trên đồng thời mở ra cho các em một hướng suy nghĩ mới cho các bài toán cực trị hai biến có thể đưa về dạng chứa tổng và tích .
 - Ba ví dụ: 1, 2, 3 cách làm bài toán không phức tạp. Tuy nhiên nhiều bài toán phức tạp hơn, ngoài việc sử dụng điều kiện tồn tại của hai biến còn phải kết hợp với việc tìm GTLN, GTNN của một biểu thức bậc hai một biến. 
Ví dụ 4: Cho .
 Tìm GTLN, GTNN của 
Hướng dẫn:
Ta có: 
Vì nên (1)
 x; y là nghiệm của phương trình: (2)
 Để tồn tại x, y thì pt (2) phải có nghiệm 
Theo bài ra ta có: 
Vậy: = 9 khi a = 2 thỏa mãn ĐK (3). Khi đó thay a vào (1) ta được 
Mặt khác: 
 Vì theo (3) nên 
Vậy: =1 khi a = 0 hoặc a = 4. Khi đó thay a vào (1) ta được 
 hoặc 
Nhận xét: Đối với bài toán này, thông thường các em sẽ làm như sau. 
Tìm x + y và xy theo a sau đó thay vào P và tìm GTLN, GTNN của P mà không có điều kiện gì của a. Như vậy chỉ có GTNN mà không có GTLN. Đó là sai lầm chủ yếu của HS khi không sử dụng Vi-et đảo tìm ĐK để x, y tồn tại suy ra điều kiện của a. Do đó GV cần chỉ ra và khắc sâu để HS không mắc phải sai lầm này 
 Những bài toán cực trị phức tạp có căn bậc hai hoặc bậc ba cũng có thể vận dụng định lý Viet để giải
Ví dụ 5: Cho x; y dương thỏa mãn: Tìm GTNN của 
Hướng dẫn: Ta có: 
Đặt x + y =S; xy = P ta được: S = 2P
Mặt khác: Để tồn tại x; y thì 
 (1)
Vì x; y dương nên P > 0. Do đó từ (1) ta có P ≥ 1
Từ gt nên 
Vì P ≥ 1 nên . Do đó (vì A > 0)
Vậy = 2 khi P = 1 
Ví dụ 6: Cho 2 số x; y thỏa mãn: 
 Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: 
 Hướng dẫn:
Ta có: 
Đặt từ biểu thức trên ta có (*)
Để tồn tại x; y thì 
Theo bài ra: 
Vì nên 
Vậy: = 0 khi S = 0 và P = 0 ( theo (*))
 = 8 khi S = 4 và P = 4( theo (*)) . Do đó là nghiệm của pt
BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1: Cho x; y dương và x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức:
Bài 2: Cho các số a,b,c thoả mãn điều kiện
 a + b + c = - 2 ; 	a2 + b2 + c2 = 2 Chứng mình rằng 
Bài 3: Cho a + b = 1 Chứng minh: 
Bài 4: Tìm GTLN, GTNN của A = x + y + z biết 
Bài 5: Cho x + y = m; x2 + y2 = 6 - m2. Tìm GTLN, GTNN của 
 F = xy - 6(x + y)
Bài 6: Cho x; y thỏa mãn: x + y = x2 + y2. Tìm GTLN của P = xy
PHẦN II: SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ VI- ÉT ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN 
 VỀ SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI 
Kiến thức vận dụng
 Xét dấu các nghiệm của phương trìnhbậc hai: ax2 + bx + c = 0 (*) (a ¹ 0)
- Điều kiện để phương trình (*) có 2 nghiệm trái dấu là P < 0 
- Điều kiện để phương trình (*) có 2 nghiệm cùng dấu là :
- Điều kiện để phương trình (*) có 2 nghiệm dương là:
- Điều kiện để phương trình (*) có 2 nghiệm âm là: 
- Điều kiện để phương trình (*) có 1 nghiệm kép dương là: 
- Điều kiện để phương trình (*) có 1 nghiệm kép âm là: 
Trong phần này tôi sẽ trình bày phương pháp giải quyết một cách tổng quát một số dạng toán liên quan đến số nghiêm phương trình quy về bậc 2 bằng cách lựa chọn cách đặt ẩn phụ khôn ngoan để đưa bài toán về việc xét dấu nghiệm của phương rình bậc hai theo ẩn phụ, sử dụng định lý Vi-ét bằng cách thông qua ví dụ để đi đến bài toán tổng quát. Đầu tiên, tôi đưa ra ví dụ về bài toán phương trình trùng phương chứa tham số như sau: 
Ví dụ 1: Cho phương trình: (1)
Tìm m để phương trình (1) vô nghiêm
Tìm m để phương trình (1) có 1 nghiệm 
Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.
Tìm m để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt.
Tìm m để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt.
 Với ví dụ trên, học sinh đã biết đặt x2 bằng ẩn phụ t ( t 0) vì các em đã giải quen phương trình bậc bốn trùng phương. Tuy nhiên, sau khi đưa về phương trình bậc hai ẩn t thì các em lại không biết xử lý theo yêu cầu bài toán như thế nào cho phương trình bậc hai đó. Một vài em biết phương trình (1) vô nghiệm thì phương trình bậc hai ẩn t vô nghiệm. Còn các trường hợp khác, các em không suy luận được. Vướng mắc ở đây là các em chưa tìm được mối liên hệ giữa số nghiệm x với số nghiệm t. Do đó khi đặt ẩn phụ tôi đã nêu rõ: với t = 0 thì nên được 1 nghiệm x = 0; với mỗi t > 0 thì nên được 2 nghiệm x = , với t <0 thì không có nghiệm x. Từ đó vấn đáp để học sinh tự suy luận đi đến các trường hợp cụ thể về số nghiệm của phương trình bậc 4 trùng phương.
 Hướng dẫn:
 Đặt , thay vào pt (1) ta được pt: 
 Với t = 0 thì x2 = 0 nên được 1 nghiệm x = 0; với mỗi t > 0 thì x2 = t nên được 2 nghiệm x = 
a) Để phương trình (1) vô nghiệm pt (2) vô nghiệm hoặc có hai nghiệm âm
 TH1: Phương trình (2) vô nghiệm 
 TH2: Phương trình (2) có 2 nghiệm âm 
 (vô nghiệm)
 Kết luận: Vậy với thì phương trình (1) vô nghiệm 
b) Để phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) có nghiệm 
 TH1: Phương trình (2) có nghiệm thỏa mãn: .
 TH2: Phương trình (2) có nghiệm 
 Kết luận: Vậy với hoặc thì phương trình (1) có nghiệm 
c) Để phương trình (1) có 1 nghiệm pt (2) có 1 nghiệm t = 0 và 1 nghiệm âm hoặc pt (2) có nghiệm kép bằng 0
 TH1: Phương trình (2) có 1 nghiệm t = 0 và 1 nghiệm âm 
 (vô nghiệm)
 TH2: Phương trình (2) có nghiệm kép bằng 0 (vô nghiệm)
 Kết luận: Vậy không có giá trị m nào để phương trình (1) có 	1 nghiệm
d) Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt pt (2) có 1 nghiệm kép dương hoặc có hai nghiệm trái dấu
 TH1: Phương trình (2) có nghiệm kép dương 
 TH2: Phương trình (2) có 2 nghiệm trái dấu: 
 Kết luận: Vậy với thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 
e) Để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt pt (2) có 1 nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dương
 Kết luận: Vậy với m = 0 hoặc m = 2 thì phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt
f) Để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt pt (2) có 2 nghiệm dương 
 Kết luận: Vậy với thì phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt
Nhận xét: Từ ví dụ 1, học sinh đã có cái nhìn khá rõ ràng cho bài toán về nghiệm của phương trình bậc 4 trùng phương vì các trường hợp là dưới sự dẫn dắt của giáo viên, các em tự suy luận bằng kiến thức xét dấu theo định lý Vi-ét đã học, nên tôi yêu cầu các em đưa ra bài toán tổng quát:
Bài toán tổng quát 1. Cho phương trình bậc bốn trùng phương:
a) Tìm điều kiện để phương trình (1) vô nghiệm
b) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm
c) Tìm điều kiện để phương trình (1) có 1 nghiệm 
d) Tìm điều kiện để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt
e) Tìm điều kiện để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt
f) Tìm điều kiện để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt
 Hướng dẫn:
 Đặt , thay vào pt (1) ta được phương trình bậc hai ẩn t: 
 Với t = 0 thì được 1 nghiệm x = 0; với mỗi t > 0 thì được 2 nghiệm x = 
a) Để phương trình (1) vô nghiệm pt (2) vô nghiệm hoặc có hai nghiệm âm
 TH1: Phương trình (2) vô nghiệm 
 TH2: Phương trình (2) có 2 nghiệm âm 
b) Để phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) có nghiệm 
 TH1: Phương trình (2) có nghiệm .
 TH2: Phương trình (2) có nghiệm 
c) Để phương trình (1) có 1 nghiệm pt (2) có 1 nghiệm t = 0 và 1 nghiệm âm hoặc pt (2) có 1 nghiệm kép bằng 0
 TH1: Phương trình (2) có 1 nghiệm t = 0 và 1 nghiệm âm 
 TH2: Phương trình (2) có nghiệm kép bằng 0 
d) Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt pt (2) có 1 nghiệm kép dương hoặc có hai nghiệm trái dấu
 TH1: Phương trình (2) có nghiệm kép dương 
 TH2: Phương trình (2) có 2 nghiệm trái dấu: 
e) Để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt pt (2) có 1 nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dương
f) Để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt pt (2) có 2 nghiệm dương
Nhận xét: Với cách chỉ rõ mối quan hệ về nghiệm x và nghiệm t như trên đã tạo hứng thú cho các em trong cách suy luận đồng thời bước đầu tạo thói quen viết rõ ràng mối quan hệ về số nghiệm x với số nghiệm t khi đặt ẩn phụ. Để phát triển tư duy của các em hơn nữa, tôi đưa ra ví dụ 2 như sau:
Ví dụ 2: Cho phương trình 
Tìm m để phương trình (1) vô nghiệm
Tìm m để phương trình (1) có nghiệm. 
Tìm m để phương trình (1) có 1 nghiệm
Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.
Tìm m để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt.
Tìm m để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt.
Nhận xét: Thông thường các em sẽ đặt ẩn phụ là: x2 - 2x = t đưa phương trình (1) về phương trình t2 - 2mt + m + 3 = 0 (2). Phương trình (1) có nghiệm khi phương trình (2) có nghiệm . Phương trình(1) có 2 nghiệm khi phương trình (2) có hai nghiệm . Còn trường hợp phương trình (1) có 4 nghiệm thì các em không biết làm. Một vài em hiểu vấn đề tốt hơn thì sau khi đặt ẩn phụ x2 - 2x = t, từ điều kiện có nghiệm của pt ẩn x theo t, các em suy ra được điều kiện của t là t -1. Khi đó, các em biết được là để phương trình (1) có nghiệm thì phương trình (2) phải có nghiệm t -1. Đây là bài toán so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với mốt số thực khác 0 vượt ra ngoài khả năng của các em vì các em mới được trang bị kiến thức so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với 0 (hay xét dấu ngiệm) từ định lý Vi-ét. Như vậy, với cách là thứ nhất là sai, còn cách làm thứ hai lại đi đến bế tắc. Do đó, tôi đã hướng dẫn các em suy luận để đặt ẩn phụ như sau: 
 Hướng dẫn:
Vì suy ra nên
Đặt khi đó , suy ra . Thay vào phương trình (1) ta được phương trình sau: 
 Với t = 0 thì ta được 1 nghiệm x = 1, 
 Với mỗi t > 0 thì nên ta được 2 nghiệm 
a) Để phương trình (1) vô nghiệm pt (2) vô nghiệm hoặc có hai nghiệm âm
 TH1: Phương trình (2) vô nghiệm 
 TH2: Phương trình (2) có 2 nghiệm âm 
 Kết luận: vậy với thì phương trình (1) vô nghiệm.
b) Để phương trình (1) có nghiệm thì phương trình (2) có nghiệm 
 TH1: Phương trình (2) có nghiệm thỏa mãn: 
 .
 TH2: Phương trình (2) có nghiệm thỏa mãn: 
 Kết luận: với hoặc thì phương trình (1) có nghiệm.
c) Để phương trình (1) có 1 nghiệm pt (2) có 1 nghiệm t = 0 và 1 nghiệm âm hoặc pt (2) có 1 nghiệm kép bằng 0
 TH1: Phương trình (2) có 1 nghiệm t = 0 và 1 nghiệm âm 
 TH2: