Hướng dẫn giúp học sinh lớp 7 phát triển, nâng cao và vận dụng các bài tập về toán tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THỌ XUÂN
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
HƯỚNG DẪN GIÚP HỌC SINH LỚP 7 PHÁT TRIỂN, NÂNG CAO VÀ VẬN DỤNG CÁC BÀI TẬP VỀ TOÁN TỈ LỆ THỨC VÀ TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU 
Người thực hiện: Đỗ Thị Dung
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường TH và THCS Xuân Thành
SKKN thuộc môn: Toán
THANH HOÁ NĂM 2018
Mục lục
TT
Nội dung
Trang
1
Mở đầu
1
1.1
Lí do chọn đề tài.
1
1.2
Mục đích nghiên cứu. 
1
1.3
Đối tượng nghiên cứu.
2
1.4
Phương pháp nghiên cứu.
2
2
Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 
2
2.1
Cơ sở lý luận.
2-3
2.2
Cơ sở thực tiễn.
3
2.3
Nội dung vấn đề.
3
2.3.1
Lý thuyết.
3-4
2.3.2
Các giải pháp thực hiện.
4
2.3.3
Các dạng toán.
5
2.3.3.1
Dạng 1: Loại toán chứng minh đẳng thức từ một tỷ lệ thức cho trước
5-6
2.3.3.2
Dạng 2. Tính giá trị của biểu thức 
2.3.3.3
Dạng 3 :Tìm số chưa biết trong dãy tỉ số.
6-11
2.3.3.4
Dạng 4: Vận dụng trong giải toán thực tế.
11-13
2.4
 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, bản thân đồng nghiệp và nhà trường.
13-14
3.
Kết luận và kiến nghị
14
3.1
Kết luận.
14
3.2
Kiến nghị.
15
1. Mở đầu
1.1 Lí do chọn đề tài.
	Toán học ngày nay giữ một vai trò quan trọng đối với cách mạng 4.0. Nó ngày càng thu hút sự quan tâm của nhiều người đối với việc học toán ở trường phổ thông và kích thích sự ham muốn của học sinh ở mọi lứa tuổi.
 	Luật Giáo dục 2005 (điều 5) quy định: “ Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học; bồi dưỡng cho người học năng lực tự học, khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên”[1].
 	Với mục tiêu giáo dục phổ thông là “ giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân; chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động , tham gia xây dựng và bảo vệ Tổ quốc”. Chương trình giáo dục phổ thông ban hành kèm theo quyết định số 16/2006/QĐ-BGDĐT ngày 5/5/2006 của Bộ trưởng Bộ giáo dục và Đào tạo cũng đã nêu: “Phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc trưng môn học, đặc điểm đối tượng học sinh; điều kiện của từng lớp học; bồi dưỡng cho học sinh phương pháp tự học, khả năng hợp tác; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú và trách nhiệm học tập cho học sinh”[2].
 	Muốn cho học sinh nhất là học sinh Trung học cơ sở có những tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo có năng lực tự học, khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên thì đòi hỏi người giáo viên phải có một phương pháp dạy học đạt hiệu quả cao đối với từng bài dạy.
 	Tôi là một giáo viên dạy môn Toán khi được phân công giảng dạy môn toán 7 và dạy đến phần giải toán về tỷ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau thì phần bài tập trong sách giáo khoa phần lớn chỉ tập trung vào một số bài tập cơ bản vì vậy khi mở rộng nâng cao các dạng bài tập học sinh ban đầu thường lúng túng khi tìm phương pháp giải và khi thay đổi điều kiện bài toán ban đầu cũng khó khăn khi tìm cách giải quyết vấn đề từ đó nếu không tháo gỡ được sẽ tạo ra tâm lí ngại và “sợ” loại toán này. Chính vì vậy từ những kinh nghiệm mà bản thân đã đúc kết được và giúp học trò tự tin và hứng thú học dạng toán này nên tôi đã nghiên cứu và viết sáng kiến với đề tài: “Hướng dẫn học sinh lớp 7 mở rộng, phát triển và vận dụng các bài tập về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau”
1.2 Mục đích nghiên cứu. 
 	Trong quá trình dạy khi học sinh tiếp cận đến phần giải toán về tỷ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau học trò vẫn còn sai lầm trong lời giải, khi gặp các dạng toán hơi phức tạp một chút là các em lại sợ làm không được, có em lại thụ động trong việc giải Toán chỉ cần thay đổi một chút đề bài là khó tìm hướng giải quyết. Để các em dễ tiếp cận các dạng toán như chứng minh đẳng thức từ một tỷ lệ thức cho trước, chia một số thành các phần tỉ lệ với các số cho trước và tìm hai số biết tích và tỉ số của chúng...từ đó có hứng thú, chủ động tìm tòi và sáng tạo với đơn vị kiến thức này và môn Toán học nói chung, tôi đã nghiên cứu SKKN: “Hướng dẫn học sinh lớp 7 mở rộng, phát triển và vận dụng các bài tập về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau”
	Giúp học sinh nắm chắc các kiến thức giải toán về tỷ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, áp dụng làm tốt các dạng toán từ đơn giản đến phức tạp. Bên cạnh đó, học sinh có thể vận dụng kiến thức giải toán về tỷ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để vận dụng giải các dạng toán khác như (thay tỉ số giữa các số hữu tỉ bằng tỉ số giữa các số nguyên, tìm số hạng chưa biết của một tỷ lệ thức , tìm các số hạng chưa biết khi cho một dãy tỉ số bằng nhau và tổng hoặc hiệu của các số hạng đó, chứng minh đẳng thức,). Thông qua việc giải bài tập tập sẽ hình thành cho học sinh kĩ năng phân tích, kĩ năng quan sát, phán đoán, rèn tính cẩn thận, linh hoạt
Khảo sát, kiểm tra lại chất lượng môn Toán lớp mình dạy trong năm học trước, theo dõi kết quả học tập của các em ở đầu năm học mới, giữa học kì I, kết quả học kì I .
1.3 Đối tượng nghiên cứu.
- Kiến thức cơ bản của tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.
	- Các dạng toán nâng cao và vận dụng tính chất của tỉ lệ thức và tính chất dãy tỉ số bằng nhau.
1.4 Phương pháp nghiên cứu.
	- Phương pháp phân tích và tổng hợp lý thuyết.
	- Phương pháp điều tra, khảo sát, thu thập thông tin.
	- Phương pháp phân tích và tổng kết kinh nghiệm.
	- Phương pháp chuyên gia.
	- Phương pháp thống kê, xử lý số liệu.	
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 
2.1.Cơ sở lý luận.
 	Định hướng đổi mới phương pháp dạy và học đã được xác định trong nghị quyết Trung ương 4 khoá VII (01-1993), Nghị quyết trung ương 2 khoá VIII (12-1996), được thể chế hoá trong Luật Giáo dục (2005), được cụ thể hoá trong các chỉ thị của Bộ giáo dục và đào tạo, đặc biệt chỉ thị số 14(4-1999). Luật giáo dục, điều 28.2, đã ghi: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc theo nhó, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”[3]. Vì vậy, ngoài việc nắm vững lý thuyết trên lớp học sinh còn phải vận dụng lý thuyết đó một cách hợp lý, khoa học để giải bài tập. Bài tập Toán nhằm hình thành cho học sinh thế giới quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập, có niềm tin, phẩm chất đạo đức của người lao động. Bài tập toán nhằm phát triển năng lực tư duy của học sinh đặc biệt là rèn luyện những thao tác tư duy, hình thành những phẩm chất tư duy sáng tạo. Bài tập Toán nhằm đánh giá mức độ kết quả dạy và học, đánh giá khả năng độc lập và trình độ phát triển của học sinh. 
	Dạy Toán, học Toán là quá trình tư duy liên tục, cho nên việc nghiên cứu . tìm tòi, đúc kết kinh nghiệm của người dạy Toán và học Toán là không thể thiếu được. Trong đó, việc chuyển tải kinh nghiệm để dạy tốt là điều trăn trở của nhiều giáo viên. Việc truyền thụ kiến thức sẽ trở nên hấp dẫn học sinh hơn nếu giáo viên hiểu ý đồ của sách giáo khoa, giúp học sinh nắm kiến thức một cách hệ thống, dẫn dắt học sinh đi từ điều đã biết đến điều chưa biết. 
	Bên cạnh đó, việc khai thác, mở rộng kiến thức cũng giúp học sinh say mê học Toán, phát huy khả năng tư duy sáng tạo của mình. 
	Trên bục giảng, ở mỗi tiết dạy, để tạo hứng thú cho học sinh, người giáo viên phải luôn tạo ra tình huống có vấn đề để học sinh so sánh, chọn lọc. Từ đó rút ra những kiến thức cần nhớ. 
	Cơ sở kiến thức: 
a. Định nghĩa tỷ lệ thức: “ Tỷ lệ thức là đẳng thức giữa hai tỉ số .
 Ta còn viết:
 a : b = c : d.
trong đó a và d là các ngoại tỉ(số hạng ngoài); b và c là các trung tỉ (số hạng trong). [2]
b. Tính chất của tỷ lệ thức : 
	Tính chất 1: Nếu thì a.d = b.c
	Tính chất 2: Nếu a.d = b.c với a, b, c, d ≠ 0 thì ta có các tỷ lệ thức :
 ; ;; .
	Tính chất 3: Từ tỷ lệ thức suy ra các tỷ lệ thức : 
 , , [4]
c. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
Tính chất 1: Từ tỷ lệ thức suy ra , (b ≠ ± d)
Tính chất 2: từ dãy tỉ số bằng nhau ta suy ra: 
	, (giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
Tính chất 3: nếu có n tỉ số bằng nhau(n2): thì 
(giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
Lưu ý: 
Nếu đặt dấu “ - ” trước số hạng trên của tỉ số nào thì cũng đặt dấu “- ” trước số hạng dưới của tỉ số đó. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau cho ta một khả năng rộng rãi để từ một số tỉ số bằng nhau cho trước, ta lập được những tỉ số mới bằng các tỉ số đã cho, trong đó số hạng trên hoặc số hạng dưới của nó có dạng thuận lợi nhằm sử dụng các dữ kiện của bài toán.
Khi nói các số x, y, z tỉ lệ với a, b,c tức là ta có: . Ta cũng viết: x : y : z = a : b : c [5]
Một số kiến thức cần chú ý:
+) 
+) [6]
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
	Thông qua việc giải toán sẽ phát triển được tư duy độc lập, sáng tạo của học sinh, rèn ý chí vượt qua mọi khó khăn. Đứng trước một bài toán, học sinh phải có trong mình một vốn kiến thức cơ bản, vững chắc về mặt lý thuyết. Có được những thủ pháp cơ bản thuộc dạng toán đó, từ đó mới tìm cho mình con đường giải bài toán nhanh nhất. Để học sinh có được điều trên thì trước hết phải xuất phát từ người thầy, người thầy phải đầu tư soạn bài theo từng chuyên đề của dạng toán một cách cơ bản, sâu rộng, giúp học sinh nhìn nhận từ một bài toán cụ thể thấy được bài toán khái quát. Từ phương pháp giải khái quát thấy được cách giải một bài toán cụ thể. Nhìn thấy được sự liên quan giữa các bài toán với nhau. Biết vận dụng linh hoạt lý thuyết cơ bản vào giải toán.
	Qua quá trình giảng dạy nhận thấy học sinh ban đầu gặp khó khăn khi giải dạng toán này tôi đã làm một số khảo sát và có kết quả như sau: 
TSHS
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
Kém
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
Đầu năm
36
6
16,6%
6
16,6%
15
41,6%
5
13,9%
4
11,1%
Với một sự lao động nghiêm túc tôi xin trình bày một phần nhỏ kinh nghiệm soạn bài của mình nhằm giúp học sinh rèn kỹ năng giải dạng toán vận dụng tính chất của tỷ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại số 7.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
Qua quá trình giảng dạy tôi nhận thấy khá nhiều em còn lúng túng khi tìm ra phương pháp giải các bài tập vận dụng vì vậy nhằm giúp các em nâng cao tư duy và khả năng vận dụng tôi đưa ra một số cách phát triển bài toán vận dụng sau: 
1. Chứng minh đẳng thức từ một tỷ lệ thức cho trước
2. Tính giá trị của biểu thức
3. Tìm số chưa biết trong dãy tỉ số.
4. Vận dụng trong giải toán thực tế.
2.3.1. Dạng 1: Loại toán chứng minh đẳng thức từ một tỷ lệ thức, đẳng thức
 cho trước.
 Phương pháp: Từ tỉ lệ thức có thể đặt tỉ số cho trước bằng một hằng
 số k nào đó.
Hoặc để chứng tỏ ta có thể chứng tỏ rằng A. D = B.C hoặc chứng tỏ rằng hai tỉ số và có cùng giá trị hay sử dụng tính chất của tỉ lệ thức
Bài 1.1[7]: Cho chứng minh rằng .
Giải:
Phân tích tìm tòi lời giải: Đối với bài toán này ta có thể đặt hoặc biến đổi tỷ lệ thức cho trước để chúng trở thành đẳng thức cần chứng minh.
Cách 1: (đpcm)
Cách 2: (đpcm)
Cách 3: ( cách này áp dụng được vào nhiều bài toán dạng này)
đặt suy ra 
Ta có: 
 (1)
 (2)
Từ (1) và (2) suy ra 
Bài 1.2[8]. Chứng minh rằng : Nếu thì 
 với a, b, c, d ≠ 0.
Giải:
Hướng dẫn: bài này chứng minh tương tự theo bài 1
Cách 1 : 
Với a, b, c, d ≠ 0 ta có: 
	 (1)
	 (2)
	Từ (1) và (2) => (đpcm)
Cách 2: Đặt suy ra 
Ta có (1) 
Và (2)
Từ (1) và (2) suy ra .
GV: Làm như thế nào để xuất hiện 5a, 5c, 3b, 3d?
Từ 
(áp dụng kết quả của bài 2 )
Bài toán trên có thể khái quát như sau:
Bài 1.3 : Cho . Các số x, y, z, t thỏa mãn: và 
Chứng minh rằng: 
(Cách 2 của bài 1 gợi ý gì cho giải bài 3? Sử dụng cách 2 của bài 1 có làm được không?)
Ta có thể mở rộng bài toán theo hướng khác như 
Bài 1.4: Nếu thì: 
Giải: 
Từ (1) 
và từ (2)
từ (1) và (2) suy ra (đpcm)
Bài tập cùng dạng: Cho tỉ lệ thức: . Chứng minh rằng ta có các tỉ lệ thức sau: (với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa).
1) 2) 
3) 4)
5) 6) 
7) 8) 9) 
Nếu giả thiết mở rộng ra từ tỉ lệ thức thành dãy tỉ số bằng nhau lại vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải:
Bài 1.5: Cho . Chứng minh rằng: 
Giải: 
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có 
Từ đó suy ra 
Có thể khái quát cho dãy n các tỉ số bằng nhau với phương pháp tương tự 
Bài 1.6: Cho dãy tỉ số bằng nhau: 
	CMR: Ta có đẳng thức: 
Giả thiết có thể thay tỉ lệ thức bằng một đẳng thức 
Với dạng này tùy vào đẳng thức đã cho ta có cách biến đổi khác nhau. 
Bài 1.7: Chứng minh rằng: Nếu thì điều đảo lại có đúng hay không?
Giải:
+ Ta có: 
+ Điều đảo lại cũng đúng, thật vậy:
Ta có: 
Bài 1.8: Chứng minh rằng: Nếu và 
điều kiện: b ≠ 0 và d ≠ 0 thì 
Giải:
Ta có: 
Từ (3) và (2)
 (đpcm)
Bài 1.9: Cho tỉ lệ thức : . Chứng minh rằng: .
Giải. 
Ta có : =;
Bài 1.10: Cho a, b, c, d là 4 số khác 0 thỏa mãn: 
và Chứng minh rằng: 
(Hướng dẫn: Từ giả thiết biến đổi thành dãy tỉ số bằng nhau từ đó biến đổi đến đẳng thức cần chứng minh)
Bài 1.11: Cho 
 Chứng minh rằng: 
Giải: Từ suy ra 
Do đó Hay 
Bài 1.12: CMR nếu (1)
trong đó a, b,c khác nhau và khác 0 thì : 
Giải : 
Lần lượt chia từng vế của (1) cho abc ta được:
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có
Suy ra 
Bài 1.13: Cho biết : . CMR: abc + a’b’c’ = 0.
Giải : 
Từ ab+ a’b’= a’b .
 Nhân cả hai vế với c ta được abc+ a’b’c= a’bc (2)
 bc+ b’c’= b’c
Nhân cả hai vế với a ta được abc+ ab’c’= ab’c (3)
Cộng vế với vế của hai đẳng thức (2) và (3) ta có điều cần chứng minh
Bài 1.12: Cho dãy tỉ số : ; CMR: .
 	Giải: 
Lần lượt nhân mỗi tỉ số với a, b, c 
Suy ra bz – cy = 0
 cx- az = 0
 ay – bx = 0
Do đó 
2.3.2. Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức
Ở dạng toán này cần có sự linh hoạt trong biến đổi trong mỗi bài
Bài 2.1: Cho tỉ lệ thức . Tính giá trị của tỉ số 
Giải: 
Cách 1: Từ: 4(3x-y) = 3(x+y)
Biến đổi được 9x = 7y do đó 
Cách 2 : 
Đặt = a ta có 
Giải ra ta được a = 
Bài 2.2: Cho 
Tính giá trị của biểu thức P = 
Giải:
Cách 1: Đặt 	 = k suy ra x =2k, y = 3k, z= 4k
Thay vào rút gọn được P = 
Cách 2: Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau 
Bài 2.3 : Cho dãy tỉ số bằng nhau :	
Tính giá trị của biểu thức M = 
	Giải: 
Từ: 
 (*)
+) Xét a+b+c+d = 0 suy ra M = - 4
+) Xét a+b+c+d ≠ 0 suy ra b+c+d = a+c+d = a+b+d= b+c+a
Suy ra a = b=c=d nên tính được M = 4
Bài 2.4 : Cho a,b,c đôi một khác nhau và thõa mãn 
Tính giá trị của biểu thức P = 
	Giải: 
Từ 
Bước tiếp theo làm tương tự bài tâp 2.3
Bài 2.5[8] : Cho các số a,b,c khác 0 thõa mãn 
Tính giá trị của biểu thức P = 
	Giải: Với a,b,c ≠0 ta có 
Suy ra a = b= c từ đó tính được P = 1
Bài 2.6: Cho . Chứng minh rằng nếu thì giá trị của P không phụ thuộc vào x.
Hướng dẫn : Đặt 
Dạng 3 : Tìm số chưa biết trong dãy tỉ số
1.Tìm một số hạng chưa biết
Phương pháp giải: Áp dụng tính chất cơ bản của tỉ lệ thức.
Bài 3.1. Tìm x biết 
Giải: Từ 
Bài 3.2: tìm x biết : 
	Giải: 
Cách 1: Từ 
Cách 2: Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau
Suy ra 3x +2 = 5x +7 
 2x = -5 
 x = 2,5
2.Tìm nhiều số hạng chưa biết
Bài 3.3: Tìm x và y biết và x +y = 22
	Giải: cách 1: áp dụng tính chất cơ bản của tỉ lệ thức
Từ 
Cách 2: Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau
Từ 
Bài 3.4[9]: Tìm ba số x, y, z, biết rằng: và x + y – z = 10.
Giải:
Hướng dẫn: ở bài toán này chưa cho ta một dãy tỉ số bằng nhau. Vậy để xuất hiện một dãy tỉ số bằng nhau ta làm thề nào? Ta thấy ở tỉ số và có hai số hạng trên giống nhau, vậy làm thế nào để hai tỉ số này có cùng số hạng dưới
( ta tìm một tỉ số trung gian để được xuất hiện một dãy tỉ số bằng nhau), ta sẽ quy đồng hai tỉ số này về cùng mẫu chung, muốn vậy ta tìm BCNN(3;4)=12 từ đó mẫu chung của 3 và 4 là 12
 BCNN(3;4)=12 nên ta biến đổi như sau:
( nhân cả hai vế với ) (1)
( nhân cả hai vế với ) (2)
Từ (1) và (2) . Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
Vậy 
x = 8.2 = 16
y = 12.2 = 24
z = 15.2 =30
Bài 3.5[10]. Tìm x, y, z biết: và 
GV : Bài cho 
Làm như thế nào để trong dãy tỉ số bằng nhau trên xuất hiện biểu thức ?
Giải:
 	Từ hay . 
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
.
 Suy ra 2x = 3.30 = 90x = 90:2 = 45
 3y = 3.60 = 180 y =180:3=60
 z = 3.28 = 84
Bài 3.6. Tìm x, y, z biết:
	a. và 2x + 3y –z = 50
b. và x + y +z = 49
Giải:
Ta biến đổi (1) như sau : 
hay 
áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :
 	b. Hướng dẫn: ở bài toán này giả thiết cho x + y +z = 49 nhưng các sống hạng trên của dãy tỉ số bằng nhau lại là 2x ; 3y ; 4z, làm thế nào để các số hạng trên chỉ còn là x ; y ; z. ta sẽ tìm BCNN (2;3;4) = 12 và khử tử để các số hạng trên chỉ còn là x ; y ; z
 	Giải: Chia các vế của (2) cho BCNN (2;3;4) = 12
	 hay 
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: 
	=> x = 18; y = 16; z = 15	
Bài 3.7. Tìm các số a1, a2, a9 biết:
	 và 
Giải :
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: 
Từ đó dễ dàng suy ra : 
Bài 3.8: Tìm ba số x,y, z biết và 
	Giải:
Cách 1: Đặt 
Thay vào ta được 
Suy ra k = 3 hoặc k = -3
Lần lượt thay k = 3 và k = -3 vào tìm được (x;y;z) = (6;9;12) hoặc
 (x;y;z) = (-6;-9;-12)
Cách 2: Từ 
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
Giải ra ta cũng được : 
(x;y;z) = (6;9;12) hoặc (x;y;z) = (-6;-9;-12)
Dạng vận dụng
Bài 3.9: Tìm các số x, y , z biết: 
a) và x2 + y2 + z2 = 14. 
b) 
c)
Hướng dẫn: a) Từ biến đổi để đưa về dãy tỉ số bằng nhau: 
sau đó áp dụng tương tự bài 3.7
b) c) Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau.
3.Tìm hai số biết tích và tỉ số của chúng
Phương pháp giải: giả sử phải tìm hai số x, y, biết x.y=p và .
Đặt , ta có x=k.a, y=k.b. do đó: x.y=(k.a).(k.b)=p .
 Từ đó tìm được k rồi tính được x và y.
Chú ý: cần tránh sai lầm áp dụng “tương tự” tính chất dãy tỉ số bằng nhau: (sai) 
Bài 3.10: Tìm hai số x và y, biết rằng và xy=10.
Giải:
Đặt , ta có x=2k, y=5k.
Vì xy=10 nên 2k.5k=10 hoặc 
+ với k = 1 thì x = 2.1 = 2 ; y = 5.1 = 5.
+ với k = -1 thì x = 2.(-1) = -2; y = 5.(-1)= -5.
Vậy x = 2; y = 5; x = - 2; y = - 5
Bài 3.11: Tìm x, y biết rằng: và xy = 54 .
Giải:
Hướng dẫn: Bài này làm tương tự bài 3.9. tuy nhiên ta có thể làm theo cách khác như sau :
 Từ 
 suy ra hoặc 
	với 
	với 
Bài 3.12: Tìm x và y, biết và x.y=40.
Hướng dẫn: bài này tương tự bài 3.10. biến đổi thành và làm tương tự bài 3.10
Đáp số: x = 4; y = 10; x = - 4; y = -10
Bài 3.13: Tìm x, y và z biết 
a) và .
b) và 
	Giải : 
	( Bài này tương tự với bài tìm x,y)
a) Đặt , ta có .
Vì nên .
Suy ra ; ; 
Vậy 
b) Tương tự câu a: đặt , ta có 
	Vì nên .
	Vậy x = 6; y = 9; z =15.
Nhận xét: Qua các bài tập của Dạng 3 ta có thể đưa ra bài toán tổng quát như sau: 
	Tìm các số x, y, z thõa mãn: ( 1)
 và x+y+z = d( 2)
(trong đó a, b, c, a+b+c ≠ 0 và a,b,c,d là các số cho trước)
*) Cách giải: 
Cách 1: Đặt 
Rồi thay vào (2) được ka +kb + kc = d 
 k(a+b+c) = d k = 
 x = y = z = 
Cách 2: áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có;
 x = 
 y = 
 z = 
*) Hướng khai thác bài toán trên như sau : 
+) Giữ nguyên điều kiện (1) thay đổi điều kiện (2) như : 
m1x+m2y+m3z = e
n1x2+n2y2+n3z2 = f
x.y.z = g
+) Giữ nguyên điều kiện (2) thay đổi điều kiện (1) như :
a2x = a1y ; a4y = a3z
b1x = b2y = b3z
+) Thay đổi cả hai điều kiện
Bài tập cùng dạng : Tìm x, y và z biết 
a) và 
b) và 
c) và 
d) và , 
e) và 
f) x : y : z = 3 : 4 : 5 và 5z2 – 3x2 – 2y2 = 594;
g) h) và xyz = 648 
i) 
Dạng 4: Vận dụng trong giải các bài toán thực tế
Bài 4.1. Ba lớp 7A, 7B, 7C có tất cả 153 học sinh. Số học sinh lớp 7B bằng số học sinh lớp 7A, số học sinh lớp 7C bằng số học sinh lớp 7B. Tính số học sinh của mỗi lớp.
Hướng dẫn phân tích tìm lời giải: Trong bài toán có ba số cần tìm có tổng là 153 vì vậy có thể đặt ba số cần tìm là ba ẩn. Đồng thời cho mối liên hệ tỉ lệ giữa hai trong ba số đã cho nên nghĩ đến việc lập dãy tỉ số bằng nhau để áp dụng tính c