Chuyên đề Số chính phương

 Số chính phương
 Chuyên đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Giáo viên: Nguyễn Đình Vui
Đơn vị công tác: Trường THCS Nguyễn Trãi – Tam Đảo - Vĩnh Phúc
A.Mục đích chuyên đề
 Trong chương trình toán ở bậc tiểu học và THCS, các em đã được học các bài 
toán số học, các bài toán liên quan tới phép chia hết của một số nguyên cho một số tự 
nhiên khác 0 và đặc biệt là được giới thiệu về số chính phương. Nhưng để các em biết 
cách giải một bài toán có liên quan đến số chính phương thì không phải là vấn đề đơn 
giản và không phải em HS nào cũng có thể làm được.
 Để giúp các em học sinh giỏi có thể nắm vững dạng toán này và nắm được thuật 
giải của các bài toán về số chính phương. Đây cũng là một cách củng cố các kiến thức 
mà các em đã được học. Những bài toán này sẽ làm tăng thêm lòng say mê nghiên cứu 
môn toán cho các em.
B.Đối tượng bồi dưỡng - Số tiết dạy – Tài liệu tham khảo
 - Chuyên đề bồi dưỡng HSG môn toán lớp 8
 - Số tiết dạy cho HS 08 tiết.
 - Tài liệu tham khảo: Nâng cao và phát triển toán 8- Vũ Hữu Bình 
 Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 8-Bùi Văn Tuyên 
B.Nội dung kiến thức
 1.Định nghĩa số chính phương
 Số chính phương là số tự nhiên bằng bình phương của một số tự nhiên (ví dụ các 
số : 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144,  là số chính phương). 
 2.Một số tính chất cần nhớ
 a. Số chính phương không tận cùng bởi các chữ số 2,3,7,8.
 b. Khi phân tích một số chính phương ra thừa số nguyên tố ta được các thừa số 
nguyên tố với số mũ chẵn (Ví dụ số 100 =22.52, 144=24.32,)
 Từ đó suy ra 
Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4.
Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9.
Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25.
Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16.
Tổng quát nếu có số chính phương N chia hết cho p2k+1 thì N chia hết cho p2k+2 (p là số 
nguyên tố, k là số tự nhiên).
 c. Số chính phương chia cho 3 chỉ có thể dư 0 hoặc dư 1 hay số chính phương chỉ 
có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n + 1. Không có số chính phương nào có dạng 3n 
+ 2 (n là số tự nhiên).
 d. Số chính phương chia cho 4 chỉ có thể dư 0 hoặc dư 1 hay số chính phương chỉ 
có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n + 1. Không có số chính phương nào có dạng 4n 
+ 2 hoặc 4n + 3 (n là số tự nhiên).
 Nguyễn Đình vui - THCS Nguyễn Trãi - Tam Đảo – Vĩnh Phúc 1 Số chính phương
 Bài toán 2: Chứng minh số A  11...155...56 là số chính phương. 
 n n1
 Lời giải 
Cách 1:
 n
 Đặt 11...1  a thì 99...9  9a do đó 99...9 1  10  9a 1
 n n n
 n n
 Ta có A  11...155...56  11...1.10  55...5 1  11...1.10  5.11....11
 n n1 n n n n
 A  a(9a 1)  5a 1  9a 2  6a 1  (3a 1) 2
 2 2
 A  (3.11...11)  33...34
 n n1
 Vậy A là một số chính phương
Cách 2: Ta có 
 A  11... 1 55...5 6
 n n  1
  11... 1 55...5  1
 n n
  11... 1  4 .11... 1  1
 2 n n
 10 2 n  1 10 n  1
   4 .  1
 9 9
 10 2 n  4 . 10 n  4
 
 9
 2
 (10 n  2 ) 2  10 n  2 
    
 9  3 
 2
  1 00...0 2 
  n  2
     33...3 4
  3  n  1
  
Vậy A là số chính phương. 
Phương pháp 2: Dựa vào tính chất đặc biệt. 
 Ta có thể chứng minh một tính chất rất đặc biệt: “Nếu a, b là hai số tự nhiên 
nguyên tố cùng nhau và a.b là một số chính phương thì a và b đều là các số chính 
phương”.
 Bài toán 3: Chứng minh rằng nếu m, n là các số tự nhiên thỏa mãn 
 3m2 + m = 4n2 + n thì m - n và 4m + 4n + 1 đều là số chính phương.
 Lời giải
Ta có : 3m2 + m = 4n2 + n 
tương đương với 4(m2 – n2) + (m - n) = m2 
hay là (m - n)(4m + 4n + 1) = m2 (*) 
 Nguyễn Đình vui - THCS Nguyễn Trãi - Tam Đảo – Vĩnh Phúc 3 Số chính phương
 F  44...488...89 ( n  N )
 n n1
Bài tập 2: Cho a  11...12 , b  11...14 ( n  N ) chứng minh rằng ab+1 là số chính phương 
 n n
Bài tập 3: Tìm số tự nhiên n để n2 + 2n + 200 là số chính phương
 * CHỨNG MINH MỘT SỐ KHÔNG PHẢI LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Phương pháp 1: Nhìn chữ số tận cùng
- Vì số chính phương bằng bình phương của một số nên suy ra số chính phương phải có 
chữ số tận cùng là một trong các chữ số: 0,1,4,5,6,9. Từ đó ta có thể tìm ra được lời giải 
của bài toán.
Bài toán 1: Chứng minh số: N = 20042 + 20032 + 20022 - 20012. Không là số chính 
phương
 Lời giải 
- Ta thấy chữ số tận cùng của các số: 2004 2, 20032, 20022, 20012 lần lượt là 6,9,4,1. Do 
đó n có chữ số tận cùng là 8. Nên N không phải là số chính phương.
Chú ý: Nhiều khi số đã cho có chữ số tận cùng là một trong các số: 0,1,4,5,6,9 nhưng 
vẫn không phải là số chính phương, khi đó ta phải lưu ý thêm: Nếu một số chính 
phương chia hết cho số nguyên tố p thì nó phải chia hết cho p2
Bài toán 2: Chứng minh số 1234567890 không phải là số chính phương 
 Lời giải 
- Ta thấy số: 1234567890 chia hết cho 5 (vì chữ số tận cùng bằng 0), nhưng không chia 
hết cho 25 (vì hai chữ số tận cùng bằng 90). Do đó số 1234567890 không phải là số 
chính phương.
Chú ý:
 - Có thể luận rằng: Số 1234567890 chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 (vì 
 hai chữ số tận cùng là 90).Nên 1234567890 không phải là số chính phương.
Bài toán 3
Chứng minh rằng nếu một số có tổng các chữ số là 2004 thì số đó không phải là số 
chính phương
 Lời giải 
Ta thấy tổng các chữ số của số 2004 là 6 nên 2004 chia hết cho 3 mà nó lại không chia 
hết cho 9. Nên số có tổng các chữ số là 2004 cũng chia hết cho 3 mà không chia hết cho 
9. Do đó số này không phải là số chính phương.
 Nguyễn Đình vui - THCS Nguyễn Trãi - Tam Đảo – Vĩnh Phúc 5 Số chính phương
 = (n2 + 3n)(n2 + 3n + 2) + 1
 = (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + 1
 = (n2+3n +1)2 
Mặt khác (n2 + 3n)2 < (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) = A
Điều này hiển nhiên đúng vì: n > 1. Chứng tỏ
(n2 + 3n)2 < A < A+1= (n2+3n +1)2. Suy ra A không phải là số chính phương.
 Một số bài tập áp dụng
Bài tập 1. Chứng minh tổng các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 2005 không phải là số 
chính phương.
Bài tập 1. Chứng minh số: 20044 + 20043 + 20042 + 23 không phải là số chính phương.
Bài tập 3. Chứng tỏ số: 235+2312+232003 không là số chính phương.
Gợi ý: Nghĩ ngay đến phép chia cho 3 hoặc chia cho 4 
Bài tập 4.
Có 1000 mảnh bìa hình chữ nhật, trên mỗi mảnh được ghi một trong các số từ 1 đến 
1001 (không có mảnh nào ghi khác nhau). Chứng minh rằng không thể ghép tất cả các 
mảnh bìa đó liền nhau để được một số chính phương.
Bài tập 5.
Chứng minh rằng tổng bình phương của 4 số tự nhiên liên tiếp không thể là số chính 
phương.
Gợi ý: Nghĩ đến phép chia cho 4
Bài tập 6. Chứng minh một số là số chính phương khi và chỉ khi số ước của nó là một 
số lẻ.
Bài tập 7. Biển số xe máy của bạn Hùng là một số có 4 chữ số, có đặc điểm như sau:
Số đó là số chính phương, nếu lấy số đầu trừ đi 3 và số cuối cộng thêm 3 thì được một 
số cũng là số chính phương. Tìm số xe của bạn Hùng.
Bài tập 8 : Chứng minh tổng các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 2005 không phải là số 
chính phương. 
Bài tập 9 : Hãy tìm số tự nhiên n sao cho A = n4 - 2n3 + 3n2 - 2n là số chính phương. 
 Gợi ý : Nghĩ đến (n2 - n + 1)2. 
Bài tập 10 : Chứng minh số 235 + 2312 + 232003 không là số chính phương. 
 Gợi ý : Nghĩ đến phép chia cho 3 hoặc phép chia cho 4. 
Bài tập 11 : Chứng minh rằng : Tổng các bình phương của bốn số tự nhiên liên tiếp 
không thể là số chính phương. 
 Gợi ý : Nghĩ tới phép chia cho 4. 
Bài tập 12 : Chứng minh rằng số 333333 + 555555 + 777777 không là số chính phương. 
 Gợi ý : Nghĩ đến phép chia cho  một chục (?) 
 Rất mong nhận được ý kiến đóng góp của các bạn đọc!
 Nguyễn Đình vui - THCS Nguyễn Trãi - Tam Đảo – Vĩnh Phúc 7