Chuyên đề Toán lớp 7: Các bài toán về tỉ lệ thức tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

 CHUYÊN ĐỀ - TOÁN LỚP 7
 CÁC BÀI TOÁN VỀ TỈ LỆ THỨC
 TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU.
II. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.
1) Tính chất 1: Từ tỉ lệ thức suy ra (b≠±d)
2) Tính chất 2: ta suy ra 
 (Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
* Nâng cao.
1. Nếu =k thì 
2. Từ => +) 
 +) 
(Tính chất này gọi là tính chất tổng hoặc hiệu tỉ lệ)
* Chú ý: Các số x, y, z tỉ lệ với các số a, b, c => 
 Ta còn viết x:y:z = a:b:c
B. Các dạng toán và phương pháp giải.
 Dạng 1: Tìm thành phần chưa biết trong tỉ lệ thức, dãy tỉ số bằng nhau
 Dạng 2: Chứng minh tỉ lệ thức
 Dạng 3: Tính giá trị biểu thức
 Dạng 4: Ứng dụng tính chất của tỉ lệ thức, dãy tỉ số bằng nhau vào giải bài toán chia tỉ lệ.
 Dạng 5: Tính chất của tỉ lệ thức áp dụng trong bất đẳng thức
 Dạng 1: TÌM THÀNH PHẦN CHƯA BIẾT TRONG TỈ LỆ THỨC, DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
 Bài 1: Tìm x biết:
 a)
 b) Mà x – 3y + 4z = 62 => đua về 31z = 558 => z = 18
Do đó x = ; y= 
Vậy x = 8; y = 6 v à z =18
 Bài 3: Tìm x, y, z biết:
 a) và 2x + 3y – z = 186
 b) 2x = 3y = 5z và =95
 Giải
 a) Cách 1: Từ => => 
 Và => => 
=> = (*)
Ta có: = 
=>
Vậy x=45; y=60 và z=84
 Cách 2: Sau khi làm đến (*) ta đặt = =k
(Sau đó giải như cách 1 của bài 2)
 Cách 3: Sau khi làm đến (*) dùng phương pháp thế giải như cách 3 của bài 2.
 b) Vì 2x = 3y = 5z => = => =
 x  y  z  95
Mà  
 x  y  z  95
+) Nếu x+y-z= 95
Ta có = =>
+) Nếu x + y – z = - 95 =>
 =>
 x y z x  y  z 10
Từ       10 
 2 3 4 2  3 4 1
 => Vậy x = - 20; y = -30 và z = -40
 Bài 5: Tìm x. y, z biết:
 a) x: y: z = 2: 3: 5 và xyz = 810
 b) = và + = - 650 
 Giải
 a) Vì x: y: z = 2: 3: 5 => =
 Cách 1 (Đặt giá trị chung)
Đặt = =>
Mà xyz = 810 => 2k.3k.5k = 810 => 30 =810 => =27 => k = 3
=> Vậy x = 6; y = 9 và z = 15 
 Cách 2: Từ = => = 
  => x = 6 thay vào đề bài tìm ra y = 9 ; z = 15
Vậy x = 6; y = 9 và z = 15
 Cách 3: (Phương pháp thế) Làm tương tự cách 3 của bài 2
 b) Từ = => => = 
 Cách 1: (Đặt giá trị chung) Hay =
+) => 2x = => 3x = => x = 
+) => 2y = => 3y = => y = 
+) Có x + y + z = , mà x = và y = 
=>z= = Vậy
* Nếu x + y + z = 0 ta có:
(1) => 
=> x = y = z = 0 
Vậy 
 Bài 7: Tìm x, y biết:
 a)
 b)
 Giải
 a) Vì => 24(1+2y) = 18(1+4y)
 =>24 +48y = 18 +72y
Đưa về 24y = 6 => y = thay vào đề bài ta có 
 => = 18. => 18x = 90 => x = 5
 Ta có 1 3y
 12 
 Cách 2 (pp2):
Đặt = k => 
  = 
 Cách 3 (pp3): 
Từ 
Ta có: 
  = 
 Cách 4: Từ => 
  => = 
 Bài 2: Cho tỉ lệ thức Chứng minh rằng (1)
 GIẢI
 Cách 1:
  2)
 GIẢI
 1) Vì 
 
 
 Vậy 
 2) Có: 
 
 Bài 5: Cho a, b, c thỏa mãn 
 Chứng minh: 4(a-b)(b-c) = 
 GIẢI
 Từ 
 
 
 Bài 6: Biết và 
CMR: abc + = 0
 GIẢI
Từ => ab + (1) = 
 
 Dạng 3 : TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC
 Bài 1 : 
 3x  y 3 x
 Cho tỉ lệ thức  . Tính giá trị của tỉ số 
 x  y 4 y
 Bài giải:
 Cách 1 :
 3x  y 3
Từ   4(3x – y) = 3(x+y)  12x – 4y = 3x + 3y 
 x  y 4
 12x – 3y = 3(x+y)  9x = 7y
 x 7
Vậy = 
 y 9
 Cách 2:
 3x
 1
 3x  y 3 y 3 x 3a 1 3
Từ    Đặt = a  = 
 x
 x  y 4 1 4 y a 1 4
 y
 Bài 2:
 x y z y  z  x
 Cho   . Tính giá trị của biểu thức P = 
 2 3 4 x  y  z
 Cách 1:
 x y z
Đặt   = k  x = 2k ; y = 3k ; z = 4k ( k  0)
 2 3 4 a  b b  c c  a
 Cho a , b ,c đôi một khác nhau và thỏa mãn  
 c a b
  a  b  c 
Tính giá trị của biểu thức P  1 1 1 
  b  c  a 
 Bài giải:
 a  b b  c c  a a  b b  c c  a
Từ    1  1  1
 c a b c a b
 a  b  c a  b  c a  b  c
   (*)
 c a b
+) Xét a  b  c  0  a  b  c;a  c  b;b  c  a
 a  b b  c a  c c a b abc
P         1
 b c a b c a abc
+) Xét a  b  c  0 Từ (*) ta có :
a  b  c  P  8
 Bài 5 :
 ab bc ca
 Cho các số a;b;c khác 0 thỏa mãn  
 a  b b  c c  a
 ab2  bc2  ca2
Tính giá trị của biểu thức P 
 a3  b3  c3
 Bài giải:
 ab bc ca
Với a,b,c  0 ta có :  
 a  b b  c c  a
 a  b b  c c  a 1 1 1 1 1 1
        
 ab bc ca b a c b a c
 1 1 1
    a  b  c  P 1
 a b c
 Dạng 4: ỨNG DỤNG TÍNH CHẤT CỦA TỈ LỆ THỨC, DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU VÀO GIẢI BÀI TOÁN 
 CHIA TỈ LỆ
 Bài 1: Tìm số tự nhiên có ba chữ số biết rằng số đó chia hết cho 18 và các chữ số của nó chia hết cho tỉ lệ với 
 1;2;3.
 Lời giải
 Gọi số tự nhiên có 3 chữ số cần tìm là , ( ĐK : a,b,c  N *,1 a  9,0  b,c  9 ) Vậy số học sinh lúc đầu của các lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là 48 học sinh, 42 học sinh, 54 học sinh.
 Bài 3: Lớp 7A có 52 học sinh được chia làm ba tổ. Nếu tổ một bớt đi 1 học sinh, tổ hai bớt đi 2 học sinh, tổ ba 
 thêm vào 3 học sinh thì số học sinh tổ một , hai, ba tỉ lệ nghịch với 3; 4; 2. Tìm số học sinh mỗi tổ.
 Lời giải
 Gọi số học sinh tổ một, tổ hai, tổ ba của lớp 7A lần lượt là x, y, z.(học sinh)
 ĐK: x, y, z  N *, x, y, z  52 
 +) Lớp 7A có 52 học sinh => x + y + z = 52
 +) Nếu tổ một bớt đi 1 học sinh, tổ hai bớt đi 2 học sinh, tổ ba thêm vào 3 học sinh thì số học sinh tổ một, hai, ba tỉ 
 lệ nghịch với 3; 4; 2 
 Nên ta có 3.(x – 1) = 4.(y – 2) = 2.(z + 3)
 3 x – 1 4  y – 2 2 z  3
    
 12 12 12
  x – 1  y – 2 z  3
    
 4 3 6
 x 1 y-2 z  3 x  y  z 52
       4
 4 3 6 13 13
 x 1 16 x 17
  
 y  2 12  y 14 (Thỏa mãn điều kiện)
  
 z  3  24 z  21
 Vậy số học sinh tổ một, tổ hai, tổ ba của lớp 7A lần lượt là 17 học sinh, 14 học sinh, 21 học sinh.
 Bài 4: Tìm ba phân số có tổng bằng . Biết tử của chúng tỉ lệ với 3; 4; 5 còn mẫu của chúng tỉ lệ với 5; 1; 2.
 Lời giải
 a,b,c,d,e, g  Z
 Gọi ba phân số cần tìm là với 
 b,d, g  0
 Theo đầu bài ta có
 a c e 3
 a : c : e = 3:4 :5, b : d : g =5:1:2 và    3 
 b d g 70
 a c e
 +) a:c:e= 3 :4 :5 =>    k với k  Z 
 3 4 5
 a=3k ,c =4k , e =5k
 b d g
 +) b : d : g = 5 : 1 : 2 =>    t với t  Z,t  o 
 5 1 2
 b=5t, d=t, g=2t
 a c e 3 3k 4k 5k 213
 +)    3 =>    
 b d g 70 5t t 2t 70 Thời gian ô tô đi nửa đường AB với vận tốc dự định hết 60 phút.
 Vậy thời gian ô tô đi từ A đến B là 60 + 50 = 110 (phút)
 Bài 7: Một cửa hàng có ba cuộn vải, tổng chiều dài ba cuộn vải đó là 186m, giá tiền mỗi mét vải của ba cuộn là 
như nhau. Sau khi bán được một ngày cửa hàng còn lại cuộn thứ nhất, cuộn thứ hai, cuộn thứ ba. Số tiền bán được 
của ba cuộn thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt tỉ lệ với 2; 3; 2. Tính xem trong ngày đó cửa hàng đã bán được bao nhiêu 
mét vải mỗi cuộn.
 Lời giải
 Gọi chiều dài cuộn vải thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt là x, y, z (m)
 ĐK: 0< x, y, z < 186
 +) Tổng chiều dài ba cuộn vải đó là 186m => x + y + z = 186
 + Sau khi bán được một ngày cửa hàng còn lại cuộn thứ nhất, cuộn thứ hai, cuộn thứ ba
 x 2y 2z
 => Trong ngày đó cửa hàng đã bán được số mét vải ở cuộn thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt là , , (mét) 
 3 3 5
 +) Số tiền bán được của ba cuộn thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt tỉ lệ với 2; 3; 2 và giá tiền mỗi mét vải của ba cuộn 
 như nhau.
 => Số mét vài bán được của ba cuộn thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt tỉ lệ với 2; 3; 2
 x 2y 2z
 => : :  2 :3: 2 
 3 3 5
 2x 2y 2z
 =>   
 12 9 10
 x y z x  y  z 186
 =>      6 
 12 9 10 12  9 10 31
 x  72
 
 => y  54 ( Thỏa mãn điều kiện ) 
 
 z  60
 Vậy trong ngày đó cửa hàng đã bán số mét vải ở cuộn thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt là : 24; 36; 24 (mét).
 Dạng 5: TÍNH CHẤT CỦA TỈ LỆ THỨC 
 ÁP DỤNG TRONG BẤT ĐẲNG THỨC
 a c
Tính chất 1: (Bài 3/33 GK Đ7) Cho 2 số hữu tỷ và với b> 0; d >0.
 b d
 a c
 CM:   ad  bc
 b d